数学上册直线和圆的位置关系

点击页面即可演示 回忆旧知 1.点和圆的位置关系有几种？ 2.“大漠孤烟直 ,长河落日圆” 是唐朝诗人王维 的 诗句 .它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象 . 如果我们把太阳看成一个圆 ,地平线看成一条 直线 ,那你能根据直线与圆的公共点的个数想 象一下 ,直线和圆的位置关系有几种 ? （ 1） dr 点 在圆外 观察三幅太阳落山的照片 ,地平线与太阳 的位置关系是怎样的 ? a(地平线 ) 你发现这个自然现象反映出直线和圆的位 置关系有哪几种 ? (1) (3) (2) 动手试一试 1.在纸上画一条直线 ,把硬币的边缘看作圆 ,在纸 上移动硬币 . 2.在纸上画一个圆 ,把直尺看作直线 ,移动直尺 . 你能发现直线与圆的公共点个数的变化情 况吗 ?公共点最少时有几个 ?最多时又有几个 ? .O l 特点： .O 叫做直线和圆 相离 直线和圆没有公共点， l 特点： 直线和圆有唯一的公共点， 叫做直线和圆 相切 这时的直线叫 切线 唯一的公共点叫 切点 .O l 特点： 直线和圆有两个公共点， 叫直线和圆 相交 这条直线叫做圆的 割线 直线与圆的位置关系 (用公共点的个数来区分 ) . A . A . B 切点 通过 观察及实验 ,你认为直线和圆的位置 关系会有哪几种情况 ? 直线与圆相离、相切、相交的定义 . 直线和圆的位置关系是用直线和圆的公共点的个数 来定义的 , 即直线与圆没有公共点、 只有 一个公共点、 有两个公共点时分别叫做直线和圆相离、相切、相交 . 思考 :一条直线和一个圆 ,如果有公共点 ,那么公共点 能不能多于两个呢？ 相离 相交 相切 切点 切线 割线 交点 交点 请你判断 看图判断直线 l与 O的位置关系 . （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 相离 相切 相交 相交 l l l l O O O O 2.连接直线外一点与直线上所有点的线段中 , 最短的是 _. 1.直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫 点到直线的距离 . 垂线段 a .A D (2)直线 l 和 O相切 2.用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系 , 来揭示圆和直线的位置关系 . (1)直线 l 和 O相离 (3)直线 l 和 O相交 dr d=r dr d o r l d o r l o d r l 总结： 判定直线与圆的位置关系的方法有 _种： (1)根据定义 ,由 _的个数来判断 ; (2)根据性质 ,由 _ 的关系来判断 . 在实际应用中 ,常采用第二种方法判定 . 两 直线与圆的公共点 圆心到直线的距离 d与半径 r 解决问题 1: 设 O的半径为 r,直线 a上一点到圆 心的距离为 d,若 d=r,则直线 a与 O的位置关系 是 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 D 解决问题 2:已知圆的半径等于 5,直线 l与圆没有交 点 ,则圆心到直线的距离 d的取值范围是 . 解决问题 3:直线 l与半径为 r的 O相交 ,且点 O到 直线 l的距离为 8,则 r的取值范围是 . d 5 r 8 思考 ： 求圆心 A到 x轴、 y轴的距离各是多少 ? A.(-3,-4) O x y 解决问题 4: 已知 A的直径为 6,点 A的坐标为 (-3,-4),则 x轴与 A的位置关系是 _, y轴 与 A的位置关系是 _. B C 4 3 相离 相切 小结： 0 d r 1 d=r 切点 切线 2 d r 交点 割线 . l d r . l d r .O l d r . A C B . . 相离 相切 相交 直线与圆的位置关系判定方法 : 图形 直线与圆的 位置关系 公共点的个数 圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系 公共点的名称 直线名称 在 O中 ,经过半径 OA的 外端点 A作直线 l OA, 则圆心 O到直线 l的距离 是多少 ?_,直线 l和 O有什么位置关系 ? _. 思考 : . O A OA 相切 l 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线 . 几何应用 : OA l l是 O的切线 A B l O O与直线 l相切 ,则过点 A的 直径 AB与 切 线 l有怎样的位置关系？ 垂直 例 1.直线 AB经过 O上的点 C,并且 OA=OB, CA=CB.求证 :直线 AB是 O的切线 . A B C O 1.如图 ,AB是 O的直径 ,点 D在 AB的延长线 上 ,BD=OB,点 C在圆上 , CAB=30 . 求证 :DC是 O的切线 . . A B D C O 方法引导 当已知直线与圆有公共点 ,要证明直线与圆相切时 , 可先连接圆心与公共点 ,再证明连线垂直于直线 ,这是 证明切线的一种方法 . 练习 2.AB是 O的直径 ,AE平分 BAC交 O于点 E, 过点 E作 O的切线交 AC于点 D,试判断 AED 的形状 ,并说明理由 . A B C D E O 直角三角形 3.在 Rt ABC中 , B=90 , A的平分线交 BC于 D,以 D为圆心 ,DB长为半径作 D.试说明 :AC 是 D的切线 . F E A B C D 随堂检测 1. O的半径为 3,圆心 O到直线 l的距离为 d,若直 线 l与 O没有公共点 ,则 ( ) A.d 3 B.d 3 C.d3 D. d=3 2.圆心 O到直线的距离等于 O的半径 ,则直线和 O的位置关系是 ( ) A.相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交 3.判断 :若直线和圆相切 ,则该直线和圆一定有一 个公共点 .( ) 4.等边三角形 ABC的边长为 2,则以 A为圆心 ,半径 为 1.73的圆与直线 BC的位置关系是 _ ,以 A 为圆心 , 为半径的圆与直线 BC相切 . A C 相离 3 1.定义法 :和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线 . 2.数量法 (d=r):和圆心距离等于半径的直线是圆的切线 . 3.判定定理 :经过半径外端且垂直于这条半径的直线是 圆的切线 . 即 :若直线与圆的一个公共点已指明 ,则连接这点和 圆心 ,说明直线垂直于经过这点的半径 ;若直线与圆的公 共点未指明 ,则过圆心作直线的垂线段 ,然后说明这条线 段的长等于圆的半径 . O A l 将上页思考中的问题 反过来 ,如果 l是 O 的切线 ,切点为 A,那么 半径 OA与直线 l是不 是一定垂直呢 ? 一定垂直 切线的性质定理 : 圆的切线垂直于过切点的半径 1.切线和圆只有一个公共点 . 2.切线和圆心的距离等于半径 . 3.切线垂直于过切点的半径 . 4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点 . 5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心 . 切线的性质、可归纳为 :已知直线满足 a.过圆心 ,b.过切点 ,c.垂直于切线 中任意两个 ,便得到 第三个结论 .