《数学分析不定积分》PPT课件.ppt

20081211 6.4 特 殊 函 数 的 积 分 有 理 函 数 .两 个 多 项 式 的 商 表 示 的 函 数 称 之 为 mmmm nnnn bxbxbxb axaxaxaxQ xP 1110 1110)( )( 一、有理函数的积分 假定分子与分母之间没有公因式,)1( mn有理函数是真 分 式；,)2( mn有理函数是假 分 式；利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例 1 123 x xx .112 xx难 点将有理函数化为部分分式之和. （1）分母中若有因式 ，则分解后为kax )( ,)()( 121 axAax Aax A kkk 有 理 函 数 化 为 部 分 分 式 之 和 的 一 般 规 律 ： 其中kAAA , 21 都是常数.特殊地：,1k分解后为;axA （2）分母中若有因式 ，其中kqpxx )( 2 则分解后为042 qp qpxx NxMqpxx NxMqpxx NxM kkkk 212 222 11 )()( 其中ii NM ,都是常数),2,1( ki .特殊地：,1k分解后为;2 qpxx NMx 真分式化为部分分式之和的待 定 系 数 法65 32 xx x )3)(2( 3 xx x ,32 xBxA),2()3(3 xBxAx ),23()(3 BAxBAx ,3)23( ,1BABA ,65 BA65 32 xx x .3625 xx例 1 2)1( 1xx ,1)1( 2 xCx BxA )1()1()1(1 2 xCxBxxA代入特殊值来确定系数CBA ,取,0 x 1 A取,1x 1 B取,2x BA,并将 值代入)1( 1C.11)1( 11 2 xxx2)1( 1 xx例 2 例 3 .1 515221 54 2xxx )1)(21( 1 2xx ),21)()1(1 2 xCBxxA ,)2()2(1 2 ACxCBxBA ,1 ,02 ,02CA CB BA ,51,52,54 CBA ,121 2xCBxxA )1)(21( 1 2xx 整理得 例 4 求积分 .)1( 1 2dxxx dxxx 2)1( 1 dxxxx 11)1( 11 2 dxxdxxdxx 11)1( 11 2 .|1|ln11|ln Cxxx 解 例 5 求积分 解 .)1)(21( 1 2 dxxx dxxxdxx 21 515221 54 dxxx )1)(21( 1 2 dxxdxxxx 22 1 1511 251|21|ln52 .arctan51)1ln(51|21|ln52 2 Cxxx 例 6 求积分解 .1 1 632 dxeee xxx 令6xet ,ln6 tx ,6dttdx dxeee xxx 6321 1 dttttt 61 1 23 dtttt )1)(1( 16 2 Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln6 2dttttt 21 331 36 .)arctan(3)1ln(23)1ln(3 636 Ceeex xxx 23)1ln(3ln6 tt dttttd 222 1 131 )1( 说 明将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：)1(多项式；;)()2( nax A ;)()3( 2 nqpxx NMx 讨论积分,)( 2 dxqpxx NMx n ,42 222 pqpxqpxx 令tpx 2 ,422 pqa ,2MpNb 则 dxqpxx NMx n)( 2 dtat Mt n)( 22 dtat b n)( 22,222 atqpxx ,bMtNMx 记 ,1)2( n dxqpxx NMx n)( 2 122 )(1(2 natn M .)( 1 22 dtatb n三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.结 论 有 理 函 数 的 原 函 数 都 是 初 等 函 数 .,1)1( n dxqpxx NMx2 )ln(2 2 qpxxM ;2arctan Ca pxab P244 三 角 有 理 式 的 定 义 ： 由 三 角 函 数 和 常 数 经 过 有 限 次 四 则 运 算构 成 的 函 数 称 之 一 般 记 为 )cos,(sin xxR二、三角函数有理式的积分令2tan xu ,1 2sin 2uux ,11cos 22uux ux arctan2 duudx 21 2 dxxxR )cos,(sin .1 211,1 2 2222 duuuuuuR （ 万 能 置 换 公 式 ） 例 7 求积分.cossin1 sin dxxx x解 ,1 2sin 2uux 2211cos uux ,1 2 2 duudx 由万能置换公式 dxxx xcossin1 sin duuu u )1)(1( 2 2 duuu uu )1)(1( )1()1( 2 22 duuu 211 duu 1 1uarctan )1ln(21 2u Cu |1|ln2tan xu2x |2sec|ln x .|2tan1|ln Cx 例 8 求积分.sin14 dxx解 （ 一 ） ,2tan xu ,1 2sin 2uux ,1 2 2 duudx dxx4sin1 duu uuu 4 6428 331 Cuuuu 3333181 33 .2tan2412tan832tan8 32tan24 1 33 Cxxxx 解 （ 二 ）修改万能置换公式, xu tan令,1sin 2uux ,1 1 2 duudx dxx4sin1 duuuu 242 1 11 1 duuu 4 21Cuu 131 3 .cotcot31 3 Cxx 解 （ 三 ）可以不用万能置换公式. dxx4sin1 dxxx )cot1(csc 22 xdxxxdx 222 csccotcsc )(cot xd.cot31cot 3 Cxx 结 论比较以上三种解法, 便知万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换. 例 9 求积分.sin3sin sin1 dxxx x解 2cos2sin2sinsin BABABA dxxx xsin3sin sin1 dxxx xcos2sin2 sin1 dxxx x2cossin4 sin1 dxxx 2cossin 141 dxx2cos141 dxxx xx 2 22 cossin cossin41 dxx2cos141 dxxdxxx sin141cossin41 2 dxx2cos141 dxxxdx sin141)(coscos141 2 dxx2cos141xcos4 1 2tanln41 x .tan41 Cx 讨 论 类 型 ),( n baxxR ).,( n ecx baxxR 解 决 方 法 作 代 换 去 掉 根 号 .例 10 求积分 dxxxx 11解 令txx 1 ,1 2txx 三、简单无理函数的积分 ,112 tx ,12 22 t tdtdx dxxxx 11 dtt ttt 222 121 12 22t dttdtt 1112 2 Cttt |11|ln2 .11ln12 2 Cxxxxx 例 11 求积分.11 1 3 dxxx解 令16 xt ,6 5 dxdtt dxxx 3 11 1 dtttt 523 61 dttt 16 3 Ctttt |1|ln6632 23 .)11ln(6131312 663 Cxxxx 说 明无理函数去根号时, 取根指数的最 小 公 倍 数 . 简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）四、小结 作业 (数学分析习题集)习题5.4 有理函数的积分 1；2；7；8.习题5.5 可化为有理函数的积分 1、1), 3), 4), 5), 6); 2 、1), 2), 8), 9), 11), 12). 思 考 题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？思 考 题 解 答分解后的部分分式必须是最简分式.