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1 第十二讲 方阵的逆 矩阵方程 2 例 43: ).d e t ()d e t ( ,n,m BAIABI mBnA nm 证明 矩阵为矩阵为设 解 : , 0 0 , 0 0 n m n m n m n m n m n m I AABI IB I IB AI IBA AI IB AI IB I : d e t( ) d e t( ) .mnI A B I B A 两边取行列式得 也成立 号对 3 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 n n n TT n n n TT I I I I I I 0 0 1 1 1 000 11 0 1 n n n TT TT nnn TT I I I III 11: ( ) ( 1 )T T T nnII 证明 4 1 1 1 1 11 11 00 1 0 1 0 ( 1 ) 1 0( 1 ) 10 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) n n n n T T T T nn TT T T T n T T T I I I I II I 1 1 0 ( ) 0 1 1 0 101 T n n nn TT I I II 11( ) ( 1 )T T T nnII 5 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 T 记 Example1:计算 解 : 1 11 0 1 1 1 ( ) ( ( 1 ) ) 1 1 1 0 2 1 1 111 () 111 1 1 2 T T T T II n I nn n 6 A X B解矩阵方程 4 6 1 1 5: 6 9 1 1 Ex ampl e X 解矩阵方程 . , 1 1 96 64 : 矩阵方程亦无解 无解方程组解 X 12 ( 2 ) , , , , .n A AX B AX B AX B AX B 若 不可逆 则 有解 有解 2 1 1 ( 1 ) , . ( , ) ( , ) A X A B A B I A B 若 可逆 则 7 143 132 111 830 520 002 X解矩阵方程 Example6: , 110100 341010 001 000 110 001 143830 132520 111002 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 5 2 1 2 1 2 1 解 : . 110 341 2 1 2 1 2 1 X 8 3法 .1111 1 1 1 1 2 1 2 4 4 I 3111 1311 1131 1113 1111 1 1 1 1 2d e t I .48316 1 1 1 1 1111 2 1 2 1 4 I 9 Example7: .,A ,032A: 2 并求其逆可逆证明 阶方阵且满足是设 IAnA 证 : ).2( 3 1 ,)2( 3 1 ,3)2(,032 1 2 IAAA IIAA IIAAIAA 可逆且 于是有 思考题 : .并 求其逆,逆IA证 明 ,AA阶 方 阵 且 满 足n是A设 2 可 ,02 AA (A+I) (A -2I) =-2I . 2 2)( 1 IAIA 10 推论 5: . , 单位方阵可仅用初等行变换化为则 阶可逆方阵是设 A nA 100 0 1 ,1 112 nn n a aa A 用三种 初等行变换 然后再从最后一 行开始往上打洞 . . , 1 1 ns s IAPP PP 使一系列初等方阵即 .111 nss IPPPPA 11 Example5: .,A ,032A: 2 并求其逆可逆证明 阶方阵且满足是设 IAnA 证 : ).2( 3 1 ,)2( 3 1 ,3)2(,032 1 2 IAAA IIAA IIAAIAA 可逆且 于是有 思考题 : .并 求其逆,逆IA证 明 ,AA阶 方 阵 且 满 足n是A设 2 可 ,02 AA (A+I) (A -2I) =-2I . 2 2)( 1 IAIA 12 Example6: .B, 7 1 , 4 1 , 3 1 :, 试求 满足设三阶方阵 d i a g BA 7 1 4 1 3 1 ,6 1 ABAABAA 且 解 : IBIA AABAIA )( 6 1 ,6)( 1 11 得右乘 . 1 2 3 ) 7 4 3 (6)( 6 1 ( 111 IIAB
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