无穷小量与无穷大量(IV)

一 、 无 穷 小 量1、 定 义 :若 在 自 变 量 x 的 某 一 变 化 过 程 中 ，函 数 f (x)的 极 限 为 零 ， 则 把 函 数 f (x) 称 为 在 自 变 量 的 这 一 变 化 过程 中 的 无 穷 小 量 ， 简 称 无 穷 小 。即 ： 极 限 为 零 的 变 量 称 为 无 穷 小 . 例 如 , ,0sinlim0 xx .0sin 时 的 无 穷 小是 当函 数 xx,01lim xx .1 时 的 无 穷 小是 当函 数 xx,0)1(lim n nn .)1( 时 的 无 穷 小是 当数 列 nn n注 意 （ 1） 无 穷 小 是 变 量 ,不 能 与 很 小 的 数 混 淆 ;（ 2） 零 是 可 以 作 为 无 穷 小 的 唯 一 的 数 .（ 3） 无 穷 小 必 须 指 明 自 变 量 的 变 化 趋 势 。 2、 无 穷 小 与 函 数 极 限 的 关 系 :证 必 要 性 ,)(lim0 Axfxx 设 ,)()( Axfx 令,0)(lim0 xxx则 有 ).()( xAxf 充 分 性 ),()( xAxf 设 ,)( 0时 的 无 穷 小是 当其 中 xxx )(lim)(lim 00 xAxf xxxx 则 )(lim0 xA xx .A 定 理 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其 中 )(x 是 当 0 xx 时 的 无 穷 小 . 注 意 ： 无 穷 多 个 无 穷 小 的 代 数 和 未必 是 无 穷 小 . 是 无 穷 小 ，时例 如 nn 1, .11.11lim 不 是 无 穷 小但 个 nn nnn （ 1） 有 限 个 无 穷 小 的 代 数 和 仍 是 无 穷 小 .3、 无 穷 小 的 运 算 性 质 : （ 2） 有 界 函 数 与 无 穷 小 的 乘 积 是 无 穷 小 .推 论 常 数 与 无 穷 小 的 乘 积 是 无 穷 小 .（ 3 ） 有 限 个 无 穷 小 的 乘 积 也 是 无 穷 小 .xxxx sin, 20时当例 如 都 是 无 穷 小0 0 )sin(lim xxx 020 xxx sinlim 05 20 xxlim 例 1、 求 下 列 极 限x xx sinlim.1 解 ： 因 为 x x 1lim =0, 而 1sin x即 sin x 有 界 ,由 无 穷 小 性 质 得原 式 =0 xexx coslim. 2 xx elim解 ： 0,cos 1x 原 式 = 0 二 、 无 穷 大 量 2xxlim 定 义 2 若 在 自 变 量 x 的 某 一 变 化 过 程 中 ， 函 数 f(x)的 绝 对 值 |f (x)|无 限 地 增 大 ， 则 称 函 数 )(xf 当0 xx (或 x )时 为 无 穷 大 量 ,简 称 无 穷 大 。 记作 ).)(lim()(lim0 xfxf xxx 或 即 绝 对 值 无 限 增 大 的 变 量 称 为 无 穷 大 . 224 1xxlim例 如 , 特 殊 情 形 ： 正 无 穷 大 ， 负 无 穷 大 )(lim()(lim )()( 00 xfxf x xxx xx 或注 意 （ 1） 无 穷 大 是 变 量 ,不 能 与 很 大 的 数 混 淆 ;（ 3） 无 穷 大 是 一 种 特 殊 的 无 界 变 量 ,但 是 无 界 变 量 未 必 是 无 穷 大 . ;)(lim 认 为 极 限 存 在） 切 勿 将（ xfxx 02如 ： 20 1xxlim )(lim 12xx )ln(lim 11 xx )ln(lim 1xx xxy 1sin1., 1sin1,0, 但 不 是 无 穷 大是 一 个 无 界 变 量时当例 如 xxyx ),3,2,1,0(22 1)1( kkxk取 ,22)( kxy k .)(, Mxyk k 充 分 大 时当 ),3,2,1,0(21)2( kkxk取 , kxk 充 分 大 时当 kkxy k 2sin2)(但 .0 M 不 是 无 穷 大 无 界 ， 三 、 无 穷 小 与 无 穷 大 的 关 系定 理 2 在 同 一 过 程 中 ,无 穷 大 的 倒 数为 无 穷 小 ;恒 不 为 零 的 无 穷 小 的 倒 数为 无 穷 大 .意 义 关 于 无 穷 大 的 讨 论 ,都 可 归结 为 关 于 无 穷 小 的 讨 论 . .lim 111 xx求例解 ： .)(lim 011 xx由 无 穷 小 与 无 穷 大 的 倒 数 关 系 得 )(lim 11 xx 四 、 无 穷 小 的 比 较例 如 , xxx 3lim 20 xxx sinlim0 220 1sinlim x xxx .1sin,sin,0 22 都 是 无 穷 小时当 xxxxxx 极 限 不 同 , 反 映 了 趋 向 于 零 的 “ 快 慢 ” 程 度 不同 . ;32 要 快 得 多比 xx ;sin 大 致 相 同与 xx 不 可 比 .,0 ,1 xx 1sinlim0 .不 存 在观察各极限型 ）（ 00 ；记 作 高 阶 的 无 穷 小是 比， 就 说如 果 )( ,0lim)1( o定 义 : .0, 且穷 小是 同 一 过 程 中 的 两 个 无设 ;,lim)( 是 同 阶 的 无 穷 小与就 说如 果 02 C; ;,1lim 记 作 是 等 价 的 无 穷 小与则 称如 果特 殊 地 ， ，03lim 20 xxx ，1sinlim0 xxx ;30 2 高 阶 的 无 穷 小是 比时 ，当 xxx ).0()3(2 xxox即 是 等 价 无 穷 小与时 ，当 xxx sin0 ).0(sin xxx即例 如 ， 例 1: .sintan,: 的 同 阶 无 穷 小是时当证 明 30 xxxx 解 30 sintanlim x xxx )cos1sincos1(lim 20 x xxxxx ,21 .sintan 的 同 阶 无 穷 小为 3xxx 2000 cos1limsinlimcos1lim x xxxx xxx 30 x xxxx sincossinlim 例 解 )1ln(lim1lim 00 uuxe uxx .1lim0 xexx 求 ,1 uex 令 ),1ln( ux 即 ,0,0 ux 有时则 当 uu u 10 )1ln( 1lim uu u 10 )1ln(lim 1 eln1 .1 .1),1ln(0 xexxxx 时 ，即 ， 当 常 用 等 价 无 穷 小 :,0时当 x 221cos1,1 )1ln(arctanarcsintansin xxex xxxxxx x 四 、 小 结1、 主 要 内 容 : 两 个 定 义 ;两 个 定 理 ;三 个 性 质 .2、 几 点 注 意 :无 穷 小 与 无 穷 大 是 相 对 于 过 程 而 言 的 .（ 1） 无 穷 小 （ 大 ） 是 变 量 ,不 能 与 很 小 （ 大 ） 的 数 混淆 ， 零 是 唯 一 的 无 穷 小 的 数 ；（ 2） 无 穷 多 个 无 穷 小 的 代 数 和 （ 乘 积 ） 未 必 是 无 穷 小 ；（ 3） 无 界 变 量 未 必 是 无 穷 大 . 思 考 题 若 0)( xf ， 且 Axfx )(lim ， 问 ： 能 否 保 证 有 0A 的 结 论 ？ 试 举 例 说 明 . 思 考 题 解 答不 能 保 证 .例 xxf 1)( ,0 x 有 01)( xxf )(lim xfx .01lim Axx P57:习 题 2-3 1, 2, 3