平面机构的运动分析

第一节 机构运动分析的目的和方法 第二节 用速度瞬心法作机构的速度分析 第三节 用矢量方程解析法作机构速度和 加速度分析 第五节 用解析法作机构的运动分析 第二章 平面机构的运动分析 机构的运动分析是在机构初步综合完成以后，为 考察机构运动性能或优化机构参数而进行的，也为研 究机构的动力性能提供必要的依据。 2.1 机构运动分析的目的和方法 2.1研究机构运动分析的目的和方法 所谓 机构运动分析 ，就是对机构的 位移、 速度和加速度 进行分析。 （不考虑机构外力及构件的弹 性变形等的影响） 主要研究在 已知原动件的运动规律 的条件 下，分析机构中其余构件上各点的 位移、轨 迹、速度和加速度 ，以及这些构件的 角位移、 角速度和角加速度 。 机构运动分析 1、位移（包括轨迹）分析 2、速度分析 3、加速度分析 1、位移（包括轨迹）分析 通过位移（包括轨迹）分析： 可以确定某些构件运动所需的空间或判断它们 运动时是否发生相互干涉； 可以确定从动件的行程 ; 考查构件或构件上某点能否实现预定位置变化 的要求。 A C B E D HD HE 例如： V型发动机 （为了确定活塞的行程，就必须 知道活塞往复运动的极限位 置 为了确定机壳的外廓尺寸， 就必须指导机构中外端点的 运动轨迹和所需要的运动空 间范围等。 ） 2、速度分析 通过速度分析： 可以确定机构中从动件的速度变化是否满足工作要求。 例如：牛头刨床，要求工作行程中的速度接近等速， 空行程时希望快速返回。 速度分析是机构加速度分析和受力分析的基础。若功 率已知，通过速度分析可以了解受力情况。 P=Fv 3、加速度分析 通过加速度分析： 可以确定各构件及构件上某些点的加速度，了解机构加 速度的变化规律。这是计算惯性力和研究机械动力 性能不可缺少的前提条件。在高速机械中，要对其 动强度、振动等力学性能进行计算，这些都与动载 荷和惯性力的大小和变化有关。所以，对高速机械 加速度分析不能忽略。 平面连杆机构运动分析的方法 图解法： 形象直观，对构件少的简单的平面机构， 用图解法比较简单，但精度不高，且当对机构 一系列位置进行运动分析时，需要反复作图， 很烦琐。 解析法 ：直接用机构已知参数和应求的未知量建 立数学模型进行求解，获得精确的计算结果。 实验法： 试凑法，配合连杆曲线图册，用于解决 实现预定轨迹问题。 2.2 用速度瞬心法对平面机构作速度分析 速度瞬心法用于对构件数目少的机构 （凸轮机构、齿轮机构、平面四杆机构等） 进行速度分析，既直观又简便。 2.2.1 速度瞬心的概念及机构中速度瞬心的数目 1、速度瞬心 当两构件作平面相对运动时，在 任一瞬时，都可以认为它们是绕 某一点作相对转动，该点称为 瞬 时速度中心 ，简称 瞬心 ，以 p12 （或 P21）表示。 两构件在其瞬心 处没有相对速度。 1 2 A2(A1) B2(B1) P21 VA2A1 VB2B1 瞬心 的定义：互相作平面运动的两构件上，瞬时 相对速度为 零 的点。或者说，瞬时 绝对速度相等 的重合点（即等速重 合点）。 若绝对速度等于零的瞬心，称为 绝对瞬心， 即两构件之一是 静止的；绝对速度不等于零的瞬心称为 相对瞬心 ，即两 构件都是运动的。 瞬心 Pij表示构件 i与构件 j的瞬心。 相对速度瞬心： 两构件都是运动的 绝对速度瞬心： 两构件之一是静止的 相对速度 为零的重合点； 绝对速度 相同的重合点。 2、机构中瞬心的数目 因为每两个构件就有一个瞬心，所以由 N个构件 （含机架）组成的机构，总的瞬心数 K为 k = N(N-1) / 2 N-机构中的构件（含机架）数。 构件数 4 5 6 8 瞬心数 6 10 15 28 2.2.2 速度瞬心的求法 1、机构中瞬心位置的确定 （一）通过运动副直接相联的两构件的瞬心 1以转动副联接的两构件 ，其瞬心的位置可直接由定义 确定 ： 转动副的中心即为其瞬心 ; 2. 以移动副联接的两构件 : 瞬心 应位于垂直于移动副 导路方向的无穷远处 ; 3以平面高副联接的两构件 : 如果高副两元素之间为纯滚动，则两高副元素的接 触点即为两构件的瞬心； 如果高副两元素之间既作相对滚动，又有相对滑动， 则两构件的瞬心位于高副两元素在接触点处的公法线 上。 具体在法线的哪一点，须根据其它条件再作具体分 析确定。 12P 12PA 1 1 2 2 12 P A V A 1 A 2 1 2 n n （二）不直接相联的两构件的瞬心 三心定理： 作平面平行运动的 三个构件共有三个 瞬心 ， 且 位 于同一直线上 。 证明如下 : 假设构件 3固定，构件 1、 2分别绕转动副 A、 B回转， 构件 1、 2不组成运动副，它们间作非直接接触的平 面运动。 三构件有三个瞬心 即 P13 、 P23、 P12 ，其中 P13、 P23为绝对瞬心，位于 转动副中心；证明构件 1、 2的相对瞬心 P12与 P13 、 P23在一条支线上。 反证法 ：假设瞬心 P12不在 P13与 P23的连线上，而在图 中任一点 K上， 则构件 1、 2在点 K的速度 vK1 vK2的速 度方向，必须分别垂直于 P13K、 P23K，可见构件 vK1 vK2的速度方向不同。 由定义，瞬心 P12应是构件 1和 2上的绝对速度相 同（大小相等、方向相同）的等速重合点，故瞬心 P12必不在 K点。 只有当 P12位于 P13、 P23的连线上时，构件 1及 2的重合点 的速度方向才能一致， 故 P12与 P13, P23必在同一 直线上。即第三个瞬心 P12 应与 P13 ,P23共线。 P14 3 2 1 4 1 2 3 4 P12 P34 P13 P24 P23 解：瞬心数为： N n(n-1)/2 6 n=4 1.作瞬心多边形圆 2.直接观察求瞬心 3.三心定律求瞬心 举例：求曲柄滑块机构的速度瞬心。 2.2.3 速度瞬心在机构速度分析中的应用 铰链四杆机构 （ 曲柄摇杆机构 ） 已知：各杆长度及 1; 求：所有瞬心及 3. 解： K=6 即 P12、 P13、 P14、 P23、 P24、 P34， 其中 P12、 P14、 P23、 P34由定义求得； P13必在三构件 1、 2、 3的 两瞬心 P12和 P23的连线上 ， 又在三构件 1、 3、 4两瞬 心 P14和 P34的连线上 ， 所 以在上述两直线的交点处 。 P24必在 P12、 P14 和 P23、 P34 两连线的交点上。 由瞬心定义： P13为构件 1、 3的等 速重合点。 ll PPPP 1334313141 l= 构件实际长度 (m) / 图纸上的长度 (mm) 从动件的角速度 3 主 、 从动件 传动比 等于该两构件的绝对 瞬心至其相对瞬心距离的反比 。 1314 1334 3 1 PP PP 在多杆机构中 ， 不直接接触的两构 i , j 的瞬 心在包含该二构件 （ i , j） 的两组 3构件瞬 心连线的交点上 。 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 6 5 P23 P34 P16 P56 P45 P14 P24 P13 P15 P25 P26 P35 举例：求图示六杆机构的速度瞬心 解：瞬心数为： K N(N-1)/2 15 K=15 1.作瞬心多边形圆 2.直接观察求瞬心 3.三心定律求瞬心 P12 P46 P36 已知：各构件尺寸及 1 求： V2及各瞬心 解： K=3， 即 P12、 P13、 P23； P13为转动副瞬心， P23为移动副瞬心， 2313 PP 由于凸轮 1和从动件 2是高副接 触（既有滚动又有滑动）， P12应在过 M点的 n n线上，且 在 直线和 n n线的交点处。 lp PP 121312 12 瞬心 P12是凸轮 1和从动件 2 的等速重合点，从动件的移 动速度为： 3 1 2 已知构件 2的转速 2，求构件 3的角速度 3 。 2 解 : 用三心定律求出 P23 。 求瞬心 P23的速度 : VP23 l(P23P13)3 3 2(P13P23/P12P23) P12 P13 方向 : 与 2相反。 VP23 VP23 l(P23P12)2 相对瞬心位于两绝对瞬心之间，两构件转向相反。 n n P23 3 3 1 2 P23 P 13 P12 求传动比 定义：两构件角速度之比传动比。 3 /2 P12P23 / P13P23 推广到一般： i /j P1jPij / P1iPij 2 3 求齿轮机构传动比 i23。 1） 解： 2 )1( NNK 3 2 )13(3 2）求出 P12 、 P13 、 P23 l13233l23122P 23 ppppv 2312 1323 3 2 23 pp ppi P23位于 P12与 P13连线上，为公 法线 n-n与齿轮连心线交点。 P23 结论 : 两构件的角速度之比等于绝对瞬心至相对瞬心的距 离之反比 。 角速度的方向为： 相对瞬心位于两绝对瞬心的同一侧时，两构件转向相同。 相对瞬心位于两绝对瞬心之间时，两构件转向相反。 用瞬心法解题步骤 绘制机构运动简图； 求瞬心的位置； 求出相对瞬心的速度 ; 瞬心法的优缺点： 适合于求简单机构的速度 ， 机构复杂时因 瞬心数急剧增加而求解过程复杂 。 有时瞬心点落在纸面外。 仅适于求速度 V,使应用有一定局限性。 求构件绝对速度 V或角速度 。 例 1：求机构的瞬心位置 1 2 3 4 1） P12 P23 P34 P14 解： k=m(m-1)/2=6 （ P13） （ P24） 2） 解： k=m(m-1)/2=3 P13 P23 P12 例 2：图示摆动从动件凸轮机构，凸轮为一偏心 圆盘，半径 r=30mm，偏距 e=10mm， lAB=90mm， lBC=30mm， 1=20rad/s。 （ 1）求机构的所有瞬心； （ 2）用瞬心法求 c。 e B 3 1 2 A r C 用瞬心法作速度分析，对于四杆机构、平面高副机构 很方便，但对于多杆机构的速度分析很繁琐，且缺点 是无法进行加速度分析。 矢量方程图解法的基本原理和作法 矢量方程图解 （相对运动图解法） 依据的原理 理论力学中的 运动合成原理 1. 根据运动合成原理列机构运动的矢量方程 2. 根据按矢量方程图解条件作图求解 基本作法 同一构件上两点间速度及加速度的关系 两构件重合点间的速度和加速度的关系 机构运动 分析两种 常见情况 2.3 用矢量方程解析法作平面机构速度和加速度分析 C D 一 、 基本原理和方法 1.矢量方程图解法 因每一个矢量具有大小和方向两个参数 ， 根据已 知条件的不同 ， 上述方程有以下四种情况： 设有矢量方程： D A + B + C D A + B + C 大小： ？ ？ 方向： D A B C A B D A + B + C 大小： ？ 方向： ？ B C B D A + B + C 大小： 方向： ？ ？ D A + B + C 大小： ？ 方向： ？ D A C D A 刚体的平面运动原理 : 刚体的平面运动是随 基点的移动与绕基点 转动的合成 铰链四杆机构，已知原动件 O1A（ 2、 2），以连杆 3 为研究对象，分析同一构件上两点间的速度、加速度关系。 2.3.1 同一构件上两点速度和加速度之间的关系 a. 取 A为基点，列 B点的速度矢量方程式 BAAB vvv 大小 方向 ？ AOl 12 ? BO2 AO1 AB b. 按比例作速度矢量多边形 P a b 任取一点 p， 速度比例尺 )( )/( mmpa smv V A vB pbv vBA abv 1.同一构件上两点间的速度分析 c a b P c. 列 C点的速度矢量方程式 CBBCAAC vvvvv 大小： 方向： ？ ? CA CB vc pcv BA C B A Vab Vpc Vpb Vpa 代表 代表 代表 代表 概念：速度多边形 点 p与各绝对速度矢端构成的图形 pabc。 点 p为速度极点，代表构件上速度为零的点。 注意： 1）由极点引出的矢量代表构件上同名点的绝对速度 CBA VpcVpbVpa ; 2）连接任意两绝对速度矢端代表构件上同名点的相对速度， 指向与速度下标相反。 BACBCA VabVbcVac ; 图形 abc为构件图形 ABC的速度影像，字母顺 序相同，逆时针方向。为构件图形沿 3方向旋转 90 ，利用影像法可方便地求出点 C的速度。 AB v AB BA l ab l smv )/( 3 方向逆时针（将 ab平移） 2.同一构件上两点间的加速度分析 B点的加速度矢量方程式 BAAB aaa 大小 : 方向 : ？ ? BO2 AO1 AB 按比例作 加速度矢量多边形 任取一点 Q作为加速度极点， )( )/( mm sm a 图长 实际加速度 2 t BA n BA t A n A t B n B aaaaaa BO B l v 2 2 AO l 12 AOl 12 AB BA l v 2 2OB 1OA AB 加 速度比例尺 Q b b c a a c” b” c 结论 : t BA n BA t A n A t B n B aaaaaa n Ba t Ba 1)加速度多边形 由点 Q及各绝对 加速度矢端构成的图形 Qabc。 2） , QcQbQa 代表构件上同名点的绝 对加速度。 3）连接两个绝对加速度矢端的矢量 代表构件同名点的相对加速度，指 向与相对加速度的下角标相反。 CBCABA acb；aca；aba 法向、切向加速度用虚线表示。 4）连杆 3的角加速度 AB a AB t BA l bb l a 3 为逆时针得平移到点的矢量将 3, Bbba tBA 5）加速度影像 同速度影像， abc与 ABC形状 相似，顺序一致。 图形 abc 称 构件图 ABC的加速度影像。 速度影像、加速度影像只 能用于同一构件上的各点。 2.3.2 由移动副连接的两构件重合点的速度和加速度分析 导杆机构 已知：原动件 2，角速度 2 及角加速度 2 ，滑 块与导杆重合点 A3、 A4。 求：构件 4的角速度 4 与角加速度 4 。 1）速度关系 取 A4为动点，将动系固接在滑块 3上。 列动点的速度矢量方程式 大小 方向 ？ 22 1 AOl ? 22AO 21AO 22 AO/ 按比例 v作速度矢量多边形 A4的绝 对速度 牵连 速度 相对 速度 a3(a2) P a4 4 44 : )/( aP smpav vA 方向 顺时针方向 : 22 4 4 AO A l v a3(a2) P a 4 b vB可用影像法（直线影像） bPsmpbv vB :)/( 方向 2）加速度关系 343444 AAA t A n A aaaaa 全加速度分解 rKt A n A t A n A AAAA aaaaaa 343444 33 大小 : 方向 : 22 24 AOL ? 212 2 AOL 3432 AAv ? 22 OA 22AO 12 OA 21AO 22AO /O2A2 科氏加速度 (力学叉乘 )方向 :相对速度 方向沿牵连角速度 4方向转 90度。 122 OAL 取 a作加速度图 ,加速度极点为 Q (a2)a3 Q (a2)a3 k a4 a4 b B点加速度 可由加速度 影像法求出。 )/( 244 4 smaaa atA AO2 顺时针 方向 Q到 b 当 4=0或 vA4A3=0时，科氏加速度为零，为正弦机构。 4 22 2 4 ( 1 / ) t A OA a s L 2 ( / )Baa Qb m s A B C D G H 解题关键： 1.以作 平面运动 的构件为突破 口， 基准点和 重合点都应选取 该构件上的铰接点 ，否 则已知 条件不足而使无法求解。 E F 如： VE=VF+VEF 如选取铰链点作为基点时，所列方程仍 不能求解，则此时应联立方程求解。 如： VG=VB+VGB 大小： ? ? 方向： ? VC=VB+VCB ? ? VC+VGC = VG ? ? ? 大小 : ? ? ? 方向： ? ? A B C D 4 3 2 1 重合点的选取原则 ， 选已知参数较多 的点 （ 一般为 铰链点 ） A B C D 1 2 3 4 应将构件扩大至包含 B点 ！ 不可解 ！ 此机构 ， 重合点应选在何处 ？ B点 ! VB4 = VB3+VB4B3 ? ? 如： VC3 = VC4+VC3C4 大小： ? ? ? 方向： ? 下图中取 C为重合点 ， 有 : VC3=VC4+VC3C4 大小： ? ？ ? 方向： ? 当取 B点为重合点时 : VB4 = VB3 + VB4B3 大小： ? ? 方向： 方程可解 。 t t t t 1 A B C 2 3 4 构件 3上 C、 B的关系： = VB3+VC3B3 ? 2.正确判哥式加速度的存在及其方向 B 1 2 3 B 1 2 3 B 1 2 3 B 1 2 3 1 B 2 3 B 1 2 3 B 1 2 3 B 1 2 3 无 ak 无 a k 有 ak 有 ak 有 ak 有 ak 有 ak 有 a k 动坐标平动时 ， 无 ak 。 判断下列几种情况取 B点为重合点时有无 ak 当两构件构成移动副： 且动坐标含有 转动分量 时 ， 存在 ak ； 机构的运动分析，应从运动参数已 知的原动件开始，按运动传递的顺序， 依次算出从动件的运动参数。 求解中应 首先分析相邻两点的相对运动关系属于 上述的哪种情况 ，列出相应的矢量方程 式，求解。 矢量方程图解法小结： 1. 列矢量方程式 第一步要判明机构的级别：适用二级机构 第二步分清基本原理中的两种类型。 第三步矢量方程式图解求解条件：只有两个未知数 2. 做好速度多边形和加速度多边形 首先要分清绝对矢量和相对矢量的作法，并掌握判别指向 的规律。其次是比例尺的选取及单位。 3. 注意速度影像法和加速度影像法的应用原则和方向 4. 构件的角速度和角加速度的求法 5. 科氏加速度存在条件、大小、方向的确定 6. 最后说明机构运动简图、速度多边形及加速度多边形的作 图的准确性，与运动分析的结果的准确性密切相关。 2.3.3 综合运用瞬心法和矢量图解法对复杂机构进行速度分析 例 1如图所示，已知 及机构的尺寸位置，求 大小 ？ ? 方向 ? 如何求出 方向，问题就好解决了，可借助于瞬心 ，则 法求出 （ 2）求 36p 的位置 （ 1） 36p 35p 56p 34p 46p 36p 显然， 在 和 的连线上，又在 和 的连线上，因此交点即为 V 2323 BBBB VVV 36p BAl1 BA /DB 3BV 363 BpVB （ 3）连 ，作 ，得知 方向，然后由（ 1）的矢量方程可以求出 的大小。 36Bp 363 BpVB 3BV 3BV 2.4 机构运动线图 一、定义 机构中的从动件的运动量（ s、 v、 a)随原动件位置或时 间的变化曲线。 A:原动件在某一位置； B:机构的一个运动循环。 例：钻井泵的主体机构（曲柄滑块机构）中的滑块 C的 SC （位移线图）、 vC（速度线图）、 aC（加速度线图）。 用 L代表度数则 Lu 3 6 0 Ls uu dtvs dtav dt dv a dt ds v CC CC C C C C vC的正负表示运动方向。 正 -vC与 s同向 ; 负 - -vC与 s反向。 aC的正负表示速度增减。 vC与 aC同号 -加速； aC与 vC异号 -减速。 整个运动循环，从动件 的运动为原动件运动 （ s,v,a)的函数。 分析位移时最大 s、 v、 a为设计提供理论依据。 看 s是否满足行程要求， 如牛头刨床。 看 a 是否过大，而引 起大的惯性冲击等。 2.5 用解析法作机构的运动分析 解析法的关键： 机构未知运动参数 已知运动参数、尺寸参数 函数关系 步骤： 建立机构位置方程 对位置方程求导得速度方程 对速度方程求导得加速度方程 主要方法： 复数矢量法 矩阵法 杆组法 * x y 2.5.1 封闭矢量多边形投影法对机构进行运动分析 1.建立机构的位置方程，并求角位移 图示四杆机构，已知机构 各构件尺寸及原动件 1的角位移 1和角速度 1 ，现对机构进行 位置、速度、加速度分析。 分析步骤： 1.建立坐标系 2.标出杆矢量 3.位置分析 列机构矢量封闭方程 4321 llll Ox轴投影 Oy轴投影 332211 3342211 s ins ins in c o sc o sc o s lll llll 3 2 2 2 3 22 11 114 2 s in c o s l llBA C lB llA 33 33 2 222 3 c o s s i n a r c t a n a r c t a n2 lA lB CA CBAB 333222111 333222111 c o sc o sc o s s i ns i ns i n lll lll 对角度一次求导： 1 233 211 3 1 322 311 2 )s in ( )s in ( )s in ( )s in ( l l l l 对角速度一次求导： 3333 2 32222 2 21 2 1 3333 2 32222 2 221 2 11 c o ss i nc o ss i ns i n s i nc o ss i nc o sc o s 321 3 lllll lllll )si n ( )c o s()c o s( )si n ( )c o s()c o s( 233 23 2 3331 2 11 2 22 3 322 32 2 2231 2 11 2 3 2 3 l lll l lll 解析法应用时的注意事项 1坐标系的选取与角度的度量应按右手法则进行，各构件的 角位移、角速度和角加速度均以逆时针方向度量为正值， 顺时针方向度量为负值。 2矢量的方向角应在四个象限内考虑，而在常用的编程语言 提供的反正切函数返回的角度值仅是第 和第 象限角， 因此，实际应用中应给予转换，方法是检验其正值的连续 性。 解析法的一般过程 1做好机构简图中各矢量的标记及建立坐标系等分析前 的准备工作； 2针对机构的具体特点，推导其运动学模型； 3进行计算机程序的框图设计； 4根据框图编制程序，运行并排查错误； 5分析计算结果，并得出结论。 复杂机构运动分析的主要步骤 1绘出机构简图，并建立坐标系等。 2按照第一章所述机构结构分解方法，任意一个复 杂平面机构分解为 F(自由度 )个驱动副和若干个有序 的基本运动链组成。每一个基本运动链又分解为 组有序的单开链。 3依次对基本运动链进行位置分析。其中位置分析可 能得到多种装配构形，并按照设计要求确定优选装配构 形。 6分析计算结果，并得出结论。 5依次对基本运动链进行加速度分析 4依次对基本运动链进行速度分析。 图解法 速度瞬心法 矢量方程图解法 矢量方程图解法的基本原理 同一构件上两点间的速度及 加速度的关系 两构件重合点间的速度和加 速度的关系 速度瞬心的定义 机构中瞬心数目和位置的确定 瞬心的应用 本章小结 解析法 矩阵法、杆组法