均值方差分析与资本资产定价模型

第 3章 均值方差分析 与资本资产定价模型 3.1 两种证券投资组合的均值 -方差 3.1.1 投资组合 设有两种风险资产证券， 记为 A和 B， A Aw = 购买（或卖空）证券金额 投资于两种证券自有金额 1ABww+=满足 3.1 两种证券投资组合的均值 -方差 注：权重为正数，意味着投资者买入该资产。 如果是卖空，投资于资产的权重是负数。 例如：假设你借 100股某公司的股票，市场价格为 10元， 那么将股票卖出，可获得 1000元现金。一段时间 之后，该股票的价格 5元，你在市场上购买 100股， 支付现金 500，两者之间的差额为 500元，你可以获利。 举例说明 1.如果你有资金 1000元，投资于证券的金额 为 400元，投资于证券的金额为 600元， 400 6000.4, 0.6 1000 1000ABww= = = = 则有 1ABw满足w += 举例说明 2.假设你有资金 1000元，卖空证券获现金 600 元，共有 1600元，投资于证券，于是 1600 1 .6 1000Aw = 对于资产 600 0 .6 1000Bw -= = - 1ABww+= 则有 投资组合的期望收益与方差 设证券 A的收益率为 RA，证券 B的收益率 RB 是随机变量， 假设我们已知 RA和 RB的概率分布， 称 (ABER ER A)和)分别为证券和证券B的期望收益。 投资组合的期望收益与方差 ( ), TABww设w 是一投资组合， = A A B BR wR wR投资组合的收益率为 w=+ 则期望收益 ( ) ( ) ( )A A B BER wER wERw =+ 投资组合的期望收益与方差 ( )2BBRR s证券B收益率的方差记为， ( )2AAA R Rs证券收益率的方差记为， w则投资组合的方差 () () ( )2 2 2 2 2( ) 2 cov , (3.1.2)w A A B B AB A BR w R w R ww RRs s s= + + 3.1.2 联合线 假设 0.10, 0.5 0.04 0.10 A A B BER R ER R ， 由式（ 3.1.1） 0.10 1 0.04 (3.1.3)w A AER w w （ 1）如果我们假设 AR 和 BR 的相关系数为零， ,0ABCOVR R 由式（ 3.1.2） 1 2 22 2 20.05 1 0.10 (3.1.4) w A ARw w 3.1.2 联合线 设自有资金 1000元， 卖空证券收入为 500元， 将这两种资金 (共 1500元 )投资于证券 ， 计算得 1.50, 0.50ABww 代入式（ 3.1.3）和式（ 3.1.4）得 1 2 22 2 2 1.50 0.10 0.5 0.04 0.13 1.5 0.05 0.50 0.10 0.09 A w ER R 3.1.2 联合线 表 3.1 不同投资组合的期望收益和收益方差 Aw wER wR 1.50 0.130 0.090 0.75 0.085 0.045 0.50 0.070 0.056 0.25 0.055 0.076 -0.5 0.010 0.152 利用上述表格中的数据在 ,wwR ER 的坐标系之下画出一条曲线 称为证券 A和证券 B的联合线。 3.1.2 联合线 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 ()PR 2 4 6 8 10 12 14 1.00AAw 0.75Aw 0.50Aw 0.25Aw 0Aw 0.5Aw ()AR ()BR ()AER ()BER 图 3.1 证券 A和 B的联合线 卖空 B投资于 A 同时投资于 A和 B 卖空 A投资于 B B 3.1.2 联合线 假设相关系数不为零， （ 2） 假设 RA和 RB完全正相关 , 在（ RB， RA）坐标系内， 是一条斜率为正的一条直线，即 0 1 1 0 3.1.5BAR a aR a （） 如果 2BARR是（）的倍， 1 2a 即。 0 1 0 2B A AER a aER a ER （）（）（） 3.1.2 联合线 0.10, 0.04ABER ER将 代入， 0 0.16a 得。 10% 20% 30% 40% AR BR 10% 20% 30% 0 10% 20% 图 3.2 证券 A和证券 B收益率完全正相关时的示意图 3.1.2 联合线 当 RA和 RB完全正相关时，相关系数 1 AB ， 由式 (3.1.2)， 1 0 .0 5 1 0 .1 0 .1 0 .0 5 w A A A B AA A R w R w R ww w ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) w A A B B A A A B E R w ER w E R w E R w E R 3.1.2 联合线 表 3.2 不同 wA值的期望收益率和收益率方差 Aw wER wR 3.00 0.220 0.0500 2.00 0.160 0.0000 1.50 0.130 0.0250 0.75 0.085 0.0625 0.50 0.070 0.0750 0.25 0.055 0.0875 -0.5 0.010 0.1250 16 12 14 2.00Aw 1.50Aw 1AB ()wER ()wR 正相关时的联合线 3.1.2 联合线 （ 3） 假设 RA和 RB完全负相关 , 在（ RB， RA）坐标系内， 是一条斜率为负的一条直线，即 0 1 1 0BAR a aR a 0.05 0.04ABRR由 和（）， 00.04 2.00 0.10a 得 解得 0 0.24a 3.1.2 联合线 于是得此直线的方程为 0.24 2 3.1.7BARR （） 30% 20% 10% 10% 20% 30% 40% AR BR 图 3.3 证券 A和证券 B收益率完全负相关情况下的示意图 3.1.2 联合线 当 RA和 RB完全负相关时， 相关系数为 -1， 此时 ( ) ( )( )( )1w A A A BR w R w Rs s s= - - Aw ( )wER ( ) wRs 3.00 0.220 0.3500 2.00 0.160 0.2000 1.50 0.130 0.1250 0.667 0.080 0.0000 0.250 0.055 0.0850 -0.50 0.010 0.1750 表 3.3 不同 wA值的收益率期望和方差 6 2 4 8 10 12 14 16 0 2 4 6 8 10 12 14 ()wER ()wRs 18 1ABr =- 完全负相关的情况 6 2 4 8 10 12 14 16 0 2 4 6 8 10 12 14 ()wER ()wRs 18 1ABr = 0 ABr = 1ABr =- 图 3.4 3种不同情况下的联合线 3.1.1 两种投资组合均值 -方差分析 设有两种证券 A和 B， 证券 A的期望收益记为 ,Am 证券 B的期望收益记为 ,Bm 设 ABmm 。 设投资于证券 A的资金权重为 Aw ， 投资于证券 B的权重记为 Bw 满足 1 3.1.9 ABww+= （） 投资组合 ( ), TABw w w= 的期望收益记为 wm ， 则有 3.1.10AA BB wwwm m m+= （） 投资组合的收益率 w A A B BR wR wR=+ 的方差 2 2 2 2 22 3.1.11w AA A BAB BBw ww ws s s s= + + （） 3.1.1 两种投资组合均值 -方差分析 ,w B w AAB A B B A wwm m m mm m m m-=- 由式 (3.1.9)和式 (3.1.10)解得 代入式 (3.1.10)，得 ( )( ) ( ) 22 2 2 2 22 w A w Bw B w A w A AB B A B A BAB m m m mm m m ms s s s m m m mmm 骣骣 -鼢珑 鼢= - -珑 鼢珑 鼢珑桫桫 - 整理后，可得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 22 2 22 2 2 2 2 22 3.1.12 A w B AB w A A B AB w A w A A B s m m s m m ss s m m s s m m 轾 - - - + - -犏 臌= - （） 3.1.1 两种投资组合均值 -方差分析 若 RA和 RB不完全相关， 则 2 2 2 0, A B ABs s s- 于是式 (3.1.12) 的右端作为 wm 的二次函数恒大于零， 可以写成 ( )2 wa b cm -+ 的形式。 代入式（ 3.1.12），得 ( )22 0 (3.1.13)wwa b c acsm- - = ， 易见方程 (3.1.13)在 ( ), wwsm 平面上的图形是双曲线， 由于 0,wm 它只有开口向右的一支。 3.1.1 两种投资组合均值 -方差分析 （ 1）若 RA和 RB完全正相关， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 (3.1.14) A w B B w A w AB s m m s m ms mm 轾 - - -臌 = - 可见方程 (3.1.14)的图形是从 () 0, A B B A AB s m s m ss 骣 - -桫 出发的两条射线， 其中的一条是 ( ) ( ) , 0 (3.1.15)A w B Bw Aww AB s m m s m mss mm - - -= - 3.1.1 两种投资组合均值 -方差分析 另一条是 ( ) ( ) 0 (3.1.16)A w B B w Aww AB s m m s m mss mm - - + -= - （ 2）如果 RA和 RB完全负相关， 此时 AB A Bs s s=- ( ) ( ) ( )( ) 2 22 2 (3.1.17) A w B B w A w A A B B AB s m m s m ms sw sw mm 轾 - + -臌 = - = - 也是两条射线， 这两条射线从 () 0, A B B A AB s m s m ss 骣 + +桫 出发指向右方， 3.1.1 两种投资组合均值 -方差分析 其中一条通过点 ( ), AAsm 其方程为 ( ) ( ) 0 (3.1.18)A w B B w Aww AB s m m s m mss mm - + -= - 另一条通过点 ( ), BBsm 其方程为 ( ) ( ) 0 (3.1.19)Bw A A w Bww BA s m m s m mss mm - + -= - 3.1.1 两种投资组合均值 -方差分析 （ 3）如果 RA和 RB无关， 此时 方程 (3.1.12)变为 0 ABs = ( ) ( ) ( ) 222 2 2 2 2( ) ( ) (3.1.20) B w A A w B w A A B B AB w s m m s m ms s sw mm- + -= - = - 方程 (3.1.20)是一条经过 ( ), AAsm 和 ( ), BBsm 的双曲线 ， 其顶点为 ( ) ( ) ( ) 2222 2 2 2 2, A B B AAB A B A B m s m sss s s s s 骣 + +桫 。 对应于此顶点的投资组合，方差最小， 其方差 ( ) 22 22 22 m in , AB AB AB ss ss ss 所以 () dwER 与 ()swER 之差的符号取决于 A的符号。 （ 1）如果全局最小方差的资产组合的收益率为正，则 0A 0,A dw 在相应的双曲线的上半叶上。 （ 2）如果 0,A 则相反，在允许卖空的情况下，这种情况也可能出现。 3.2.5两基金分离定理 注 1 对于任意两个不同期望收益水平的最小方差资产组合 uw 和 vw 他们与 sw 和 dw 有相同的分离作用， 即 mw 可表示为 uw 和 vw 的组合。 注 1证明： 由两基金分离定理， uw 和 vw 可由 sw 和 dw 表示如下 (1 ) 3.2.18)u u s u d aaa= + -w w w （ (1 ) (3.2.18)v v s v d baa= + -w w w 由式（ 3.2.18a）和式（ 3.2.18b）， 将 sw 和 dw 解出，得 11 (3.2.19)vus u v v u vm aa a a a a -=- -w w w (3.2.20)vud u v v u v u aa a a a a=-w w w 注 1证明： 由 (1 )sdw w w ，m m maa= + - 将（ 3.2.19）和（ 3.2.10）代入，得 3.2.21vu uv v u v u w w w （） 显然 1 uv u uv v 这说明 w 可用 uw 和 vw 的组合来表示。 3.2.5两基金分离定理 注 2 对任意的投资组合 w,有 1( , ) (3.2.22 ) wsCovR R aC= 设 uw 和 vw 是两个最小方差组合， (1 ) ,u u s u daa= + -w w w (1 )v v s v daa= + -w w w 则 2 2 ( ) (1 )( , ) (3.2.22 ) uv u v u v v BCovR R b CA a a aa a+ - -=+ ww 注 2证明： 1 1 ( , )s t T sCov R R CC ww 1www ，这证明了第一个结论。 将式（ 3.2.16） () d BE ARw 代入式（ 3.2.9b），得 2 22 1 d DB A C C A w 。 由前段证明可知 2 1 , ( , ) 1 / s s d Cov R R CC w w w 注 2证明： 2 2 2 ( , ) ( (1 ) , (1 ) 1 1 1 ( (1 ) (1 ) (1 ) 1 ( ) (1 ) u v s d s d u u v v u v u v u v v u v u v v C ov R R C ov R R R R B C C C A B CA w w w w w w 3.2.5两基金分离定理 若 uw 是一个最小方差资产组合， 其方差不是全局最小值， 则存在最小方差资产组合 vw ， 使 ( , ) 0 uvCov R R =ww 。 称 uw 和 vw 为零 b 相关（即协方差为零）的有效投资组合。 3.3 具有无风险资产 的均值 -方差分析 3.3.1 具有无风险资产的有效投资组合 假定市场存在 n种风险资产 nXXX ,., 21 及无风险资产 0X ， 无风险资产的收益率是一常数， 设为 fR ， 以 w表示风险资产组合的权系数 ， 0 1 Twl w 是投资于无风险资产的权系数， 表示投资于 n+1种资产的投资组合的期望收益， 则 ( ) (1 )TT fE l R R w w 即 ( ( ) )TffE Rl R Rw 3.3.1 具有无风险资产的有效投资组合 当投资者在市场上可以获得无风险资产时， 资产组合问题在两方面发生了变化。 （ 1）与只有风险资产的预算约束不同的是，若投资者 在无风险资产的投资权重为 正时，表示储蓄；若权 重为负，则表示为购买风险资产而筹集资金，即借贷。 （ 2）与只有风险资产的预算约束不同的是，平均收益率 的限制必须表达成超额收益率形式。 3.3.1 具有无风险资产的有效投资组合 最小方差资产组合问题可表示为如下的优化问题 2m in 1 (3.3.1 )22 T a ww s.t. (3.3.1)TffE Rl R b Rw 利用 拉格朗日 乘数法，求解此二次规划问题，令 1 ( ( ) ) (3.3.2) 2 T ffL R E Rl w w R w 3.3.1 具有无风险资产的有效投资组合 最优解的一阶条件为 12 , , ( ) 0 (3.3.3) T f n L L L L E Rl w w w wRw 解得最优解 1( ( ) ) (3.3.4)fE Rl wR 0 1 ( ) (3.3.5) T fl ACR w 1w 3.3.1 具有无风险资产的有效投资组合 为此将 (3.3.4)代入 (3.3.1b)得 12( ( ) ) ( ( ) ) 2 Tf f f f fR E Rl E Rl B RARC RR 因为 2 0,BC A 所以 22 0,ffB R A R C 令 CRARBH ff 22 则 2 (3.3.6)2 ff ff RR B AR CR H 3.3.2 具有无风险资产的均值方差分析 2 22 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) 2 T T T ff f f f f E R l E R l R R B AR CR w w w R w R f R ( 3 .3 .7 ) () R f f f R H R H 当 当 3.3.2 具有无风险资产的均值方差分析 EX fR （ 1）在均值方差坐标系下，最小方差资产组合的图形是抛物线， （ 2）在均值和标准差坐标系下，图形是从点出发的两条射线， 斜率分别为 H 3.3.3 无风险资产情况下的 两基金分离定理 所有最小方差资产组合可表示成两个不同的资产组合的 资产组合，在这种情况下，有一种自然的基金选择 即无风险资产和不含无风险资产的组合，即所谓切点资产组合， 0( , ),t t tw w w 其中 ,00 tw 1 ( ( ) ) (3 .3 .8 )ft f ERw A CR R 这一性质称为无风险资产存在情况下的“两基金分离定理”或“货币分离定理”。 3.3.4 切点组合的含义 切点资产组合的均值和方差分别为 1( ) ( ( ( ) ) ( ) ( ) (3.3.9 ) T ffT tt ff E E Rl B ARER E a A CR A CR RRRw11 2 2 2 ( ( ) ) ( ( ) ) () 2 ( 3 .3 .9 ) () t ffT ff ffT tt f E R E R l A C R A C R B R A R C b A C R w RR ww 3.3.4 切点组合的含义 (0, )fR ()EX 切点资产组合 全局最小方差组合 切点组合恰好是任何风险资产的有效投资组合构成的抛物线与过 0, fR 点斜率为 H 的直线的切点， 3.4 资本资产定价模型