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第二节 古典概型 第 二 节 古 典 概 型 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 双基研习 面对高考 双基研习 面对高考 基础梳理 1 古典概型 如果一个试验满足下面两个特征： (1)_ ：在一次试验中 ， 可能出现的结果 只有有限个 ， 即只有有限个不同的基本事件； (2)_ ：每个基本事件发生的可能性是均 等的 那么我们称这样的试验为古典概型 有限性 等可能性 2 基本事件的概率 一般地，对于古典概型，如果试验的 n 个基本事件 为 A 1 ， A 2 ， ， A n ，由于基本事件是两两互斥的， 所以有 P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A n ) _ _ _ _ P ( ) 1. 又因为每个事件发生的可能性相等，即 P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A n ) ，代入上式得 n P ( A 1 ) 1 ，即 P ( A 1 ) 1 n . 所以，在基本事件总数为 n 的古典概型中，每个基 本事件发生的概率为 1 n . P(A1 A2 An) 3 古典概型的概率公式 P ( A ) 事件 A 包含的基本事件数 试验的基本事件总数 . 思考感悟 如何确定一个试验是否为古典概型 ？ 提示： 古典概型具备的特征：有限性和等可能 性 课前热身 1 一个口袋中装有大小相同的 1个白球和已经 编有不同号码的 3个黑球 ， 从中摸出 2个球 ， 则 该试验的基本事件总数个数为 _ 答案： 6 解析： 基本事件总数为 3 种， 甲被选中的种数为 2 种， 故 P 2 3 . 答案： 23 2 (2011年无锡调研 )从甲 、 乙 、 丙三人中任选 两名代表 ， 甲被选中的概率为 _ 3 一枚硬币连掷 2次 ， 只有一次出现正面的 概率为 _ 解析： 一枚硬币连掷 2 次可能出现正正、 反反、正反、反正四种情况，而只有一 次出现正面的有两种， P 2 4 1 2 . 答案： 12 4 古代 “五行 ”学说认为： “物质分金 、 木 、 水 、 火 、 土五种属性 ， 金克木 ， 木克土 ， 土克水 ， 水 克火 ， 火克金 ”， 从五种不同属性的物质中随机 抽取两种 ， 则抽取的两种物质不相克的概率是 _ 答案： 12 考点探究 挑战高考 古典概型的有关概念 考点突破 弄清每一次试验的意义及每个基本事件的含义 是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互 关系是解决问题的重要方面，判断一次试验中 的基本事件，一定要从其可能性入手，加以区 分而一个试验是否是古典概型要看其是否满 足有限性和等可能性 例 1 (2010年高考湖南卷 )为了对某课题进行 研究 ， 用分层抽样方法从三所高校 A， B， C的 相关人员中 ， 抽取若干人组成研究小组 ， 有关 数据见下表 (单位：人 ). 高 校 相关人数 抽取人数 A 18 x B 36 2 C 54 y (1)求 x， y； (2)若从高校 B、 C抽取的人中选 2人作专题发言 ， 求这二人都来自高校 C的概率 【思路分析】 (1) 依次列举； (2) 观察事件 的个数，利用 P ( A ) n N 求值 【解】 ( 1) 由题意可得， x 18 2 36 y 54 ，所以 x 1 ， y 3. (2) 记从高校 B 抽取的 2 人为 b 1 ， b 2 ，从高校 C 抽 取的 3 人为 c 1 ， c 2 ， c 3 ，则从高校 B ， C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有 ( b 1 ， b 2 ) ， ( b 1 ， c 1 ) ， ( b 1 ， c 2 ) ， ( b 1 ， c 3 ) ， ( b 2 ， c 1 ) ， ( b 2 ， c 2 ) ， ( b 2 ， c 3 ) ， ( c 1 ， c 2 ) ， ( c 1 ， c 3 ) ， ( c 2 ， c 3 ) 共 10 种 设选中的 2 人都来自高校 C 的事件为 X ， 则 X 包含的基本事件有 ( c 1 ， c 2 ) ， ( c 1 ， c 3 ) ， ( c 2 ， c 3 ) 共 3 种，因此 P ( X ) 3 10 . 故选中的 2 人都来自高校 C 的概率为 3 10 . 【 名师点评 】 基本事件的查找是解题的基 础 ， 要列举出所有的基本事件 ， 需要有基本 事件的线索 ， 要注意不重复 、 不遗漏 求简单的古典概型的概率 求古典概型概率的步骤 (1)仔细阅读题目 ， 弄清题目的背景材料 ， 加 深理解题意 (2)判断本试验的结果是否为等可能事件 ， 设 出所求事件 A. (3)分别求出基本事件的总数 n与所求事件 A中 所包含的基本事件个数 m. (4) 利用公式 P ( A ) m n 求出事件 A 的概率 并不是所有的试验都是古典概型例如，在 适宜的条件下种下一粒种子观察它是否 “ 发 芽 ” ，这个试验的基本事件空间为 发芽，不 发芽 ，而 “ 发芽 ” 与 “ 不发芽 ” 这两种结果出现 的机会一般是不均等的 例 2 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球 , 球的编号分别为 1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球 ， 求取出的球的编号之和 不大于 4的概率； (2)先从袋中随机取一个球 ， 该球的编号为 m， 将 球放回袋中 ， 然后再从袋中随机取一个球 ， 该球 的编号为 n， 求 n m 2的概率 【解】 (1) 从袋中随机取两个球，其一切可能的 结果组成的基本事件有 1 和 2 , 1 和 3 , 1 和 4, 2 和 3, 2 和 4, 3 和 4 ，共 6 个 从袋中取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2 , 1 和 3 两个 因此所求事件的概率 P 2 6 1 3 . (2) 先从袋中随机取一个球，记下编号为 m ，放回 后，再从袋中随机取一个球，记下编号为 n ，其 一切可能的结果 ( m ， n ) 有： (1 , 1) ， (1 , 2) ， (1 , 3) ， (1 , 4) ， (2 , 1) ， (2 , 2) ， (2 , 3) ， (2 , 4) ， (3, 1) ， ( 3, 2) ， (3 , 3) ， (3 , 4) ， (4, 1 ) ， ( 4, 2) ， (4 , 3) ， (4 , 4) ， 共 16 个 又满足条件 n m 2 的事件为 (1 , 3) ， (1, 4) ， (2 , 4) ， 共 3 个 所以满足条件 n m 2 的事件的概率为 P 1 3 16 . 故满足条件 n m 2 的事件的概率为 1 P 1 1 3 16 13 16 . 【 名师点评 】 解决古典概型问题的关键是首先 明确基本事件是什么 然后分清基本事件总数 n 与事件 A所含的基本事件数 m， 因此要注意以下 几个方面： 明确基本事件是什么； 试验是否是等可能性 的试验； 基本事件总数是多少； 事件 A包含 多少个基本事件 变式训练 1 袋中有 6个球 ， 其中 4个白球 ， 2个红 球 ， 从袋中任意取出 2个球 ， 求下列事件的概率： (1)A：取出的 2个球都是白球； (2)B：取出的 2个球中 1个是白球 ， 另 1个是红球 解：设 4个白球的编号为 1,2,3,4,2个红球的编号为 5,6.从袋中的 6个小球中任取 2个的方法为 (1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (1,6)， (2,3)， (2,4)， (2,5)， (2,6)， (3,4)， (3,5)， (3,6)， (4,5)， (4,6)， (5,6)共 15 种 (1) 从袋中的 6 个球中任取 2 个，所取的 2 个球全 是白球的方法总数，即是从 4 个白球中任取 2 个 的方法总数，共有 6 种，即为 ( 1, 2) ， (1 , 3) ， ( 1, 4) ， (2, 3) ， (2 , 4) ， (3 , 4) 取出的 2 个球全是白球的概率为 P ( A ) 6 15 2 5 . (2) 从袋中的 6 个球中任取 2 个，其中 1 个为红球， 而另 1 个为白球，其取法包括 ( 1, 5) ， (1, 6 ) ， (2 , 5) ， (2, 6) ， (3 , 5) ， (3 , 6) ， (4 , 5) ， (4 , 6) 共 8 种 取出的 2 个球中 1 个是白球，另 1 个是红球的 概率为 P ( B ) 8 15 . 复杂事件的古典概型 求复杂事件的概率问题，关键是理解题目的实 际含义，必要时将所求事件转化为彼此互斥事 件的和，或者是先去求对立事件的概率，进而 再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概 率公式求出所求事件的概率 例 3 现有 8名广州亚运会志愿者 ， 其中志愿者 A1， A2， A3通晓日语 ， B1， B2， B3通晓俄语 ， C1 ， C2通晓韩语 从中选出通晓日语 、 俄语和韩 语的志愿者各 1名 ， 组成一个小组 (1)求 A1被选中的概率； (2)求 B1和 C1不全被选中的概率 【 思路分析 】 (1)列举出所有基本事件和 “A1被 选中 ”包含的基本事件 ， 然后代入公式计算 (2)先求 B1和 C1全被选中的概率 【 解 】 (1)从 8人中选出日语 、 俄语和韩语志愿 者各 1名 ， 其一切可能的结果如下： (A1， B1， C1)， (A1， B1， C2)， (A1， B2， C1)， (A1， B2， C2)， (A1， B3， C1)， (A1， B3， C2)， (A2， B1， C1)， (A2， B1， C2)， (A2， B2， C1)， (A2， B2， C2)， (A2， B3， C1)， (A2， B3， C2)， (A3， B1， C1)， (A3， B1， C2)， (A3， B2， C1)， (A3， B2， C2)， (A3， B3， C1)， (A3， B3， C2)共 18个基本事件 由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此 这些基本事件的发生是等可能的 “ A 1 恰被选中 ” 这一事件记为事件 M ，则事件 M 由 6 个基本事件组成，即 ( A 1 ， B 1 ， C 1 ) ， ( A 1 ， B 1 ， C 2 ) ， ( A 1 ， B 2 ， C 1 ) ， ( A 1 ， B 2 ， C 2 ) ， ( A 1 ， B 3 ， C 1 ) ， ( A 1 ， B 3 ， C 2 ) ，因而 P ( M ) 6 18 1 3 . (2) 用 “N ” 表示 “B 1 ， C 1 不全被选中 ” 这一事件，则 其对立事件 N 表示 “ B 1 、 C 1 全被选中 ” 这一事件； 由于事件 N 由 3 个基本事件组成，即 ( A 1 ， B 1 ， C 1 ) ， (A 2 ， B 1 ， C 1 ) ， ( A 3 ， B 1 ， C 1 ) ，所以 P ( N ) 3 18 1 6 ， 由对立 事件的概率公式得 P ( N ) 1 P ( N ) 1 1 6 5 6 . 【 名师点评 】 解答本题 (2)易出现将 “B1、 C1 不全被选中 ”认为是 “B1， C1只选其一 ”， 出现此 错误的原因是将数学中的 “不全 ”与生活中的 “不 全 ”等同 ， 没有深刻理解否定词 “不 ”的含义 变式训练 2 甲 、 乙两人共同抛掷一枚硬币 ， 规 定硬币正面朝上甲得 1分 ， 否则乙得 1分 ， 先积 得 3分者获胜 ， 并结束游戏 (1)求在前 3次抛掷中甲得 2分 、 乙得 1分的概率； (2)若甲已经积得 2分 ， 乙已经积得 1分 ， 求甲最 终获胜的概率 解： ( 1) 掷一枚硬币三次，列出所有可能情况 共 8 种： ( 上上上 ) ， ( 上上下 ) ， ( 上下上 ) ， ( 下上上 ) ， ( 上 下下 ) ， ( 下上下 ) ， ( 下下上 ) ， ( 下下下 ) ； 其中甲得 2 分、乙得 1 分的情况有 3 种， 故所求概率 P 3 8 . (2) 在题设条件下，至多还要 2 局， 情形一：在第四局，硬币正面朝上，则甲积 3 分、乙积 1 分，甲获胜，概率为 1 2 ； 情形二：在第四局，硬币正面朝下，第五局硬 币正面朝上，则甲积 3 分、乙积 2 分，甲获胜， 概率为 1 4 . 由概率的加法公式，甲获胜的概率为 1 2 1 4 3 4 . 方法感悟 方法技巧 1 用列举法把古典概型试验的基本事件一一 列出来，然后 再求出事件 A 中的基本事件， 利用公式 P ( A ) m n 求出事件 A 的概率这是 一个形象、直观的好方法，但列举时必须按 照某一顺序做到不重复、不遗漏 2 事件 A的概率的计算方法 ， 关键要分清基本事 件总数 n与事件 A包含的基本事件数 m.因此必须解 决以下三个方面的问题：第一 ， 本试验是否是等 可能的；第二 ， 本试验的基本事件有多少个；第 三 ， 事件 A是什么 ， 它包含的基本事件有多少个 失误防范 古典概型的重要思想是事件发生的等可能性， 一定要注意在计算基本事件数和事件发生数时， 它们是否是等可能的 考向瞭望 把脉高考 考情分析 从近几年的江苏高考试题来看 ， 古典概型是高 考的热点 ， 可在填空题中单独考查 ， 也可在解 答题中与统计一起考查 ， 属容易或中档题 以 考查基本概念 、 基本运算为主 预测 2012年江苏高考 ， 古典概型仍然是考查的 重点 ， 同时应注意古典概型与统计结合命题 规范解答 例 (本题满分 14分 )(2010年高考陕西卷 )为 了解学生身高情况 ， 某校以 10%的比例对全 校 700名学生按性别进行分层抽样调查 ， 测得 身高情况的统计图如下： (1)估计该校男生的人数； (2)估计该校学生身高在 170 185 cm之间的概率； (3)从样本中身高在 180 190 cm之间的男生中任选 2人 ， 求至少有 1人身高在 185 190 cm之间的概 率 【 解 】 (1)样本中男生人数为 40， 由分层抽样比 例为 10%估计全校男生人数为 400.2分 (2) 有统计图知，样本中身高在 170 185 c m 之间的学生有 14 13 4 3 1 35( 人 ) ，样 本容量为 70 ，所以样本中学生身高在 170 185 c m 之间的频率 f 35 70 0 . 5 ，故由 f 估计 该校学生身高在 170 1 85 c m 之间的概率 p 1 0 . 5. 6 分 (3)样本中身高在 180 185 cm之间的男生有 4人 ， 设其编号为 ， ， ， ， 样本中身高在 185 190 cm之间的男生有 2人 ， 设其编号为 ， ， 从上述 6人中任取 2人的树状图为： 10分 故从样本中身高在 180 19 0 c m 之间的男生中 任选 2 人的所有可能结果数为 15 ， 12 分 至少有 1 人身高在 185 1 90 c m 之间的可能结 果数为 9 ，因此，所求概率 p 2 9 15 3 5 . 14 分 【 名师点评 】 本题在求基本事件总数和所 求事件包含的基本事件数时 ， 易出现标准不 统一而导致结果错误的情况 名师预测 1 有两个不透明的箱子 ， 每个箱子都装有 4个完 全相同的小球 ， 球上分别标有数字 1、 2、 3、 4. (1)甲从其中一个箱子中摸出一个球 ， 乙从另一个 箱子摸出一个球 ， 谁摸出的球上标的数字大谁就 获胜 (若数字相同则为平局 )， 求甲获胜的概率； (2)摸球方法与 (1)同 ， 若规定：两人摸到的球上所 标数字相同甲获胜 ， 所标数字不相同则乙获胜 ， 这样规定公平吗 ？ 解： (1) 用 ( x ， y )( x 表示甲摸到的数字， y 表示乙 摸到的数字 ) 表示甲、乙各摸一球构成的基 本事 件， 则基本事件有： ( 1, 1) 、 (1 , 2) 、 (1 , 3) 、 (1, 4 ) 、 (2 , 1) 、 (2, 2) 、 (2 , 3) 、 (2 , 4) 、 ( 3, 1) 、 (3, 2) 、 (3, 3) 、 (3, 4) 、 (4, 1) 、 (4 , 2) 、 (4 , 3) 、 (4 , 4) 共 16 个； 设甲获胜的事件为 A ，则事件 A 包含的基本事件 有： (2 , 1) 、 (3, 1 ) 、 (3 , 2) 、 (4 , 1) 、 (4 , 2) 、 (4, 3 ) ，共 有 6 个 则 P ( A ) 6 16 3 8 .即甲获胜的概率为 3 8 . (2) 设甲获胜的事件为 B ，乙获胜的事件为 C . 事件 B 所包含的基本事件有： (1, 1) 、 (2 , 2) 、 (3 , 3) 、 (4 , 4) ，共有 4 个； 则 P ( B ) 4 16 1 4 ， P ( C ) 1 P ( B ) 1 1 4 3 4 ， 由 P ( B ) P ( C ) ， 所以这样规定不公平 2 先后随机投掷 2枚正方体骰子 ， 其中 x表示 第 1枚骰子出现的点数 ， y表示第 2枚骰子出现 的点数 (1)求点 P(x， y)在直线 y x 1上的概率； (2)求点 P(x， y)满足 y2 4x的概率 解： (1) 每颗骰子出现的点数都有 6 种情况，所 以基本事件总数为 6 6 36( 个 ) 记 “ 点 P ( x ， y ) 在直线 y x 1 上 ” 为事件 A ， A 有 5 个基本事件： A (2, 1) ， ( 3, 2) ， ( 4, 3) ， (5 , 4) ， (6 , 5) ， P ( A ) 5 36 . (2) 记 “ 点 P ( x ， y ) 满足 y 2 4 x ” 为事件 B ， 则事件 B 有 17 个基本事件： 当 x 1 时， y 1 ； 当 x 2 时， y 1 , 2 ； 当 x 3 时， y 1 , 2 , 3 ； 当 x 4 时， y 1 , 2 , 3 ； 当 x 5 时， y 1 , 2 , 3, 4 ； 当 x 6 时， y 1 , 2 , 3, 4 ， P ( B ) 17 36 . 本部分内容讲解结束 点此进入课件目录 按 ESC键退出全屏播放 谢谢使用
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