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第 三 章中 值 定 理应 用 研 究 函 数 性 质 及 曲 线 性 态利 用 导 数 解 决 实 际 问 题罗 尔 中 值 定 理拉 格 朗 日 中 值 定 理柯 西 中 值 定 理 泰 勒 公 式 (第 三 节 )推 广微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 一 、 罗 尔 ( Rolle )定 理第 一 节 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 二 、 拉 格 朗 日 中 值 定 理 三 、 柯 西 (Cauchy)中 值 定 理 中 值 定 理 第 三 章 费 马 (fermat)引 理一 、 罗 尔 ( Rolle )定 理 ,)( 0 有 定 义在 x且 )( 0 xf 存 在,)()( 0 xfxf )( 或 0)( 0 xf证 : 设 ,)()(,)( 0000 xfxxfxxx 则 )( 0 xf x xfxxfx )()(lim 000 )0( x)( 0 xf )0( x)( 0 xf 00 0)( 0 xf xyo 0 x)(xfy 费 马 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 证 毕 罗 尔 （ Rolle ） 定 理)(xfy 满 足 :(1) 在 区 间 a , b 上 连 续(2) 在 区 间 (a , b) 内 可 导(3) f ( a ) = f ( b ) , 使 .0)( f xyo a b )(xfy 证 : ，上 连 续在因 ,)( baxf 故 在 a , b 上 取 得 最 大 值 M 和 最 小 值 m .若 M = m , 则 ,)( baxMxf 因 此 .0)(,),( fba在 ( a , b ) 内 至 少 存 在 一 点 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 若 M m , 则 M 和 m 中 至 少 有 一 个 与 端 点 值 不 等 ,不 妨 设 ,)(afM 则 至 少 存 在 一 点 ,),( ba 使,)( Mf .0)( f注 意 :1) 定 理 条 件 条 件 不 全 具 备 , 结 论 不 一 定 成 立 . 例 如 , 1,0 10,)( x xxxf x1yo则 由 费 马 引 理 得 1,1)( x xxf 1,0)( x xxf x1yo1 x1yo机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 使2) 定 理 条 件 只 是 充 分 的 . 本 定 理 可 推 广 为)(xfy 在 ( a , b ) 内 可 导 , 且 )(lim xfax )(lim xfbx 在 ( a , b ) 内 至 少 存 在 一 点 , .0)( f证 明 提 示 : 设证 F(x) 在 a , b 上 满 足 罗 尔 定 理 . )(xF axaf ,)( bxaxf ,)( bxbf ,)( 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 1. 证 明 方 程 0155 xx ,15)( 5 xxxf .3)1(,1)0( ff ,0)( 0 xf ,)1,0( 011 xxx )1(5)( 4 xxf ),1,0(,0 x 有 且 仅 有 一 个 小 于 1 的正 实 根 .证 : 1) 存 在 性 . 则 )(xf 在 0 , 1 连 续 , 且由 介 值 定 理 知 存 在 ,)1,0(0 x 使即 方 程 有 小 于 1 的 正 根 .0 x2) 唯 一 性 .假 设 另 有 ,0)( 1 xf使 在 以)(xf10, xx 为 端 点 的 区 间 满 足 罗 尔 定 理 条 件 , 之 间在 10, xx至 少 存 在 一 点 , .0)( f使但 矛 盾 , 故 假 设 不 真 !设 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 二 、 拉 格 朗 日 中 值 定 理 )( (1) 在 区 间 a , b 上 连 续)(xfy 满 足 :(2) 在 区 间 ( a , b ) 内 可 导至 少 存 在 一 点 ,),( ba 使 .)()()( ab afbff xyo a b )(xfy 思 路 : 利 用 逆 向 思 维 找 出 一 个 满 足 罗 尔 定 理 条 件 的 函 数作 辅 助 函 数显 然 , )(x 在 a , b 上 连 续 ,在 ( a , b ) 内 可 导 , 且证 : 问 题 转 化 为 证 )(x )(xf xab afbf )()()(a 由 罗 尔 定 理 知 至 少 存 在 一 点,),( ba ,0)( 使 即 定 理 结 论 成 立 .,)(bab bfaafb )()( 拉 氏 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 0)()()( ab afbff 证 毕 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 有 限 增 量 形 式 :推 论 : 若 函 数 在 区 间 I 上 满 足 ,0)( xf 则 )(xf在 I 上 必 为 常 数 . )(xf证 : 在 I 上 任 取 两 点 ,)(, 2121 xxxx 上 用 拉在 , 21 xx日 中 值 公 式 , 得 0)()( 12 xfxf )( 12 xxf )( 21 xx )()( 12 xfxf 由 的 任 意 性 知 , 21,xx )(xf 在 I 上 为 常 数 .)10()( 0 xxxfy , 00 xxbxa 令 则 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 2. 证 明 等 式 .1,1,2arccosarcsin xxx 证 : 设 ,arccosarcsin)( xxxf 上则 在 )1,1( )(xf由 推 论 可 知 Cxxxf arccosarcsin)( (常 数 ) 令 x = 0 , 得 .2C又 ,2)1( f 故 所 证 等 式 在 定 义 域 上 成 立 .1,1自 证 : ),( x,2cotarcarctan xx 211 x 211 x 0经 验 : 欲 证 Ix 时 ,)( 0Cxf 只 需 证 在 I 上 ,0)( xf,0 Ix 且 .)( 00 Cxf 使 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 3. 证 明 不 等 式证 : 设 ,)1ln()( ttf 上 满 足 拉 格 朗 日在则 ,0)( xtf中 值 定 理 条 件 ,即因 为故 .)0()1ln(1 xxxxx )0()( fxf )1ln( x xx 0,1 1 x xx1 x )0()1ln(1 xxxxx xxf 0,)0)(因 此 应 有 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 三 、 柯 西 (Cauchy)中 值 定 理 0)()()()( )()( fFaFbF afbf )(分 析 :)(xf 及(1) 在 闭 区 间 a , b 上 连 续(2) 在 开 区 间 ( a , b ) 内 可 导(3)在 开 区 间 ( a , b ) 内至 少 存 在 一 点 ,),( ba 使 .)( )()()( )()( FfaFbF afbf 满 足 :)(xF 0)( xF)()( aFbF )( abF ba 0要 证 )()()()( )()()( xfxFaFbF afbfx 柯 西 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 证 : 作 辅 助 函 数 )()()()( )()()( xfxFaFbF afbfx )()()( )()()()()( baFbF bFafaFbfa ,),(,)( 内 可 导在上 连 续在则 babax 且 ,),( ba 使 ,0)( 即由 罗 尔 定 理 知 , 至 少 存 在 一 点 .)( )()()( )()( FfaFbF afbf 思 考 : 柯 西 定 理 的 下 述 证 法 对 吗 ? ),(,)()()( baabfafbf ),(,)()()( baabFaFbF 两 个 不一 定 相 同错 ! 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 上 面 两 式 相 比 即 得 结 论 . 柯 西 定 理 的 几 何 意 义 : )( )()()( )()( FfaFbF afbf )(F)(aF )( )(tfy tFx )(af )(bF)(bf)( )(dd tF tfxy 注 意 : xyo弦 的 斜 率 切 线 斜 率 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )0()1( ff )0()1( FF 例 4. 设 ).0()1(2)( fff 2 )(01 )0()1( fff xx xf )( )(2,)( 2xxF ,)1,0(,1,0)( 内 可 导在上 连 续在xf至 少 存 在 一 点 ),1,0( 使证 : 结 论 可 变 形 为设 则 )(,)( xFxf 在 0, 1 上 满 足 柯 西 中 值定 理 条 件 , 因 此 在 ( 0 , 1 ) 内 至 少 存 在 一 点 , 使)(f )(F01 2即 )0()1(2)( fff 证 明机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 11 lncos1lnln 1lnsinlnsin ee ),1(,)( )()1()( )1()( eFfFeF fef 例 5. 试 证 至 少 存 在 一 点 ),1( e 使 .lncos1sin lncos1sin 证 : 法 1 用 柯 西 中 值 定 理 . xxFxxf ln)(,lnsin)( 则 f (x) , F(x) 在 1 , e 上 满 足 柯 西 中 值 定 理 条 件 , 令因 此 11 lncos lncos1sin即分 析 : 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 5. 试 证 至 少 存 在 一 点 ),1( e 使 .lncos1sin 法 2 令 xxf lnsin)( 则 f (x) 在 1 , e 上 满 足 罗 尔 中 值 定 理 条 件 ,),1( e 使0)( f xlncos )(xf 1sin x1lncos1sin 因 此 存 在 x1 xln1sin 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 内 容 小 结1. 微 分 中 值 定 理 的 条 件 、 结 论 及 关 系罗 尔 定 理 拉 格 朗 日 中 值 定 理柯 西 中 值 定 理)()( afbf xxF )( )()( afbf xxF )(2. 微 分 中 值 定 理 的 应 用(1) 证 明 恒 等 式(2) 证 明 不 等 式(3) 证 明 有 关 中 值 问 题 的 结 论 关 键 : 利 用 逆 向 思 维设 辅 助 函 数费 马 引 理 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 44 12 3412思 考 与 练 习1. 填 空 题1) 函 数 4)( xxf 在 区 间 1, 2 上 满 足 拉 格 朗 日 定 理条 件 , 则 中 值 ._2) 设有 个 根 , 它 们 分 别 在 区 间3 4153 0)( xf )4,3(,)2,1( ,)3,2( 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 上 . ,)4)(3)(2)(1()( xxxxxf 方 程 2. 设 ,0)( Cxf 且 在 ),0( 内 可 导 , 证 明 至 少 存在 一 点 ,),0( 使 .cot)()( ff 提 示 : 由 结 论 可 知 , 只 需 证 0cos)(sin)( ff即 0sin)( xxxf验 证 )(xF 在 ,0 上 满 足 罗 尔 定 理 条 件 .设 xxfxF sin)()( 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 3. 若 )(xf 可 导 , 试 证 在 其 两 个 零 点 间 一 定 有)()( xfxf 的 零 点 . 提 示 : 设 ,0)()( 2121 xxxfxf 欲 证 : ,),( 21 xx 使 0)()( ff只 要 证 0)()( ffe e亦 即 0)( xx xfe作 辅 助 函 数 ,)()( xfexF x 验 证 )(xF 在 , 21 xx 上 满 足罗 尔 定 理 条 件 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 4. 思 考 : 在 0,0 0,sin)( 12 xxxxf x,0 x ),0(,)0)()0()( xxffxf 即 xx 12sin 1sin2( ,)cos1 x ),0( xxx 111 sinsin2cos 当 ,00 x 时 .0cos1问 是 否 可 由 此 得 出 ?0coslim 10 xx不 能 ! 因 为 )(x 是 依 赖 于 x 的 一 个 特 殊 的 函 数 .因 此 由 上 式 得表 示 x 从 右 侧 以 任 意 方 式 趋 于 0 .0 x应 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得上 对 函 数 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )( 111 nnf 作 业P132 7, 8 , 10 , 12 , 14 , 15提 示 : xe xfx )()( 题 15. )( nxxf )0(f 0)0(f0题 14. 考 虑 第 二 节 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 费 马 (1601 1665)法 国 数 学 家 , 他 是 一 位 律 师 , 数 学只 是 他 的 业 余 爱 好 . 他 兴 趣 广 泛 , 博览 群 书 并 善 于 思 考 , 在 数 学 上 有 许 多重 大 贡 献 . 他 特 别 爱 好 数 论 , 他 提 出的 费 马 大 定 理 : ,2 无 整 数 解方 程时当 nnn zyxn 至 今 尚 未 得 到 普 遍 的 证 明 . 他 还 是 微 积 分 学 的 先 驱 ,费 马 引 理 是 后 人 从 他 研 究 最 大 值 与 最 小 值 的 方 法 中 提 炼 出 来 的 . 拉 格 朗 日 (1736 1813)法 国 数 学 家 .他 在 方 程 论 , 解 析 函 数 论 ,及 数 论 方 面 都 作 出 了 重 要 的 贡 献 , 近 百余 年 来 , 数 学 中 的 许 多 成 就 都 直 接 或 间接 地 溯 源 于 他 的 工 作 , 他 是 对 分 析 数 学 产 生 全 面 影 响 的 数 学 家 之 一 . 柯 西 (1789 1857)法 国 数 学 家 , 他 对 数 学 的 贡 献 主 要 集 中在 微 积 分 学 , 柯 西 全 集 共 有 27 卷 .其 中 最 重 要 的 的 是 为 巴 黎 综 合 学 校 编 写 的 分 析 教 程 , 无 穷 小 分 析 概 论 , 微 积分 在 几 何 上 的 应 用 等 , 有 思 想 有 创 建 , 响 广 泛 而 深 远 . 对 数 学 的 影他 是 经 典 分 析 的 奠 人 之 一 , 他 为 微 积 分所 奠 定 的 基 础 推 动 了 分 析 的 发 展 . 复 变 函 数 和 微 分 方 程 方 面 . 一 生 发 表 论 文 800余 篇 , 著 书 7 本 , 备 用 题求 证 存 在 ,)1,0( .0)()( ffn使1. 设 1,0 可 导 ， 且 ,0)1( f在 连 续 ， )1,0()(xf证 ： )()( xfxx n ,)1,0(因 此 至 少 存 在显 然 )(x 在 上 满 足 罗 尔 定 理 条 件 ,1,0 )(即 0)()( ffn设 辅 助 函 数 使 得 )()(1 ffn nn 0机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 0)0(,0)( fxf设 证 明 对 任 意 0,0 21 xx 有)()()( 2121 xfxfxxf 证 ： 210 xx )()()( 1221 xfxfxxf 12)( xf 0)( 121 fx )()()( 2121 xfxfxxf ,( 2122 xxx 2. 不 妨 设 )0()()()( 1221 fxfxfxxf )( 21 )0 11 x11)( xf 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束
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