《重积分的计算法》PPT课件.pptx

9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 1利 用 直 角 坐 标 计 算 二 重 积 分小 结 思 考 题 作 业利 用 极 坐 标 计 算 二 重 积 分 double integral9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 第 9章 重 积 分 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法如 果 积 分 区 域 为 ： ,bxa ).()( 21 xyx 其 中 函 数 、 在 区 间 上 连 续 .)(1 x )(2 x , ba一 、 利 用 直 角 坐 标 系 计 算 二 重 积 分 X 型 )(2 xy a bD )(1 xy D ba )(2 xy )(1 xy X型 区 域 的 特 点 ： 穿 过 区 域 且 平 行 于 y轴 的直 线 与 区 域 边 界 相 交 不 多 于 两 个 交 点 . 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法为 曲 顶 柱 体 的 体 积 为 底 ， 以 曲 面的 值 等 于 以),( ),(yxf zDdyxfD 应 用 计 算 “ 平 行 截面 面 积 为 已 知 的 立体 求 体 积 ” 的 方 法 , zy x )( 0 xA ),( yxfz )(1 xy )(2 xy 2 1 ( )( )( , ) ( ( , ) ) .b xa xD f x y d f x y dy dx 得 ( , ) ( )baD f x y d A x dx 21 ( )( )( ) ( , )xxA x f x y dy . x ba 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 21 ( )( )( , ) ( ( , ) )b xa xD df x y d f x y dy x 21 ( )( )( , ) ( , )b xa xD f x y d f x yd dyx 先 对 y后 对 x的 二 次 积 分 (累 次 积 分 )(2 xy a bD )(1 xy 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 .),(),( )( )( 21 D dc yy dxyxfdydyxf 如 果 积 分 区 域 为 ： ,dyc ).()( 21 yxy Y 型 )(2 yx )(1 yx Dcd cd )(2 yx )(1 yx D Y型 区 域 的 特 点 ： 穿 过 区 域 且 平 行 于 x轴 的 直线 与 区 域 边 界 相 交 不 多 于 两 个 交 点 . 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法若 区 域 如 图 ， 3D 2D1D在 分 割 后 的 三 个 区 域 上 分 别使 用 积 分 公 式 .321 DDDD 则 必 须 分 割 . 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 xy 1例 1 改 变 积 分 x dyyxfdx 1010 ),( 的 次 序 . 原 式 y dxyxfdy 1010 ),( . 解 积 分 区 域 如 图 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 xy 2 22 xxy 例 2 改 变 积 分 xxx dyyxfdxdyyxfdx 20212010 ),(),(2 的 次 序 . 原 式 10 2 11 2 ),(y y dxyxfdy . 解 积 分 区 域 如 图 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法例 3 改 变 积 分 )0(),(20 22 2 adyyxfdxa ax xax 的 次 序 . axy 2解 = a yaaay dxyxfdy0 2 222 ),(原 式 a a yaa dxyxfdy0 2 22 ),( .),(2 222 aa aay dxyxfdy 22 xaxy 22 yaax a a2 xyOa2a 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 交 换 积 分 次 序 的 步 骤 (1) 将 已 给 的 二 次 积 分 的 积 分 限 得 出 相应 的 二 重 积 分 的 积 分 区 域 ,(2) 按 相 反 顺 序 写 出 相 应 的 二 次 积 分 .并 画 出 草 图 ; 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 例 4 求 D dxdyyx )( 2 ， 其 中 D是 由 抛 物 线2xy 和 2yx 所 围 平 面 闭 区 域 .解 两 曲 线 的 交 点 ),1,1(,)0,0(22 yx xy D dxdyyx )( 2 10 22 )(xx dyyxdx dxxxxxx )(21)( 4210 2 .14033 2xy 2yx 先 y后 x 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法例 5 求 D y dxdyex 22 ， 其 中 D是 以 ),1,1(),0,0()1,0( 为 顶 点 的 三 角 形 . dye y2 无 法 用 初 等 函 数 表 示解 积 分 时 必 须 考 虑 次 序 D y dxdyex 22 y y dxexdy 0 210 2dyye y 10 332 210 262 dyye y ).21(61 e 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法例 6 计 算 积 分 y xydxedyI 212141 yy xydxedy121 .解 dxexy 不 能 用 初 等 函 数 表 示 先 改 变 积 分 次 序 . 原 式 xx xydyedxI 2211 121 )( dxeex x .2183 ee 2xy xy 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法解 曲 面 围 成 的 立 体 如 图 .,yxz ,xyz ,1 yx ,0 x .0y例 求 由 下 列 曲 面 所 围 成 的 立 体 体 积 ， 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 ,10 yx ,xyyx 所 求 体 积 D dxyyxV )( 10 10 )(x dyxyyxdx 10 3)1(21)1( dxxxx .247 所 围 立 体 在 xoy面 上 的 投 影 是 1 yx xoy 22 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法(1)设 区 域 D关 于 x轴 对 称 ,如 果 函 数 f(x, y)关 于 坐 标 y为 偶 函 数 .D yxf d),( o xy D1性 质 8 ）即 ),(),( yxfyxf 则 D1为 D在 第 一 象限 中 的 部 分 , 1 d),(2D yxf 坐 标 y为 奇 函 数 0d),( D yxf ),(),( yxfyxf 即则 设 区 域 D关 于 x轴 对 称 ,如 果 函 数 f (x, y)关 于 补 充 奇 偶 对 称 性 结 论 :(书 上 P73 习 题 8-1 2) 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法这 个 性 质 的 几 何 意 义 如 图 : Ox yzOx yz 区 域 D关 于 x轴 对 称f(x,y)关 于 坐 标 y为 偶 函 数 区 域 D关 于 x轴 对 称f(x,y)关 于 坐 标 y为 奇 函 数 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法（ 2） 若 D关 于 y轴 对 称 ， D1为 D在 右 半 平 面 部 分 ， .),(),(,),(2 ),(),(,0),( 1 yxfyxfdyxf yxfyxfdyxf DD 当当则 有 ： 类 似 地 , o xyD1 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法设 D为 圆 域 (如 图 ) d2D y d2 1 2D y d3D y 0 D1为 上 半 圆 域y xO例 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 ,d)sin()sin( 22 D yxxyA 计 算 二 重 积 分 解 D积 分 区 域 )sin()sin( 22 yxxy 和由 性 质 得 D xy d)sin( 2 D yxxyA d)sin()sin( 22 000 例 ,是 奇 函 数和分 别 关 于 yx ,轴 都 对 称轴 、关 于 yx d)(sin 2yxD 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 今 后 在 计 算 重 积 分 利 用 对 称 性 简 化 计 算 时 , 注 意 被 积 函 数 的 奇 偶 性 . 积 分 区 域 的 对 称 性 ,要 特 别 注 意 考 虑 两 方 面 : 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法(A) .ddsincos2 1 yxyxD (B) .dd2 1 yxxyD(C) .ddsincos4 1 yxyxxyD (D) 0.A ).(ddsincos 等 于则 yxyxxyD 为 顶 点 的 三 角 形 区 域 , )1,1()1,1(),1,1( 和平 面 上 以是设 xOyD D1是 D在 第 一 象 限 的 部 分 ,(书 上 P123 复 习 题 8 2)思 考 题 2 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 yxyxxyD ddsincos D1D2D3D4记 I=则 I= I1+ I2, 其 中I1= yxxyD ddI2= yxyxD ddsincos而 I 1 = yxxyD dd yxxyDD dd21 yxxyDD dd43D1与 D2关 于 y轴 对 称D3与 D4关 于 x轴 对 称xy关 于 x和 关 于 y都 是 奇 函 数000 )1,1( )1,1( )1,1( xyO 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法而 I2 = yxyxD ddsincos yxyxDD ddsincos21 yxyxDD ddsincos43是 关 于 x的 偶 函 数 ,yxyxD ddsincos2 1 关 于 y的 奇 函 数 . 所 以 yxyxD ddsincos2 1 yxyxD ddsincos2 121 III 0yxsincos D1D2D3D4 )1,1( )1,1( x yO )1,1( 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法补 充 轮 换 对 称 性 结 论 :若 D关 于 x,y满 足 轮 换 对 称 性 (将 D的 边 界曲 线 方 程 中 的 x与 y交 换 位 置 ,方 程 不 变 ),则 .),(),( DD dxdyxyfdxdyyxf 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 1 1证 yxyx ybxaI D dd)()( )()( 设 的 对 称 性 得由 区 域 关 于 直 线 xy yxxy xbyaI D dd)()( )()( 所 以 , D yxbaI dd)(2 )(21 baI ,1,0)( 上 的 正 值 连 续 函 数为设 x )(21dd)()( )()( bayxyx ybxaD 证 明 ： 为 常 数 ，其 中 ba, 例 xy ba xyO 1,0),( yxyxD 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法二 重 积 分 在 直 角 坐 标 下 的 计 算 公 式（ 在 积 分 中 要 正 确 选 择 积 分 次 序 ）二 、 小 结 .),(),( )( )(21 D ba xx dyyxfdxdyxf .),(),( )( )(2 1 D dc yy dxyxfdydyxf Y 型 X 型 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法练 求 证 axa xxfxayyfx 000 d)()(d)(d 左 边 的 累 次 积 分 中 ,提 示 xa yyfx 00 d)(d aya xyfy d)(d0 a yyfya0 d)()( a xxfxa0 d)()(不 能 直 接 计 算 ， )(yf 是 y的 抽 象 函 数 , )0( a ,0 ay axy a ay yxyf0 d)(证 毕 . 要 先 交 换 积 分 次 序 . a xyO a ),( aa证 明 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 1990 年 研 究 生 考 题 , 填 空 , 3分)(dd 220 2 yex x y )1(21 4 e xy xoy 22解 yex x y dd 220 2 xey y y dd 020 2 yye y d20 2 )(d21 220 2 ye y )1(21 4 e交 换 积 分 次 序 20 0d2 yxe yy 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 .),(),( 21 1 2/10 2/ 次 序交 换 积 分 xxx dyyxfdxdyyxfdxI解 由 给 出 的 积 分 画 出 相应 的 积 分 区 域 o xy 11 2xy 2/xy .2,10 : 2 yxyy 区 域 可 表 示 为 .),(210 2 yy dxyxfdyI 练 习 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 Ao D i ii i .)sin,cos(),( DD rdrdrrfdxdyyxf 二 、 利 用 极 坐 标 系 计 算 二 重 积 分d r rddr rdrdd 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 21 ( )( ) ( cos , sin ) .d f r r drr A Do )(1 r )(2 rD rdrdrrf )sin,cos(二 重 积 分 化 为 二 次 积 分 的 公 式 （ ）区 域 特 征 如 图, ).()( 21 r 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法区 域 特 征 如 图 , ).()( 21 r .)sin,cos()( )( 21 rdrrrfdD rdrdrrf )sin,cos( Ao D )(2 r)(1 r 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 Ao D )(r.)sin,cos()( 0 rdrrrfd二 重 积 分 化 为 二 次 积 分 的 公 式 （ ）区 域 特 征 如 图 , ).(0 rD rdrdrrf )sin,cos( 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法D rdrdrrf )sin,cos( 2 ( )0 0 ( cos , sin ) .d f r r drr 极 坐 标 系 下 区 域 的 面 积 . D rdrd 二 重 积 分 化 为 二 次 积 分 的 公 式 （ ）区 域 特 征 如 图 ).(0 r Do A)(r,20 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 例 1 写 出 积 分 D dxdyyxf ),( 的 极 坐 标 二 次 积 分 形式 ， 其 中 积 分 区 域 ,11|),( 2xyxyxD 10 x .1yx 122 yx解 在 极 坐 标 系 下 sincosry rx 所 以 圆 方 程 为 1r ,直 线 方 程 为 cossin 1r ,D dxdyyxf ),( .)sin,cos(20 1 cossin 1 rdrrrfd 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法计 算 ,dd)( 22 yxyxD 为 由 圆其 中 D所 围 成 的 平 面 闭 区 域 .例 yyxyyx 4,2 2222 及 直 线 ,03 yx03 xy 03 yx解 03 xy xOy yyx 222 yyx 422 32 61 sin4 r sin2 ryxyxD dd)( 22 rrr dd 2 )32(15 sin4 sin263 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 例 2 计 算 dxdyeD yx 22 ， 其 中 D 是 由 中 心 在 原 点 ， 半 径 为 a的 圆 周 所 围 成 的 闭 区 域 .解 在 极 坐 标 系 下 D： ar 0 ， 20 .dxdyeD yx 22 a r rdred 020 2).1( 2ae 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法例 3 求 广 义 积 分 0 2dxe x .解 |),( 2221 RyxyxD 2|),( 2222 RyxyxD 0,0 yx 0,0|),( RyRxyxS 显 然 有 21 DSD ,022 yxe 1 22D yx dxdye S yx dxdye 22 .2 22 D yx dxdye 1D 2DS S2D R R2 ).1( 2ae 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 又 S yx dxdyeI 22 R yR x dyedxe 00 22 ;)( 20 2 R x dxe 1I 1 22D yx dxdye R r rdred 00 22 );1(4 2Re 同 理 2I 2 22D yx dxdye );1(4 22Re 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 当 R 时 , ,41 I ,42 I 故 当 R 时 , ,4I 即 20 )( 2dxe x 4, 所 求 广 义 积 分 0 2dxe x 2. ,21 III );1(4)()1(4 222 220 RR xR edxee 夹 逼 定 理 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 例 5 计 算 二 重 积 分 D dxdyyx yx 22 22 )sin( , 其 中 积 分 区 域 为 41|),( 22 yxyxD .解 由 对 称 性 ， 可 只 考 虑 第 一 象 限 部 分 ， 注 意 ： 被 积 函 数 也 要 有 对 称 性 . D dxdyyx yx 22 22 )sin( 4 1 22 22 )sin(D dxdyyx yx 210 sin4 2 rdrr rd .414DD 1D 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 例 6 求 曲 线 )(2)( 222222 yxayx 和 222 ayx 所 围 成 的 图 形 的 面 积 .解 根 据 对 称 性 有 14DD在 极 坐 标 系 下 )(2)( 222222 yxayx ,2cos2 ar ,222 arayx 1D 由 arar 2cos2 , 得 交 点 )6,( aA , 双 纽 线 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 所 求 面 积 D dxdy 14D dxdy 2cos2064 aa rdrd ).33(2 a 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 4因 被 积 函 数 422 yx4: 221 yxD 164: 222 yxD D2d)4( 221 yxI D d)4( 222 yxD 极 坐 标 计 算 16: 22 yxDd|4| 22 D yxI例分 析故 80 422 yx的 在 积 分 域 内 变 号 . 2 xoy D1 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法例 求 球 体 2222 4azyx 被 圆 柱 面 xayx 222 )0( a 所 截 得 的 (含 在 柱 面 内 的 )立 体 的 体 积 . 解 由 对 称 性 可 知 只 需 求 第 一 卦 限部 分 体 积 V1, D yxyxaV dd44 222 x zo y2a14VV 被 积 函 数 (曲 顶 )为 : )(4),( 222 yxayxfz 积 分 区 域 (底 )为 : 0,2: 22 yaxyxD .cos20,20: arD D rrra dd44 22 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 D rrraV dd44 22 20 d4 cos20 22 d4a rrra)322(332 3 a x zo y2a .cos20,20: arD 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 二 重 积 分 的 计 算 规 律再 确 定 交 换 积 分 次1. 交 换 积 分 次 序 :先 依 给 定 的 积 分 次 序 写 出 积 分 域 D的不 等 式 , 并 画 D的 草 图 ;序 后 的 积 分 限 ;2. 如 被 积 函 数 为圆 环 域 时 , 或 积 分 域 为 ),( 22 yxf ),( 22 yxf ),(xyf )(arctanxyf 圆 域 、 扇 形 域 、则 用 极 坐 标 计 算 ;小 结 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 3. 注 意 利 用 对 称 性 质 ,数 中 的 绝 对 值 符 号 . 以 便 简 化 计 算 ;4. 被 积 函 数 中 含 有 绝 对 值 符 号 时 , 应将 积 分 域 分 割 成 几 个 子 域 , 使 被 积 函 数 在每 个 子 域 中 保 持 同 一 符 号 , 以 消 除 被 积 函 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 o xy解 rrrrf 2120 d)sin,cos(d 将 直 角 坐 标 系 下 累 次 积 分 : 222 40214110 d),(dd),(d xxx yyxfxyyxfx化 为 极 坐 标 系 下 的 累 次 积 分 .原 式 = 2r 21r 1练 习 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 计 算 ,dd|)|(| D yxyx 0,1|:| xyxD解 积 分 区 域 D关 于 x轴 对 称 ,被 积 函 数 关 于 y为 偶 函 数 .原 式 =记 D1为 D的 y 0的 部 分 . yxyx dd|)|(| 1 dd)(2D yxxy x yxyx 1001 d)(d2则2 1D32 xy oD1 11 1 yx 11 yx 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法例 求 两 个 底 圆 半 径 为 R,且 这 两 个 圆 柱 面 的 方 程分 别 为 及222 Ryx .222 Rzx 解 d D yxR d22 332 R 31 3168 RVV d),(1 D yxfV 22 xRy 222 Rzx 立 体 顶 部 222 Ryx 立 体 底 部 求 所 围 成 的立 体 的 体 积 . x o yzo xy DR22 xR 22 xR 0 xd0R 22 xRz 曲 顶 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法P1-2， 直 角 坐 标 ， 28-31极 坐 标注 ： （ 不 做 坐 标 变 换 P31/3*） 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 交 换 积 分 次 序 : ).0(),(cos022 adrrfdI a 思 考 题 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 ,cos0 22: arD o xy思 考 题 解 答 cosar D a ararccos ararccos .),(arccosarccos0 arara drfdrI 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 56 ,1,0)( 上 连 续在设 xf .)d)(21d)(d)(: 210110 xxfyyfxxf x证 明解其 中 先 将 累 次 积 分 表 成 二 重 积 分 , 则 有例 110 d)(d)( x yyfxxfI yxyfxfD dd)()( D xy xO yD 11,1,10),( yxxyxD 1,10),( xyxyxDD 与 于 是 yxyfxfI D dd)()(.对 称关 于 xy yxyfxfI DD dd)()(2 1010 d)()(d yyfxfx 1010 d)(d)( yyfxxf ,)d)( 210 xxf .)d)(21 210 xxfI 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 设 )(xf 在 1,0 上 连 续 ， 并 设 Adxxf 10 )( ， 求 110 )()(x dyyfxfdx . 思 考 题 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法1 )(x dyyf 不 能 直 接 积 出 , 改 变 积 分 次 序 . 令 110 )()(x dyyfxfdxI , 思 考 题 解 答 则 原 式 y dxyfxfdy 010 )()( .,)()( 010 x dyyfdxxf x yo10 0( ) ( )yf y dy f x dx 1 10 ( ) ( )xI f x dx f y dy 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 故 110 )()(2 x dyyfdxxfI x dyyfdxxf 010 )()( )()()( 1010 dyyfdxxf xx .)()( 21010 Adyyfdxxf 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 60 若 函 数 f (x, y)在 矩 形 区 域 D:解 ,1),(d)d,( 2 yxfyxyxfxy D 10,10 yx上 连 续 , 且求 f (x, y) .设 D yxyxfI d)d,( I 1),(2 yxfxyI两 边 积 分 , 得 DD yxyxyxf dddd),( 11I 1I1dd 10102 IyyxxI D yxxyI dd2 1412 II 2I .41),( xyyxf xOy 11I D例 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 61 二 重 积 分 在 直 角 坐 标 系 下 的 计 算二 重 积 分 在 极 坐 标 系 下 的 计 算 公 式 (注 意 使 用 对 称 性 )三 、 小 结(注 意 正 确 选 择 积 分 次 序 , 掌 握 交 换 积 分 次 序恰 当 选 择 坐 标 系 计 算 二 重 积 分(注 意 选 择 的 原 则 )的 方 法 ) 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 62 思 考 题 1 考 研 数 学 (一 )5分 10 ,d)(,1,0)( Axxfxf 并 设上 连 续在设 .d)()(d 110 yyfxfx x求 解 x yyfxxf 010 d)(d)(令 yyfxfxI x d)()(d 110 不 能 直 接 积 出 ,1 d)(x yyf改 变 积 分 次 序 . y xyfxfy 010 d)()(d xy )1,1( xoy交 换与 yx y xxfyyf 010 d)(d)(法 一I 因 为所 以 , 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 63 x yyfxxf 010 d)(d)( 10 d)( xxf .22AI x yyfxxfI 010 d)(d)( yyfxfxI x d)()(d 110 故 I2 110 d)(d)( x yyfxxf d)()( 10 yyfxx 10 ,d)(,1,0)( Axxfxf 并 设上 连 续在设 .d)()(d 110 yyfxfx x求 110 d)(d)( x yyfxxf 2A 1010 d)(d)( yyfxxf所 以 , 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 64 10 ,d)(,1,0)( Axxfxf 并 设上 连 续在设 .d)()(d 110 yyfxfx x求 法 二 设 yyfx d)(1 )(xF则 )()( xfxF 则 yyfxfx x d)()(d 110 yyfxxf x d)(d)( 110 10 )(xF 1022 )(xF .22A2 )0(2 )1( 22 FF )(d xF 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 65 思 考 题 2设 有 一 曲 顶 柱 体 ,以 双 曲 抛 物 面 ,为 顶xyz 以 xOy坐 标 面 为 底 , ,0为 侧以 平 面 y ,222 为 内 侧柱 面 xyx 体 积 .解 由 题 设 可 知 曲 顶 柱 体 在 xOy平 面 上 的 投 影 ,122 yx柱 面即 积 分 域 D(如 图 ), 2L 1L由 D的 形 状 可 知 用 极 坐 标 计 算 曲 顶 柱 体 的 体 积 简 便 .:1L曲 线 cos2:2L曲 线 1 3 1 2 xyO D为 外 侧 , 试 求 这 个 柱 体 的 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 66 以 双 曲 抛 物 面 为 顶xyz 故 D yxxyV dd cos21 330 dcossind 30 4 dcossin)1cos16(41 30 24 )(cosd)cos161(81 .169 2L 1L1 2 xyO D 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 67 思 考 题 3解 答交 换 积 分 次 序 : ).0(d),(d cos022 afI a O xy cosaD a a arccos a arccos.d),(d arccosarccos0 aaa fI ,cos0 22: aD 9.2 二 重 积 分 的 计 算 法 68 作 业习 题 9.2(388页 )