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1 第一章要点回顾（定性知识） 自 动 控 制 系 统 的 基 本 概 念 反 馈 控 制 系 统 的 基 本 组 成 、 原 理 方 框 图 自 动 控 制 系 统 的 基 本 控 制 方 式 自 动 控 制 系 统 的 分 类 自 动 控 制 系 统 的 基 本 要 求 典 型 输 入 信 号 2 第二章 控制系统的数学模型 2.1 引言 2.2 时域数学模型 2.3 复数域数学模型 2.4 结构图、信号流图与梅逊公式 2.5 反馈控制系统的传递函数 千里之行，始于足下。 3 2.1 引 言 一 .数学模型 1.定义： 系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及系统内部各物理 量之间关系的数学表达。 数学模型是分析和设计自动控制系统的基础。 2.为什么要建立数学模型： 我们需要了解系统的具体的性能指标，只是定性地了解系统的 工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的系 统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的 数学模型。它是分析和设计系统的依据。 另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统， 其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不 单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的关 系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统，因此需建立控制系 统的数学模型。（ 比如机械平移系统和 RLC电路就可以用同一个数学 表达式分析，具有相同的数学模型。） 4 二 . 物理模型 任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它 作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简 化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化 是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求， 来确定出合理的物理模型。（ 电子放大器 看成 理想 的线性放大环节；通讯卫星 看成 质点 。） 5 三、 数学模型的几种表示方式 数学模型 时域模型 频域模型 方框图和信号流图 状态空间模型 微分方程 同一个系统，可以选用不同的数学模型，研究时域响 应时须用时域模型，研究频域响应时则要用频率特性。 传递函数 6 四、 建立数学模型的方法 ： 目前工程上采用的方法主要是 a、分析计算法 (机理建模，解析 ) 分析计算 法是根据支配系统的内在运动规律（ 物理规 律、化学规律等） 以及系统的结构和参数， 推导出输入量和输出量之间的数学表达式， 从而建立数学模型 适用于简单的系统 b、工程实验法 (实验建模、辨识 ) 它是利用 系统的输入 -输出信号来建立数学模型的方 法。通常在对系统一无所知的 情况下，采用 这种建模方法。 7 黑盒（灰盒） 输入 输出 但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为 灰 盒 ，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方 便地建立系统的数学模型。 理论上，没有一个数学表达式能够准确（绝对准确） 地描述一个系统，因为，理论上任何一个系统都是非线 性的、时变的和分布参数的，都存在随机因素，系统越 复杂，情况也越复杂。 而实际工程中，为了简化问题，常常对一些对系统运 动过程影响不大的因素忽略，抓住主要问题进行建模， 进行定量分析，也就是说建立系统的数学模型应该在模 型的准确度和复杂度上进行折中的考虑。不能过于简化， 而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使 系统的数学模型过于复杂。 8 分析法建立系统数学模型的几个步骤： 建立物理模型。 列写原始方程。利用适当的物理、化学 规律 如牛顿定律、基尔霍夫电流和电 压定律、能量守恒定律等） 选定系统的输入量、输出量及状态变量 （仅在建立状态模型时要求），消去中 间变量，建立适当的输入输出模型或状 态空间模型。 9 实验法基于系统辨识的建模方法 黑匣子 输入（已知） 输出（已知） 已知知识和辨识目的 实验设计 -选择实验条件 模型阶次 -适合于应用的适当的阶次 参数估计 -最小二乘法 模型验证 将实际输出与模型的计算输出进行比较， 系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。 10 2.2 微分方程模型（时域模型） 2.2.1 建立微分方程模型 (最基本数学模型 )的 基本步骤 ： 在实际应用中，绝大多数控制系统在一定的限制条 件下，都可以用线性微分方程来描述。 （ 1）分析系统的工作原理，确定系统、各元件的 输入输出物理量； （ 2）根据物理定律或化学定律（机理），列出各 元件或环节的原始方程，在条件允许的情况下忽略 次要因素，适当简化； （ 3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分 方程。 （ 4）标准化。 11 2.2.2 例题解析 U 1 R 1 R 2 U 2C 1 C 2 图 2 - 1 R C 组 成 的 四 端 网 络 图 2-1为由一 RC组 成的四端无源网 络。试列写以 U1 （ t）为输入量， U2(t)为输出量的 网络微分方程。 例 2-1 电路网络 12 1111 cUiRU dtiiCU c )(1 21 1 1 2221 cc UiRU dtiCU c 2 2 2 1 22 cUU 由、得 解： 设回路电流 i1、 i2，根据克希霍夫定律，列写方程 如下： 13 dt dUC dt dUCi c 2 2 2 22 由导出 dt dUC dt dUCi dt dUCi cc 2 2 1 12 1 11 将 i1、 i2代入、，则得 222111 cUiRiRU 222222111 )( Udt dUCR dt dUC dt dUCR c 14 22222222211 )( Udt dUCR dt dUCUiR dt dCR 2 2 22 2 21 2 112 2 2 2211 Udt dUCR dt dUCR dt dUCR dt UdCRCR 12 2 2221112 2 2 2121 )( UUdt dUCRCRCR dt UdCCRR 这就是 RC组成的四端网络的数学模型，是 一个二阶线性微分方程。 15 注意： 整个电路虽然是由两个 RC电路所组成，但 不能把它看作是两个独立的 RC电路的连接。因 为第二级电路的 i2要影响第一级电路的 uc1，列 写方程式应考虑这个影响。这种后一级对前一 级的影响叫做 负载效应 。存在负载效应时，必 须把全部元件作为整体来加以考虑。本例若不 考虑负载效应时，有：消去中间变量得： 第一级 得： 第二级 显然，与前面 得到的结果不同。 12 2 22 11 1 11 cc c c c UU dt dU CR UU dt dU CR 12 2 22112 2 2 2121 )( UUdt dUCRCR dt UdCCRR 16 试证明图 2-2(a)、 (b)所示的机、电系统是相似系统 (即两系统具有相同的数学模型 )。 图 2 - 2 机 电 相 似 系 统 B 1 B 2 K 1 K 2 X r X c ( a ) 机 械 系 统 R 2 C 2 R 1 C 1 U r U c ( b ) 电 气 系 统 例 2-2 机电系统 17 对电气网络 (b)，列写电路方程如下： c2c2cr1cr1 XBXK)X-X(B)X-(XK rrc XKBXKKBB 1121c21 X)(X)( rUi dtCiRi dtCiR 1 1 2 2 11 c22c11 UCUC c11c i URU rc2c121 UUU)i(R R 解： 对机械网络（ a）：输入为 Xr，输出为 Xc，根据力平 衡，可列出其运动方程式 18 利用 、 、 求出 代入 将 两边微分得 1) 2 1 1(21 ) 2 1 1( R C C RR Uc C C Ur i rrcc UCURUCCURR 1 1 21 21 1)11()( 19 力 -电相似 机系统（ a）和电系统（ b）具有相同的数学模型，故这些物 理系统为相似系统。（即电系统为即系统的等效网络） 相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系。由此可见利用 数学模型研究控制系统的重要性、方便性。另外，用电气系统模拟机 械系统进行实验研究也是工程中的常用方法，因为一般来说，电的或 电子的系统更容易通过试验进行研究。 就系统理论而言，可以撇开系统的具体属性进行普遍意义的分 析和研究。 机械 电阻 R1 电阻 R2 弹性系 数 K1 弹性系 数 K2 电气 阻尼 B1 阻尼 B2 1/C1 1/C2 20 图 2-3 所示为电枢控制直流 电动机的微分方程，要求 取电枢电压 Ua(t)（ v）为输 入量，电动机转速 m（ t） （ rad/s）为输出量，列写 微分方程。图中 Ra()、 La(H)分别是电枢电路的电 阻和电感， Mc(NM)是折 合到电动机轴上的总负载 转距。激磁磁通为常值。 图 2 - 3 电 枢 控 制 直 流 电 动 机 原 理 图 S M 负 载 - - L a R a E a W m J m , f m U a i f i a 例 2-3 电动机系统 21 解： 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转 换为机械能，也就是由输入的电枢电压 Ua(t)在电枢回路 中产生电枢电流 ia(t)，再由电流 ia（ t）与激磁磁通相互 作用产生电磁转距 Mm(t)，从而拖动负载运动。因此， 直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。 (1)电枢回路电压平衡方程 (2)电磁转距方程 (3)电动机轴上的转距平衡方程 22 电枢回路电压平衡方程： Ea是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生 的反电势，其大小与激磁磁通及转速 成正比，方向与电枢电压 Ua(t)相反， 即 Ea=Cem（ t） Ce反电势系数（ v/rad/s） aaa a aa EtiRdt tdiLtU )()()( 23 电磁转距方程： -电动机转距系数 （ Nm/A）是电动机转距系数 -是由电枢电流产生的电磁转距（ Nm） 电动机轴上的转距平衡方程： Jm转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的） kgm fm-电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数 （ Nm/rad/s） )()( tiCtM amm mC )(tMm )()()()( tMtMtfdt tdJ cmmmmm 24 、 求出 ia(t)，代入 同时 亦代入 得： )( )( )( )()( )( )( )(2 tMR dt tdM LtUC tCCfR dt td JRfL dt td JL ca c aam memma m mama m ma 在工程应用中，由于电枢电路电感 La较小，通常忽略不计， 因而 可简化为 )()()()( 21 tMKtUKtdt tdT cammm emma ma m CCfR JRT emm a CCR a f RK 2 emma m CCfR CK 1 电动机机电时间常数（ s） 25 如果电枢电阻 Ra和电动机的转动惯量 Jm都 很小而忽略不计时 还可进一步简化为 )()( tUtC ame )(tUa)(tm 电动机的转速 与电枢电压 成正比， 于是电动机可作为测速发电机使用。 26 例 2-4：速度控制系统 (复杂系统 ) 27 建立一个复杂的控制系统的数学模型，重要是分析构成系统的 各个环节，以及环节间的耦合（有无负载效应），在无负载效 应的情况下，先列写各环节的数学模型，最后整理得系统得数 学模型，对于该系统，构成系统的各环节如上图所示，各环节 得数学模型为： 运算放大器 运算放大器 功率放大器 直流电动机 齿轮系 测速发电机 eu1K)tui(u1K1u RCRRK udtduKu 122 1 1 22 )( 23 uKu a ccamm m m MKuKwdt dwT mwiw 1 wKu tt 28 将上述方程消除中间变量 整理后便得 到该控制系统的微分方程： mat wuuuu , 21 );/( );/( );/( );/()( 321 321321 321321 321321 tmcc tmmg tmmg tmtmmm ccig i gm KKKKKiKK KKKKKiKKKKK KKKKKiKKKKK KKKKKiKKKKKiTT MKuK dt du Kw dt dw T 29 2.2.3 线性系统的特性 1.定义： 如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就 是线性系统。 线性元件：具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。 非线性元件：不具有迭加性和齐次性的元件称为非线性元 件。 如果元件输入为 r（ t）、 r1（ t）、 r2（ t），对应的 输出为 c（ t）、 c1（ t）、 c2（ t） 如果 r（ t） =r1（ t） +r2（ t）时， c（ t） =c1（ t） +c2 （ t） 满足迭加性 如果 r（ t） =ar1（ t）时， c（ t） =ac1（ t） 满足 齐次性 满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件。 30 2.重要特点： 对线性系统可以应用迭加性和齐次性，对研究带来 了极大的方便。 迭加性的应用：欲求系统在几个输入信号和干扰信号 同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应， 然后加起来就是总响应。 齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，其响应 的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外 作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行 分析 简化了问题。 31 2.2.4 线性微分方程的求解 方法两种 :经典法和拉氏变换法 拉氏变换法求解线性定常微分方程的过程为： (1) 考虑初始条件 ， 对每一项进行拉氏变换 ， 转 换为变量 s的代数方程； (2) 由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达 式； (3) 对输出量拉氏变换函数求反变换 ， 得到输出 量的时域表达式 ， 即微分方程的解 。 列出方程 求解方程 求解微分方程 初条 输入量 32 2.2.5 非线性微分方程的线性化 严格地说，实际物理元件或系统都是非线性的。如： 弹簧的刚度与其形变有关，弹性系数 K与位移 x有关，且 非常值；电阻、电容、电感等值也与周围环境及经过它 们的电流有关； 电动机本身的摩擦、死区等非线性因素 也存在。 常用两种处理方法：忽略非线性 取常值 切线法或小偏差法 在工程实践中，控制系统都有一个额定的工作状态 和工作点，当变量在工作点附近作小范围的变化 ,且变量 在给定的区域间有各阶导数时，便可在给定工作点的邻 域将非线性函数展开为泰勒级数，忽略级数中高阶无穷 小项后，就可得到只包含偏差的一次项的线性方程。这 种线性化方法称为小偏差法。 33 设一个变量的连续非线性函数 y=f(x)， 在 x0处连 续可微，则可将它在该点附件用台劳级数展开 2 )0)(0(!21)0)(0()0()( xxxfxxxfxfxfy 增量较小时略去其高次幂项，则有 )0)(0()0()(0 xxxfxfxfyy 0 xxx 0yyy 令 y=kx k比例系数，函数在 x0点切线 的斜率 . 34 两个变量的非线性函数 y=f(x1,x2)，同样可在某工作点 （ x10,x20）附近用台劳级数展开为 )( ),( )( ),( 2 )( ),( !2 1 )( ),( )( ),( ),(),( 2 2022 2 2010 2 202101 21 2010 2 1012 1 2010 2 202 2 2010 101 1 2010 201021 xx x xxf xxxx xx xxf xx x xxf xx x xxf xx x xxf xxfxxfy 35 略去二级以上导数项，并令 y y-f(x10,x20) 这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可 行的，平衡点附近，偏差一般不会很大，都是“小偏差点”。 在线性化处理时要注意以下几点： （ 1）线性化方程中的参数（如上面的 ）与选择的工作点有关， 工作点不同相应的参数也不同。因此处理时，首先应确定工作点。 （ 2）在线性化过程中，略去了泰勒级数中二阶以上的无穷小项， 如果实际系统中输入量变化范围较大时，采用小偏差法建立线性 模型必然会带来较大的误差。 （ 3）如果描述非线性特性的函数具有间断点，折断点或非单值 关系而无法作线性化处理时，则控制系统只能应用非线性理论来 研究。 （ 4）线性化后的微分方程 通常是增量方程，在应用上为了简便 通常直接采用 y和 x来表示增量。 20221011 xxxxxx 22112 2 2010 1 1 2010 ),(),( xKxKx x xxfx x xxfy 36 10y12 上线性化。求用线 性化方程来计算当 x=5， y=10时 z值所产生的误差。 解：由于研究的区域为 5x7 、 10y12 ，故 选择工作点 x0=6， y0=11。 于是 z0=x0y0=6 11=66. 求在点 x0=6， y0=11， z0=66 附近非线性方程的线性化表 达式。将非线性方程在 点 x0,y0,z0处展开成泰勒级 数，并忽略其高阶项，则有 )()( 000 yybxxazz 110 0 0 yxza yy xx 60 0 0 xyzb yy xx 因此，线性化方程式为： z-66=11(x-6)+6(y-11) z=11x+6y-66 当 x=5,y=10时， z的精确值为 z=xy=5 10=50 由线性化方程求得的 z值为 z=11x+6y=55+60-66=49 因此，误差为 50-49=1，表示成百分数 %2 501 例 2-5 试把非线性方程 z=xy 在区域 5x7 、 37 数学工具拉普拉斯变换与反变换 1、 拉氏变换定义 设函数 f(t)满足 t0时， f(t)分段连续 则 f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为： 、拉氏变换基本定理 （）线性定理 dtetf st0 )( dtetftfLsF st 0 )()()( )()( 1 sFLtf 38 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 （）微分性质 若 ，则有 f(0)为原函数 f(t) 在 t=0时的初始值。 )()( sFtfL )0()()( fssFtfL )()()()( 22112211 sFasFatfatfaL 证：根据拉氏变换的定义有 原函数二阶导数的拉氏变换 依次类推，可以得到原函数 n阶导数的拉氏 变换 )0()( )()()()( 0 00 fssF etfdtetfsdtetftfL ststst )0()0()( )0()0()()0()()( 2 fsfsFs ffssFsftfsLtfL )0()0()0()()( 121 nnnnn ffsfssFstfL 39 (3)积分性质 若 则 式中 为积分 当 t=0时的值。 证：设 则有 由上述 微分定理，有 )()( sFtfL s f s sFdttfL )0()()( 1 )0(1f dttf )( dttfth )()( )()( tfth )0()()( hthsLthL )0( 1 )( 1 )0( 1 )( 1 )0( 1 )( 1 )( 1 f s sF s h s tfL s h s thL s thL 40 即： 同理，对 f(t)的二重积分的拉氏变换为 若原函数 f(t)及其各重积分的初始值都等于 0 则有 即原函数 f(t)的 n重积分的拉氏变换等于其象 函数除以 。 s f s sFdttfL )0()()( 1 )0(1)0(1)(1)( )2()1(222 fsfssFsdttfL )(1)( sFsdttfL nn ns 41 （ 4）终值定理 原函数的终值等于其象函数乘以 s的初值。 证：由微分定理，有 等式两边对 s趋向于 0取极限 )(l i m)(l i m 0 ssFtf st )0()()()( 0 fssFdtetftfL st )(l i m)(l i m )0()(l i m)0()(l i m )0()(l i m)()( )(l i m)(l i m 0 00 0 0 0 0 00 ssFtf fssFfssF ftftfdttf dtetfdtetf st ss t st s st s 右边 左边 42 注：若 时 f(t)极限 不存在，则不能用终 值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。 (5)初值定理： 证明方法同上。只是要将 取极限。 (6)位移定理： a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟 ，则其象 函数应乘以 t )(lim tf t )(lim)(lim 0 ssFtf st )()( sFetfL s s se 43 b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟 a，原函数应乘 以 即： (7)时间比例尺定理 原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其 自变量都增加（或减小）同样倍数。即： 证： ate )()( asFtfeL at )()( asaFatfL )()(,/ )()( 0 0 asaFadefat dte a t f a t fL sa st 则原式令 44 (8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。 即 证明： )()()()( 21 0 21 sFsFdftfL t 0 21 0 21 1 0 0 21 0 21 )()(1)()()( 0)(1)( )()()()( dfttfdftf ttft dtedftfdftfL t st tt 时， 45 即得证。 则令 )()()()( )()( )()( , )(1)()( )()(1)( )()( 12 0 1 0 2 0 )( 1 0 2 0 21 0 1 0 2 0 0 21 0 21 sFsFdefdef defdf dftfL t dtettfdf dtedfttf dftfL ss s t st st t 46 常用函数的拉氏变换 (1)例 1.求阶跃函数 f(t)=A1(t)的拉氏变换。 单位阶跃函数 f(t)=1(t)的拉氏变换 为 。 (2)例 2.求单位脉冲函数 f(t)=(t)的拉氏变换 。 s Ae s AdtAesF stst 0 0 )( s 1 1) !2!1 11( 1 )1( 1 11 )()( 22 00 00000 l i ml i m l i ml i m ss s e s e s dtedtetsF s ststst 47 （ 3）例 3.求指数函数 f(t)= 的拉氏变换 几个重要的拉氏变换 as e as dtedteesF tastsastat 11)( 0 )( 0 )( 0 f(t) F(s) f(t) F(s) (t) 1 sinwt 1(t) 1/s coswt t 1/(s+a) )( 22 wsw )( 22 wss 22)( was w 22)( was as wte at sin wte at c o s 21 s ate ate 48 .拉氏反变换 1. 定义：从象函数 F(s)求原函数 f(t)的运算称为拉氏反 变换。记为 。由 F(s)可按下式求出 式中 是实常数，而且大于 F(s)所有极点的实部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换 表的方法求拉氏反变换，但 F(s)必须是一种能直接查 到的原函数的形式。 )(1 sFL )0()(2 1)()( 1 tdsesF jsFLtf j j st 49 若 F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将 F(s)展开 成 若干部分分式之和 ，而这些部分分式的拉氏变换 在表中可以查到。 例 1： 例 2求 的逆变换。 解： ab ee tf bsasabbsas sF btat )( ) 11 ( 1 )( 1 )( 则 )1( 1)( 2 sssF t etsFLtf sssss sF 1)()( 1 111 )1( 1 )( 1 22 50 例 3. tt teetf sss sF cba cssbssa s c s b s a sF ss sF 1)( )1( 1 1 11 )( 1,1,1 1)1()1( )1(1 )( )1( 1 )( 2 2 2 2 对应项系数相等得 则 解： 的逆变换 51 2. 拉式反变换 部分分式展开式的求法 （ 1）情况一 :F(s) 有不同极点 ,这时 ,F(s) 总能展开成 如下简单的部分分式之和 )( )( )()( 1 1 1 1 1 10 nm asasas bsbsbsb sD sMsF nn nn mm mm n n ps c ps c ps c sF 2 2 1 1)( 52 )( )( )( lim ,0)(),2,1( i ps i i i ps sD sM c c sDnip i 是常数 的根是式中 321 )3)(2)(1( 1 )(:1 321 s c s c s c sss sF例 53 ttt s s s eeetf sss sF s sss c s sss c s sss c 32 33 22 11 10 1 15 1 6 1 )( 3 1 10 1 2 1 15 1 1 1 6 1 )( 10 1 )3( )3)(2)(1( 1 15 1 )2( )3)(2)(1( 1 6 1 )1( )3)(2)(1( 1 54 （ 2）情况 2:F(s)有共轭极点 例 2：求解微分方程 1)0()0(,054 yyyyy tetey ss s s s s s ss s sF sFfssFfsfsFs tt s i n3c os 1)2( 3 1)2( 2 1)2( 32 1)2( 5 54 5 )( 0)(5)0(4)(4)0()0()( 22 22 222 2 为零）拉氏变换（初始条件不则微分方程两边同时取 55 （ 3）情况 3:F(s)有重极点 ,假若 F(s)有 L重极点 ,而其余 极点均不相同。 那么 1p 1 1 )( )( )( )( )( )( )()()( )( )( 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ps l l ps l l n n l l l l l l ps sD sM ds d b ps sD sM b ps c ps c ps b ps b ps b sD sM sF 式中 56 仍按以前的方法计算系数 , )( )( )( )!1( 1 )( )( )( ! 1 , 1 1 1 1 1 1 1 nl ps l l ps l i il cc ps sD sM ds d l b ps sD sM ds d i b 的其余互异极点。是式中 0)(),1( )( )( )( sDnljp ps sD sM c j psjj j 57 1)( ) 1 ()1( )1( 1 1)1( )1( 1 1)1()1()1( 1 )( . 0)0()0()0(,133:3 1 2 1 1 3 3 2 1 3 33 41 2 2 3 3 3 )3( s s s s s sds d s ssds d b s ss b s c s b s b s b ss sF yyyyyyy 求微分方程 例 58 ttt s s eteety ssss sF s ss c sb 2 23 0 3 1 3 1 2 1 1 1 1 )1( 1 )1( 11 )( 1 )1( 1 1)2( !2 1 59 如果不记公式 ,可用以下方法求解 1,1,1,1 1)3( )23( 1)1()1()1( 1)1()1()1( 1 )( 321 321 2 32 3 3 3 2 321 3 3 2 2 3 1 3 bbba asbbba sbbasbas ssbssbsbsa s b s b s b s a ss sF 也可得解。 60 2.3 控制系统的复数域数学模型 2.3.1 传递函数 是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作 用和初始条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应，并可通 过响应曲线直观地反映出系统的动态过程。但系统的参数或结构 形式有变化，微分方程及其解都会同时变化，不便于对系统进行 分析与研究。 用拉氏变化法求解微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数 学模型传递函数。 1、定义 ： 线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件 下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 三要素 ：线性定常系统；零初始条件；输出与输入的拉氏 变换之比（复数域模型） )( )( sR sC 零初始条件输入信号的拉氏变换 输出信号的拉氏变换传递函数 61 式中 c(t)是系统输出量， r(t)是系统输入量， 和是与系统结构和参数有关的常系数。 设 r(t)和 c(t)及其各阶系数在 t=0是的值均为零， 即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变 换，并令 R(s) Lc(t)， R(s)=Lr(t)，可得 s的代数方程为： 于是，由定义得系统传递函数为 ： )()()()( )()()()( 11 1 10 11 1 10 trbtr dt d btr dt d btr dt d b tcatc dt d atc dt d atc dt d a mmm m m m nnn n n n )()( 11101110 sRasbsbsbsCasasasa mmmmnnnn 设线性定常系统由下述 n阶线性常微分方程描述： 62 求例机械系统与电路网络的传递函数 和 解： - 机械系统传递函数 - 电系统的传递函数 mmmm bsbsbsbsM 1110)( nnnn asasasasN 1110)( )( )(sX sXrc )( )(sU sUrc rccc XKXBXKKXBB 112121 )()( )()()()()()( 112121 sXKsSXBsXKKsSXBB rrcc )( )( )( )()( 1 1 10 1 1 10 sN sM asasasa bsbsbsb sR sCsG nn nn mm mm 2121 11 )()( )( KKsBB KsBsX sX r c rrcc UCURUCCURR 112121 1)11()( )11()( 1 )( )( 21 21 1 1 CC SRR C SR sU sU r c 63 2、性质 性质 1 传递函数是复变量 s的有理真分式函数， mn 是一切物理系统所固有的，这是因为任何物理系统均 含有惯性，且所具有复变量函数的所有性质。 性质 2 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入 量的形式（幅度与大小）和 初始条件 无关， 可见传递 函数有效地描述了系统的固有特性 。 性质 3 只能描述线性定常系统与单输入单输出系统， 且内部许多中间变量的变化情况无法反映，只能反映 零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初 始条件引起的输出。 G ( s )R ( s ) C ( s ) 图 2 - 6 64 性质 4 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不 提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统 具有完全相同的传递函数 性质 5 如果 G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信 号作用下的输出响应。 性质 6 如果系统的 G(s)未知，可以给系统加上已知的输 入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立 G(s)可 以给出该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不 同。 性质 7 传递函数与微分方程之间有关系。 置换 )( )()( sR sCsG 如果将 dtdS 微分方程传递函数 65 性质 8 传递函数 G(s)的拉氏反变换是脉冲响应 g(t)，脉冲响应（脉冲过渡函数） g(t)是系统 在单位脉冲输入时的输出响应。 在例 2-1中，设当 输入为 单位阶跃函数 ,即 时 ,求 零初始条件下的 输出 解： 根据例 2-1得到的微分方程。 1)()( tLsR tt dgtrdtgtrsRsGLsCLtc 0011 )()()()()()()()( FCFCKRKR 20,1.0,3,20 2121 )(1 tU )(1)(1 ttU )(2 tU SsUsUsSUCRCRCRsUSCCRR 1)()()()()( 122222111222121 1)( 1)( 222111221212 SCRCRCRSCCRRSsU )14 62.0102.1( 124 SSS )85.3847)(166.2(2.1 10 4 SSS 85.3847166.2 S cS bSa )()()()()( 11 tgsRsGLsCLtc 66 2.3.2 传递函数的极点和零点对输出的影响 传递函数分子和分母多项式分解后可写如下形式： 特征多项式， 特征方程 n阶系统。 1)( 02 sSsUa 0 0 0 0 4 3.1)85.3 8 4 7(2.1 10 1 6 6.24 sSSb 485.3 8 4 74 1063.5)1 6 6.2(2.1 10 sSSc tt eetU 85.3 8 4 741 6 6.22 1063.50 0 0 4 3.11)( )( )( )( )( )( 1 1* j n j i m i PS ZS K sN sM sG ),2,1( mi iZ jP ),2,1( nj 67 零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态 所占比重越大 零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态 所占比重越小 如果零极点重合该极点所产生的模态为零， 因为分子分母相互抵消。 （教材 47页） - 0 . 5- 1 . 3 3 - 1- 2 z 1z 2 图 2 - 7 传 递 函 数 的 零 极 点 图 68 2.3.3 典型元部件的传递函数 自动控制系统是有各种元部件相互连接组成的，他们 一般是机械的、电子的、液压的、光学的或其他类型的装 置。 电位器将线位移或角位移变换为电压量的装置。 单个电位器用作为信号变换装置。 E U ( t ) ( a ) 图 2 - 8 电 位 器 - 图 2-8 电位器 69 mm E E K 2 2 1 单位角位移，输出电压 (v/rad) E -电位器电源 (v) 电位器最大工作角 (rad) 其它元件：测速发电机、电动机、无源网络、 水槽、电加热炉等等详见教材 47-54页。 )()( 1 sKsU 1)( )()( KssUsG max 70 2.3.4 典型环节及其传递函数 一个物理系统是由许多元件组合而成的，虽然元件 的结构和作用原理多种多样，但若考察其数学模型，却 可以划分成为数不多的几种基本类型，称之为典型环节。 这些环节是比例环节、惯性环节、积分环节、振荡环节、 微分环节和滞后环节。 1 比例环节 KsG )( 式中 K-增益 特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。 实例：电子放大器，齿轮，电阻 (电位器 )，感应 式变送器等。 1 1)( TSsG 2 惯性环节 71 式中 T-时间常数 特点：含一个储能元件，对突变的输入 ,其输出 不能立 即复现，输出无振荡。实例：图 2-4所示的 RC网络，直 流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。 3 微分环节 理想微分 一阶微分 二阶微分 1)( SsG 12)( 22 SSsG KSsG )( 特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输入 信号的变化趋势。 实例： 测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数 即为微分环节。 72 SsG 1)( 12 1 2 )( 2222 2 TSSTSSsG nn n )10( n T 1 4 积分环节 特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失， 输出具有记忆功能。 实例： 电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机 中的积分器等。 5 振荡环节 式中 阻尼比 -自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率） 特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换， 其输出出现振荡。 实例： RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。 n 73 )()( trtc sesG )( 6 纯时间延时环节 式中 延迟时间 特点： 输出量能准确复现输入量，但须延迟一 固定的时间间隔。 实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数 学模型就包含有延迟环节 。 74 上述各典型环节，是从数学模型的角度来划分的。 它们是系统传递函数的最基本的构成因子，在和实际元 件相联系时，应注意以下几点： 系统的典型环节是按数学模型的共性来划分的，他与 系统中使用的元件并非都是一一对应的，一 个元件的数 学模型可能是若干个典型环节的数学模型的组合。而若 干个元件的数学模型的组合也可能就是 一个典型的数学 模型。 同一装置（元件），如果选取的输入、输出量不同， 它可以成为不同的典型环节。如直流电动机 量不同，以 电枢电压为输入、转速为输出时，它是一个二阶振 荡环 节。但若以电枢电流为输入、转速为输出时，它 却是一 个积分环节。 75 在分析和设计系统时，将被控对象（或系统） 的数学 模型进行分解，就可以了解它是由哪些典型环节组成的， 因而，掌握典型环节的动态特性将有助于对系统动态特 性的分析研究。 典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描 述的系统。 既然可以把组成控制系统的元件划分为若干典型， 那么控制系统的传递函数也可以写成如下一般形式： )1) . . . (12)(1( )1) . . . (12)(1( )( 2 22 21 2 22 21 sTsTsTsT ssssK sG j i 76 一对电位器可组成误差检测器 图 2 - 9 电 位 器 1 2 U ( t ) 21 K 11 K )()()()( 1211 tKttKtu K1是单个电位器的传递系统， )()()( 21 ttt 是两个电位器电刷角位移之差，称误差角。 电位器的负载效应，一般要求 1 )( )( KssU pl RR 10 77 测速发电机测量角速度并将它转换成电压量的装置 dt tdKtKtU t )()()( t )(t 转子角速度 （ rad/s） tK 输出斜率 （ v/rad/s） 直流测速发电机 交流测速发电机 图 2 - 1 0 测 速 发 电 机 T G U ( t ) 永 磁 铁 T G 激 磁 绕 组 U ( t ) ( a ) （ b ) 输 出 绕 组 、 相 互 垂 直 K t ( s ) U ( s ) S K t U ( s ) 图 2 - 1 1 ( s )H tKs sUsG )( )()(SKssUsG t )( )()( 78 )()()()( 21 tMKtUKtdt tdT cammm )(tM c 可视为负载扰动转矩。根据线性系统的叠加原理，分别求 )(tUa 到 )(tm 和 )(tMc 到 )(tm 的传递函数。 )(tMc 0 )()()( 1 sUKssST ammm )()()1( 1 sUKsST amm 由传递函数定义 1)( )()( 1 ST K sU ssG ma m 0)( tU a 在例 2-3中求得电枢控制直流电动机简化后的微分方程为 电枢控制直流伺服电动机 )()()( 2 sMKssST cmmm 1)( )()( 2 ST K sM ssGm mc m A 令 B 令 )()( )( 1 )( 1 )()( 21 2111 tt sM ST KsU sT KLsLs c m a m mm 为电枢电压 作用下的转速特性 ; )(1 t )(tUa )(2 t 为负载转矩 作用下的转速特性 . )(tMc 79 M ( s ) U a ( s ) U a ( s ) )( s m )( s m 1 2 sT K m 1 1 sT K m )1( 1 sTs K m )( s dt d )()( sSsm 两相伺服电动机 两相定子线圈和一个高电阻值的转子 组成。定子线圈的一相是激磁绕组，另一相是控制绕组， 通常接在功率放大器的输出端，提供数值和极性可变的 交流控制电压。 80 转 距 2 5 V 5 0 V 7 5 V U a = 1 0 0 V 1 2 3 4 5 转 速 图 2 - 1 3 两 相 伺 服 电 动 机 及 其 特 性 曲 线 S M 2 （ a ） ( b ) 两相伺服电动机的转矩 -速度特性曲线有负的斜率， 且呈非线性。图 2-13（ b）是在不同控制电压时， 实验测取的一组机械特性曲线。考虑到在控制系 统中，伺服电动机一般工作在零转速附近，作为 线性化的一种方法，通常把低速部分的线性段延 伸到高速范围，用低速直线近似代替非线性特性。 此外，也可用小偏差线性化方法。 81 一般，两厢伺服电动机机械特性的线性化方程可表示为 smm MCM ）电动机输出转矩（ mNM m ）电动机的角速度（ sr a dm / ）线性化的直线的斜率（阻尼系数，即机械特性 )/( sr a dmNddMC m m 堵转转矩sM aMs uCM 其中 MC 可用额定电压 Eu a 时的堵转转矩确定，即 E MC s M 如不考虑负载转矩，则电动机输出转矩用来驱动负载并克 服粘性摩擦，故得转矩平衡方程为 82 dt df dt dJM m m m mm 2 2 )/( )( )( 2 sr a dmNf mkgJ r a d m m m 粘性摩擦系数折算到电动机轴上的总 转动惯量折算到电动机轴上的总 电动机转子角位移 aMmmmm uCdt dCf dt dJ )(2 2 )()()()(2 sUCssCfssJ aMmm )1()/()( )/( )()( )( 2 m m mmm mM mm M a Ts K CfCfsJs CfC sCfsJ C sU s 化简得 取拉氏变换 电动机的时间常数 电动机的传递系数 Cf J T Cf C K m m m m m m 83 )1()( )()( m m a Ts K sU ssG 1)( )()()( sT K sU ssss dt d m m a m m m m 与直流电动机得传递函数在形式上完全相同。 电枢控制式直流电动机 -常应用在输出功率比较大的控 制系统中，其效率比两相交流电动机的效率要高得多。 两相伺服电动机 -常应用在仪表随动系统中，功率范围 在零点几瓦至 100瓦。 84 2.4 控制系统的结构图、信号流图与梅逊公式 控制系统的结构 图、信号流图模型是控制系统的 又一种数学模型，是描述复杂系统的一种简便方法， 将 系统各元件传递函数、系统结构和工作原理集于一 起的 图解表示方法 。 其特点：具有图示模型的直观，具有数学模 型的精确。 结构图具有数学性质，可以进行代数运算和 等效变换，是计算系统传递函数的有力工具，应用非 常普遍。 信号流图符号简单，便于绘制，应用梅逊公 式可直接求传递函数。 85 2.4.1 结构图组成元素 （ 1）方块 (方框、环节 )（ Block Diagram） :表示输入到输出 单向传输间的函数关系。 G ( s )R ( s ) C ( s ) 图 2 - 1 4 方 块 图 中 的 方 块 信 号 线 方 块 r ( t ) c ( t ) （ 2）信号线：带有箭头的直 线，箭头表示信号的流向， 且信号只单向传输，在直线 旁标记信号的时间函数 r(t)或 象函数 R(s)。 （ 3）比较点（合成点、综合点） Summing Point 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。 86 + 1 1 + 2 2 + - )()( 21 sRsR )( 1 sR )(2 sR 1 1 - 2 + 3 2 - 3 图 2-15比 较 点 示 意 图注意： 进行相加减的量，必须具有相同的量刚。 “ +”表示相加，“ -”表示相减。“ +”号可省略不 写。 图 2 - 1 6 分 支 点 示 意 图 P ( s ) P ( s )R ( s ) C ( s ) )(1 sG )( 2 sG 注意： 同一位置引出的信号 大小和性质完全一样。 如果已知系统的组成和各组成部分的传递函数，就 可以通过上述四种基本单元，将系统各部分连接起来， 构成整个系统的结构图。 (4)分支点（引出点、测量点） Branch Point 表示信号测量或引出的位置 87 2.4.2 结构图的绘制 与微分方程模型的建立类似。 （ 1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程 或传递函数，建立方程时应分清输入、输出量，并将它 们用方框（块）表示。 （ 2）在零初始条件下，对各微分方程进行拉氏变换， 并 将变换式写成标准形式。 （ 3）由标准变换式利用结构图的四个基本单元，分别 画出各元部件的结构图。 （ 4）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方 块连接起来，便可得到系统的结构图。 注意 ：结构图 基于零初始条件的 ； 结构图中方框和实际系统的元部件并非一一对 应。 88 R C i （ a ） i u o u 图 2-17一阶 RC网络 解：由图 2-17，利用基尔霍夫电压定律 及电容元件特性可得： c id t u R uu i o oi 对其进行拉氏变换得： )2( )( )( )1( )()( )( sC sI sU R sUsU sI o oi 例 2-6 画出下列 RC电路的结构图。 89 （ b ） I ( s )( sU i )( sU o I ( s ) （ c ） )( sU o I ( s ) （ d ） )( sU o )( sU o )( sU i 将图（ b）和 (c)组合起来即得到图 (d)， 图 (d)为该一阶 RC网络的结构图。 )1()()()( R sUsUsI oi )2( )()( sC sIsU o 90 解：（ 1）根据电路定理 列出方程，写出对应的拉 氏变换，也可直接画出该 电路的运算电路图如图 (b)； （ 2）根据列出的 4个式子 作出对应的框图； （ 3）根据信号的流向将 各方框依次连接起来。 ( a ) 电 路 图 r u 1i 2i 1 R 2 R c u 1 C 2 C ( b ) 运 算 电 路 图 1R 2R)( 1 sU C )( sU r )( sU c )(1 sI )(2 sI1 1 sC 2 1 sC 画出下列 R-C网络的结构图 )4( )( )( )3( )()( )( )2( )()( )( )1( )()( )( 2 2 2 2 1 21 1 1 1 1 1 sC sI sU R sUsU sI sC sIsI sU R sUsU sI c cC C Cr 例 2-7 91 - - - C B A （ c ） 方 块 图 1 1 sC 2 1 sC )( 1 sU C )( sU r )( 1 sI )( sU c )( sU c )( 2 sI 1 1 R 2 1 R )( 1 sU C )4( )( )()3( )()( )( )2( )()( )()1( )()( )( 2 2 2 2 1 21 1 1 1 1 1 sC sI sU R sUsU sI sC sIsI sU R sUsU sI c cC C Cr 92 如果在这两级 R-C网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻 抗很小的隔离放大器，如图 2-22所示。则此电路的结构图 如图 (b)所示。 图 2 - 2 2 带 隔 离 放 大 器 的 两 级 R C 网 络 隔 离 放 大 器 1 R 2 R 1 C r u 2 C c u （ a ） （ b） K 1 1 R 2 1 R1 1 sC 2 1 sC )( sU r )( sU c 问题：与前一网络相比，有什么区别？ 93 2.4.3 结构图的化简 等效变换 为了由系统的结构图方便地写出它的闭环传递函数， 通常需要对结构图进行等效变换。结构图的等效变换必 须遵守一个原则： 变换前后各变量之间的传递函数保持不变。 即：前向通道中传函乘积保持不变； 回路传函乘积不变。 在控制系统中，任何复杂系统主要由各环节的方框 经 串联、并联和反馈 三种典型结构连接而成。三种典型 结构的等效法则一定要熟练掌握。 94 结构图等效变换方法 1 三种典型结构可直接用公式 2 相邻比较点可互换位置、可合并 3 相邻引出点可互换位置、可合并 4 负号只能在支路上移动（不能越过比较点和 引出点） 注意事项： 1 不是 典型结构 不可 直接用公式 2相邻