资源描述
第 2讲 矩阵算法及弹性力学基础 2.1 矩阵算法 线性方程组的表示 行向量和列向量 矩阵加、减、乘法运算 矩阵的转置、对称矩阵、单位矩阵 矩阵行列式 矩阵求逆 矩阵的微分和积分 正定矩阵（正定二次型） 线性方程组的表示 求解方法：高斯消元法、迭代法 行向量和列向量 矩阵加、减、乘法运算 对称方阵 矩阵转置、对称矩阵、单位矩阵 或 矩阵行列式 奇异矩阵 (方阵 ) 如果方阵 A的行列式 则其逆存在，记为 A的伴随矩阵 矩阵的逆 对于： 线性方程组的求解，变为求解系数矩阵的逆矩阵 矩阵的微分和积分 二次型：含有 n个变量的二次齐次多项式 2 1 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 ( , , , ) 2 2 2 22 n n n nn f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x 2 nn n ax 2 1 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 21 2 1 22 2 23 2 3 2 2 1 1 2 ( , , , ) n n n nn n n n f x x x a x a x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x 2 2 3 3n n n nn n x a x x a x 若取 ji ijaa 正定二次型 则 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 1 2 12 ( , , , ) n n nn nn n nn T a a a x a a a x f x x x x x x xa a a x A x 利用矩阵及其运算，二次型可表示为 A: 对称矩阵 正定二次型：设 为实二次型，如果对于 12( , , , ) Tnf x x x x A x 任意的非零实向量 X，都有 0Tf x A x A: 正定矩阵 关于正定矩阵 正定矩阵是特殊的对称实矩阵 正定矩阵的对角元 aii0 正定矩阵的行列式 |A|0 A为正定矩阵的充要条件是 A的所有顺序 主子式皆大于 0 二次型的微商 12 ,1 ( , , , ) n T n i j i j ij f x x x a x x x A x 1 1 1 11 12 1 1 2 21 22 2 2 12 12 1 2 2 22 2 n ii i n n i i n i nn n nnn ni i in f ax x a a a x f a x a a a xf x xa a a f ax x x Ax x 对向量 x各元素的偏导数 2.2 弹性力学基础 关于弹性力学 五个基本假定 外力和内力 应力、应变、位移 指标记法和求和约定 张量及 Voigt标记 平面问题基本方程及边界条件 三维问题基本方程及边界条件 关于弹性力学 弹性力学 是研究弹性体在约束和外载荷作 用下内力和变形分布规律的一门学科。 力学学科 研究对象 特征 中学力学 质点 无变形 理论力学 质点系及刚体 无变形 材料力学 简单变形体 (构件 ) 小变形 结构力学 数量众多的简单变形体 小变形 弹性力学 任意变形体 小变形 弹塑性力学 任意变形体 任意变形 力学学科各分支的关系 五个基本假定 连续性 ：无空隙，能用连续函数描述 均匀性 ：各个位置物质特性相同 各向同性 ：同一位置的物质各个方向上具有相 同特性 线弹性 ：变形和外力的关系是线性的 ， 外力去 除后 ， 物体可恢复原状 小变形 ：变形远小于物体的几何尺寸 ， 建立基 本方程时可以忽略高阶小量 。 外力和内力 体力 分布在物体体积内的力，例如重力 和惯性力。 面力 分布在物体表面上的力 ， 例如接触 压力 、 流体压力 。 分布力：连续分布在表面某一范围内 集中力：分布力的作用面积很小时的简化 内力 外力作用下，物体内部相连各部分 之间产生的相互作用力。 位移、应力、应变 对变形体受力和变形进行描述的基本变量 位移 物体变形后的形状 应力 物体的受力状态 应变 物体的变形程度 位移 位移就是位置的移动 。 物体内任意一点的 位移 ， 用位移在 x， y， z坐标轴上的投影 u、 v、 w表示 。 应 力 物体内某一点的内力 SAQ A 0 lim F1 F2 F3 应力 S在其作用截面上的法向 分量为正应力 ，切向分量称 为剪应力，用 表示。 AN si n si nN A s in c osN A 显然，点 p在不同截面上的应力是不同的。为分析点 p的应力状态，即 通过 p点的各个截面上的应力的大小和方向，在 p点取出的一个无穷小 平行六面体。用六面体表面的应力分量来表示 p点的应力状态。 一点的应力状态 无穷小正六面体 , 六面体的各棱边 边平行于坐标轴 第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表 示应力的作用方向。 正应力由于作用表面与作用方向垂直，通常用 一个下标。 应力分量的方向定义 ： 如果某截面上的 外法线是沿坐标轴的正方向 ，这个 截面上的应力分量以 沿坐标轴正方向为正 ； 如果某截面上的 外法线是沿坐标轴的负方向 ，这个 截面上的应力分量以 沿坐标轴负方向为正 。 剪应力互等 物体内任意一点的应力状态可以用六个独 立的应力分量来表示 xzzxzyyzyxxy , 或 x y z xy yz zx 、 、 、 、 、 1 2 3 12 23 31 、 、 、 、 、 应变 物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。 各线段的单位长度的伸缩，称为正应变，用 表 示。 两个垂直线段之间的直角的改变，用弧度表示， 称为剪应变，用 表示。 du dL dL+du dL 与应力的定义类似，物体内任意一点的变 形，可以用六个应变分量表示： zxyzxyzyx 、 1 2 3 12 23 31 、 、 、 、 、 或 指标记法和求和约定 自由指标 ：表达式每一项中只出现一次的下标， 如 ij ,其中 i,j为自由指标，可以自由变化。三维 问题中， i,j的变化范围为 1,2,3，分别和直角坐 标系三个坐标轴 x,y,z对应。 重复指标 （ 哑指标 ）：表达式的每一项中重复 出现的下标，如 aijxj=bi ， j为哑指标。 求和约定 ：哑指标意味着求和。 爱因斯坦求和约定在微分几何、张量分析、连 续介质力学等学科中 ,对于表达式和推导的简化 , 有着十分重要的作用。 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 3 1 1 3 2 2 3 3 3 3 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 按一般写法： 3 1 , ( 1 , 2 , 3 )ij j i j a x b i 用指标记法，则为 ij j ia x b （指标变化范围为 1,2,3） 采用指标记法后，方程 (组 )的表达形式得到简练。 张量及 Voigt标记 大部分连续介质力学和有限元相关的文献 采用张量符号和指标记法 张量的定义：不同坐标系下满足一定变换 关系的物理量 ,如 u, , 张量通常采用指标记法表示 0阶张量 (标量 )：无自由指标的量 1阶张量 (矢量 )：有 1个自由指标的量，如 ui 2阶张量：有 2个自由指标的量，如 ij , ij n阶张量：有 n个自由指标的量 一点的应力状态和应变状态都符合张量的定义， 指标记法为 ij 和 ij，是二阶张量 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 ij 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 ij 1 2 2 1 1 2 2 3 3 2 2 3 3 1 1 3 3 1 1 2 1 2 1 2 12 21 12 23 32 23 31 13 31 对张量的理解 张量不随坐标系的改变而改变 例如位移矢量 ui ：无论从哪一个坐标系观察， 它反映的总是 A点移动到 B点的客观事实，不 随观察者所在的坐标系而改变。 再如应力张量 ij和应变张量 ij ，尽管在不同 的坐标系中具有不同的分量，但是它们所描 述的却是某点的同一个应力和应变状态。 Voigt标记 含义：在有限元编程中，常常将对称的二 阶张量写成列向量，将非常棘手的对称四 阶张量（如弹性系数矩阵 Dijkl）转换成二 阶张量。这种转换过程称为 voigt标记。 转换规则： 应力张量（动力学量）的转换 应变张量（运动学量）的转换 11 22 33 12 23 3 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 3 3 3 3 2 1 2 2 2 3 2 3 4 3 1 3 2 3 3 1 1 513 62 应力张量的 Voigt标记 11 11 22 33 12 1 22 2 11 12 13 33 3 21 22 23 23 4 31 32 33 513 6 23 3112 2 2 2 2 2 2 应变张量的 Voigt标记 剪切应变需要乘以 2，这是源于能量表达式的需要。 弹性系数矩阵的 Voigt标记 平面问题及其基本方程 弹性体在满足一定条件时，其变形和应力 的分布规律可以用在某一平面内的变形和 应力的分布规律来代替，这类问题称为平 面问题。平面问题分为 平面应力问题 和 平 面应变问题 。 平面应力问题 很薄的等厚薄板，只在板边上受到平行于板面并且不沿厚度变化 的面力，体力也平行于板面且不沿厚度变化。 0z 0zx 0zy 平面应变问题 很长的柱形体，支承情况不沿长度变化，在柱面上受到平行于横截 面而且不沿长度变化的面力，体力也如此分布。 0z 0zx 0zy 三大类基本方程 在弹性力学中针对微小的单元体建立基本 方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分 析问题归结为偏微分方程组的边值问题。 弹性力学的基本方程包括 平衡方程：内力和外力的关系 几何方程：应变和位移的关系 物理方程（本构方程）：应力和应变的关系 平衡方程 ab=dx ad=dy 0 0 0 x x o F F M 0 0 yxx x y x y y b xy b yx 0 0 xyx x y y x y b xy b yx 习惯上 张量指标形式： ib 单位体积力 几何方程 x y xy u x v y uv yx 张量指标形式： 物理方程 yxx E 1 xyy E 1 xyxy E )1(2 平面应力问题： 平面应变问题： yxx E 1 1 2 xyy E 1 1 2 xyxy E )1(2 张量指标形式： 边界条件 o x y ds 外法线 n的方向余弦 l=dy/ds m=dx/ds 位移 BC 力 BC 张量指标形式： 0 0 x x F F 三维问题基本方程及边界条件 可以将平面问题的基本方程推广到三维问题。 基本变量如下： x y z x y y z z x x y z x y y z z x u v w 位移： 应变： 应力： 平衡方程 几何方程 物理方程 边界条件 三维问题基本方程的张量指标形式 平衡方程： 几何方程： 物理方程： 边界条件： 作业：一维拉杆问题 (忽略体力 ) 用弹性力学的基本方程和边界条件求解拉杆应力、应 变及位移分布。 E=210000MPa， A=Pi*502 mm2， l =1000mm , P=600N
展开阅读全文