无穷级数习题课及练习题答案

一 重 点 与 难 点 1.无 穷 级 数 及 其 收 敛 、 发 散 的 概 念 ； 无 穷 级 数 的 基 本 性 质 及 收 敛 的 必 要 条 件 ； 正 项 级 数 的 比 较 审 敛 法 及 几 何 级 数 和 p-级 数 的 收 敛 性 ； 正 项 级 数 的 比 值 审 敛 法 和 根 值 审 敛 法 ； 交 错 级 数 的 莱 布 尼 茨 定 理 ， 级 数 绝 对 收 敛 和 条 件 收 敛 的概 念 和 判 别 方 法 。2.理 解 函 数 项 级 数 的 收 敛 域 与 和 函 数 的 概 念 ； 熟 练 掌 握 确 定 幂 级 数 收 敛 域 的 方 法 ； 会 求 简 单 的 幂 级 数 的 和 函 数 ； 3.函 数 可 展 为 幂 级 数 的 充 要 条 件 ； 掌 握 ex,sinx , cosx , ln(1+x) , (1+x) 的 麦 克 劳 林 展 开 式 会 用 间 接 法 把 函 数 展 开 成 幂 级 数 。5. 掌 握 傅 立 叶 级 数 的 收 敛 定 理 ， 熟 练 地 把 周 期 为 2 （ 或 2l )的 函 数 展 开 成 傅 立 叶 级 数 ； 掌 握 函 数 延 拓 思 想 ， 会 把 0,(或 0,l )上 的 函 数 展 开 成 正 弦 级 数 和 余 弦 级 数 ； 会 用 傅 立 叶 级 数 求 某 些 简 单 的 数 项 级 数 的 和 。4. 一 重 点 与 难 点 . ._, _),0(, 3 ._ . _)0( 2 ._ _ 1 120o 1o 1o 时 它 发 散时 它 收 敛 ； 当当 叫级 数 为若 正 项 级 数 发 散 ， 其 和序 列 有 界 项 和条 件 是 它 的 前收 敛 的正 项 级 数 要 条 件 是定 义 的 。 级 数 收 敛 的 必收 敛 还 是 发 散 ， 是 用级 数 aarararaar nuuu nn n nn n n n 充 要 几 何 |r| 1 P 1 比 较 法 比 值 法根 值 法 积 分 法 交 错 级 数),2,1( 1 nuu nn . 0lim nn u. u1 un+1 . ._ _,_ 10 _. _ 9 ._ ,1|lim 1lim 8 ._ ._ 7 11*o*o 1 11o 11o 且 新 级 数 的 和 为 ， 则 其 乘 积 是 新 级 数，两 个 绝 对 收 敛 级 数其 和 ， 且后 ， 新 级 数绝 对 收 敛 级 数 各 项 重 排则 级 数 或 者， 若 有对 级 数 条 件 收 敛 ， 是 指级 数 绝 对 收 敛 ， 是 指级 数 n nn nn n n nnnnnn nn nn n vsuu uuuuuu 收 敛若 | 1n nu , | 1 发 散若 n nu 收 敛而 1n nu必 定 发 散 仍 然 收 敛不 变 )()( 1121122111 vuvuvuvuvuvu nnns . . . . ._ _)(2) _;_ _._ _)1( 0 00 收 敛 区 间 的 方 法 是求 幂 级 数 是求 它 的 收 敛 区 间 的 方 法收 敛 半 径 的 方 法 是求 幂 级 数 n nnn nn xxa xa ,lim 1 nnn aa求 .先 求 出 R, 令 y = xx0, , 0n nnya 的 收 敛 区 间 .;1 ,0 R当 先 考 虑再 换 回 x 的 收 敛 区 间 。 2. 确 定 幂 级 数 收 敛 域 .0 , R当; ,0 R当 :R再 推 得 . . . . 再 考 虑 端 点 x= R处 的 敛 散 性 . 导 数 ， 则 在 该 邻 域 内的 某 邻 域 内 具 有 任 意 阶在设 0)( xxf . 3. 函 数 可 展 为 幂 级 数 的 充 要 条 件 2000000 00 )(!2 )()()()(! )( xxxfxxxfxfxxnxfn nn 称 )( : )( 的 泰 勒 公 式 中 的 余 项件 是可 展 为 幂 级 数 的 充 要 条 xfxf ).( 0)( nxRn 0 0 时 ， 称当 x ! )0(!2 )0()0()0( )(2 nn xnfxfxff0 ! )0(n nn xnf nn xxn xf )(! )( 00)( 为 函 数 f (x)的 泰 勒 级 数 。为 函 数 f (x)的 麦 克 劳 林 级 数 。 ),( x 1 ,1(x )1 ,1(x 1 121 )!12()1(n nn nx )!12()1( !5!3 12153 n xxxx nn 0 2)!2()1(n nn nx )!2()1( !4!21 242 nxxx nn 1 1)1(n nn nx nxxxx nn 132 )1( 32 nn xn n 1 ! )1( )2)(1(1 nxn nxx ! )1( )1( !2 )1(1 2 .0 !n nnx ! !21 2 nxxx n ),( xxe xsin xcos )ln(1 x )1( x ),( x . . . .4. 五 个 重 要 函 数 的 幂 级 数 展 开 式 ._ _,_ ,_ )( , (3) n nb a xf其 中 系 数是 ： 的 傅 氏 级 数 的 形 式上 满 足 狄 氏 条 件 的 函 数在 条 件 。 展 为 傅 氏 级 数 的上 满 足 狄 氏 条 件 是 它 可在 上 满 足 狄 氏 条 件 是 指在_ ,)( (2) ._ _,)( )1( xf xf f (x): 1o. 连 续 或 只 有有 限 个 第 一 类 间 断 点 ； 2o. 至 多 有 有 限 个 极 值 点 。充 分 10 )sincos(2 n nn nxbnxaa . ) ,2 ,1 ,0( dcos)(1 nxnxxf ),2 ,1 ( dsin)(1 nxnxxf . . 5.傅 立 叶 级 数 ._ ,_ _,_ )( , )4( n nb a xfll其 中 系 数的 形 式 是 ： 的 傅 氏 级 数上 满 足 狄 氏 条 件 的 函 数在 ._ ._ )( ,0 )5( nbxf其 中 系 数的 正 弦 级 数 的 形 式 是 ：上 函 数在 10 )sincos(2 n nn l xnbl xnaa ) ,2 ,1 ,0( dcos)(1 nxl xnxfl ll ) ,2 ,1 ( dsin)(1 nxl xnxfl ll . . .5.傅 立 叶 级 数1 sinn n nxb ) ,2 ,1 ( dsin)(2 0 nxnxxf . . ._ )( ,0 (8) ._ )( ,0 )7( ._ )( ,0 (6) nnnaxfl bxfl a xf 其 中 系 数的 余 弦 级 数 的 形 式 是 ：上 函 数在 其 中 系 数的 正 弦 级 数 的 形 式 是 ：上 函 数在 其 中 系 数 的 余 弦 级 数 的 形 式 是 ：函 数在 10 cos2 n n nxaa ) ,2 ,1 ,0( dcos)(2 0 nxnxxf 1 sinn n l xnb ) ,2 ,1 ( dsin)(2 0 nxl xnxfl l 10 cos2 n n l xnaa ) ,2 ,1 ,0( dcos)(2 0 nxl xnxfl l. . . . . . . 答 ： 如 果 仅 要 求 在 有 限 区 间 内 把 非 奇 函 数 展 开 成 正 弦 级 数 ， 是 可 以 的 。例 如 ： . ),0()( 上 展 开 成 正 弦 级 数在把 xf ),( 0( 新 函 数 在内 补 充 函 数 的 定 义 ， 使，可 以 在 这 就 是 奇 延 拓 。把 F(x)按 周 期 2延 拓 后 展 成 正 弦 级 数 . sin 1n n nxb则 当 x(0, )时 ， 这 就 是 f (x)的 正 弦 级 数 。. . 采 用 奇 延 拓 的 方 法 。 . . 0 ),( 0 ,0 0 ),()( xxf x xxfxF 即 ：成 奇 函 数 . (9) 奇 函 数 以 外 的 函 数 可 以 展 开 成 正 弦 级 数 吗 ？ ）（收 敛则收 敛若 ）（收 敛可 以则发 散发 散若 ）（发 散则发 散收 敛 ，若 ）（收 敛收 敛 ， 则若 ）（收 敛收 敛 ， 则若 ）（收 敛， 则 级 数若 ）（收 敛 ， 则若 级 数 ., 7 . )( , , 6 .)( , 5 .| 4 .| 3 .0lim 2 .0lim 1 1 21o 111o 111o 11 o 11o 1o 1o n nn n n nnn nn n n nnn nn n n nn n n nn n n nnn nnn n uu vuvu vuvu uu uu uu uu 一 判 断 是 非 （ 是 ： ； 非 ： , 后 者 请 举 反 例 .） 1 1 1)1(n n n .例 ： 练 习 题 解 答 ）（， 则 此 级 数 收 敛满 足若 正 项 级 数 ）（收 敛绝 对则收 敛收 敛若 ）（且 和 不 变收 敛则收 敛若 ）（收 敛 ）（收 敛必则发 散 ，若 ）（必 发 散则收 敛若 ）（收 敛则收 敛若 .1 14 ., , 13 ., , 12 . )0001.01( 11 .1 10 . 1, 9 ., 8 11o 11 21 2o 101o 1 2o 11o 11o 11 2o nnn n n nnn nn n n nn n n n nn n n nn n n nn n uuu baba uun uu u u uu . 例 ： 1 1n n 111 nnuu nn. 1 ),(. , ,)( 3 xsxxxf 函 数 为若 它 的 付 立 叶 级 数 的 和 _,)25( s则 ._) 3( s2 ._)6( _,)27( ),( 20)( 21 ,1 10 ,)( ssxs xfxxxxf 则为 弦 级 数 的 和 函 数的 余，在设， .82 .0 .21 1 .(正 )21( (0) .二 、 填 空 题 三 计 算 题1 ).0( 11 1 aan n 的 敛 散 性判 断 级 数:1 a当 , 111 nn aa 收 敛 ，因 级 数 1 1 n na . 原 级 数 收 敛:1 a当 :1 a当 .021111limlim nnn u . 原 级 数 发 散.0111limlim nnnn au . 原 级 数 发 散 . . . . .解 ： 2 . 1)sin( 1 2 的 敛 散 性判 断 级 数 n nnn, 1)sin( 22 nnn 因 为 收 敛 ，而 级 数 1 2 1 n n. )sin( 1 2 绝 对 收 敛 n nn发 散 ，而 1 1 n n . 原 级 数 发 散 . .解 ： 三 计 算 题 . )!1( 1 nonn n 时 ，当 用 级 数 理 论 证 明 ：，考 虑 级 数 ! 1n nnn nn nnu !)1( !)1(limlim 11 nnnnuu nnnnnn nn nn )1(lim 由 比 值 法 ： . ! 1 收 敛级 数 n nnn 由 收 敛 的 必 要 条 件 ： 0lim nn u0!lim nn nn即 ：. . . . 1e1 解 ： 3 . )!1( 1 nonn n 时 ，当 . tan)1( )1( ),2,0( . ) ,2,1( 0 1 21 1 的 敛 散 性级 数 判 断常 数收 敛， 且设 n nnn nn n nn annu ana 收 敛 ，级 数 1 n na . 1 2 收 敛级 数 n nannau n nnn tanlimlim 2 因 为 . 1 21 同 收 敛与 级 数级 数 n nn n au . )1( 1 收 敛绝 对级 数 n nnu. .解 ： 4. .) ( 2 的 子 列项 和 序 列是 前 者 前项 和 序 列后 者 前 nm snsm. （ 为 什 么 ？ ） . 2 1 1 数的 收 敛 域 ， 并 求 其 和 函求 级 数 n nnnx , 21lim 1 nnn aa R = 2解 ： 发 散 ，时 ，当 1 21 2 n nx .2)1( 2 1 1收 敛时 ，当 n nnx).2 ,2 x收 敛 域 ： 1 12)( n nnnxxS设 1 21 n nnnxx )21ln(1 xx 0 x 0 21 0 )21ln(1)( xxxxxS . . 展 开 式 4= （ 由 原 级 数 知 .） 5 . 1 )( )2( )( (1) 634)( 2 处 的 泰 勒 级 数在的 麦 克 劳 林 级 数 ；， 试 求 ：设 xxfxf xx xxf解 ： . . 2133)( xxxf 21 12131 1)( )1( xxxf 0 10 2)3( n nnn n xx nn nn x 0 121)31( )2 ,0(x. 1)1( 1)1(4 3)( )2( xxxf )1(1 1)1(411 143 xx 00 )1()1()41(43 n nn nn xx nn n n x )1(14 )1(30 1 )2 ,2(x . . . . 6 解 ： . ! )1)(1( )!1( 11 的 和的 和 函 数 ， 并 求求 幂 级 数 nn n nnnnnx ,01limlim 1 naa nnnn . R 1 )!1( )S( n nnnxx 0 1 !)1(n nn xn 0 !)1(n nn xnx 0 1 ! n nnxx )e( xxx e)1( xxx 1 ! )1)(1( n nnn 1 2 ! 1 n nn 11 !1)!1( nn nnn1)e1( xxxx )1|e( 1 xx = 2e (e 1 ) = e + 1 . . .展 开 式 1 . 7 ).45( . )( )( 2 ),( 2)( sxsxf xxf 并 求的 图 形级 数 的 和 函 数以 及级 数 ， 分 别 画 出 为 周 期 的 傅 立 叶上 展 成 以在将 函 数解 ： d21 0 xxa dcos21 xnxxan dsin21 nxxn = 0, dsin21 xnxxbn , )1( n n内 处 处 连 续 ，在因 为 ),()( xf ),( sin)1(2)( 1 xnxnxf n n n = 1, 2, n = 1, 2, . 8. dsin21sin21 xnxnnxxn ( ) ( ,) 2 2 5 ( ) ( ) . ( ). 4xf xf x s x s 将 函 数 在 上 展 成 以 为 周 期 的 傅 立 叶级 数 ， 分 别 画 出 以 及 级 数 的 和 函 数 的 图 形 并 求解 ： ),( sin)1(2)( 1 xnxnxf n n2 )0()0()( ffs又 ： 2和 函 数 s (x)的 图 形 如 下 ：函 数 f (x) 的 图 形 如 下 ： . . )45(s )43(s .8 .)43( fo xy 33 2f (x) .s (x) 8