集合、不等式、简易逻辑

第一章 集合、不等式、简易逻辑 (一 ) 本 章 内 容 小 结 (二 ) 常见问题分类及解法 (三 ) 思 考 题 (四 ) 课 堂 练 习 (一 ) 本章内容小结 一、本章主要内容 (1) 集合的概念，集合之间的关系及其运算；区间的几种形 式及其表示方法。 (2) 不等式的性质，一元二次不等式、分式不等式、绝对值 不等式的求解方法。 (3) 命题及命题的联结词，命题的四种形式；充要条件的概 念。 二、本章重点、难点 集合间的关系，不等式的性质，命题的相互关系是重点； 集合间的运算，求解不等式是难点。 三、对学习的建议 (1) 要 注 意 元 素 与 集 合 的 关 系 是 从 属 关 系 ， 集 合 与 集 合 间 的 关 系 是 包 含 被 包 含 的 关 系 ； 相 等 关 系 ； 子 集 与 真 子 集 意 义 不 同 ； 0 、 0 、 三 者 的 含 意 不 同 。 (2) 要 正 确 理 解 集 合 的 并 与 交 定 义 中 “ 或 ” 与 “ 且 ” 两 个 字 的 含 义 。 22 22 ( 0) ( 0) (3 ) 的 解 不 是 ， 而 是 或 ； 的 解 不 是 ， 而 是 。 x a a x a x a x a x a a x a a x a (4) 要注意命题都是陈述句，正确理解命题的四种形式间的 真值关系。 (5) 要注意有些条件是充分条件但不是必要条件，而有些条 件是必要条件但不是充分条件。 四、本章关键词 集合 不等式 命题 (二 ) 常见问题分类与解法 本章主要介绍了集合、不等式及简易逻辑三部分内容，其 常见问题类型及解答方法如下。 一、集合与集合、元素与集合间的关系判断 这类问题解答的前提是：首先理解集合与集合、元素与 集合间的各种关系的含义，即明确元素与集合间的关系是“属 于”与“不属于”的从属关系，而集合与集合间的关系是“包 含”与“包含于”的包含关系；其次理解各种符号的含义，恰 当地运用符号 。 () 用 适 当 的 符 号 , ， ， ， 表 示 下 列 各 组 中 的 关 系 。 刭例 1 2 _ _ _ _ _ _ | 2 4 0 (1) ；xx 2 _ _(2) ；Z 2 1 , 3 _ _ _ _ _ | 2 3 0 (3) ；x x x | 1 3 _ _ _ _ _ | 1 4 ( 4 ) .x x x x 解 2 2 (2) 2 为 一 元 素 ， 为 整 数 集 ； 又 因 为 不 是 整 数 ， 故 ， 即 填 不 属 于 符 号 “ ” . Z Z 2 | 2 4 0 24 0 | 2 4 0 (1) 该 组 中 “ ” 是 元 素 ， 表 示 一 集 合 ， 那 么 二 者 间 只 可 能 是 “ 属 于 ” 与 “ 不 属 于 ” 的 关 系 . 显 然 ， ， 即 2 是 属 于 集 合 的 ， 故 填 属 于 符 号 “ ” . xx xx 2 2 1 3 | 2 3 0 2 3 0 1 3 (3) 该 组 左 、 右 两 边 皆 为 集 合 . 左 边 集 合 中 的 元 素 有 两 个 ： ， ； 右 边 集 合 中 的 元 素 通 过 求 解 方 程 可 看 出 ， 也 是 ， 两 个 元 素 ， 故 二 者 相 等 ， 填 等 号 “ ” . x x x xx | 1 3 | 1 4 (4) 该 组 仍 为 两 个 集 合 间 的 关 系 . 在 数 轴 上 ， 通 过 二 者 表 示 的 数 集 范 围 可 看 出 ， ， 即 填 包 含 于 符 号 “ ” . x x x x 二、集合间的运算 集合间的运算主要有 “ 交 ” 、 “ 并 ” 、 “ 差 ” 、 “ 补 ” 四种，要理解每种运算的规定，使用恰当的符号表示运算类 型，同时注意集合的元素，列举时不分次序、不要遗漏、不 要重复。 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 , 3 , 5 , 7 , 3 , 4 , 5 设 。 试 写 出 集 合 ： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 AB A B A B A B A B 痧 例 2 解 (1) AB 1 , 3 , 5 , 7 3 , 4 , 5 1 , 3 , 4 , 5 , 7 ； (2) AB 1 , 3 , 5 , 7 3 , 4 , 5 3,5 ； (3) AB 1 , 3 , 5 , 7 3 , 4 , 5 2 , 4 , 6 , 8 , 9 3 , 4 , 5 4 ； (4) AB 1 , 3 , 4 , 5 , 7 2 , 6 8 , 9 . 三、区间的表示 理解区间作为一种数集的概念，要用正确的符号表示所 给区间。 | 2 1 0 | 2 0 | | 2 | 1 | 3 0 试 将 下 列 数 集 用 区 间 表 示 。 (1) ； (2) ； (3) ； (4) . x x x x x x x x 例 3 解 1 2 1 0 2 11 , 22 (1) 该 数 集 中 的 数 满 足 ： ， 即 ， 于 是 数 集 可 表 示 为 ， 用 区 间 表 示 即 为 ； x x x xx 2 0 2 | 2 ( , 2 (2) 由 于 ， 即 ， 故 原 数 集 等 同 于 ， 用 区 间 表 示 为 ： ； x x x x | 2 | 1 1 2 1 1 3 | 1 3 (3) 由 于 ， 于 是 ， 故 ， 即 原 数 集 等 同 于 数 集 ， 用 区 间 表 示 为 ( 1 , 3 ) ； x x x xx 3 0 3 | 3 3 , ) (4) 由 于 ， 即 ， 故 原 数 集 等 同 于 ， 用 区 间 表 示 为 . x x x x 四、一元二次不等式的求解 一元二次不等式的求解通常有两种方法。 法一：化为一元一次不等式组求解。 2 1 1 2 2 0 ( 0) ( ) ( ) 0 对 于 不 等 式 ， ， 因 式 分 解 可 化 为 ， 它 同 解 于 下 列 不 等 式 组 ： ax bx c a a x b a x b 1 1 1 1 2 2 2 2 00 或 a x b a x b a x b a x b 2 0 ( 0) 求 上 述 两 不 等 式 组 的 并 集 得 原 不 等 式 的 解 . 不 等 式 ， 的 求 解 方 法 类 同 .ax bx c a 法二：常采用数轴标根法。 220 0 0下 面 讨 论 时 ， 或 的 解 法 .a a x b x c a x b x c 2 2 0 0 将 不 等 式 的 左 端 分 解 为 两 个 一 次 因 式 的 乘 积 ， 将 每 一 个 一 次 因 式 的 根 由 小 到 大 地 标 在 数 轴 上 ， 根 据 的 符 号 ， 画 出 一 次 因 式 根 的 二 次 曲 线 示 意 草 图 . 则 不 等 式 的 解 集 就 是 曲 线 在 轴 上 方 部 分 对 应 的 区 间 ， 不 等 式 的 解 集 就 是 曲 线 在 轴 下 方 部 分 对 应 的 区 间 . a ax bx c x ax bx c x 2 1 2 0 求 不 等 式 的 解 。xx 例 4 解 ( 4) ( 3 ) 0法 一 ： 将 不 等 式 左 边 因 式 分 解 ， 可 得 ， 因 此 原 不 等 式 同 解 于 下 列 不 等 式 组 xx 4 0 4 0 3 0 3 0 或 xx 4 前 一 个 不 等 式 组 的 解 集 为 ； 后 一 个 不 等 式 组 的 解 集x 3 | 4 | 3 4 3 | 4 3 为 . 因 此 原 不 等 式 的 解 集 应 当 是 与 并 集 ， 即 是 或 ， 也 即 是 或 . x x x x x x x x x x 2 ( 4 ) ( 3 ) 0 4 3 ( 4 ) ( 3 ) 0 ( , 3 ) ( 4 , ) 1 2 0 4 3 法 二 ： 原 不 等 式 可 化 为 ， 所 以 ， 为 方 程 的 两 个 根 ， 将 其 依 次 标 在 坐 标 轴 上 ， 如 图 1-1 所 示 ， 轴 上 方 区 间 为 ， 也 即 是 原 不 等 式 的 解 集 ： 或 . x x x x xx x x x x x 图 1-1 数轴标根法示意 3 2 1 0 1 2 3 4 5 x 五、分式不等式的求解 分式不等式的求解主要依据 “ 同号相除商大于零，异号 相除商小于零 ” 原则，把分式不等式化为不等式组求解。 2 2 1 0 6* 求 解 不 等 式 . x xx 例 5 解 由 不 等 式 得 ： 2 2 10 60 ( ) x xx 或 2 2 10 60 ( ) x xx 23求 解 ( ) ， 得 或 ；xx 11求 解 ( ) ， 得 . x 2 1 1 3于 是 原 不 等 式 的 解 为 ： 或 或 .x x x 六、绝对值不等式的求解 绝对值不等式主要依据绝对值及不等式的性质求解，需 掌握如下性质： | | ( 0 )( 1 ) ；x a a a x a | | ( 0 )( 2 ) 或 ；x a a x a x a | | | | | ( 0) |(3) ； . aaab a b b bb | 4 3 | 5 | 2 5 | 3 求 解 不 等 式 . (1) ； (2) .xx 例 6 解 5 4 3 5(1) 原 不 等 式 可 化 为 ： ，x 4 9 3 1两 边 同 减 去 ， 得 ，x 133 3两 边 同 除 以 ， 得 ；x 2 5 3 2 5 3 (2) 原 不 等 式 可 化 为 ： ( ) 或 ( ) .xx 4解 ( ) 得 ；x 1解 ( ) 得 .x 14所 以 ， 原 不 等 式 的 解 为 或 .xx (三 ) 思考题 1. 集合为什么只是描述性定义？对于集合的交、并、补、 差集的运算用什么方法做最好理解？ 2. 在解一元二次不等式时，较为简单的解法是什么？ 3. 命题的连接词“或”、“且”、“非”的符号是什么？ 它的真值表如何记忆较方便 . 4. 用区间表示解集，结合数轴你能画出几种？ 答 案 答 案 答 案 答 案 (四 ) 课堂练习题 0 , 1 , 2 ,1.A 、 设 集 合 下 列 写 法 哪 些 正 确 哪 些 不 正 确 ( 1) ( 2) ( 3) ( 4)0 1 3 0A A A A 2 ? ?、 下 列 哪 些 是 有 限 集 哪 些 无 限 集 ( 1 ) 2 3 0 ( 2 ) 8 1 2 0 x x x x x x 22 | | - ( 3 ) ( 4 )x x Z + | 2 - 3 5 , | 3 - 2 5 ( 5 ) | 3 2 7x , y x y 23 3 4 0 , | 1 0 ? . A x x x B x x AB 2 、 已 知 集 合 = | - 判 断 集 合 与 的 关 系 4 6 , 2 , 3 , 4 , 0 , 1 , 3 . , . 、 已 知 小 于 非 负 整 数 求AB C A C A C B 答 案 答 案 答 案 答 案 1. 集合是集合论中原始的、不定义的概念 .只是对某些指定 的对象集在一起就成了一个集合，它主要通过实例，加 深对概念的初步认识 .所以只能对集合概念的描述性说明 . 采用“文氏图或数轴去研究集合的交、并、补、差四种运 算较为简便” . 返 回 2 2 2 , 0 0 0 , , . 、 首 先 将 一 元 二 次 不 等 式 化 为 标 准 型 或 前 者 为 在 二 根 两 边 取 值 后 者 在 二 根 中 间 取 值 ax bx c ax bc c a 返 回 3 , , , , , . 、 它 们 相 应 符 号 为 它 们 在 进 行 运 算 时 可 以 联 想 集 合 中 的 并 交 补 集 运 算 返 回 4 , , 、 不 等 式 的 解 集 可 以 用 集 合 区 间 不 等 式 中 任 一 种 表 示 . 至 少 可 画 出 10 种 不 同 形 式 数 轴 图 . 返 回 1、 (1)、 (3)正确 (2)、 (4)不正确 . 返 回 2、 (1)、 (2)、 (3)有限集合 (4)、 (5)无限集合 . 返 回 .3、 AB 返 回 4 0 , 1 , 5 5 .、 C A C A C B 返 回