平面连杆机构的运动分析

上 海 海 运 大 学 专 用 封 面机构分析与综合的解张纪元编著二 七 年 八 月 上 海 海 运 大 学 专 用 上海海事大学研究生重点课程机构分析与综合机构分析与综合的解张纪元编著人民交通出版社二 七 年 八 月 上 海 海 运 大 学 专 用 机 构 分 析 与 综 合 的 解第 一 章 平 面 连 杆 机 构 的 运 动 分 析 第 二 章 空 间 连 杆 机 构 的 运 动 分 析 第 三 章 机 械 手 的 位 姿 分 析 第 四 章 机 构 的 运 动 误 差 分 析 第 五 章 机 构 的 动 力 分 析 第 六 章 平 面 机 构 的 平 衡第 七 章 机 器 人 机 构 的 动 力 分 析 第 八 章 平 面 凸 轮 机 构 的 设 计 与 反 求 设 计 第 九 章 机 构 的 运 动 综 合 附 录 非 线 性 代 数 方 程 组 的 求 解 方 法 上 海 海 运 大 学 专 用 第 一 章 平 面 连 杆 机 构 的 运 动 分 析 1 1 坐 标 变 换 及 坐 标 变 换 矩 阵在 对 机 构 进 行 分 析 与 综 合 时 ， 需 要 用 到 各 种 各 样 的 坐 标 变换 。 本 节 概 述 各 种 常 用 的 坐 标 变 换 关 系 。一 、 共 原 点 笛 卡 儿 坐 标 系 间 的 旋 转 变 换1、 任 意 两 坐 标 系 间 的 旋 转 变 换 矩 阵如 图 1-1所 示 ， 和 为 两 共原 点 的 笛 卡 儿 坐 标 系 。 设 M点 在 两 坐 标系 的 坐 标 列 阵 分 别 为 和 若 以 、 和 表 示 坐 标 轴 、 和 （ l=1,2） 上 的 单 位 矢 量 ， 则 M点 的 向 径 可 表 示 为 ： 2 2 2O x y z1 1 1O x y z T1 1 1 1 , , x y zr 2 r T2 2 2 , , x y z li lj lklx ly lz r OM 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 x y z x y zr i j k i j k 图 1-1 上 海 海 运 大 学 专 用 分 别 以 、 和 点 乘 上 式 ， 则 可 得 ： 若 以 两 坐 标 轴 间 的 方 向 余 弦 表 示 上 式 中 相 应 的 两 单 位 矢 量 的 点 积 ，则 上 式 可 用 矩 阵 表 示 为 ： 1i 1j 1k 1 2 1 2 2 1 2 2 1 21 2 1 2 2 1 2 2 1 21 2 1 2 2 1 2 2 1 2x x y zy x y zz x y z i i i j i kj i j j j kk i k j k k1 21 2 1 2 1 21 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 21 2 cos( , ) cos( , ) cos( , )cos( , ) cos( , ) cos( , )cos( , ) cos( , ) cos( , )x xx x x y x zy x y y y zy yz x z y z zz z （ 1-1）上 式 可 简 记 为 ： 1 12 2 Cr r （ 1-2） 上 海 海 运 大 学 专 用 其 中 ， 代 表 式 （ 1-1） 中 的 （ 3 3） 矩 阵 ， 称 为 坐 标 系 到 坐 标 系 的 旋 转 变 换 矩 阵 。 由 、 和 （ l=1,2）为 互 相 正 交 的 单 位 矢 量 及 方 向 余 弦 的 定 义 ， 易 知 旋 转 变换 矩 阵 为 一 正 交 矩 阵 。 因 此 ， 坐 标 系 到 坐 标 系 的 旋 转 变 换 矩 阵 。 即 ： （ 1-3）2、 绕 坐 标 轴 的 旋 转 变 换 矩 阵1） 绕 x轴 的 旋 转 变 换 矩 阵如 图 1-2所 示 ， 设 坐 标 系 是 将 坐 标 系 绕 x轴 旋 转 角而 得 ， 即 对 着 x轴 的 正 向 看 ， 将 平 面 沿 逆 时 针 方 向 绕 x轴 旋转 角 ， 得 平 面 。 根 据 式 （ 1-2） ， 易 知12C 12C 2 2 2o x y z1 1 1o xyz li lj lk12C 1 1 1o xyz 2 2 2o x y z1 T2 21 1 12 1 12 1 C C C r r r rO xyz O xyz yOzyOz ( , ) Rot x r r式 中 ， 和 分 别 是 任 一 点 M在 坐 标 系 和 坐 标 系 中 的 坐 标 列 阵 ， 为 绕 x轴 转 角 后 从 新 坐 标 系 到 老 坐 标 系 的 旋 转 变 换 矩 阵 ， 其 表 达 式 为 ： r r O xyz O xyz ( , )Rot x O xyz O xyz 上 海 海 运 大 学 专 用 2） 绕 y轴 的 旋 转 变 换 矩 阵如 图 1-3所 示 ， 若 将 坐 标 系 绕 其 y轴 旋 转 角 ，得 新 坐 标 系 ， 仿 上 可 得 绕 y轴 转 角 后 ， 从新 坐 标 系 到 老 坐 标 系 的 旋 转 变 换 矩阵 ， 其 表 达 式 为O xyz1 0 0( , ) 0 cos sin0 sin cosRot x （ 1-4） 图 1-2图 1-3O xyz O xyz O xyz ,R y cos 0 sin, 0 1 0sin 0 cosRot y , Rot y r r （ 1-5） 上 海 海 运 大 学 专 用 3） 绕 z轴 的 旋 转 变 换 矩 阵如 图 1-4所 示 ， 若 将 坐 标 系 绕 其 z轴 旋 转 角 ， 得 新 坐 标系 ， 则 新 坐 标 系 到 老 坐 标 系 的 旋 转 变 换矩 阵 为 O xyz O xyz O xyz O xyz cos sin 0( , ) sin cos 00 0 1Rot z (1-6) , Rot z r r 图 1-4 图 1-53、 以 欧 拉 角 表 示 的 旋 转 变 换 矩 阵如 图 1-5所 示 ， 设 坐 标 平 面 与 的 交 线 （ 即节 线 ） 为 ON。 对 着 轴 正 向 看 ， 在 平 面 内 轴 沿 逆 时 针 方 向 转 到 与 节 线 ON重 合 时 的 角 度 称 为进 动 角 ； 对 着 节 线 ON的 正 向 看 ， 在 平 面 内 轴 沿 逆 时 针 方 向 转 到 与 轴 重 合 时 的 角 度 称为 章 动 角 ； 对 着 轴 正 向 看 ， 在 平 面 内 节 线 1 1xOy 2 2xOy1 1xOy 1Ox1 2zOz1Oz 2Oz 2z 2 2xOy 上 海 海 运 大 学 专 用 ON沿 逆 时 针 方 向 转 到 与 轴 重 合 时 的 角 度 称 为 自 转 角 。 、 和 统 称 为 坐 标 系 对 坐 标 系 的 三 个 欧 拉 角 。 将 坐标 系 依 次 作 三 个 运 动 ： 绕 轴 转 角 、 绕 节 ON线 转 角和 绕 轴 转 角 即 得 坐 标 系 。 因 此 ， 可 得 欧 拉 角 表 示的 旋 转 变 换 矩 阵 的 表 达 式 为其 中 ， 中 的 各 元 素 为 ： 2Ox 2 2 2O x y z 1 1 1O xyz1 1 1O xyz 1z 2z 2 2 2O x y z12C 12 1 2, , ,C Rot z Rot ON Rot z cos sin 0 1 0 0 cos sin 0sin cos 0 0 cos sin sin cos 0 0 0 1 0 sin cos 0 0 1 ijc （ 1-7）12C 1112 13212223313233 cos cos sin cos sincos sin sin cos cossin sinsin cos cos cos sinsin sin cos cos coscos sinsin sinsin coscosccccccccc （ 1-8） 上 海 海 运 大 学 专 用 根 据 上 式 ， 若 已 知 欧 拉 角 、 和 ， 则 可 求 得 旋 转 变 换 矩 阵 ； 若 已知 ， 则 可 进 一 步 求 得 坐 标 系 对 坐 标 系 的 三 个 欧 拉 角 、 和 。应 当 指 出 的 是 ： 由 于 一 个 矢 量 有 其 起 点 和 终 点 ， 因 此 一 个 矢 量 的 坐标 表 达 式 仅 与 坐 标 轴 的 方 向 有 关 ， 而 与 坐 标 系 的 原 点 无 关 。 也 即 ：矢 量 的 坐 标 变 换 ， 只 需 用 到 旋 转 变 换 矩 阵 。 12C12C 12C 2 2 2O x y z 1 1 1O xyz 二 、 不 共 原 点 笛 卡 儿 坐 标 系 间 的 坐 标 变 换如 图 1 6所 示 ， 设 M点 在 坐 标 系 和 中 的 坐 标 列 阵 分 别 为 和 ， 原 点 在 坐 标 系 中 的 坐 标 列 阵 为 ， 坐 标 系 到 坐 标系 的 旋 转 变 换 矩 阵 为 ； 若 以 为 原点 ， 引 进 与 平 行 的 坐 标 系 ； 则M点 在 坐 标 系 中 的 坐 标 列 阵 为 因 ， 故 得 ： 图 1-61 1 1 1O xyz 2 2 2 2O x y z1 r 2 r 2O 1 1 1 1O xyz2 Or 2 2 2 2O x y z1 1 1 1O xyz 12C 2O 1 1 1 1O xyz 2 1 1 1O xyz 2 1 1 1O xyz 1 12 2 C r r1 2 1 2OM OM OO 21 12 2 OC r r r （ 1-9） 上 海 海 运 大 学 专 用 例 1.1 图 1 7所 示 的 楔 块 为 一 五 面 体 ， 其 6个 顶 点 在 与 楔 块 相固 联 的 坐 标 系 中 的 坐 标 如 图 所 示 。 在 楔 块 未 运 动 时 ， 楔 块 坐标 系 与 固 定 坐 标 系 相 重 合 。 若 将 楔 块 先 绕 轴 转 ，然 后 再 绕 轴 转 ， 最 后 沿 轴 正 向 平 移 4个 单 位 。 求 经 上 述 3个 运动 后 ， 楔 块 6个 顶 点 在 固 定 坐 标 系 中 的 坐 标 。1 6A AO xyzO xyz 0 0 0 0O x y z 0z90 0y 90 0 x1 6A A 0 0 0 0O x y z解 ： 经 2个 转 动 后 的 楔 块 坐 标 系 的 位 置 分 别 记 为 和 ， 则 由 式 （ 1 6） 和 式 （ 1 4） 知 ， 相 邻 两 坐 标 系 间 的旋 转 变 换 矩 阵 分 别 为 ： O xyz 1 1 1O xyz2 2 2O x y z 图 1-7 上 海 海 运 大 学 专 用 01 0 12 10 1 0 1 0 0( ,90 ) 1 0 0 , ( ,90 ) 0 0 10 0 1 0 1 0C Rot z C Rot x 000 40 1 0 1 0 0 41 0 0 0 0 1 00 0 1 0 1 0 0 zx xy y xz yz 楔 块 沿 （ 即 ） 轴 正 向 平 移 4个 单 位 后 ， 原 点 在 固 定 坐 标 系 中 的 坐 标 为 。 因 此 由 式 （ 1 9） 知 ， 经 3个 运 动 后 的 楔块 坐 标 系 到 固 定 坐 标 系 的 坐 标 变 换 矩 阵 为 ： 即0 x 2z O 0 0 0 0O x y z 0 4,0,0 TOrO xyz 0 0 0 0O x y z 01 120 2 0C C Or r r以 楔 块 6个 顶 点 在 楔 块 坐 标 系 中 的 坐 标 代 入 上 式 ， 即 得所 求 ： 1 6A A O xyz 1 2 3 4 5 6 4 4 6 6 4 4, , , , , 1 1 1 1 1 10 0 0 0 4 4A A A A A A 上 海 海 运 大 学 专 用 三 、 齐 次 坐 标 及 其 变 换1、 齐 次 坐 标不 同 时 为 零 的 任 意 四 个 数 称 为 三 维 空 间 点 的 齐 次 坐 标 。一 个 点 的 齐 次 坐 标 与 该 点 的 直 角 坐 标 间 的 关 系 为 ：T1 2 3 4 , , , x x x xT1 2 3 4 , , , x x x x T , , x y z1 42 4 43 4 0 x x xy x x xz x x （ 1-10）关 于 齐 次 坐 标 ， 下 面 几 点 值 得 注 意 ：1） 齐 次 坐 标 不 是 单 值 的 。 只 要 ， 齐 次 坐 标 和 均 表 示 三 维 空 间 中 的 同 一 个 点 。2） 只 有 当 时 ， 齐 次 坐 标 才 能 确 定 三 维 空 间 中 的 一 个 点 。3） 原 点 的 齐 次 坐 标 为 ； 而 、 和 分 别 表 示 Ox轴 、 Oy轴 和 Oz轴 上 的 无 穷 远 点 ， 也 即 表 示 Ox轴 、 Oy轴 和 Oz轴 。 4） 为 简 便 起 见 ， 在 机 构 学 中 ， 一 个 点 的 齐 次 坐 标 的 第 4个 分 量 特 取 为 ，于 是 点 的 齐 次 坐 标 为 。5） 一 个 矢 量 的 齐 次 坐 标 的 第 4个 分 量 为 ； 即 三 维 矢 量 的 齐 次 坐 标为 。 这 是 因 为 一 个 矢 量 的 齐 次 坐 标 是 其 终 点 和 起 点 的 齐 次 坐 标 之 差 的原 因 。 0 T1 2 3 4 , , , x x x x T1 2 3 4 , , , x x x x4 0 x T1 2 3 4 , , , x x x xT40,0,0, 0 x T1 0,0,0,0 x T20, 0,0,0 x T30,0, 0,0 x 4 1x T , , x y z T , , ,1x y z 4 0 x T , , x y zT , , ,0 x y z 上 海 海 运 大 学 专 用 2、 齐 次 坐 标 变 换 矩 阵参 见 图 1-6， 若 记 M点 在 坐 标 系 和 中 的 齐 次 坐 标 分别 为 和 ， 则 根 据 式 （ 1-9） 可 得 ：式 中 ， 1 1 1 1O xyz11 r 21 r 12 2 121 2 2 1 1 1 1oC T r r r r012 212 1oCT r0称 为 坐 标 系 到 坐 标 系 的 齐 次 坐 标 变 换 矩 阵 。 为 一 个 （ 4 4） 非 奇 异 矩 阵 。 其 （ 3 3） 的 主 子 矩 阵 为 式（ 1-1） 中 的 旋 转 变 换 矩 阵 ， 而 第 4列 实 为 原 点 对 坐 标 系 的 齐 次 坐 标 列 阵 。2 2 2 2O x y z 1 1 1 1O xyz12T 12C 2O1 1 1 1O xyz （ 1 11） （ 1-12） 上 海 海 运 大 学 专 用 易 知 ， 坐 标 系 到 坐 标 系 的 齐 次 坐 标 变 换矩 阵 为即 ： 1 1 1 1O xyz3、 D-H矩 阵在 空 间 机 构 的 分 析 与 综 合 中 ， 广 泛 地 应 用 着 一 种 特 殊 的 齐 次 坐 标 变换 矩 阵 ， 即 D-H矩 阵 。 图 1-8所 示 的 二 个 坐 标 系 的 配 置 特 点 是 ： 轴是 轴 和 轴 的 公 垂 线 ， 和 是 二 个 垂 足 。 为 表 达 两 坐 标 系 间 的 齐次 坐 标 变 换 关 系 ， 需 用 到 4个 参 数 ： 、 、 和 。 它 们 的 含 意 为 ：2 2 2 2O x y zT T1 12 12 221 12 - 1 oC CT T r0212 11 1T r r （ 1-13）（ 1-14） 图 1-8 jx iz jz io jo id ji jh ji 上 海 海 运 大 学 专 用 轴 到 轴 的 有 向 距 离 ， ； 当 有 向 线 段 的 方 向 与 轴 正 向 相 同 时 ， 为 正 值 ； 反 之 ， 为 负 值 ；id ix jx i i id OO i iOO izid id 轴 到 轴 的 有 向 夹 角 ； 即 对 着 轴 正 向 看 ， 轴 绕 轴 沿 逆 时针 方 向 转 到 与 轴 平 行 时 的 角 度 ； 轴 到 轴 的 有 向 距 离 ， ； 当 有 向 线 段 的 方 向 与 轴正 向 相 同 时 ， 为 正 值 ； 反 之 ， 为 负 值 ； 轴 到 轴 的 有 向 夹 角 ； 即 对 着 轴 正 向 看 ， 轴 绕 轴 沿 逆 时 针方 向 转 到 与 轴 平 行 时 的 角 度 。在 上 述 4个 参 数 中 ， 和 描 述 了 异 面 轴 线 和 的 几 何 关 系 ， 而 和 则 描 述 了 异 面 轴 线 和 的 几 何 关 系 。 根 据 4个 参 数 的 定 义 ，坐 标 系 （ 轴 略 画 ， 由 右 手 法 则 定 ， 下 同 ） 可 视 作 坐 标 系 经 二 个 螺 旋 运 动 所 得 。 一 个 是 轴 沿 轴 的 螺 旋 运 动（ ， ） ； 另 一 个 是 轴 沿 轴 的 螺 旋 运 动 （ ， ） 。 因 此 ， 坐 标系 到 坐 标 系 的 齐 次 坐 标 变 换 矩 阵 为ji ix iz ix izjxjh izix jz j i jh OO i jOO jxjh jhji ji iz jz jx izjz id ji ix jx jhji iz jzj j j jO x y z jyi i i iO xyz ix iz iz ji iz jx jh jij j j jO x y z i i i iO xyz , , 11 jii ji j jiij OORot z Rot xT r r00 上 海 海 运 大 学 专 用 cos sin 0 0 1 0 0sin cos 0 0 0 cos sin 00 0 1 0 sin cos 00 0 0 1 0 0 0 1ji ji jji ji ji jii ji ji hd 展 开 上 式 ， 可 得 ： cos sin cos sin sin cossin cos cos cos sin sin, , , 0 sin cos0 0 0 1ji ji ji ji ji j jiji ji ji ji ji j jiij ij i ji j ji ji ji ihhT T d h d 1jij OC r0 (1-15)式 中 ， 是 中 的 （ 3 3） 主 子 矩 阵 ， 也 即 j坐 标 系 到 i坐 标 系 的 旋转 变 换 矩 阵 ； 而 为 原 点 在 i坐 标 系 中 的 坐 标 列 阵 。 ijC ijT jOr jO ,ij ij ij ijC C cos sin cos sin sinsin cos cos cos sin0 sin cosji ji ji ji jiji ji ji ji jiji ji (1-16) 上 海 海 运 大 学 专 用 由 式 （ 1-13） 易 知 ， i 坐 标 系 到 j 坐 标 系 的 齐 次 坐 标 变 换矩 阵 (D-H矩 阵 )为 ： 1, , ,ji ji i ji j ji ijT T d h T cos sin 0sin cos cos cos sin sinsin sin cos sin cos cos0 0 0 1ji ji jji ji ji ji ji i jiji ji ji ji ji i jihdd (1-17)四 、 刚 体 作 空 间 运 动 时 的 位 移 矩 阵在 进 行 空 间 机 构 的 刚 体 导 引 综 合 时 ， 必 然 要 涉 及 到 刚 体 空 间 位置 间 的 位 移 描 述 。 如 图 1-9所 示 ， 当 刚 体 从 位 置 1运 动 到 位 置 j时 ， 刚 体 上 的 两 点 P和 Q分 别 从 P1、 Q1运 动 到 Pj、 Qj位 置 。 设 为 固 定 参 考 系 （ 简 称 为 0坐 标 系 ） ， 与 刚 体 相 固 联 的某 一 动 坐 标 系 在 位 置 1时 处 于 位 置 （ 简 称 为 1坐 标 系 ） ；在 位 置 j时 处 于 位 置 （ 简 称 为 j坐 标 系 ） ； 并 设 1坐 标 系 和 0坐 标 系 平 行 。 若 以 表 示 j坐 标 系 到 i坐 标 系 的 旋 转 变 换 矩阵 ， 为 正 交 矩 阵 ， 其 中 ， C01=C10=I（ 单 位 矩 阵 ） ； O xyz 1 1 1 1P xyzj j j jP x y z ijCijC 上 海 海 运 大 学 专 用 以 和 表 示 点 和 在 k坐 标 系 中 的 坐标 列 阵 ， 因 ， 于 是 有 ： i kp i kq 1 0,1,i j k j ， ； iP iQj j j jOQ OP PQ uuuur uuur uuuur 00 00 001 1 1j j j jj jj j j j j j j jp qC C p q C p q q pp puuuuruuuur uuuur根 据 刚 体 的 性 质 知 ： 代 入 上 式 ， 可 得 ： 1 0 0 0 01 1 10 1 1 1 1 1 1jj jp q pq C pq pq q puuuur uuur uuur uuur 0 0 0 01 1 1j j jC q p q p (1-18)若 以 齐 次 坐 标 表 示 上 式 ， 则 得 ： 0 00 0 0 1 1 1 1 111 1 11j j jj jC C T p pq q q0 (1-19)其 中 ， 0 01 1 11 1j j jj C CT p p0 (1-20) 图 1-9 上 海 海 运 大 学 专 用 称 为 刚 体 从 位 置 1移 动 到 位 置 j的 位 移 矩 阵 。 此 处 ， 并 不 表示 1坐 标 系 到 j坐 标 系 的 D H矩 阵 。 而 是 在 已 知 、 、和 j坐 标 系 到 1坐 标 系 的 旋 转 变 换 矩 阵 的 条 件 下 ， 根 据 式（ 1-19） 可 计 算 得 刚 体 内 任 一 点 Q运 动 到 j位 置 时 的 位 置 坐 标列 阵 。 1jT 01q (0)1p 0j p1jC 0j q五 、 绕 任 意 轴 转 动 的 坐 标 变 换 矩 阵如 图 1-10所 示 ， 当 一 矢 量 绕 轴 转 角 后 ， 到 达 位 置 ； 其 中 ，为 转 轴 上 的 单 位 矢 量 ， 为 对 着 的 正 向 看 ， 绕 沿 逆 时 针 方 向转 过 的 角 度 ； 现 求 的 表 达 式 。若 分 别 以 ， 和 为 坐 标 轴 正 向 ， 建 立 图 示 的 坐 标系 ， 并 设 的 模 为 r， 和 的 夹 角 为 ， 则 、 和 轴上 的 各 单 位 矢 量 分 别 为 ： r r r r( ) r r 0 0 0O x y z r r 0 x 0y 0z sin sinr r r r r r r i r sinr r rj r k 图 1 10 上 海 海 运 大 学 专 用 易 知 ， 在 坐 标 系 中 的 坐 标 为 r 0 0 0O x y z Tsin cos ,sin sin ,cosr 于 是 ， (sin cos sin sin cos )r r i j k将 i、 j和 k的 表 达 式 代 入 上 式 ， 整 理 可 得 ： cos 1 cos sin r r r r (1-21)上 式 是 关 于 、 和 的 矢 量 表 达 式 。 为 求 的 坐 标 表 达 式 ，设 在 某 个 坐 标 系 中 ， 的 坐 标 列 阵 为 ， 单 位 矢 量 的 坐标 列 阵 为 ， 则 由 式 （ 1-21） 可 得 的 坐 标 列 阵 为 r r rr T , , x y zr T , , x y z rT , , x y z r T cos 1 cos sin E r r r r r (1-22)式 中 ， 是 坐 标 的 反 对 称 矩 阵 ， 为 转 动 坐 标 变 换 矩 阵 ； r r E 0 0 0z yz xy x r （ 1-23） 上 海 海 运 大 学 专 用 展 开 式 （ 1-22） ， 可 得 的 三 个 坐 标 分 别 为r 2 2 2cos 1 cos 1 cos sin 1 cos sin1 cos sin cos 1 cos 1 cos sin1 cos sin 1 cos sin cos 1 cosx x y z x z yx y z y y z xx z y y z x zx x y zy x y zz x y z （ 1-24）比 较 式 （ 1-22） 和 式 （ 1-24） ， 易 知 转 动 坐 标 变 换 矩 阵 为 Tcos 1 cos sinE I 2 2 2cos 1 cos 1 cos sin 1 cos sin1 cos sin cos 1 cos 1 cos sin1 cos sin 1 cos sin cos 1 cosx x y z x z yx y z y y z xx z y y z x z （ 1-25）从 式 （ 1-22） 知 ， 只 要 将 一 个 矢 量 转 动 前 的 坐 标 列 阵 左 乘 转 动坐 标 变 换 矩 阵 后 ， 即 得 转 动 后 的 矢 量 在 同 一 坐 标 系 中 的 坐 标列 阵 。 rE r 上 海 海 运 大 学 专 用 1 2 封 闭 向 量 多 边 形 法平 面 机 构 运 动 分 析 的 解 析 方 法 有 封 闭 向 量 多 边 形 法 、 复 数 法 和矩 阵 法 等 ， 但 最 常 用 的 方 法 是 封 闭 向 量 多 边 形 法 和 复 数 法 。 本节 重 点 介 绍 封 闭 向 量 多 边 形 法 。平 面 机 构 在 其 任 一 确 定 的 运 动 位 置 ， 其 构 形 为 一 封 闭 的 平 面 几何 图 形 。 在 排 除 了 虚 约 束 和 局 部 自 由 度 后 ， 根 据 独 立 封 闭 形 建立 的 位 置 方 程 个 数 恰 好 等 于 平 面 机 构 中 待 定 的 位 置 变 量 个 数 ，求 解 机 构 的 位 置 方 程 组 ， 可 得 从 动 件 的 位 置 ， 进 而 可 进 行 速 度和 加 速 度 分 析 。 这 就 是 平 面 机 构 运 动 分 析 的 基 本 原 理 。一 、 独 立 封 闭 形 个 数在 根 据 机 构 示 意 图 选 出 的 k个 封 闭 形 中 ， 若 k=1， 则 该 封 闭 形 是独 立 的 ； 若 k=2， 如 果 在 第 2个 封 闭 形 中 ， 出 现 第 1个 封 闭 形 中 未出 现 的 新 构 件 ， 则 称 此 2个 封 闭 形 是 相 互 独 立 的 ； 否 则 ,独 立 封闭 形 个 数 仍 为 1； 一 般 地 ， 设 已 得 i个 独 立 封 闭 形 ， 如 果 在 一 个 未 经 判 断 的 封 闭 形 中 ， 出 现 前 i个 独 立 封 闭 形 中 未 出 现 的 新 构 件 上 海 海 运 大 学 专 用 则 此 i 1个 封 闭 形 为 互 相 独 立 的 封 闭 形 ； 由 此 可 在 个 封 闭 形 中 挑选 出 机 构 的 一 组 独 立 封 闭 形 。 设 其 包 含 的 独 立 封 闭 形 个 数 为 l， 则根 据 图 论 中 的 欧 拉 公 式 可 知1l p N （ 1-26）式 中 ， p为 机 构 的 运 动 副 个 数 ， N为 机 构 中 的 构 件 总 数 。二 、 用 封 闭 向 量 多 边 形 法 建 立 机 构 的 位 置 方 程 组封 闭 向 量 多 边 形 法 建 立 平 面 机 构 位 置 方 程 组 的 主 要 步 骤 如 下 ：1） 取 定 与 机 架 固 联 的 直 角 坐 标 系 （ 一 般 只 画 x轴 ， y轴 由 右 手 法 则定 ） ； 用 矢 量 代 表 构 件 或 封 闭 形 的 边 （ 若 构 件 为 连 架 杆 ， 则 其 代 表矢 量 起 自 机 架 ） ； 标 注 各 矢 量 的 位 置 角 （ 为 x轴 正 向 沿 逆 时 针 方 向转 到 与 该 矢 量 指 向 相 一 致 时 的 角 度 ） ；2） 针 对 每 个 独 立 封 闭 形 ， 写 出 l个 矢 量 封 闭 方 程 ；3） 将 每 个 矢 量 封 闭 方 程 向 x轴 和 y轴 投 影 ， 可 得 由 2l个 方 程 组 成 的 机 构 位 置 方 程 组 。 上 海 海 运 大 学 专 用 三 、 机 构 位 置 方 程 组 的 求 解1、 三 角 函 数 的 有 理 化机 构 的 位 置 方 程 组 是 一 非 线 性 代 数 方 程 组 。 其 解 法 有 牛 顿 迭 代法 、 区 间 分 析 法 、 同 伦 法 和 消 元 法 等 。 机 构 位 置 方 程 组 中 含 有三 角 函 数 ， 为 将 其 化 成 多 项 式 方 程 组 ， 以 便 用 区 间 分 析 法 、 同伦 法 或 消 元 法 求 解 ， 必 须 对 三 角 函 数 有 理 化 。 三 角 函 数 有 理 化的 方 法 主 要 有 以 下 二 种 ：1） 半 角 正 切 法令 ， 则tan 2iix 22 21cos 12sin 1 ii iii ixxxx (1-20)因 为 ， 故 在 对 、 替 代 后 ， 可 消 去 分 母 ， 从 而把 机 构 位 置 方 程 组 化 成 一 个 多 项 式 方 程 组 。 半 角 正 切 法 不 增 加 变量 个 数 ， 但 所 得 多 项 式 方 程 组 复 杂 ， 且 容 易 引 起 增 根 。21 0ix cos i sin i 21 ix 上 海 海 运 大 学 专 用 2） 补 充 方 程 法令 ， （ 为 第 j个 角 变 量 ） ， 再 补 充 一 个 方程 ： cosk ix sinn j ix i2 2 1 0k n jx x (1-28)故 在 对 机 构 位 置 方 程 组 中 的 、 替 代 后 ， 连 同 补 充 方 程一 起 构 成 一 个 多 项 式 方 程 组 。 补 充 方 程 法 需 增 加 变 量 个 数 ， 但所 得 多 项 式 方 程 组 较 简 单 ， 而 且 不 易 引 起 增 根 。 实 算 表 明 ， 补充 方 程 法 更 易 成 功 。2、 三 角 方 程 的 求 解求 解 机 构 位 置 方 程 组 时 ， 常 需 求 解 下 列 三 角 方 程 ：cos i sin icos sin 0u v w (1-29)此 时 ， 可 用 半 角 正 切 法 求 解 。 令 ， 并 将 式 （ 1-27）代 入 方 程 （ 1-29） ， 消 去 分 母 ， 整 理 可 得 ： tan2x 21 x2( ) 2 0w u x vx w u 上 海 海 运 大 学 专 用 其 解 为 2 2 2v u v wx w u (1-30)式 中 的 “ ” 号 应 根 据 机 构 的 装 配 构 形 确 定 。在 求 得 x后 ， 可 由 下 式 确 定 ： 22tan 1 xx (1-31)需 注 意 的 是 ： 的 值 应 根 据 点 所 在 象 限 定 。 在FORTRAN语 言 或 C语 言 中 ， 可 调 用 内 部 函 数 确 定 2(1 ,2 )x x22(2 ,1 )ATAN x x 四 、 平 面 连 杆 机 构 的 速 度 和 加 速 度 分 析1、 速 度 分 析设 平 面 机 构 的 位 置 方 程 组 为 ; 0f q x (1-32) 上 海 海 运 大 学 专 用 式 中 ， 为 n维 向 量 值 函 数 ， 表 示 n个 待 定 的 位 置 变 量 ， 是 F个 输 入 运 动 参 数 (即 已 知的 原 动 件 位 置 量 )。将 机 构 位 置 方 程 组 （ 1-32） 对 时 间 t求 导 ， 并 注 意 原 动 件 位 置 可 得 ： 1; ; , , ; Tnf f f q x q x q x 1, , Tnx x x 1, , TFq q q tq q1 1 0, 1, ,n Fi ij kj kj kf fx q i nx q (1-33)上 式 可 用 矩 阵 表 示 为 ： J v b (1-34)式 中 ， 的 对 的 雅 可 比 矩 阵 ； ;J J q x n n f x1, , Tnx x v x 的 未 知 的 从 动 件 速 度 列 阵 ； 1n ； 的 系 数 矩 阵 ； E b q / i kE f q n F1, , TFq q q 的 已 知 的 原 动 件 速 度 列 阵 。 1F 上 海 海 运 大 学 专 用 1 111; nn nnf fx xJ J f fx x fxq x LM ML (1-35) 1 111; Fn nFf fq qE E f fq q q x LM ML (1-36)当 F=1时 ， ， 式 （ 1-34） 成 为 ：1q q 1/ , , / TnJ f q f q q v , , ) 0 1, ,( ; ; , , ) 0i nl nf x x i nx x x qq q L L ) 0 1, , ,( ; , , ) 0l li nf q x i ni lf q x x LL （ 1 39） 其 中 ， 为 作 往 复 运 动 从 动 件 的 位 置 变 量 ， 则 该 机 构 处 于 极 限位 置 的 一 个 必 要 条 件 为 ： lx( ; ) 0l lf q xq （ 1 40） 上 海 海 运 大 学 专 用 事 实 上 ， 若 以 t代 表 时 间 ， ， 由 定 理 1 1知， 而 ， 故 必 须 。 0l l l lldf f fq xdt q x 0lx 0q ( ; ) 0l lf q xq 根 据 推 论 1 1， 可 先 求 解 二 元 方 程 组 ： ( ; ) 0( ; ) 0l ll lf q xf q xq （ 1 41）确 定 单 自 由 度 机 构 处 于 极 限 位 置 时 的 作 往 复 运 动 从 动 件 和 原 动 件的 位 置 和 q； 进 而 确 定 其 他 n-1个 从 动 件 的 位 置 。 若 方 程 组 （ 141） 无 解 ， 则 说 明 该 机 构 无 极 限 位 置 。lx推 论 1-2 设 单 自 由 度 机 构 中 作 往 复 运 动 从 动 件 l的 位 置 满 足 下 列位 置 方 程 1( ; , , ) 0l nf q x x L则 当 该 机 构 处 于 极 限 位 置 时 ， 必 满 足 如 下 方 程 。 上 海 海 运 大 学 专 用 1 0nl l ii ii lf f xq x （ 1 42） 式 中 ， 。 i ix dx dq事 实 上 ， 将 对 求 导 ， 并 令 可 得 ：0lf q ( 1, , )i dxx i ndq 1 0nl l l ll iil ii ldf f f fx xdq q x x 由 定 理 7.1知 ， 因 ， 故 ， 即 得 式（ 1 42） 。 0l ll ldx dx dqx xqdt dq dt 0q 0lx根 据 （ 1 42） ， 将 机 构 位 置 方 程 组 的 任 意 n-1个 方 程 对 输 入 未知 量 q求 导 ， 并 令 ， 可 得 下 列 线 性 方 程 组 。0ldxdq 上 海 海 运 大 学 专 用 1 1 1 1 111 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1, , , , ,. . . . . . . . . . . . ., , , , ,l l n lln n n n nnl l nf f f f fxx x x x qxxf f f f fxx x x x q L L MML L （ 1 43）因 诸 不 可 能 同 时 为 零 且 唯 一 （ 否 则 为 奇 异位 置 ） ， 因 而 上 述 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵 非 奇 异 。 从 中解 出 诸 ， 进 而 根 据 第 n个 偏 导 数 方 程 可 得 单 自 由 度 机 构处 于 极 限 位 置 的 特 征 方 程 。 ( 1, , , )i ix xq i ni l idx dq二 、 确 定 机 构 极 限 位 置 的 算 例本 节 以 若 干 个 平 面 连 杆 机 构 极 限 位 置 的确 定 为 例 ， 验 证 本 节 有 关 理 论 的 正 确 性 。1、 LP401（ 铰 链 四 杆 机 构 ） LP为（ Limit Position） 的 缩 写 。 401表 示 第 1种 不 含 移 动 副 的 四 杆 机 构 。 在 如 图 1 61所 示 ， 设 各 杆 长 度 分 别 为 ： 图 1 61 LP401 上 海 海 运 大 学 专 用 ， ， ， ， 若 杆 1为 原 动 件 ， 求 该 机 构 的极 限 位 置 。1 ABl l 2 BCl l 3 DCl l 4 ADl l解 ： 该 机 构 的 位 置 方 程 组 为 ：1 1 2 3 1 1 2 2 3 3 42 1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) cos cos cos 0( , , ) sin sin sin 0f l l l lf l l l 从 上 述 方 程 组 中 消 去 可 得 ： 2 2 2 2 23 1 3 3 4 3 1 4 1 1 3 3 1 1 2 3 4( , ) 2 cos 2 cos 2 cos( ) 0f ll ll ll l l l l 由 及 位 置 方 程 组 ， 可 得 铰 链 四 杆 机 构处 于 极 限 位 置 的 一 个 特 征 为 联 架 杆 1和 连 杆 2共 直 线 。 即 ：31 0f 1 0f 2 0f 1 2sin( ) 0 因 此 ， 该 机 构 的 极 限 位 置 可 由 下 列 方 程 组 确 定 。 1 2 1 21 1 2 2 3 1 2 3 1 2 41 1 2 23 1 1 2 2 4sin cos cos sin 0cos cos cos cos sin sin 0sin sintan cos cosu u u u ul ll l l 上 海 海 运 大 学 专 用 式 中 ， 1 1 42u ll 2 2 42u ll 3 1 22u ll 2 2 2 24 1 2 3 4u l l l l 若 令 ， ， 则 上 述 方 程 组 中 前 2个 方 程 的 多项 式 解 为 ： 11 tan 2x 22 tan 2x T1(X)= -4*U11*U12*X18+U24*X16+U23*X14+U22*X12 -4*U9*U10=0T2(X)= -2*X1*X22 -2*X2+ 2*X12*X2+ 2*X1=0式 中 ， U5U24均 是 U1 U4的 多 项 式 。 在 求 得 和 后 ， 和 的 值 由 下 式 确 定 。11 21 22 222tan 12tan 1 xxxx 经 进 一 步 讨 论 可 知 ： 当 铰 链 四 杆 机 构 为 曲 柄 摇 杆 机 构 （ 曲 柄 为原 动 件 ） 和 双 摇 杆 机 构 时 ， 铰 链 四 杆 机 构 才 有 极 限 位 置 存 在 。 上 海 海 运 大 学 专 用 算 例 设 ： l1=20.000， l2=100.000， l3=80.000， l4=90.000，则 该 机 构 的 四 个 极 限 位 置 如 表 1 50所 示 。I 1 2 31 -.124229D+03 .557711D+02 .124229D+032 -.418107D+02 -.418107D+02 -.903995D+023 .418107D+02 .418107D+02 .903995D+02 4 .124229D+03 -.557711D+02 -.124229D+03表 1 50 LP401的 四 个 极 限 位 置6、 LP621（ 牛 头 刨 床 机 构 ）在 图 1 66所 示 的 六 杆 机 构 中 ， 设 各 杆长 度 分 别 为 ： ， ， ， ， ， 与 水 平 轴 垂 直 ； 滑 块5的 移 动 导 路 与 水 平 轴 平 行 ； F点 为 与 其导 路 方 向 线 的 交 点 ， 其 位 移 ；滑 块 2的 相 对 位 移 为 ； 若 杆 1为原 动 件 ， 求 该 机 构 的 极 限 位 置 。1 ABl l 3 CDl l 4 DEl l6 CAl l 6 AFr l CA 5s FE2s CB 图 1 63 LP621 上 海 海 运 大 学 专 用 解 ： 该 机 构 的 位 置 方 程 组 为 ：1 1 2 3 1 1 2 32 1 2 3 1 1 2 3 63 1 3 4 2 5 1 1 3 2 3 4 4 54 1 3 4 2 5 1 1 3 2 3 4 4 6( , , ) cos cos 0( , , ) sin sin 0( , , , , ) cos ( )cos cos 0( , , , , ) sin ( )sin sin 0f l sf l s lf s s l l s l sf s s l l s l r 显 然 ， 当 导 杆 3处 于 极 限 位 置 时 ， 滑 块 5也 处 于 极 限 位 置 。 根 据推 论 7-2， 将 上 述 方 程 组 中 的 和 对 求 导 ， 并 注 意 ， 在 的 条 件 下 ， 即 得 该 机 构 处 于 极 限 位 置 的 特 征 方 程 为 曲柄 1与 导 杆 3相 垂 直 。 即 ： 1 0f 2 0f 1 31 0dd 6 1l l 1 3cos( ) 0 这 样 ， 当 该 机 构 处 于 极 限 位 置 时 ， 应 满 足 下 列 方 程 组 。 1 31 3 1 32 1 1 325 4 5cos( ) 0sin( ) cos 0cos /cos0.5( 4 )tan r rus ls u u vys x 上 海 海 运 大 学 专 用 式 中 ， 1 6 1/u l l 2 cosu r 2 24v r l 2 2r rr x y tan rryx 1 1 3 2 3cos ( )cosrx l l s 6 1 1 3 2 3sin ( )sinry r l l s 若 令 ， ， 则 上 述 方 程 组 中 的 前 2个 方 程 的解 析 解 为 ： 1 31 tan 2x 32 tan 2x T1(X)=-X12+1=0T2(X)=-U1*X22U1*X12*X22+2*X1*X22+U1*X12+2*X1+U1=0在 求 得 和 后 ， 变 量 和 的 值 可 由 下 式 确 定 。1x 2x 1 323 22 1 1 3 212tan 1 2tan( ) 1xx xx 求 解 时 ， 应 注 意 同 一 极 限 位 置 时 的 解 的 对 应 性 。 该 机 构 处 于 极 限 位 置 的 另 一 特 征 是 导 杆 3和 连 杆 4共 直 线 ， 即 。 此 时 ， 滑 杆 5的 极 限 位 移 为 ：4 3sin( ) 0 2 25 3 4 6 6( ) ( )s l l l r 上 海 海 运 大 学 专 用 算 例 设 ： l1=20.000， l3=110.000， l4=40.000， l6=70.000，r6=60.000， 则 该 机 构 的 四 个 极 限 位 置 如 表 1 55所 示 。I 1 3 4 s2 s51 -.163398D+03 .106602D+03 .379253D+02 .670820D+02 .123920D+002 -.163398D+03 .106602D+03 .142075D+03 .670820D+02 -.629811D+023 -.166015D+02 .733985D+02 .379253D+02 .670820D+02 .629811D+024 -.166015D+02 .733985D+02 .142075D+03 .670820D+02 -.123920D+00表 1 55 LP621的 四 个 极 限 位 置