资源描述
一 、 高 阶 导 数 的 定 义问 题 :变 速 直 线 运 动 的 加 速 度 .),(tfs 设 )()( tftv 则 瞬 时 速 度 为 的 变 化 率对 时 间是 速 度加 速 度 tva .)()()( tftvta定 义 .)()(, )()(lim)( ,)()( 0 处 的 二 阶 导 数在 点为 函 数则 称存 在 即处 可 导在 点的 导 数如 果 函 数 xxfxf x xfxxfxf xxfxf x 记 作 .)(,),( 2222 dx xfddxydyxf 或 记 作阶 导 数的函 数 阶 导 数 的 导 数 称 为的函 数一 般 地 ,)( 1)(, nxf nxf .)(,),( )()( nnnnnn dx xfddxydyxf 或三 阶 导 数 的 导 数 称 为 四 阶 导 数 , 二 阶 和 二 阶 以 上 的 导 数 统 称 为 高 阶 导 数 . .)(;)(, 称 为 一 阶 导 数称 为 零 阶 导 数相 应 地 xfxf .,),( 33dxydyxf 二 阶 导 数 的 导 数 称 为 三 阶 导 数 , .,),( 44)4()4( dxydyxf 二 、 高 阶 导 数 求 法 举 例例 1 ).0(),0(,arctan ffxy 求设解 21 1xy )1 1( 2 xy 22 )1( 2xx)1( 2( 22 xxy 322 )1( )13(2 xx 022 )1( 2)0( xxxf 0322 )1( )13(2)0( xxxf;0 .21.直 接 法 :由 高 阶 导 数 的 定 义 逐 步 求 高 阶 导 数 . 例 2 .),( )(nyRxy 求设 解 1 xy )( 1 xy 2)1( x 3)2)(1( x)1( 2 xy )1()1()1()( nxny nn 则为 自 然 数若 ,n )()( )( nnn xy ,!n )!()1( ny n .0 例 3 .),1ln( )(nyxy 求设 解注 意 : xy 1 1 2)1( 1xy 3)1( !2xy 4)4( )1( !3xy )1!0,1()1( )!1()1( 1)( nxny nnn 求 n阶 导 数 时 ,求 出 1-3或 4阶 后 ,不 要 急 于 合 并 ,分 析 结 果 的 规 律 性 ,写 出 n阶 导 数 .(数 学 归 纳 法 证 明 ) 例 4 .,sin )(nyxy 求设 解 xy cos )2sin( x)2cos( xy )22sin( x )22sin( x)22cos( xy )23sin( x )2sin()( nxy n )2cos()(cos )( nxx n同 理 可 得 例 5 .),(sin )(nax ybabxey 求为 常 数设 解 bxbebxaey axax cossin )cossin( bxbbxaeax )arctan()sin(22 abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebay axax )2sin(2222 bxbaeba ax )sin()( 222)( nbxebay axnn )arctan( ab 2. 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 :则阶 导 数具 有和设 函 数 ,nvu )()()()()1( nnn vuvu )()()()2( nn CuCu )()(0 )()()( )2()1()()( ! )1()1( !2 )1()()3( kknnk kn nkkn nnnn vuC uvvuk knnn vunnvnuvuvu 莱 布 尼 兹 公 式 例 6 ., )20(22 yexy x 求设 解 则 由 莱 布 尼 兹 公 式 知设 , 22 xveu x 0)()(!2 )120(20 )()(20)( 2)18(2 2)19(22)20(2)20( xe xexey x xx 22!21920 22202 218 2192220 x xx e xexe )9520(2 2220 xxe x 3.间 接 法 :常 用 高 阶 导 数 公 式 nn xnx )1()1()()4( )( nnn xnx )!1()1()(ln)5( 1)( )2sin()(sin)2( )( nkxkkx nn )2cos()(cos)3( )( nkxkkx nn )0(ln)()1( )( aaaa nxnx xnx ee )()( 利 用 已 知 的 高 阶 导 数 公 式 , 通 过 四 则1)( !)1()1( nnn xnx运 算 , 变 量 代 换 等 方 法 , 求 出 n阶 导 数 . 例 7 .,11 )5(2 yxy 求设 解 )1111(21112 xxxy )1( !5)1( !521 66)5( xxy )1( 1)1( 160 66 xx 例 8 .,cossin )(66 nyxxy 求设 解 3232 )(cos)(sin xxy )coscossin)(sincos(sin 422422 xxxxxx xxxx 22222 cossin3)cos(sin x2sin431 2 2 4cos1431 xx4cos8385 ).24cos(483)( nxy nn 三 、 小 结高 阶 导 数 的 定 义 及 物 理 意 义 ;高 阶 导 数 的 运 算 法 则 (莱 布 尼 兹 公 式 );n阶 导 数 的 求 法 ;1.直 接 法 ; 2.间 接 法 . 思 考 题设 连 续 ， 且 ，)(xg )()()( 2 xgaxxf 求 .)(af 思 考 题 解 答)(xg 可 导 )()()()(2)( 2 xgaxxgaxxf )(xg 不 一 定 存 在 故 用 定 义 求 )(af )(af ax afxfax )()(lim 0)( afax xfax )(lim )()()(2lim xgaxxgax )(2 ag 一 、 填 空 题 ：1、 设 te ty sin 则 y=_. 2、 设 xy tan ,则 y=_.3、 设 xxy arctan)1( 2 ， 则 y=_. 4、 设 2xxey ,则 y=_.5、 设 )( 2xfy , )(xf 存 在 ， 则 y=_. 6、 设 6)10()( xxf ,则 )2(f =_.7、 设 nnnnn axaxaxax 12211 ( naaa , 21 都 是 常 数 )， 则 )(ny =_.8、 设 )()2)(1()( nxxxxxf , 则 )()1( xf n =_. 练 习 题 二 、 求 下 列 函 数 的 二 阶 导 数 ：1、 x xxy 42 3 ； 2、 xxy lncos2 ；3、 )1ln( 2xxy . 三 、 试 从 ydydx 1 ， 导 出 ： 1、 322 )(yydyxd ； 2、 6233 )()(3 y yyydyxd .五 、 验 证 函 数 xx ececy 21 (, 1c , 2c 是 常 数 ） 满 足 关 系 式 02 yy . 六 、 求 下 列 函 数 的 n 阶 导 数 ： 1、 xey x cos ； 2、 xxy 11 ； 3、 232 3 xx xy ; 4、 xxxy 3sin2sinsin . 一 、 1、 te t cos2 ； 2、 xxtansec2 2 ； 3、 21 2arctan2 xxx ； 4、 )23(2 22 xxex ； 5、 )(4)(2 222 xfxxf ； 6、 207360； 7、 !n ； 8、 )!1( n . 二 、 1、 325 8434 xx ； 2、 22cos2sin2ln2cos2 x xx xxx ； 3、 232 )1( xx . 练 习 题 答 案 六 、 1、 )4cos()2( nxe xn ； 2、 1)1( !2)1( nn xn ； 3、 )2(,)1( 1)2( 8!)1( 11 nxxn nnn ； 4、 )22sin(241 nxn + )26sin(6)24sin(4 nxnx nn .
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