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第 28讲 概 率 考 点 一 考 点 二 考 点 三 考 点 四考 点 一 事 件 的 分 类 考 点 一 考 点 二 考 点 三 考 点 四考 点 二 列 举 法 求 等 可 能 事 件 的 概 率 (高频)1.概 率一 般 地 ,表 示 一 个 随 机 事 件 A发 生 可 能 性 大 小 的 数 ,称 为 这 个 事 件发 生 的 概 率 ,记 为 P(A).2.公 式一 般 地 ,如 果 在 一 次 试 验 中 ,有 n种 可 能 的 结 果 ,并 且 这 些 结 果 发 生的 可 能 性 相 等 ,其 中 使 事 件 A发 生 的 结 果 有 m(m n)种 ,那 么 P(事 件 A的 概 率 )= .3.当 事 件 中 包 含 两 个 因 素 时 ,可 用列表法 列 举 所 有 的 结 果 ;当 事件 中 涉 及 两 个 或 两 个 以 上 因 素 时 ,采 用树状图法 列 举 所 有 的 结果 . 考 点 一 考 点 二 考 点 三 考 点 四考 点 三 利 用 频 率 估 计 概 率 在 大 量 重 复 试 验 中 ,事 件 A出 现 的 频 率 稳 定 在 一 个 常 数 附 近 ,我们 可 以 估 计 事 件 A发 生 的 概 率 约 为 . 考 点 一 考 点 二 考 点 三 考 点 四考 点 四 概 率 的 应 用 对 于 游 戏 规 则 是 否 公 平 问 题 ,需 要 计 算 游 戏 双 方 获 胜 的 概 率 ,通过 比 较概率 的 大 小 进 行 判 断 ,若 概 率相等 ,则 游 戏 规 则公平 ,否 则 就 不 公 平 . 命 题 点 1 命 题 点 2 命 题 点 3命 题 点 1 事 件 的 判 定1.(2011安徽,5,4分)从 正 五 边 形 的 五 个 顶 点 中 ,任 取 四 个 顶 点 连 成四 边 形 ,对 于 事 件 M:“这 个 四 边 形 是 等 腰 梯 形 ”,下 列 推 断 正 确 的 是( B )A.事 件 M是 不 可 能 事 件B.事 件 M是 必 然 事 件 命 题 点 4 命 题 点 1 命 题 点 2 命 题 点 3命 题 点 2 概 率 的 计 算2.(2016安徽,21,12分)一 袋 中 装 有 形 状 大 小 都 相 同 的 四 个 小 球 ,每个 小 球 上 各 标 有 一 个 数 字 ,分 别 是 1,4,7,8.现 规 定 从 袋 中 任 取 一 个 小球 ,对 应 的 数 字 作 为 一 个 两 位 数 的 个 位 数 ;然 后 将 小 球 放 回 袋 中 搅拌 均 匀 ,再 任 取 一 个 小 球 ,对 应 的 数 字 作 为 这 个 两 位 数 的 十 位 数 .(1)写 出 按 上 述 规 定 得 到 所 有 可 能 的 两 位 数 ;(2)从 这 些 两 位 数 中 任 取 一 个 ,求 其 算 术 平 方 根 大 于 4且 小 于 7的 概 率 .命 题 点 4 命 题 点 1 命 题 点 2 命 题 点 3解 (1)用列表分析所有可能的结果:所得的两位数为11,14,17,18,41,44,47,48,71,74,77,78,81,84,87,88,共16个数; (2)算术平方根大于4且小于7的共6个,分别为17,18,41,44,47,48,则所求概率 . 命 题 点 4 命 题 点 1 命 题 点 2 命 题 点 33.(2014安徽,21,12分)如 图 ,管 中 放 置 着 三 根 同 样 的 绳 子AA1,BB1,CC1,(1)小 明 从 这 三 根 绳 子 中 随 机 选 一 根 ,恰 好 选 中 绳 子 AA1的 概 率 是 多少 ?(2)小 明 先 从 左 端 A,B,C三 个 绳 头 中 随 机 选 两 个 打 一 个 结 ,再 从 右 端A 1,B1,C1三 个 绳 头 中 随 机 选 两 个 打 一 个 结 ,求 这 三 根 绳 子 能 连 接 成一 根 长 绳 的 概 率 . 命 题 点 4 命 题 点 1 命 题 点 2 命 题 点 3解 (1)共有三种等可能的情况,(2)画树状图如右: 所有等可能的情况有9种,其中这三根绳子能连接成一根长绳的情况有6种, 8分命 题 点 4 命 题 点 1 命 题 点 2 命 题 点 34.(2013安徽,8,4分)如 图 ,随 机 闭 合 开 关 K1,K2,K3中 的 两 个 ,则 能 让 两盏 灯 泡 同 时 发 光 的 概 率 为 ( B )命 题 点 4 命 题 点 1 命 题 点 2 命 题 点 3解 析 画树状图得:共有6种等可能的结果,能让两盏灯泡同时发光的是闭合开关K 1,K3与K3,K1,能让两盏灯泡同时发光的概率为 .故选B. 命 题 点 4 命 题 点 1 命 题 点 2 命 题 点 35.(2012安徽,8,4分)给 甲 、 乙 、 丙 三 人 打 电 话 ,若 打 电 话 的 顺 序 是任 意 的 ,则 第 一 个 打 电 话 给 甲 的 概 率 为 ( B )解 析 第1个打电话给甲、乙、丙(因为次序是任意的)的可能性是相同的,所以第一个打电话给甲的概率是 .故选B.命 题 点 4 命 题 点 1 命 题 点 2 命 题 点 3命 题 点 3 概 率 的 应 用6.(2015安徽,19,10分)A,B,C三 人 玩 篮 球 传 球 游 戏 ,游 戏 规 则 是 :第 一次 传 球 由 A将 球 随 机 地 传 给 B,C两 人 中 的 某 一 人 ,以 后 的 每 一 次 传 球都 是 由 上 次 的 传 球 者 随 机 地 传 给 其 他 两 人 中 的 某 一 人 .(1)求 两 次 传 球 后 ,球 恰 在 B手 中 的 概 率 ;(2)求 三 次 传 球 后 ,球 恰 在 A手 中 的 概 率 .命 题 点 4 命 题 点 1 命 题 点 2 命 题 点 3解 (1)画树状图如右:两次传球后,一共有4种等可能的情况出现,而出现球恰在B手中的情况有1种,所以P(球恰在B手中)= ; 5分(2)画树状图如右:三次传球后,一共有8种等可能的情况出现,而出现球恰在A手中的 情况有2种,所以P(球恰在A手中)= . 10分 命 题 点 4 命 题 点 1 命 题 点 2 命 题 点 3 命 题 点 4命 题 点 4 概 率 与 统 计 综 合7.(2018安徽,21,12分)“校 园 诗 歌 大 赛 ”结 束 后 ,张 老 师 和 李 老 师 将 所有 参 赛 选 手 的 比 赛 成 绩 (得 分 均 为 整 数 )进 行 整 理 ,并 分 别 绘 制 成 扇形 统 计 图 和 频 数 直 方 图 ,部 分 信 息 如 下 :扇形统计图 频数直方图 命 题 点 1 命 题 点 2 命 题 点 3 命 题 点 4(1)本 次 比 赛 参 赛 选 手 共 有 人 ,扇 形 统 计 图 中 “69.579.5”这 一 组 人 数 占 总 参 赛 人 数 的 百 分 比 为 ;(2)赛 前 规 定 ,成 绩 由 高 到 低 前 60%的 参 赛 选 手 获 奖 .某 参 赛 选 手 的比 赛 成 绩 为 78分 ,试 判 断 他 能 否 获 奖 ,并 说 明 理 由 ;(3)成 绩 前 四 名 是 2名 男 生 和 2名 女 生 ,若 从 他 们 中 任 选 2人 作 为 获 奖代 表 发 言 ,试 求 恰 好 选 中 1男 1女 的 概 率 . 命 题 点 1 命 题 点 2 命 题 点 3 命 题 点 4解 :(1)50,30%(2)不 能 .由 频 数 分 布 直 方 图 可 得 “89.599.5”这 一 组 人 数 为 12人 ,1250=24%,则 79.589.5和 89.599.5两 组 占 参 赛 选 手 60%,而7879.5,所 以 他 不 能 获 奖 .(3)方 法 1:由 题 意 得 树 状 图 如 下由 树 状 图 知 ,共 有 12种 等 可 能 结 果 ,其 中 恰 好 选 中 1男 1女 的 结 果 命 题 点 1 命 题 点 2 命 题 点 3 命 题 点 4方 法 2:用 A,B表 示 男 生 ,a,b表 示 女 生 ,则 从 四 名 同 学 中 任 取 2人 ,共 有AB,Aa,Ab,Ba,Bb,ab这 6种 等 可 能 结 果 ,其 中 1男 1女 有 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4考 法 1事 件 的 判 断 例 1(2018山东淄博)下 列 语 句 描 述 的 事 件 中 ,是 随 机 事 件 的 为 ( )A.水 能 载 舟 ,亦 能 覆 舟 B.只 手 遮 天 ,偷 天 换 日C.瓜 熟 蒂 落 ,水 到 渠 成 D.心 想 事 成 ,万 事 如 意答 案 :D解 析 :选 项 A是 一 个 正 确 的 事 实 ,所 以 不 属 于 随 机 事 件 ;选 项 B是 不可 能 事 件 ;C选 项 也 是 必 然 事 件 ;D选 项 是 随 机 事 件 ,故 选 D.方 法 总 结本题考查随机事件、必然事件、不可能事件的概率,必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0,随机事件发生的概率大于0小于1. 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4对 应 练 1(2018四川凉山)以 下 四 个 事 件 是 必 然 事 件 的 是 ( B )A. B. C. D. 解 析 :显然正确; a0=1,没有强调a0,错误; aman=am+n,错误.与正确.故选择B. 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4对 应 练 2(2018湖南长沙)下 列 说 法 正 确 的 是 ( C )A.任 意 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 硬 币 10次 ,一 定 有 5次 正 面 向 上B.天 气 预 报 说 “明 天 的 降 水 概 率 为 40%”,表 示 明 天 有 40%的 时 间都 在 降 雨C.“篮 球 队 员 在 罚 球 线 上 投 篮 一 次 ,投 中 ”为 随 机 事 件D.“a是 实 数 ,|a| 0”是 不 可 能 事 件解 析 :A.掷硬币是随机事件,不一定几次正面朝上,故A错误;B.表示降雨的可能性为40%,不是降雨时间为40%,故B错误;C.篮球队员投篮一次,可能投中,也可能投不中,故此事件为随机事件,C正确;D.根据绝对值的定义:实数a的绝对值为它本身(a 0)或它的相反数(a0),可知“a是实数,|a| 0”是必然事件,故D错误. 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4对 应 练 3(2018福建A卷)投 掷 两 枚 质 地 均 匀 的 骰 子 ,骰 子 的 六 个 面上 分 别 刻 有 1到 6的 点 数 ,则 下 列 事 件 为 随 机 事 件 的 是 ( D )A.两 枚 骰 子 向 上 一 面 的 点 数 之 和 大 于 1B.两 枚 骰 子 向 上 一 面 的 点 数 之 和 等 于 1C.两 枚 骰 子 向 上 一 面 的 点 数 之 和 大 于 12D.两 枚 骰 子 向 上 一 面 的 点 数 之 和 等 于 12解 析 :事先就知道一定能发生的事件是必然事件,所以两枚骰子向上一面的点数之和大于1是必然事件;事先知道它一定不会发生的事件是不可能事件,所以两枚骰子向上一面的点数之和等于1、两枚骰子向上一面的点数之和大于12是不可能事件;事先知道它有可能发生,也有可能不发生的事件是随机事件,所以两枚骰子向上 一面的点数之和等于12是随机事件.故选D. 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4考 法 2概 率 的 计 算 例 2(2017江苏盐城)为 了 弘 扬 祖 国 的 优 秀 传 统 文 化 ,某 校 组 织 了一 次 “诗 词 大 会 ”,小 明 和 小 丽 同 时 参 加 .其 中 ,有 一 道 必 答 题 是 :从 如图 所 示 的 九 宫 格 中 选 取 七 个 字 组 成 一 句 唐 诗 ,其 答 案 为 “山 重 水 复疑 无 路 ”.(1)小 明 回 答 该 题 时 ,对 第 2个 字 是 选 “重 ”还 是 选 “穷 ”难 以 抉 择 .若随 机 选 择 其 中 一 个 ,则 小 明 回 答 正 确 的 概 率 是 ;(2)小 丽 回 答 该 题 时 ,对 第 2个 字 是 选 “重 ”还 是 选 “穷 ”、 第 4个 字 是 选 “富 ”还 是 选 “复 ”都 难 以 抉 择 .若 分 别 随 机 选 择 ,请 用 列 表 或 画 树 状图 的 方 法 求 小 丽 回 答 正 确 的 概 率 . 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4(2)用 表 格 列 出 所 有 可 能 出 现 的 结 果 : 用 树 状 图 列 出 所 有 可 能 出 现 的 结 果 : 由 表 格 (树 状 图 )知 ,一 共 有 4种 可 能 出 现 的 结 果 ,它 们 是 等 可 能 的 ,其 中 正 确 回 答 只 有 1种 . 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4方 法 总 结本题小明回答正确的概率是“一步概率”,直接求解;小丽回答正确的概率是“两步概率”,先利用列表法或画树状图法列出所有可能出现的结果,然后再求解.对于三步或三步以上的概率计算,考虑树状图法. 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4对 应 练 4(2018湖北宜昌)在 “绿 水 青 山 就 是 金 山 银 山 ”这 句 话 中 任选 一 个 汉 字 ,这 个 字 是 “绿 ”的 概 率 为 ( B ) 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4对 应 练 5(2017湖南娄底)在 如 图 所 示 的 电 路 中 ,随 机 闭 合 开 关S1,S2,S3中 的 两 个 ,能 让 灯 泡 L1发 光 的 概 率 是 .解 析 :闭合开关S 1,S2,灯泡L1发光;闭合开关S1,S3,灯泡L1不发光;闭合开关S3,S2,灯泡L1不发光.所以随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能让灯泡L1发光的概率是 . 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4对 应 练 6(2018江苏连云港)汤 姆 斯 杯 世 界 男 子 羽 毛 球 团 体 赛 小组 赛 比 赛 规 则 :两 队 之 间 进 行 五 局 比 赛 ,其 中 三 局 单 打 ,两 局 双 打 ,五局 比 赛 必 须 全 部 打 完 ,赢 得 三 局 及 以 上 的 队 获 胜 .假 如 甲 、 乙 两 队每 局 获 胜 的 机 会 相 同 .(1)若 前 四 局 双 方 战 成 2 2,那 么 甲 队 最 终 获 胜 的 概 率 是 ;(2)现 甲 队 在 前 两 局 比 赛 中 已 取 得 2 0的 领 先 ,那 么 甲 队 最 终 获 胜的 概 率 是 多 少 ? 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4(2)树 状 图 如 图 所 示 :如 图 可 知 ,剩 下 的 三 局 比 赛 共 有 8种 等 可 能 的 结 果 ,其 中 甲 至 少 胜一 局 有 7种 , 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4考 法 3用 频 率 估 计 概 率 例 3(2018湖南郴州)某 瓷 砖 厂 在 相 同 条 件 下 抽 取 部 分 瓷 砖 做 耐磨 试 验 ,结 果 如 下 表 所 示 :则 这 个 厂 生 产 的 瓷 砖 是 合 格 品 的 概 率 估 计 值 是 .(精 确到 0.01)答 案 :0.95解 析 :观 察 表 格 ,发 现 大 量 重 复 试 验 瓷 砖 耐 磨 试 验 的 频 率 逐 渐 稳定 在 0.95左 右 ,所 以 这 个 厂 生 产 的 瓷 砖 是 合 格 品 的 概 率 估 计 值 是 0.95. 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4方 法 总 结本题考查了用频率估计概率.注意:只有在大量的重复试验中,某事件发生的频率逐渐稳定在某个数字附近,才把这个数字作为该事件的概率的近似值. 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4对 应 练 7(2018广西玉林)某 小 组 做 “用 频 率 估 计 概 率 ”的 实 验 时 ,绘 出 的 某 一 结 果 出 现 的 频 率 折 线 图 如 图 所 示 ,则 符 合 这 一 结 果 的 实验 可 能 是 ( D )A.抛 一 枚 硬 币 ,出 现 正 面 朝 上B.掷 一 个 正 六 面 体 的 骰 子 ,出 现 3点 朝 上C.一 副 去 掉 大 小 王 的 扑 克 牌 洗 匀 后 ,从 中 任 抽 一 张 牌 的 花 色 是 红 桃 D.从 一 个 装 有 2个 红 球 1个 黑 球 的 袋 子 中 任 取 一 球 ,取 到 的 是 黑 球 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4由题图可知,随着实验次数的增加,频率逐渐稳定在0.30.4之间,由此可知,可能是D选项的实验. 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4对 应 练 8(2018辽宁锦州)如 图 ,这 是 一 幅 长 为 3 m,宽 为 2 m的 长 方形 世 界 杯 宣 传 画 ,为 测 量 宣 传 画 上 世 界 杯 图 案 的 面 积 ,现 将 宣 传 画平 铺 在 地 上 ,向 长 方 形 宣 传 画 内 随 机 投 掷 骰 子 (假 设 骰 子 落 在 长 方形 内 的 每 一 点 都 是 等 可 能 的 ),经 过 大 量 重 复 投 掷 试 验 ,发 现 骰 子 落在 世 界 杯 图 案 中 的 频 率 稳 定 在 常 数 0.4附 近 ,由 此 可 估 计 宣 传 画 上世 界 杯 图 案 的 面 积 约 为 2.4 m2. 解 析 :用频率去估计概率,当频率稳定在常数0.4附近,即概率稳定在常数0.4附近,用面积法求概率的方法来解答. 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4 对 应 练 9(2017内蒙古呼和浩特)我 国 魏 晋 时 期 数 学 家 刘 徽 首 创“割 圆 术 ”计 算 圆 周 率 .随 着 时 代 发 展 ,现 在 人 们 依 据 频 率 估 计 概 率 这一 原 理 ,常 用 随 机 模 拟 的 方 法 对 圆 周 率 进 行 估 计 .用 计 算 机 随 机 产生 m个 有 序 数 对 (x,y)(x,y是 实 数 ,且 0 x 1,0 y 1),它 们 对 应 的 点在 平 面 直 角 坐 标 系 中 全 部 在 某 一 个 正 方 形 的 边 界 及 其 内 部 .如 果 统计 出 这 些 点 中 到 原 点 的 距 离 小 于 或 等 于 1的 点 有 n个 ,则 据 此 可 估 计的 值 为 .(用 含 m,n的 式 子 表 示 ) 解 析 : 根据题意,点的分布如图所示: 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4考 法 4概 率 的 应 用 例 4(2018山东枣庄)现 今 “微 信 运 动 ”被 越 来 越 多 的 人 关 注 和 喜 爱 ,某 兴 趣 小 组 随 机 调 查 了 我 市 50名 教 师 某 日 “微 信 运 动 ”中 的 步 数 情况 进 行 统 计 整 理 ,绘 制 了 如 下 的 统 计 图 表 (不 完 整 ): 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4根 据 以 上 信 息 ,解 答 下 列 问 题 :(1)写 出 a,b,c,d的 值 ,并 补 全 频 数 分 布 直 方 图 ;(2)本 市 约 有 37 800名 教 师 ,用 调 查 的 样 本 数 据 估 计 日 行 走 步 数 超过 12 000步 (包 含 12 000步 )的 教 师 有 多 少 名 ?(3)若 在 50名 被 调 查 的 教 师 中 ,选 取 日 行 走 步 数 超 过 16 000步 (包 含 16 000步 )的 两 名 教 师 与 大 家 分 享 心 得 ,求 被 选 取 的 两 名 教 师 恰 好都 在 20 000步 (包 含 20 000步 )以 上 的 概 率 . 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4(2)算出样本平均数,从而估计出总体平均数.(3)画树状图或列表给出所有可能发生的情况数和事件发生的情况数,再利用概率公式求出概率. 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4解 :(1)a=0.16,b=0.24,c=10,d=2.补 全 频 数 分 布 直 方 图 如 图 所 示 .37 80030%=11 340(人 ),即 估 计 日 行 走 步 数 超 过 12 000步 (包 含 12 000步 )的 教 师 有 11 340名 . 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4(3)设 16 000 x20 000的 三 名 教 师 分 别 为 A、 B、 C,20 000 x24 000的 两 名 教 师 分 别 为 X、 Y, 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4从 表 中 可 知 ,选 取 日 行 走 步 数 超 过 16 000步 (包 括 16 000步 )的 两名 教 师 与 大 家 分 享 心 得 ,共 有 20种 情 况 ,其 中 被 选 取 的 两 名 教 师 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4对 应 练 10(2017山东青岛)小 华 和 小 军 做 摸 球 游 戏 :A袋 装 有 编 号为 1,2,3的 三 个 小 球 ,B袋 装 有 编 号 为 4,5,6的 三 个 小 球 ,两 袋 中 的 所 有小 球 除 编 号 外 都 相 同 .从 两 个 袋 子 中 分 别 随 机 摸 出 一 个 小 球 ,若 B袋摸 出 小 球 的 编 号 与 A袋 摸 出 小 球 的 编 号 之 差 为 偶 数 ,则 小 华 胜 ,否 则小 军 胜 ,这 个 游 戏 对 双 方 公 平 吗 ?请 说 明 理 由 . 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4对 应 练 11(2018湖南湘潭)为 进 一 步 深 化 基 础 教 育 课 程 改 革 ,构 建符 合 素 质 教 育 要 求 的 学 校 课 程 体 系 ,某 学 校 自 主 开 发 了 A书 法 、 B阅 读 、 C足 球 、 D器 乐 四 门 校 本 选 修 课 程 供 学 生 选 择 ,每 门 课 程 被选 到 的 机 会 均 等 .(1)学 生 小 红 计 划 选 修 两 门 课 程 ,请 写 出 所 有 可 能 的 选 法 ;(2)若 学 生 小 明 和 小 刚 各 计 划 选 修 一 门 课 程 ,则 他 们 两 人 恰 好 选 修同 一 门 课 程 的 概 率 为 多 少 ? 考 法 1 考 法 2 考 法 3 考 法 4解 :(1)画 树 状 图 为 :共 有 12种 等 可 能 的 情 况 .(2)画 树 状 图 为 :
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