功能关系能量守恒

功能关系 能量守恒定律 一、功能关系 1.内容 (1)功是 的量度 ,即做了多少功就有 发生了 转化 . (2)做功的过程一定伴随着 ,而且 必通过 做功来实现 . 能量转化 多少能量 能量的转化 能量的转化 2.功与对应能量的变化关系 （每一种形式的能量的变化均对应一定力的功） 合外力的功 (所有外力的功 ) 动能 变化 重力做的功 变 化 弹簧弹力做的功 变 化 外力 (除重力、弹力 )做的功 变 化 一对滑动摩擦力做的总功 变 化 电场力做的功 变 化 分子力做的功 变 化 重力势能 动能 机械能 内能 电势能 分子势能 弹性势能 例：如图所示 ， 一小滑块以 100J的动能从斜面低端上 滑到某一点动能变为 36J时 ， 机械能减小了 24J， 则小 球回到斜面底端时的动能为多少 。 二、能量守恒定律 1.内容 :能量既不会凭空消灭 ,也 .它 只会从一种形式 为另一种形式 ,或者从一个 物体 到另一个物体 ,而在转化和 转移 的过程 中 ,能量的总量 . 2.表达式 : E减 = . E增 为末状态的能量减去初状态的能量 ,而 E减 为初状态的能量减去末状态的能量 . 不会凭空产生 转化 保持不变 E增 转移 热点一 几种常见的功能关系 1.合外力所做的功等于物体动能的增量 ,表达式 : W合 =Ek2-Ek1,即 动能定理 . 2.重力做正功 ,重力势能减少 ;重力做负功 ,重力势 能增加 .由于 “增量”是终态量减去始态量 ,所 以重力的功等于重力势能增量 的负值 ,表达式 : WG=- Ep=Ep1-Ep2. 3.弹簧的弹力做的功等于弹性势能增量的负值 ,表 达式 :WF=- Ep=Ep1-Ep2.弹力做多少正功 ,弹性势能减少多少 ;弹力做多少负 功 ,弹性势能增加多少 . 4.除系统内的重力和弹簧的弹力外 ,其他力做的总 功等于系统机械 能的增量 ,表达式 : W其他 =E. (1)除重力或弹簧的弹力以外的其他力做多少正功 ,物体的机械能 就增加多少 . (2)除重力或弹簧的弹力以外的其他力做多少负功 ,物体的机械能 就减少多少 . (3)除重力或弹簧的弹力以外的其他力不做功 , 物体的机械能守恒 热点二 对能量守恒定律的理解和应用 1.对定律的理解 (1)某种形式的能减少 ,一定存在其他形式的能增加 ,且减少量和 增加量一定相等 . (2)某个物体的能量减少 ,一定存在其他物体的能量增加 ,且减少 量和增加量一定相等 . 这也是我们列能量守恒定律方程式的两条基本思路 . 2.应用定律解题的步骤 (1)分清有多少形式的能如动能、势能 (包括重力势能、弹性 势能、电势能 )、内能等在变化 . (2)明确哪种形式的能量增加 ,哪种形式的能量减少 ,并且列出减少 的能量 E减和增加的能量 E增的表达式 . (3)列出能量守恒关系式 :E减 =E增 . 特别提示 1.应用能量守恒定律解决有关问题 ,关键是准确分析有多 少种形式的能量在变化 ,求出减少的总能量 E减 和增加的 总能量 E增 ,然后再依据能量守恒定律列式求解 . 2.高考考查该类问题 ,常综合平抛运动、圆周运动以及电 磁学知识考查判断、推理及综合分析能力 . 热点三 摩擦力做功的特点 一对相互作用的滑动摩擦 力对物体系统所做的总功 , 等于摩擦力与相对路程的 乘积 ,即 Wf=-f s相 表示物 体克服摩擦力做功 ,系统损 失的机械能转变成内能 一对静摩擦力所做功的 代数总和等于零 一对摩擦 力做功方 面 不 同 点 两种摩擦力都可以对物体做正功、负功 ,还可以不做功 正负功、不 做功方面 相 同 点 1.相互摩擦的物体通过摩 擦力做功 ,将部分机械能从 一个物体转移到另一个物 体 2.部分机械能转化为内能 , 此部分能量就是系统机械 能的损失量 在静摩擦力做功的过程 中 ,只有机械能从一个 物体转移到另一个物体 (静摩擦力起着传递机 械能的作用 )而没有机 械能转化为其他形式的 能量 能量的转 化方面 不 同 点 滑动摩擦力 静摩擦力 类别 比较 特别提示 一对相互作用的滑动摩擦力做功所产生的热量 Q=f s相对 ,其中 s相对 是物体间 相对路径长度 .如果两物体同向运动 ,s相对 为两物体对地位移大小之差 ;如果 两物体反向运动 ,s相对 为两物体对地位移大小之和 ;如果一个物体相对另一 物体做往复运动 ,则 s相对 为两物体相对滑行路径的总长度 . 例：如图所示，长为 L的滑块置于光滑的水平面上，滑块前 端放一小物块，用大小为 F的水平力将滑块向右拉动一段距 离 l，物块刚好滑到滑块的左端物块与滑块的摩擦力为 f， 在此过程中 ( ),若物块与滑块相对静止，则在此过程中 ( ) A系统产生的内能为 f L B系统增加的机械能为 fl C物块增加的动能为 f L D小车增加的动能为 Fl f L F F 题型 1 功和能的相应关系的理解 例 1-1:已知货物的质量为 m,在某段时间内起重机将货物以 a的加速度 加速升高 h,则在这段时间内叙述正确的是 (重力加速度为 g)( ) A.货物的动能一定增加 mah-mgh B.货物的机械能一定增加 mah C.货物的重力势能一定增加 mah D.货物的机械能一定增加 mah+mgh D 例 1-2 如图所示 ,滑块静止于 光滑水平面上 ,与之相连的轻质 弹簧处于自然伸直状态 .现用恒 定的水平外力 F作用于弹簧右端 , 在向右移动一段距离的过程中 ,拉力 F做了 10 J的功 . 上述过程中 ( ) A.弹簧的弹性势能增加了 10 J B.滑块的动能增加了 10 J C.滑块和弹簧组成的系统机械能增加了 10 J D.滑块和弹簧组成的系统机械能守恒 解析 拉力 F做功既增加了弹性势能 ,还增加了滑块 的动能 ,A、 B错误 ;系统增加的机械能等于力 F做的功 , C对 ,D错 . C 变式 1-2、一质量均匀不可伸长的绳索，重为 G， A、 B两端固定 在天花板上，如图所示，今在最低点 C施加一竖直向下的力将绳 拉至 D点，在此过程中，绳索 AB的重心位置（ ） A逐渐升高 B逐渐降低 C先降低后升高 D始终不变 A 变式题 1-2如图所示 ， 一轻弹簧左端固定在长木板 M的左端 ， 右端 与小木块 m连接 ， 且 m与 M及 M与地面间摩擦不计 开始时 ， m和 M 均静止 ， 现同时对 m、 M施加等大反向的水平恒力 F1和 F2， 设两物 体开始运动以后的整个运动过程中 ， 弹簧形变不超过其弹性限 度 对于 m、 M和弹簧组成的系统 ( ) A 由于 F1、 F2等大反向 ， 故系统机械能守恒 B 当弹簧弹力大小与 F1、 F2大小相等时 ， m、 M各自的动能最大 C 由于 F1、 F2大小不变 ， 所以 m、 M各自一直做匀加速运动 D 由于 F1、 F2均做正功 ， 故系统的机械能一直增大 B 由于 F1、 F2对系统做功之和不为零 ， 故系统机 械能不守恒 ， A错误 ；当弹簧弹力大小与 F1、 F2大 小相等时 ， 速度达到最大值 ， 故各自的动能最大 ， B正确 ；由于弹力是变化的 ， m、 M所受合力是变化 的 ， 不会做匀加速运动 ， C错误 ；由于 F1、 F2先对系 统做正功 ， 当两物块速度减为零时 ， 弹簧的弹力大 于 F1、 F2， 之后 ， 两物块再加速相向运动 ， F1、 F2 对系统做负功 ， 系统机械能开始减少 ， D错误 题型 2 能量守恒定律的应用 例 2 如图所示 ,A、 B、 C质量分别为 mA=0.7 kg,mB=0.2 kg,mC=0.1 kg,B为套在细绳上的圆环 ,A与水平桌面的动摩 擦因数 =0.2,另一圆环 D固定在桌边 ,离地面高 h2=0.3 m, 当 B、 C从静止下降 h1=0.3 m,C穿环而过 ,B被 D挡住 ,不计 绳子质量和滑轮的摩擦 ,取 g=10 m/s2,若开始时 A离桌边足 够远 .试求 : (1)物体 C穿环瞬间的速度 . (2)物体 C能否到达地面 ?如果能到达地面 ,其速 度多大 ? 思维导图 解析 (1)由能量守恒定律得 (mB+mC)gh1= (mA+mB+mC)v12+ mAg h1 可求得 : (2)设物体 C到达地面的速度为 v2,由能量守恒定律得 可求出 故物体 C能到达地面 ,到地面 的速度为 2 1 sm/6521 v 2 2 1 2 22 )(2 1)( 2 1 ghmvmmvmmghm ACACAC s,m/10662 v .sm/1066 答案 sm/5 62)1( (2)物体 C能到达地面 ,速度为 s/m1066 7 例题 - 如图 10 所示，有一个可视为质点的质量为 m 1 k g 的小物块，从光滑平台上的 A 点以 v 0 2 m /s 的初速度水平 抛出，到达 C 点时，恰好沿 C 点的切线方向进入固定在水平 地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端 D 点 的质量为 M 3 k g 的长木板已知木板上表面与圆弧轨道末 端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长 木板间的动摩擦因数 0.3 ，圆弧轨道的半径为 R 0.4 m ， C 点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角 60 ，不计空气 阻力， g 取 10 m / s 2 . 求： (1) 小物块刚要到达圆弧轨道末端 D 点时对轨道的压力 (2) 要使小物块不滑出长木板，木板的长度 L 至少多大？ 变式练习 解析 ( 1) 小物块在 C 点时的速度为 v C v 0 c os 60 4 m /s 小物块由 C 到 D 的过程中，由动能定理得 m gR (1 c os 60 ) 1 2 m v D 2 1 2 m v C 2 代入数据解得 v D 2 5 m /s 小球在 D 点时由牛顿第二定律得 N mg m v D 2 R 代入数据解得 N 60 N 由牛顿第三定律得 N N 60 N 方向竖直向下 ( 2) 设小物块刚滑到长木板左端时达到共同速度，大小为 v ， 小物块在木板上滑行的过程中，小物块与长木板的加速度 大小分别为 a 1 m g m g 3 m /s 2 ， a 2 m g M 1 m /s 2 速度分别为 v 1 v D a 1 t v 2 a 2 t 当 t 5 2 s 时，物块与木板达到共同速度，此时 v v 1 v 2 5 2 m /s 对物块和木板系统，由能量守恒定律得 m gL 1 2 m v D 2 1 2 ( m M ) v 2 解得 L 2.5 m ，即木板的长度至少是 2.5 m 答案 (1)60 N，方向竖直向下 (2)2.5 m 题型 3 功能关系在传送带类问题中的应用 例 3：飞机场上运送行李的装置为一水平放置的环形传送带 , 传送带的总质量为 M,其俯视图如图 4所示 .现开启电动机 ,传送 带达到稳定运行的速度 v后 ,将行李依次轻轻放到传送带上 .若 有 n件质量均为 m的行李需通过传送带运送给旅客 .假设在转弯 处行李与传送带无相对滑动 ,忽略皮带轮、电动机损失的能量 . 求从电动机开启 ,到运送完行李需要消耗的电能为多少 ? 解析 设行李与传送带间的动摩擦因数为 ,则传 送带与行李间由于摩擦产生的总热量 Q=n mg s 由运动学公式得 : 又 v= gt 联立解得 : 由能量守恒得 : 所以 22 vtvtvtsss 行传 2 2 1 n m vQ 22 2 1 2 1 mvnMvQE 22 2 1 n m vMvE 变式 如图所示，光滑水平面 MN 的左端 M 处有一弹射装置 P ， 右端 N 处与水平传送带恰平齐接触，传送带水平部分长度 L 16 m ， 沿逆时针方向以恒定速度 v 2 m /s 匀速转动 ABCD E 是由三部 分光滑轨道平滑连接在一起组成的， AB 为水平轨道，弧 BC D 是半 径为 R 的半圆弧轨道，弧 DE 是半径为 2 R 的圆弧轨道，弧 BCD 与 弧 DE 相切在轨道最高点 D ， R 0. 6 m 水平部分 A 点与传送带平 齐接触放在 MN 段的物块 m ( 可视为质点 ) 以初速度 v 0 4 m / s 冲 上传送带，物块与传送带间的动摩擦因数 0. 2 ，物块的质量 m 1 kg ，结果物块滑上传送带运动一段时间后，又返回到 N 端，经水 平面与左端 M 处的固定弹射器相碰撞 ( 弹射器的弹簧经压缩后被锁 定 ) ，因碰撞使弹射器的锁定被打开，将物块弹回后滑过传送带，冲 上右侧的圆弧轨道，物块恰能始终贴着圆弧轨道 BCDE 内侧 通过 其最高点 D 后，从 E 点飞出 g 10 m/s 2 . 求： (1 ) 物块 m 从第一次滑上传送带到返回 N 端的时间； (2 ) 物块 m 第二次在传送带上运动时，电动机为了维持传送带匀速 转动，对传送带多提供的能量 解析 (1 ) 物块向右做匀减速直线运动，直到速度减小到零，然后反向 做匀加速直线运动，直到与传送带共速后，一起做匀速直线运动 物块向右做匀减速直线运动过程 mg ma 0 v 0 at 1 t 1 2 s 物块向右达到的最大位移 x 1 v 0 2 t 1 4 m 物块反向做匀加速直线运动，直到与传送带共速，所需时间 t 2 ，相对 地面的向左位移 x 2 v at 2 t 2 v g 1 s x 2 v 2 t 2 1 m 物块与传送带共速 后，匀速运动的时间 t 3 x 1 x 2 v 1.5 s(1 分 ) 往返总时间 t t 1 t 2 t 3 4.5 s (2) 由物块恰能始终贴着圆弧轨道 BC DE 内侧通过其最高点 D ，可知 物块在半径为 2 R 的圆弧轨道的最高点，重力全部充当向心力 mg m v D 2 2 R 物块由 B 点运动到 D 点过程中，根据动能定理得 mg 2 R 1 2 m v D 2 1 2 m v B 2 代入数据得 v B 6 Rg 6 m/ s 物块 第二次从 N 点运动到 A 点，需时间 t ，设 N 点速度为 v N ，由运动 学知识得 L v N t 1 2 g t 2 v A v B v N g t 代入数据得 t 2 6 t 16 0 得 t 2 s 或 t 8 s( 舍去 ) 物块从 N 点运动到 A 点过程中，传送带的位移 x v t 4 m 电动机为维持传送带匀速运动，多提供的能量 E mg x 8 J 变式练习 如图 3所示 ,倾角为 30 的光滑斜面的下端有一水平传 送带 ,传送带正以 6m/s的速度运动 ,运动方向如图所示 .一个质量 为 2 kg的物体 (物体可以视为质点 ),从 h=3.2 m高处由静止沿斜面 下滑 ,物体经过 A点时 ,不管是从斜面到传送带还是从传送带到斜 面 ,都不计其动能损失 .物体与传送带间的动摩擦因数为 0.5,物体 向左最多能滑到传送带左右两端 AB的中点处 ,重力加速度 g=10 m/s2,则 : (1)物体由静止沿斜面下滑到斜面末端需要多长时间 ? (2)传送带左右两端 AB间的距离 l至少为多少 ? (3)上述过程中物体与传送带组成的系统产生的摩擦热为多少 ? (4)物体随传送带向右运动 ,最后沿斜面上滑的最大高度 h 为多 少 解析 (1) 可得 t=1.6 s. (2)由能的转化和守恒得 : ,2s i n,s i n 2ath mamg .m8.12, 2 l lmgm gh (3)此过程中 ,物体与传送带间的相对位移 s相 = +v带 t1,又 ,而摩擦热 Q= mg s相 , 以上三式可联立得 Q=160 J. (4)物体随传送带向右匀加速 ,当速度为 v带 =6 m/s时 向右的位移为 s,则 mgs= mv带 2, 即物体在到达 A点前速度与传送带相等 ,最后以 v带 = 6 m/s的速度冲上斜面 ,由 mv带 2=mgh, 得 h= 1.8 m. 2 l 2 12 1 2 gt l 2 1 ,2m6.3 ls 2 1 变式： 如图所示 ,质量为 m的滑块 ,放在光滑的水平平台上 ,平台 右端 B与水平传送带相接 ,传送带的运行速度为 v0,长为 L.今将滑 块缓慢向左压缩固定在平台上的轻弹簧 ,到达某处时突然释放 . 当滑块滑到传送带右端 C时 ,恰好与传送带速度相同 .滑块与传送 带间的动摩擦因数为 . (1)试分析滑块在传送带上的运动情况 . (2)若滑块离开弹簧时的速度大于传送带的速度 ,求释放滑块时 ,弹 簧具有的弹性势能 . (3)若滑块离开弹簧时的速度大于传送带的速度 ,求滑块在传送带 上滑行的整个过程中产生的热量 . 解析 (1)若滑块冲上传送带时的速度小于带速 ,则滑块在带上由于 受到向右的滑动摩擦力而做匀加速运动 ;若滑块冲上传送带时的速度 大于带速 ,则滑块由于受到向左的滑动摩擦力而做匀减速运动 . (2)设滑块冲上传送带时的速度为 v,在弹簧弹开过程中由机械能守 恒 设滑块在传送带上做匀减速运动的加速度大小为 a由牛顿第二定 律 :mg=ma 由运动学公式 v2-v02=2aL 解得 (3)设滑块在传送带上运动的时间为 t,则 t时间内传送 带的位移 s=v0t v0=v-at 滑块相对传送带滑动的位移 s=L -s 相对滑动生成的热量 Q=mgs 解得 Q=mgL -mv0 2 p 2 1 mvE m g LmvE 20p 21 )2( 020 vgLv 功能关系的应用 一传送带装置示意图如图所示 ， 其中传送带经过 AB区域时是水 平的 ， 经过 BC区域时变为圆弧形 (圆弧由光滑模板形成 ， 未画 出 )， 经过 CD区域时是倾斜的 ， AB和 CD都与 BC相切 现将大 量的质量均为 m的小货箱一个一个在 A处放到传送带上 ， 放置 时初速为零 ， 经传送带运送到 D处 ， D和 A的高度差为 h.稳定工 作时传送带速度不变 ， CD段上各箱等距排列 ， 相邻两箱的距 离为 L.每个箱子在 A处投放后 ， 在到达 B之前已经相对于传送带 静止 ， 且以后也不再滑动 (忽略经 BC段时的微小滑动 ) 已知在 一段相当长的时间 T内 ， 共运送小货箱的数目为 N.这装置由电 动机带动 ， 传送带与轮子间无相对滑动 ， 不计轮轴处的摩 擦 求电动机的平均输出功率 P. 图 441 弄清能量的转化情况是解答本题的关键 ， 电 动机的输出 ， 一部分转化成小货箱的动能 ， 一部 分转化成小货箱与传送带的摩擦而产生的热量 ， 还有一部分转化成小货箱的重力势能 以地面为参考系 (下同 )， 设传送带的运动速度为 v0， 在水平段运输的过程中 ， 小货箱先在滑动摩擦力作 用下做匀加速运动 ， 设这段路程为 x， 所用时间为 t， 加 速 度 为 a ， 则 对 小 货 x= at2 v0=at 在这段时间内 ， 传送带运动的路程为 x0=v0t 由以上可得 x0=2x 用 f表示小货箱与传送带之间的滑动摩擦力 ， 则传送 带对小货箱做功为 A=fx= 1 2 2 0 1 2 mv 传送带克服小货箱对它的摩擦力做功 A0=fx0=2 两者之差就是克服摩擦力做功发出的热量 Q=A0- A= 可见 ， 在小货箱加速运动过程中 ， 小货箱获得的动能 与发热量相等 T时间内 ， 电动机输出的功为： W= T 此功用于增加小货箱的动能 、 势能以及克服摩擦力发 热 ， 即 W= +Nmgh+NQ 已知相邻两个小货箱的距离为 L， 所以 v0T=NL 联立 ， 得 = ( +gh) 1 2 20 1 2 P P Nm T 22 2 NL T 2 0mv 2 0mv 2 0 1 2 N m v 如图所示， AB为半径 R 0.8 m的 1/4光滑圆弧轨道，下端 B恰与 小车右端平滑对接小车质量 M 3 kg，车长 L 2.06 m，车上 表面距地面的高度 h 0.2 m现有一质量 m 1 kg的小滑块，由 轨道顶端无初速释放，滑到 B端后冲上小车已知地面光滑， 滑块与小车上表面间的动摩擦因数 0.3，当车运动了 1.5 s时， 车被地面装置锁定 (g 10 m/s2)试求： (1)滑块到达 B端时，轨道对它支持力的大小； (2)车被锁定时，车右端距轨道 B端的距离； (3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间由于摩擦而 产生的内能大小； 【标准解答】 (1) 由机械能守恒定律和牛顿第二定律得 m gR 1 2 m v 2 B ， F N B mg m v 2 B R 则： F N B 30 N . (2) 设 m 滑上小车后经过时间 t 1 与小车同速，共同速度大小为 v ， 对滑块有： m g ma 1 ， v v B a 1 t 1 对于小车： m g Ma 2 ， v a 2 t 1 可得 t 1 1 s 1.5 s 故滑块与小车同速后，小车继续向左匀速行驶了 0.5 s ，则小车右端距 B 端的 距离为 l 车 v 2 t 1 v (1 .5 s t 1 ) 1 m . (3) Q m gl 相对 m g ( v B v 2 t 1 v 2 t 1 ) 6 J. 【 答案 】 (1)30 N (2)1 m (3)6 J 在 “ 奥运 ” 比赛项目中，高台跳水是我国运动 员 的强 项质量为 m 的跳水运动员竖直进入水中后受到水 的阻力而 做减速运动，设水对他的阻力大小恒为 F ，当地 的重力加速 度为 g ，那么在他减速下降高度为 h 的过程中， 下列说法正 确的是 ( ) A 他的动能减少了 Fh B 他的重力势能增加了 mgh C 他的机械能减少了 ( F mg ) h D 他的机械能减少了 Fh 解析 运动员在向下运动的过程中，受到重力与阻力，因 为重力做功 W G 0 ，故重力势能减少了 m gh ， B 项错误对 运动员由动能定理得 E k ( mg F ) h ， A 项不对机械能 的改变 E Fh ，故 D 项正确 D 动能定理与动力学方法的应用 例 2 (2010 福建卷 22) 如图 2 所示，物体 A 放在足够长的木板 B 上，木板 B 静置 于水平面 t 0 时，电动机通过水平细 绳以恒力 F 拉木板 B ，使它做初速度为零、加速度 a B 1.0 m /s 2 的匀加速直线运动已知 A 的质量 m A 和 B 的质量 m B 均为 2.0 k g ， A 、 B 之间的动摩擦因数 1 0.05 ， B 与水 平面之间的动摩擦因数 2 0.1 ，最大静摩擦力与滑动摩擦 力大小视为相等，重力加速度 g 取 10 m/ s 2 . 求： ( 1) 物体 A 刚运动时的加速度 a A ； ( 2) t 1.0 s 时，电动机的输出功率 P ； ( 3) 若 t 1.0 s 时，将电动机的输出功率立即调整为 P 5 W , 并在以后的运动过程中始终保持这一功率不变， t 3.8 s 时物 体 A 的速度为 1.2 m /s . 则 t 1.0 s 到 t 3.8 s 这段时间内木板 B 的位移为多少？ 解析 ( 1) 物体 A 在水平方向上受到向右的摩擦力，由牛顿 第二定律得 1 m A g m A a A 由 并代入数据解得 a A 0.5 m / s 2 ( 2) t 1 1.0 s 时，木板 B 的速度大小为 v 1 a B t 1 设木板 B 所受的拉力为 F ，由牛顿第二定律有 F 1 m A g 2 ( m A m B ) g m B a B 电动机的输出功率 P 1 F v 1 由 并代入数据解得 P 1 7 W ( 3) 电动机的输出功率调整为 5 W 时，设细绳对木板 B 的拉 力为 F ，则 P F v 1 代入数据解得 F 5 N 对木板 B 由牛顿第二定律有 F 1 m A g 2 ( m A m B ) g 0 所以木板 B 将做匀速直线运动，而物体 A 则继续在 B 上做匀 加速直线运动直到 A 、 B 速度相等设这一过程时间为 t , 有 v 1 a A ( t 1 t ) 这段时间内木板 B 的位移 x 1 v 1 t A 、 B 速度达到相同后，由于 F 2 ( m A m B ) g 且电动机输出功 率恒定， A 、 B 将一起做加速度逐渐减小的变加速运动由动 能定理得 P ( t 2 t t 1 ) 2 ( m A m B ) gx 2 1 2 ( m A m B ) v A 2 1 2 ( m A m B ) v 1 2 由 并代入数据解得 木板 B 在 t 1.0 s 到 t 3.8 s 这段时间内的位移 x x 1 x 2 3.03 m ( 或取 x 3.0 m ) 答案 (1)0.5 m/s2 (2)7 W (3)3.03 m(或 3.0 m) 动能定理与机械能守恒定律的综合应用 例 3 如图 4 所示，水平轨道上轻弹簧左端 固定 , 弹簧处于自然状态时，其右端位于 P 点 . 现用一质量 m 0. 1 k g 的小物块 ( 可视为 质点 ) 将弹簧压缩后释放 , 物块经过 P 点时 的速度 v 0 18 m /s ，经过水平轨道右端 Q 点后恰好沿半圆 轨道的切线进入竖直固定的圆轨道，最后物块经轨道最低 点 A 抛出后落到 B 点，若物块与水平轨道间的动摩擦因数 0.15 ， R 1 m ， P 到 Q 的长度 l 1 m ， A 到 B 的竖直 高度 h 1.25 m ，取 g 10 m/ s 2 . (1) 求物块到达 Q 点时的速度大小 ( 保留根号 ) ； (2) 判断物块经过 Q 点后能否沿圆周轨道运动； (3) 求物块水平抛出的位移大小 图 4 审题突破 1. 本题物块从 P 点出发包括几个不同的运动阶段？ 2 从题意中能否确定半圆轨道是光滑的呢？ 解析 ( 1) 设物块到达 Q 点时的速度为 v ，由动能定理得 m gl 1 2 m v 2 1 2 m v 0 2 (2 分 ) 代入数据解得 v 321 m / s (1 分 ) ( 2) 设物块刚离开 Q 点时，圆轨道对物块的压力为 F N 根据牛顿定律有 F N mg m v 2 R (2 分 ) 则 F N m v 2 R mg 31.1 N 0 ，故物块能沿圆周轨道运动 (1 分 ) ( 3) 设物块到达半圆轨道最低点 A 时的速度为 v 1 ，由机械能守 恒得 1 2 m v 2 mg 2 R 1 2 m v 1 2 (2 分 ) 解得 v 1 19 m /s (1 分 ) 由滑块从 A 点下落， h 1 2 gt 2 (2 分 ) 做平抛运动的水平位移 x v 1 t (2 分 ) 得 x v 1 2 h g (1 分 ) 代入数据，得 x 9.5 m (1 分 ) 答案 ( 1) 321 m / s ( 2) 能 ( 3) 9. 5 m 以题说法 1. 本题是一个多运动过程问题，应注意分析各个 过程的运动和受力特点，从而选取相应的物理规律 2 审题中要注意隐含条件的挖掘，如本题半圆轨道不受摩 擦力作用 3 物体通过竖直轨道最高点的条件是轨道与物体间的弹力 F 0. 素能提升 一、选择题 (1 2 单选题， 3 5 双选题 ) 1 物体只在重力和一个不为零的向上的拉力作用下，分别 做了匀速上升、加速上升和减速上升三种运动在这三 种情况下物体机械能的变化情况是 ( ) A 匀速上升机械能不变，加速上升机械能增加，减速 上升机械能减小 B 匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能减 小 C 由于该拉力与重力大小的关系不明确，所以不能确 定物体机械能的变化情况 D 三种情况中，物体的机械能均增加 解析 在三种情况下，外力均对物体做了正功，所以物体 的机械能均增加，故 D 正确 答案 D 2 从地面竖直上抛一个质量为 m 的小球，小球上升的最 大高度为 H . 设上升过程中空气阻力 F 阻 恒定则对于小 球的整个上升过程，下列说法中错误的是 ( ) A 小球动能减少了 m gH B 小球机械能减少了 F 阻 H C 小球重力势能增加了 m gH D 小球的加速度大于重力加速度 g 解析 小球上升过程受重力 G 和空气阻力 F 阻 ，合力的功 为 W 合 ( mg F 阻 ) H ，因此小球动能减少 ( mg F 阻 ) H ， A 错；因空气阻力做功为 F 阻 H ， B 对；重力做功为 W G m gH ， C 对；小球受合力为 F 合 mg F 阻 ma ， a g ， D 对 答案 A 3 如图 6 所示，细绳的一端绕过定滑轮 与木箱相连，现以大小恒定的力 F 拉 动细绳，将静置于 A 点的木箱经 B 点 拉到 C 点 ( AB BC ) ，地面平直且与木 箱的动摩擦因数处处相等设从 A 到 B 和从 B 到 C 的过程中， F 做功分别 为 W 1 、 W 2 ，克服摩擦力做功分别为 Q 1 、 Q 2 ，木箱经过 B 、 C 时的动能和 F 的功率分别为 E k B 、 E k C 和 P B 、 P C ，则 下列关系一定成立的有 ( ) A W 1 W 2 B Q 1 Q 2 C E k B E k C D P B P C 图 6 解析 从 A 到 B 的过程中细绳滑出滑轮右边的长度大于从 B 到 C 过程中细绳滑出滑轮右边的长度，由功的计算式 W Fs 可知， A 选项正确滑动摩擦力 f ( mg F s in ) ， 其中 为绳与水平方向的夹角，随着木箱向右运动， 变 大， f 变小，由 Q fs 得 Q 1 Q 2 . 由动能定理可知， E k B W 1 Q 1 ， E k C W 1 W 2 Q 1 Q 2 ，则木箱经 B 、 C 两点时 的动能 E k B 、 E k C 大小关系无法判断由于功率 P F v c os ， 则 B 、 C 两点的功率大小关系也无法判断 答案 AB 4 一物体悬挂在细绳下端，由静止开始沿竖 直方向向下运动，运动过程中，物体的机 械能与位移的关系图象如图 7 所示，其中 0 s 1 过程的图象为曲线， s 1 s 2 过程的图 象为直线，根据该图象，下列说法正确的 是 ( ) A O s 1 过程中物体所受拉力一定是变力，且不断减小 B s 1 s 2 过程中物体可能在做匀变速直线运动 C s 1 s 2 过程中物体可能在做变加速直线运动 D O s 2 过程中物体的动能可能在不断增大 图 7 解析 选取物体开始运动的起点为重力零势能点，物体下 降位移 s ，由动能定理得 mg s Fs 1 2 m v 2 0 ，则物体的机 械能为 E 1 2 m v 2 ( m gs ) Fs ，在 E s 图象中，图象 斜率的大小反映拉力的大小， 0 s 1 过程中，斜率变大，所 以拉力一定变大， A 错； s 1 s 2 过程的图象为直线，拉力 F 不变，物体可能在做匀加速或匀减速直线运动， B 对， C 错；如果全过程都有 mg F ，则物体的动能不断增大，故 D 项也正确 答案 BD 5 如图 8 所示，一轻弹簧的左端固定，右 端与一小球相连，小球处于光滑水平面 上现对小球施加一个方向水平向右的恒 力 F ，使小球从静止开始运动，则小球在 向右运动的整个过程中 ( ) A 小球和弹簧组成的系统机械能守恒 B 小球和弹簧组成的系统机械能逐渐增大 C 小球的动能逐渐增大 D 小球的动能先增大然后减小 图 8 解析 小球在向右运动的整个过程中，力 F 做正功，由功 能原理知小球和弹簧组成的系统机械能逐渐增大，选项 A 错误，选项 B 正确；弹力一直增大，当弹力等于 F 时， 小 球的速度最大，动能最大，当弹力大于 F 时，小球开始减 速运动，速度减小，动能减小，选项 C 错误，选项 D 正确 答案 BD 二、非选择题 6 如图 9 所示，光滑水平面 AB 与竖直面内的半圆形导轨 在 B 点相切，半圆形导轨的半径为 R . 一个质量为 m 的物 体将弹簧压缩至 A 点后由静止释放，在弹力作用下物体 获得某一向右的速度后脱离弹簧，当它经过 B 点进入导 轨的瞬间对轨道的压力为其重力的 8 倍，之后向上运动 恰能到达最高点 C .( 不计空气阻力 ) 试求： ( 1) 物体在 A 点时弹簧的弹性势能 ( 2) 物体从 B 点运动至 C 点的过程中克服阻力所做的功 图 9 解析 ( 1) 设物体在 B 点速度为 v B ，弹力为 N B ，则有 N B mg m v B 2 R 又 N B 8 mg 所以 1 2 m v B 2 7 2 m gR 由能量转化与守恒可知：弹性势能 E p 1 2 m v B 2 7 2 m g R ( 2) 设物体在 C 点速度为 v C ，由题意可知： mg m v C 2 R 物体由 B 运动到 C 点的过程中，克服阻力所做的功为 W ， 由能量守恒得 1 2 m v B 2 1 2 m v C 2 2 m gR W 解得 W m gR 答案 ( 1) 72 m gR ( 2) m gR