西北工业大学弹性力学课件

附录 弹性力学数学基础 目录 附录 1 张量基础 附录 2 复变函数数学基础 附录 3 变分法概要 附录 1 张量基础 i1 张量 1 张量特征 笛卡儿张量下标 求和定约 偏导数下标记法 特殊张量 张量 简化缩写记号表达物理量的集合 显著优点 基本方程以及其数学推导简洁 张量的特征 整体与描述坐标系无关 分量需要通过适当的坐标系定义 笛卡儿 （ Descartes） 张量定义 一般张量 曲线坐标系定义 i1 张量 1 三维 Descartes坐标系中，一个含有 3个与坐标相 关独立变量集合，通常可以用一个 下标 表示。 位移分量 u， v， w 缩写记为 ui（ i=1, 2, 3） 表示为 u1, u2, u3 9个独立变量的集合，两个下标来表示 ij和 ij 9个应力分量或应变分量 ij,k 27个独立变量的集合用三个下标表示 i 下标 i1 张量 2 求和定约 张量表达式的某一项内的一个下标出现两次， 则对此下标从 1到 3求和。 A jiija z kk k a z 3 1 i j jiija z kka z 哑标 ： 出现两次的下标 求和后消失 A jiji ycx 3332321313 3232221212 3132121111 ycycycx ycycycx ycycycx 自由标 ： 非重复下标 自由标个数表 示张量表达式 代表的方程数 i1 张量 3 偏导数的下标记法 缩写张量对坐标 xi偏导数的表达式 逗号约定 逗号后面紧跟一个下标 i时，表示某 物理量对 xi求偏导数。 )()( , i i x 利用偏导数下标记法，偏导数均可缩写为 j i ji x uu , i1 张量 4 k ij kij x , k ij kij x , kj i iki xx uu , lk ij klij xx , lk ij klij xx , 张量的偏导数集合仍然是张量 证明 ： ui， j如果作坐标变换 , jiu l j l k lkki l x xun , )( k jkki un , )( l j l k lkki x xun , )( jiji xnx ij j i n x x l ljki k l kji nnuu , 由此可证， ui, j服从二阶张量的变换规律 由于 因此 i1 张量 5 特殊的张量符号 克罗内克尔 （ Kronecker Delta） 记号 ij ji ji ij 0 1 显然 100 010 001 333231 232221 131111 ij 克罗内克尔记号是二阶张量 运算规律 ijmjim imim ii TT aa 3332211 i1 张量 6 置换符号 eijk 有相等下标时 的奇排列，为， 的偶排列，为， 0 3211 3211 kji kji e ijk 偶排列 有序数组 1， 2， 3逐次对换两个相邻的数字而 得到的排列 奇排列 1 1 2 1 33 2 11 3 2 3 1 22 3 11 2 3 eee eee i1 张量 8 二阶对称张量 反对称张量 jiij TT jiij TT 任意一个二阶张量，总是可以分解为一个对 称张量和一个分对称张量之和。 张量的对称和反对称性质，可以推广到二阶 以上高阶张量。 i1 张量 9 附录 2 复变函数数学基础 复变函数定义 解析函数 保角变换 柯西积分 复变函数 定义 复数 两个实数 x， y确定的数 z=x+iy 1i 虚数单位 实部 虚 部 模 幅角 zy Im 22| yxz x ya r c t a n 复变函数基础 i2 复变函数 1 zx Re 函数 f（ z） 在某区域 上的每一点导数存在， 称为区域 上的 解析函数 。 解析函数 w=u（ x， y） +iv（ x， y） 柯西黎曼条件 解析函数 x v y u y v x u , 解析函数的实部和虚部都是 调和函数 i2 复变函数 2 复变函数的可导性 02 2 2 2 y ux u02 2 2 2 y vx v 保角变换 i2 复变函数 3 通过函数 w=f（ z） 将平面点的集合 g转换为另 一个平面（ w平面）点的集合 G 。 变换 映射 解析函数 w=f（ z） 在点 zo所实现的变换 点 zo处的 所有线素皆按同一比例伸长 任意两个曲线之间的交角保持不变 柯西积分公式 )(d)( i2 1 zft zt tf c z为 C外的任一点， 则 0d)( i2 1 c t zt tf f（ t） 在区域 S内处处解析， C为 S内的任一闭 曲线，它的内部完全属于 S， z为包含在 C内的 任一点 ，则 i2 复变函数 4 如 f（ t）在区域 S外，包括无穷远点处处解析， C为 S内的任一闭曲线，它的内部完全属于 S， z 为包含在 C内的任一点， )(d)( i2 1 ft zt tf c i2 复变函数 5 附录 3 变分法概要 泛函与泛函极值 欧拉方程 自然边界条件 泛函运算 泛函和泛函的极值 泛函 其值倚赖于其它一个或者几个函数 函数的函数 变分法 泛函极值 泛函极值条件 J=0 2J0，则 J 0，泛函 J y为极小值； 2J0，则 J 0，泛函 J y为极大值。 i3 变分法 1 泛函极值的必要条件 欧拉方程 0d)( 2 1 x x xyyFyyFJ 变分 y和 y不是独立无关的，因此 2 1 2 1 2 1 2 1 d) ( d d d) d d d x x x x x x x x xy y F x y y Fxy xy Fxy y F （ 2 1 2 1 d)(dd x x x x xyy F xy Fy y FJ 在 x=x1和 x=x2时， J=0 2 1 d)(dd x x xyyFxyFJ i3 变分法 2 0)(dd yFxyF 欧拉方程仅仅是泛函极值存在的必要条件 确定泛函 J为极大值或者极小值，还需要判断 其二阶变分 2J大于 0还是小于 0。 由于 在区间（ x1， x2）是 x的任意函数，所以上 式成立的必要条件为积分函数在区间（ x1， x2） 内为零。 i3 变分法 3 自然边界条件 如自变函数在边界的数值不能确定，则 0)(,0)( 21 xyxy 对于可变边界问题，首先必须满足边界不变 的极值条件。 为满足极值条件，欧拉方程仍旧必须满足。 边界变化的泛函极值问题 0 ,0 21 xxxx y F y F i3 变分法 4 泛函变分的基本运算法则 泛函变分运算与微分运算法则基本相同 2121 )( FFFF 211221 )( FFFFFF )( 1 )( 21122 22 1 FFFF FF F FnFF nn 1)( i3 变分法 5 第二章 应力状态 研究对象 三维弹性体 微分单元体入手 超静定问题 静力平衡、几何变形和本构关系等三方面 的条件 本章从静力学观点出发，讨论一点的应力 状态，建立平衡微分方程和边界条件。 目录 2.1 体力和面力 2.2 应力与应力张量 2.3 二维应力状态与平衡微分方程 2.4 应力状态的描述 2.5 边界条件 2.6 主应力与应力主方向 2.7 应力球张量和球应力偏张量 2.1 体力和面力 物体外力 分为两类 体力 面力 体力和面力分别为物体单位体积或者单位面 积的载荷。 2.2 应力与应力张量 内力 外界因素作用下，物体内部各个部 分之间的相互作用力。 附加内力 应力 应力矢量 pn随截面的法线方向 n的方向改变而变化 SS Fp lim 0 n 应力状态 一点所有截面应力矢量的集合。 显然，弹性体内某确定点各个截面的应力 应力状态必然存在一定的关系。 应力状态分析 讨论一点截面方位改变引起 的应力变化趋势。 应力状态对于结构强度是十分重要的。 准确描述应力状态，合理的应力参数。 为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以 描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解 。 2.2 应力 2 应力矢量 沿坐标分解 没有工程意义 正应力和切应力 正应力 n与 切应力 n 与结构强度关系密切 根据截面方位不能完全确定切应力 应力分量 应力张量 应力张量 可以描述一点 应力状态 2.2 应力 3 333231 232221 131211 zzyzx yzyyx xzxyx ij 应力张量 应该注意 应力分量是标量 箭头仅是说明方向 2.2 应力 4 2.3 平衡微分方程 平衡 物体整体平衡，内部任 何部分也是平衡的。 对于弹性体，必须讨论 一点的平衡。 微分平行六面体单元 平衡微分方程 切应力互等定理 jiij 0, bjiij F 0 bxzxyxx Fzyx 0 0 bz zyzz by zyyxy F zyx F zyx 2.5 平衡方程 2 2.4 应力状态 如果应力张量能够描述一点的应力状态，则 1.应力张量可以描述其它应力参数； 2. 坐标变换与应力张量关系； 3. 最大应力及其方位的确定。 公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位 微分面的应力矢量。 当然可以确定正应力 n与切应力 n。 jiji np 应力矢量与应力分量的关系 2.4 应力状态 2 应力不仅随位置改变而 变化，而且随截面方位 改变而变化。 同一点由于截面的法线 方向不同，截面上的应 力也不同。 讨论应力分量 在坐标变 换时的变化规律 。 2.4 应力状态 3 任意斜截面的应力 转轴公式 应力分量 满足 张量 变化规则 应力张量 为二阶对称张量 转轴公式表明：新坐标系下的六个应力分 量可通过原坐标系的应力分量确定。 应力张量 可以确定一点的 应力状态 。 坐标轴转轴后，应力分量发生改变。但是 作为整体所描述的 应力状态没有变化 。 2.4 应力状态 4 jjiiijji nn 平面应力状态转轴公式 弹性力学以坐标系定义应力分量； 材料力学以变形效应定义应力分量。 正应力二者定义没有差异 而切应力定义方向不同 2.4 应力状态 5 )s i n( c o ss i nc o s)( )s i n( c o s2c o ss i n )s i nc o s2s i nc o s 22 1 22 22 xyyxyx xyyxy xyyxx 2.5 边界条件 弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面 力边界条件，维持弹性体表面的平衡。 边界面力已知 面力边界 S iijsj nF 面力边界条件 确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于 边界的应力分量的关系。 2.5 边界条件 2 面力边界条件 描述弹性体表面的平衡， 平衡微分方程 描述弹性体内部的平衡。 这种平衡只是 静力学可能的平衡 。 真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足 变形连续条件 。 2.5 边界条件 3 位移边界条件 边界位移已知 位移边界 Su 位移边界条件 就是弹性体表面的 变形协调 弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等 wwuvuu 2.5 边界条件 4 混合边界条件 弹性体边界 S S Su 部分边界位移已知 位移边界 Su 部分边界面力已知 面力边界 S 不论是 面力边界条件 ， 位移边界条件 ， 还是 混合边界条件 ，任意边界的边界条件 数必须等于 3个。 2.6 主应力与应力主方向 转轴公式 描述了应力随坐标转动的变化规律 结构强度分析需要简化和有效的参数 最大正应力 、 最大切应力 以及 方位 主应力 和 主平面 应力状态分析重要参数 应力不变量 进一步探讨 应力状态 主应力 和 主平面 主应力分析 0)( 0)( 0)( nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 关于 l， m， n的 齐次线性 方程组 ， 非零解的条件为方程组的 系数行列式等于零，即 0 zzyzx yzyyx xzxyx 2.6 主应力 2 展开 032213 III 032213 III zyxI 1 其中： 主元之和 ij 222 2 xzyzxyxzzyyxI 代数主子式之和 zzyzx yzyyx xzxyx I 3 应力张量元素 构成的行列式 主应力特征方程 2.6 主应力 3 应力状态特征方程 确定弹性体内部任意一点主应力和应力 主轴方向 。 主应力和应力主轴方向取决于载荷 、 形状和 边界条件等 ， 与坐标轴的选取无关 。 因此 ， 特征方程的根是确定的 ， 即 I1、 I2、 I3 的值是不随坐标轴的改变而变化的 。 I1、 I2、 I3 分别称为应力张量的 第一 、 第二 和第三 不变量 。 2.6 主应力 4 特征方程有三个实数根 1， 2， 3分别表示这三个根 ， 代表某点三个 主应力 。 对于 应力主方向 ， 将 1， 2， 3分别代入 和 l2+m2+n2=1 则可求应力主方向 。 0)( 0)( 0)( nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 2.6 主应力 5 主应力 和 应力主方向 取决于结构外 力和约束条件，与坐标系无关。 因此特征方程的三个根是确定的。 特征方程的三个根，即一点的三 个主应力均为 实数 。 根据三次方程性质可以证明。 任意一点三个应力主方向是相互 垂直的 三个应力主轴正交的。 应力不变量性质 坐标系的改变导致应力张量各分量变化，但应 力状态不变。 应力不变量 正是对应力状态性质的描述 。 2.6 主应力 6 不变性 实数性 正交性 主应力正交性证明： 下面证明下述结论： 1. 若 1 2 3， 特征方程无重根； 应力主轴必然相互垂直 ； 2. 若 1 2 3， 特征方程有两重根； 1和 2的方向必然垂直于 3的方向 。 而 1和 2的方向可以是垂直的 ， 也可以不垂直； 3. 若 1=2=3， 特征方程有三重根； 三个应力主轴可以垂直 ， 也可以不垂直 ， 任何方向都是应力主轴 。 2.6 主应力 7 设 1， 2， 3 的方向分别为 （ l1， m1， n1） ， （ l2， m2， n2） 和 （ l3， m3， n3） ，则 0)( 0)( 0)( 1111 1111 1111 nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 0)( 0)( 0)( 2222 2222 2222 nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 0)( 0)( 0)( 3333 3333 3333 nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 分别乘以 l2， m2， n2 分别乘以 -l1,-m1,-n1 六式相加，可得 0)( 21212121 nnmmll 0)( 0)( 31313113 33323232 nnmmll nnmmll 2.6 主应力 8 0)( 21212121 nnmmll 0)( 0)( 31313113 33323232 nnmmll nnmmll 如果 1 2 3 0 0 0 313131 323232 212121 nnmmll nnmmll nnmmll 3个应力 主方向相 互垂直 如果 1=2 3 0 0 313131 323232 nnmmll nnmmll 212121 nnmmll 可以等于零，也 可以不等于零。 3与 1和 2的方向垂直 ， 而 1和 2的方向可以垂直或不垂直 。 3的垂直方向都是 1和 2的应力主向 。 2.6 主应力 9 如果 1=2=3 则 l1l2+m1m2+n1n2 l2l3+m2m3+n2n3 l1l3+m1m3+n1n3 均可为零或者不为零。 任何方向都是应力主方向。 因此问题可证 。 1.若 1 2 3， 应力主轴必然相互垂直； 2.若 1 2 3， 1和 2必然垂直于 3。 而 1 和 2可以是垂直的 ， 也可以不垂直； 3. 若 1=2=3， 任何方向都是应力主轴 。 2.6 主应力 10 主应力是一点所有微分面上最大或最小的 正应力。 主应力和主平面分析确定最大正应力及其 作用方位； 最大切应力的确定。 讨论任意截面正应力和切应力的变化趋 势 应力圆 。 最大切应力以及方位的确定。 2.6 主应力 11 正应力和切应力 分析 1 2 3 应力圆 最大切应力方位 2.6 主应力 12 2.7 应力球张量和应力偏张量 应力张量的分解 应力球量改变单元 体体积， 应力偏量改变单元 体形状。 ijiiij s m m m m m 00 00 00 ii 333231 232221 131211 sss sss sss s mzzyzx yzmyyx xzxymx ij )(31m zyx 八面体单元 1 321 2 8 3 1 )( 3 1 )( 3 1 I n zyx ii 2 2 1 133221 2 321 2 13 2 32 2 218 62 3 1 )(6)(2 3 1 )()()( 3 1 II 43 2 rd 2.7 应力分解 2 第三章 应变状态 物体变形 位移与应变的基本关系几何方程 应变状态分析 位移的单值连续性质 目录 3.1 变形与应变概念 3.2 主应变与主应变方向 3.3 应变协调方程 3.1 变形与应变概念 由于 外部因素 物体内部各点空间位置发生变化 位移形式 刚体位移 ： 物体内部各点位置变化，但仍保 持初始状态相对位置不变。 变形位移 ： 位移不仅使得位置改变，而且改 变了物体内部各个点的相对位置。 载荷或温度变化 位移 位移 u， v， w是 单值连续函数 进一步分析位移函数具有连续的三阶导数 一点的变形 通过 微分六面体单元 描述 微分单元体的变形 ， 分为两部分讨论 正应变 棱边的伸长和缩短 切应变 棱边之间夹角 （ 直角 ） 改变 3.1 变形 2 x w z u z v y w y u x v z w y v x u zxyzxy zyx 几何方程 位移分量和应变分量之间的关系 几何方程 又称 柯西方程 微分线段伸长 正应变大于零 微分线段夹角缩小 切应变分量大于零 3.1 变形 3 几何方程 位移导数表示的应变 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述 弹性体的变形 原因是没有考虑单元体位置的改变 单元体的 刚体转动 刚性位移可以分解为平动与转动 刚性转动 变形位移的一部分 ，但是不产 生变形。 3.1 变形 4 z y x z y x w v u zzyzx yzyyx xzxyx xy xz yz d d d 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 d d d 0 0 0 d d d 微分单元体的刚性转动与协调相关 )(21,)(21,)(21 yuxvxwzuzvyw zyx 转动矢量 描述微分单元体的刚性转动 转动分量 刚体转动 位移增量 变形位移增量 位移增量是由两部分组成的 3.1 变形 5 变形通过应变描述 坐标变换时，应变分量是 随之坐标改变而变化 。 应变分量的转轴公式 应变张量 3.2 主应变与主应变方向 应变状态 ijjjiiji nn 333231 232221 131211 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 zzyzx yzyyx xzxyx ij 应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变 分量均可确定。因此应变状态就完全确定。 坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为 一个整体，所描述的应变状态并未改变。 主应变 与 应变主轴 切应变为 0的方向 应变主轴方向的正应变 应变主轴 主应变 3.2 主应变 2 0)( 2 1 2 1 0 2 1 )( 2 1 0 2 1 2 1 )( nml nml nml zyzxz yzyxy xzxyx 应变状态特征方程 l， m， n齐次线性方程组 非零解的条件 为方程系 数行列式的值为零 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 zzyzx yzyyx xzxyx 032213 JJJ 展开 3.2 主应变 3 主应变确定 应变主轴方向变形 应变不变量 ij zxyzxyxzxyyx zyxii J J J 3 222 2 1 )( 4 1第一，第二和第三应变不变量 一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐 标变换不影响应变状态是确定的。 应变不变量就是应变状态性质的表现 3.2 主应变 4 应力张量 应变张量 应力不变量 应变不变量 主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性 类似 各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的 公式比较 3.2 主应变 5 体积应变 弹性体一点 体积的改变量 引入体积应变有助于 简化公式 解释 3.2 主应变 6 .zwyvxu zyxV VV * 3.3 应变协调方程 数学意义 ： 几何方程 6个应变分量通过 3个位移分量 描述 力学意义 变形连续 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元 体变形的约束 例 3-1 设 x 3x, y 2y, xy xy, z xz yz 0, 求其位移 。 解 ： )(23 2 yfxu 显然该应变分量没有对应的位移。 要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必 须满足一定的条件。以下我们将着手建立这 一条件。 xxux 3 yyvy 2 )(2 xgyv xyxgyfyuxvxy )()( 3.3 应变协调 2 要使几何方程求解位移时方程组不矛盾， 则六个应变分量必须满足一定的条件。 从几何方程中消去位移分量， 第一式和第 二式分别对 y和 x求二阶偏导数，然后相加 可得 )( 2 2 2 2 2 y u x v yxyx xy yx xy 2 3.3 应变协调 3 将几何方程的四，五，六式分别对 z， x， y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则 zy u zyx xyxzyz 22 对 x求一阶偏导数，则 zyzyxx xxyxzyz 22)( 分别轮换 x,y,z，则可得如下六个关系式 3.3 应变协调 4 将几何方程的四，五，六式分别对 z， x， y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则 yxzyxz zxzyxy zyzyxx zxxz zyzy yxyx z xy xz yz yxy xz yz x xy xz yz xzzx yzy z xy x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)( 2)( 2)( 应变协调方程 圣维南 （ Saint Venant） 方程 3.3 应变协调 5 变形协调方程的数学意义 使 3个位移为未知函数的六个几何方程不相 矛盾。 变形协调方程的物理意义 物体变形后每一单元体都发生形状改变，如 变形不满足一定的关系，变形后的单元体将 不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或 嵌入现象。 为使变形后的物体保持连续体，应变分量必 须满足一定的关系。 3.3 应变协调 6 证明 应变协调方程是变形连续的 必要和 充分条件 。 变形连续的物理意义 ， 反映在数学上则要求位 移分量为单值连续函数 。 目标 如果应变分量满足应变协调方程 ， 则 对于 单连通域 ， 就可以通过几何方程积分求得 单值连续的位移分量 。 利用位移和转动分量的全微分 ， 则 zzyyxx xxxx dddd zyxzzuyyuxxuu yxzzxyx d)21(d)21(ddddd 轮换 x , y, z，可得 du， dv和 dy， dz 3.3 应变协调 7 如通过积分，计算出 z z y y x x z z y y x x z z y y x x zyxww zyxvv zyxuu zzz PP zz yyy PP yy xxx PP xx xxyzyxz PP xyzyzxy PP yxzzxyx PP 0 ddd ddd ddd dd) 2 1 (d) 2 1 ( d) 2 1 (dd) 2 1 ( d) 2 1 (d) 2 1 (d 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是单值连续的，则问题可证。 保证单值连 续的条件是 积分与积分 路径无关 3.3 应变协调 8 ) 2 1 () 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 () 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 () 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( yxzxyz xyz z yxz z xyzzxy zxy y xyz y zxyyxz yxz x zxy x yx zy zx xz yx yz zy xy xy 根据格林公式 zyzy zyxyxz )( 2 1 zyz zyy yzzx yyzx 2 1 2 1 )(21 zyx xyxzx 回代 3.3 应变协调 9 )()(21 yuxvzxwzuy xz v y w x x )( 2 1 zzyyzyxzy yzzyyzxyxz PP xx d)2 1(d) 2 1(d)( 2 1 0 0 回代到第四式 x单值连续的必要与充分条件是 ) 2 1 () 2 1 ( ) 2 1 ()( 2 1 zyzzyy zyxzyy yyzyzz yyzxyxz zxzyxy zyzy yxyxyzyz yzyz 2 2 2 2 2 2 2)( 同理讨论 y， z的单值连续条件，可得其它 4 式 变形协调方程。 由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连 续的必要和充分条件。 3.3 应变协调 10 变形协调方程 单连通域位移单值连续的必要和充分条件 多连通域位移单值连续的必要条件 充分条件是位移的连续补充条件 3.3 应变协调 11 位移边界条件 应变满足 变形协调方程 ，保证弹性体内部 的变形单值连续。 边界变形协调要求边界位移满足 位移边界 条件。 位移边界条件 临近表面的位移或和变 形与已知边界位移或变形相等 。 3.3 应变协调 12 如果物体表面的位移已知 ， 称为位移边界 位移边界用 Su表示 。 如果物体表面的位移 已知 边界条件 为 , wvu 称为位移边界条件 wwvvuu 3.3 应变协调 13 设物体表面为 S 位移已知边界 Su 面力已知边界 S 则 S Su S 弹性体的整个边界，是由面力边界和位移边 界构成的。 任意一段边界，可以是面力边界，或者位移 边界。 面力边界和位移边界在一定条件下是可以转 换的，例如静定问题。 3.3 应变协调 14 某些问题 ， 边界部分位移已知 ， 另一部分面 力已知 ， 这种边界条件称为 混合边界条件 。 不论是面力边界条件 ， 位移边界条件 ， 还是 混合边界条件 ， 弹性体任意边界的边界条件 数目不能超过或者少于 3个 ， 必须等于 3个 。 3.3 应变协调 15 第四章 应力应变关系 静力平衡和几何变形 通过具体物体的材料性质相联系 材料的应力应变的内在联系 材料固有特性，因此称为物理方程 或者本构关系 目录 4.1 广义胡克定理 4.2 拉梅常量与工程弹性常数 4.3 弹性体的应变能函数 应力应变关系属于材料性能 称为 物理方程 或者 本构方程 单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过 实验确定 复杂应力状态 难以通过实验确定 4.1 广义胡克定义 广义胡克定理 材料 应力应变一般关系 xzyzxyzyxxz xzyzxyzyxyz xzyzxyzyxxy xzyzxyzyxz xzyzxyzyxy xzyzxyzyxx CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC CCCCCC 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 工程材料，应力应变关系受到一定的限制 一般金属材料为各向同性材料 复合材料 在工程中的应用日益广泛 4.1 胡克定理 2 弹性体变形过程的功与能 能量守恒是一个物理学重要原理 利用能量原理可以使得问题分析简化 能量原理的推导是多样的，本节使用热力 学原理推导。 外力作用 弹性体变形 变形过程外力作功 弹性体内的能量也发生变化 4.1 胡克定理 3 根据热力学概念 绝热过程 格林公式 等温过程 弹性体的 应变能函数 表达式 内能等于应变能 4.1 胡克定理 4 xz xz yz yz xy xy z z y y x x UUUUUU 000000 , )(210 xzxzyzyzxyxyzzyyxxU 工程材料 各向同性材料 各向异性材料 金属材料 完全各向异性 弹性对称面 一个弹性对称面 21个弹性常数 xzxyxz yzzyxyz xzxyxy yzzyxz yzzyxy yzzyxx CC CCCC CC CCCC CCCC CCCC 6664 55535251 4644 35333231 25232221 15131211 13个弹性常数 4.1 胡克定理 5 两个弹性对称面 xzxz yzyz xyxy zyxz zyxy zyxx C C C CCC CCC CCC 66 55 44 333231 232221 131211 9个弹性常数 相互垂直的 3个平面中有 两个弹性对称面， 第三个必为弹性对称面 拉压与剪切变形 不同平面内的剪切之间 称为 正交各向异性 正应力仅与正应变有关； 切应力仅与对应的切应变 有关。 没有耦合作用 4.1 胡克定理 6 物理意义 物体各个方向上的弹性性质 完全相同，即物理性质的完全对称。 数学反映 应力和应变关系在所有方位 不同的坐标系中都一样。 金属材料 各向同性弹性体，是最常见 的工程材料。 弹性力学主要讨论各向同性材料。 各向同性弹性体 4.1 胡克定理 7 根据 正交各向异性本构关系 1. 各向同性材料沿 x， y和 z座标轴的的弹性性 质相同； 2. 弹性性质与座标轴的任意变换方位也无关 各向同性材料广义胡克 （ Hooke） 定理 xzxzzz yzyzyy xyxyxx ,2 ,2 ,2 ijijkkij 2 , 称为 拉梅 （ Lame） 弹性常数 4.1 胡克定理 8 应力表示本构方程 G G G vv E v E vv E v E vv E v E xz xz yz yz xy xy zyxzz yzxyy xzyxx )1( 1 )( 1 )1( 1 )( 1 )1( 1 )( 1 E为 弹性模量 G为 剪切弹性模量 v为 横向变形系数 泊松比 4.2 拉梅常量与工程弹性常数 杨 泊松 4.2 弹性常数 2 工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为 GvE ,)(2,)22( 两个独立的弹性常数 )1(2 v EG 实验测定： 单向拉伸实验可以测出弹性模量 E 薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量 G 4.2 弹性常数 3 各向同性材料 主应力状态 对应的切应力分量均为零。 所有的切应变分量也为零。 所以，各向同性弹性体 应力主轴同时又是应变主轴 应力主方向和应变主方向是重合的 4.2 弹性常数 4 以应力主轴为坐标轴，则对应的切应力分量均应为零。 应变能 4.3 弹性体的应变能函数 )(210 xzxzyzyzxyxyzzyyxxU )( 2 )()(2( 2 1 222 222 0 xzyzxy zxzyyxzyxU 应变表示的应变能函数 )(1(2 )(2 2 1 222 222 0 xzyzxy zxzyyxzyxEU 应力表示的应变能函数 泊松比 恒小于 1，所以 U0恒大于零。 单位体积的应变能总是正的。 4.3 应变能 2 第五章 弹性力学边值问题 本章任务 总结对弹性力学基本方程 讨论求解弹性力学问题的方法 目录 5.1 弹性力学基本方程 5.2 问题的提法 5.3 弹性力学问题的基本解法 解的唯一性 5.4 圣维南局部影响原理 5.5 叠加原理 总结弹性力学基本理论； 讨论已知物理量、基本未知量；以及物 理量之间的关系 基本方程和边界条 件。 5.1 弹性力学基本方程 弹性力学基本方程 1. 平衡微分方程 0 0 0 bz zyzz by zyyxy bx zxyxx F zyx F zyx F zyx 0, bjiij F 2. 几何方程 x w z u z v y w y u x v z w y v x u zxyzxy zyx , , ),(21 ijjiij uu 5.1 基本方程 2 3. 变形协调方程 yxzyxz zxzyxy zyzyxx zxxz zyzy yxyx z xy xz yz yxy xz yz x xy xz yz xzzx yzy z xy x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2)( 2)( 2)( 位移作为基本未知 量时，变形协调方 程自然满足。 5.1 基本方程 3 3.本构方程 广义胡克定律 应力表示 应变表示 G G G vv E v E vv E v E vv E v E xz xz yz yz xy xy zyxzz yzxyy xzyxx )1( 1 )( 1 )1( 1 )( 1 )1( 1 )( 1 xzxz yzyz xyxy zz yy xx 2 2 2 基本方程： 平衡微分方程 ； 几何方程 和 本 构方程 以及 变形协调方程 。 5.1 基本方程 4 边界条件 若物体表面的面力分量为 Fsx、 Fsy和 Fsz已知 则 面力边界条件 为： nmlF nmlF nmlF zyzxzsz zyyxysy xzxyxsx jijsi nF 若物体表面的位移 已知 ， 则 位移边界 条件 为 wvu , wwvvuu , 若物体部分表面面力和部分表面位移已知 ， 则 为 混合边界条件 5.1 基本方程 5 总结： 弹性力学 基本方程和边界条件 5.1 基本方程 6 弹性力学的任务就是在给定的边界条件下 ， 就十五个未知量求解十五个基本方程 。 求解弹性力学问题时 ， 并不需要同时求解十 五个基本未知量 ， 可以做必要的简化 。 为简化求解的难度 ， 仅选取部分未知量作为 基本未知量 。 5.2 问题的提法 在给定的边界条件下 ， 求解偏微分方程组 的问题 ， 数学上称为偏微分方程的边值问题 。 按照不同的边界条件 ， 弹性力学有三类边 值问题 。 第一类边值问题 ： 已知弹性体内的体力和 其表面的面力分量为 Fsx、 Fsy和 Fsz， 边界条 件为 面力边界条件 。 第二类边值问题 ： 已知弹性体内的体力分 量以及表面的位移分量 ， 边界条件为 位移边 界条件 。 5.2 问题提法 2 第三类边值问题 ： 已知弹性体内的体力分 量，以及物体表面的部分位移分量和部分面 力分量，边界条件在面力已知的部分，为面 力边界条件，位移已知的部分为位移边界条 件。称为 混合边界条件 。 以上三类边值问题，代表了一些简化的实 际工程问题。 若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问 题的解是唯一的。 5.2 问题提法 3 位移解法 以位移函数作为基本未知量 应力解法 以应力函数作为基本未知量 混合解法 以部分位移和部分应力分量作为基 本未知量 5.2 问题提法 4 5.3 弹性力学问题基本解法 解的唯一性 选取 位移函数 作为基本未知量求解的方法 称为 位移解法 。 主要工作： 利用位移函数 u,v,w表达其他未知量； 推导位移函数描述的基本方程 位移表达的平衡微分方程 wwvvuu , 位移解法的基本未知量为 3个 位移函数 基本方程为 3个 拉梅方程 对于位移边界条件，位移解法是十分的合 适的。 0)( 0)( 0)( b 2 b 2 b 2 z y x Fw z Fv y Fu x 0)( b2, iiikk Fu 5.3 基本解法 2 )()( )()( )()( n z w m y v l z u n z w m y w l x w nF n y w m y v l y u n z v m y v l x v mF n x w m x v l x u n z u m y u l x u lF sz sy sx iijjjiikkbi nununF , 但是位移函数表达的面力边界条件十分繁杂 这一边界条件几乎不可能实现 5.3 基本解法 3 总之，位移解法以位移为基本未知函数， 归结为在给定的边界条件下求解位移表示 的平衡微分方程，即 拉梅方程 。 位移分量求解后，可通过几何方程和物理 方程求出相应的应变分量和应力分量。 5.3 基本解法 4 应力函数作为基本未知量求解的方法 称为 应力解法 应力解法的基本方程 1. 平衡微分方程 2. 变形协调方程 应力解法综述 5.3 基本解法 5 应力解法的基本未知量为 6个应力分量； 基本方程为 3个平衡微分方程和 6个变形协 调方程。 应力解法适用于面力边界条件。 总而言之，在以应力函数作为基本未知量 求解时，归结为在给定的边界条件下，求 解平衡微分方程和应力表达的变形协调方 程所组成的偏微分方程组。 5.3 基本解法 6 混合解法 根据问题性质和边界条件，选择不同的基本 未知量求解称为 混合解法 。 5.3 基本解法 7 解的唯一性原理 弹性体受已知体力作用。在物体的边界上， 或者面力已知；或者位移已知；或者一部分 面力已知，另一部分位移已知。则弹性体平 衡时，体内各点的应力和应变是唯一的，对 于后两种情况，位移也是唯一的。 证明 1 2 5.3 基本解法 8 弹性力学的基本未知量位移、应力和应变 等在体力为常量时具有一些特性。 掌握这些特性，可以帮助我们分析弹性力 学问题。 物理量特性 体力为常量时一些物理量的特性 5.3 基本解法 9 02 02 022 iu 00 2222 ijij 体力为常量，体积应力和体积应变均 满足拉普拉斯（ Laplace)方程。 体积应力函数和体积应变函数为调和 函数。 位移分量，应变分量和应力分量均满 足双调和方程， 位移分量，应变分量和应力分量为双 调和函数。 5.3 基本解法 10 局部影响原理 物体任意一个小部分作用 一个平衡力系，则该平衡 力系在物体内部所产生的 应力分布，仅局限于力系 作用的附近区域。在距离 该区域相当远处，这种影 响便急剧减小。 证明 1 2 5.4 圣文南原理 解的叠加原理 小变形线弹性条件下，作用于物体的若 干组载荷产生的总效应（应力和变形等）， 等于每组载荷单独作用效应的总和。 5.5 叠加原理 逆解法 根据问题的性质 ， 确定基本未知量 和相应的基本方程 ， 并且假设一组满足 全部基本方程的应力函数或位移函数 。 然后在确定的坐标系下 ， 考察具有确定 的几何尺寸和形状的物体 ， 其表面将受 什么样的面力作用或者将有什么样的位 移 。 5.5 叠加原理 2 半逆解法 对于给定的弹性力学问题 ， 根据弹性 体的几何形状 ， 受力特征和变形特点 ， 或 已知简单结论 ， 如材料力学解 ， 假设部分 应力分量或者部分位移分量的函数形式为 已知 ， 由基本方程确定其他的未知量 ， 然 后根据边界条件确定未知函数中的待定系 数 。 5.5 叠加原理 3 逆解法和半逆解法的应用将在以后的章节中 介绍，其求解过程带有 “ 试算 ” 的性质。 偏微分方程边值问题求解困难 难以确定弹性力学问题的解析解 显然弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半 逆解法的理论依据。 5.5 叠加原理 4 第六章 平面问题 直角坐标解 工程结构的某些特殊形式，经过适 当简化和力学模型的抽象处理，可 以归结为弹性力学的平面问题。 例如水坝，受拉薄板等。 平面问题的特点是某些基本未知量 被限制在平面内发生的。 目录 6.1 平面问题的基本方程 6.2 应力函数逆解法与半 逆解法 6.3 梁的平面弯曲 6.4 三角级数解 6.1 平面问题的基本方程 平面问题 0)(2 yx 莱维 （ Lvy） 方程 平面应变 平面应力 变形与应力 基本方程 应力解法 基本方程 平衡微分方程 ， 几何方程 ， 变形协调方程以 及面力边界条件相同 。 平面应力与平面应变的不同主要在本构方程 ， 注意到 v v v v E E 1 1 1 21 二者之间的差别只是一个常数。 因此，不论平面应力还是平面应变问题，若 物体截面形状及侧面受力相同，则基本方程 和边界条件相同。 平面问题基本方程 6.1 基本方程 2 v v v v E E 1 1 1 21 注意到 二者未知应力应变关系表 达式只是常数的不同。 平面应变与平面应力问题的差别 z向位移 w z向正应力 z 正应变分量 )( yxz v w=0 w0 0 )( 1 )( 1 z zxyy zyxx v E v E )( )( 1 )( 1 yxz xyy yxx E v v E v E 0z 6.1 基本方程 3 平面应力问题的近似性 如果物体截面形状及侧面受力相同，平面 应力和平面应变问题的基本方程和边界条 件也相同。 因此具有相同的应力解。 但是二者 z方向的正应力不同； 应变和位移表达式不同。 平面应力问题 解的近似性 。 6.1 基本方程 4 误差与板厚的平方成正比。 薄板 问题误差可以忽略不计 平面应力问题 解的近似性 的理解 无奈的选择 6.1 基本方程 5 ),(),( f yxzyx f 2 2 )1(2 z 误差项 6.2 应力函数 逆解与半逆解法 平面问题应力解的未知函数为 3个应力分量 求解 2个平衡微分方程和 1个变形协调方程 利用 应力函数 可以简化为一个未知应力函 数对应一个 基本方程 yxxy xyyx f2 2 f 2 2 f 2 yx xFyF bb 体力为 0 体力为常数 应力函数 使得平面问题归结为在给定的边界 条件下求解 双调和方程 。 f（ x, y)称 艾雷 （ Airy） 应力函数 ， 简称 应力函数 。 6.2 应力函数 2 02 4 f 4 22 f 4 4 f 4 f 22 yyxx 基本方程 逆解法 基本思想 对于某些矩形边界并不计体力的平面问 题 ， 分别选用幂次不同的多项式 ， 令其满足 基本方程双调和方程 ， 求出应力分量 ， 并 由边界条件确定这些应力分量对应边界上的 面力 ， 从而该应力函数所能解决的问题 。 利用逆解法了解应力函数性质 。 6.2 应力函数 3 线性函数 二次函数 三次函数 四次函数 应 力 函 数 0应力状态 可以删除 均匀应力状态 线性应力状态 二次应力状态 只有 4个系数独立 逆解法 6.2 应力函数 4 应力函数的物理意义及边界条件表示 平面问题的求解有赖于应力函数 选取应力函数是求解问题的关键 应力函数的 边界性质 应力函数与边界面力 应力函数的物理意义 6.2 应力函数 5 B A xB B A yBB sFyysFxx d)(d)( ssf sF x sF y B A yB B A xB d)( d)( s f s f 应力函数对 y的偏导数等于边界由定点到该动 点的 x方向合力。 应力函数对 x的偏导数等于边界由定点到该动 点的 -y方向合力。 边界上任意点的应力函数等于由任一定点到该 点的合力对该点的力矩； 上述关系来源于面力边界条件，因此应力函数 表达的 3个关系式中只有两个是独立的。 6.2 应力函数 6 6.3 梁的平面弯曲 半逆解法 力学模型 应力函数 悬臂梁应力 位移与变形 1 2 3 4 5 弹性基础 对于实际工程问题的边界条件处理需要考虑 弹性基础。 悬臂梁 力学模型 应力函数 应力分析 应力与边界条件 1 2 弯曲应力分析 简支梁 6.3 平面弯曲 2 6.4 平面问题 的三角级数解 多项式应力函数 连续的应力 边界条件的限制 0)( )()()( )()(2)( )( )4()2()2()4( yY yYyYxX yYxXxX xX 对 y求一 阶偏导数 0)( )()( )()( )(2 )4()2()2( yY yYyY yYxX xX 若上式成立，则 2 )2( )4( )2( )( )( 2 )( )( )( )( yY yY yY yY xX xX 其中， 为任意常数 0)()( 2)2( xXxX 0)( )(2)( )( )2(2)4( yY yYyY yY xKxKxX s inc o s)( 21 K1， K2为任意常数 6.4 三角级数 2 三角形水坝 6.4 三角级数 3 力学模型 边界条件与应力 水坝应力分析 第六章 平面问题 极坐标解 本质上坐标系的选择并不影响弹性 力学问题的求解。 但是影响边界条件的描述和表达， 从而关系问题的求解难易程度。 圆形，楔形，扇形等物体，采用极 坐标系求解比较方便。 目录 6.5 极坐标表示的基本方程 6.6 轴对称问题 6.7 半无限平面体 6.8 坝体应力 6.9 圆孔孔口应力集中 几何方程 1 2 6.5 极坐标表示的基本方程 平衡微分方程 1 2 uuu uu u 1 1 0 21 0 1 b b F F 极坐标系位移、应力和应变 应力应变关系 E v G v E v E )1(2 )( 1 )( 1 由于物体是各向同 性的，因此物理方 程与直角坐标的表 达形式相同，只要 将其中的 x和 y换成 和 即可。 平面 应力 问题 平面应变问题，将上式 中的 E， v分别换为 v vv E vE 1 ,1 1 2 1 6.5 极坐标基本方程 2 在直角坐标系中，平面问题以应力形式表达 的变形协调方程为 0)(2 yx yx 应力不变量 2 2 2 2 2 yx 转换 Laplace算符 因为 x= cos y= sin x yyx a r c t a n22 c o s 1 1 11 s i n 1 1 1 s i nc o s 2 2 2 22 2222 x yxy x yx y x y yx y y x yx x x c o s 1 s i n s i n 1 c o s yyy xxx 6.5 极坐标基本方程 3 )s i n1) ( c o ss i n1( c o s2 2 x 两式相加，可得 6.5 极坐标基本方程 4 2 2 2 2 2 22 2 2 2 s i nc o ss i n2 s i nc o ss i n2 c o s 2 2 22 22 222 2 2 2 2 c o ss i ns i nc o s c o ss i ns i nc o s c o ss i n y 极坐标系下平面问题的变形协调方程变换为 0)(11()( 2 2 22 2 2 f（ ， ） 极坐标形式的应力函数 ) 1 ( 11 11 ff 22 f 2 2 f 2 2 f 2 2 f 如果体力为零，下列应力满足平衡微分方程 2 2 22 2 2 2 2 2 2 11 yx 6.5 极坐标基本方程 5 0)11)(11( 2 f 2 22 f 2 2 2 22 2 总之，极坐标求解弹性力学平面问题归结为在 给定的边界条件下求解双调和方程。 在应力函数解出后，可以求解应力，应变和位 移分量。 极坐标形式的双调和方程 将应力表达式代入变形协调方程，有 6.5 极坐标基本方程 6 6.6 轴对称问题 轴对称力学模型 展开 0dddddd2dd f2 f 2 2 3 f 3 3 4 f 4 4 引入变换 te 应力轴对称 应力与 无关 0)dd1dd)(d d1d d( f2 f 2 2 2 变换为 常系数的微分方程 欧拉方程 0dd4dd4dd 2 f 2 3 f 3 4 f 4 ttt 通解为 DCeB t eAt tt 22f 注意到 t =ln，则 DCBA 22f lnln 应力分量 0 2)ln23( d d 2)ln21( d d1 22 f 2 2 f CB A CB A 关于原点对称 轴对称应力 6.6 轴对称问题 2 考察轴对称应力的变形和位移 0 )1(2ln)1(2)3()1( 1 )1(2ln)1(2)31()1( 1 2 2 CvBvBv A v E CvBvBv A v E 应变 轴对称 0 1 )1(2ln)1(2)3()1( 11 )1(2ln)1(2)31()1( 1 2 2 uuu CvBvBv A v E uu CvBvBv A v E u 代入几何方程 6.6 轴对称问题 3 )()1(2 )31()1( l n)1(2)1( 1 fCv BvBv A v E u f（ ） 为 的任意函数 )(4 fEBu )(d)( 4 gfE Bu g（ ） 为 的任意函数 0d)(1)(d )(dd )(d1 fggf d)(d )(dd )(d)( ffgg 1. 2. 3. 或写作 6.6 轴对称问题 4 Ff f F g g d)( d )(d d )(d )( d)(d