高等数学BII复习题(附答案版)

高数BII复习题 高数BII复习题 第1页 共20页 1 高等数学BII复习题（附答案） 考试时间： 考场： 注：为重点题型，本复习题答案均为个人的拙见，可能存在bug，仅供参考。 在原有复习题的基础上，添加了几道可能会考到的基础题，如有错误存在请与 发行人郭强联系，或自行纠正，祝考试愉快，禁止转载！ 重难点知识点汇总如下： 一、平面方程与直线方程 平面方程： 0)()()( 000 zzCyyBxxA 其中（A,B,C）为法向量，（ 00,0 ,zyx ） 为平面上一点。 直线方程： C zz B yy A xx 000 其中（A,B,C）为方向向量，（ 00,0 ,zyx ）为直 线上一点。 性质： 数量及为零两个向量垂直 向量积为零两个向量平行 平面束方程： 已知直线一般方程 0 0 2222 1111 DzCyBxA DCzyBxA 过该直线的平面束方程： 0)( 22221111 DzCyBxADzCyBxA 二、二重积分与曲线积分： Ddxdy D 1 的面积 Lds L 1 的长度 高数BII复习题 高数BII复习题 第2页 共20页 2 格林公式： dxdy y P x Q dyyxQdxyxP D L )(),(),( 其中L为闭曲线且取正 向 设函数 ),( yxf 在分段光滑曲线L上连续，曲线L的方程为 ),( ),( ty tx t ，其中 )(),( tt 在 , 上具有一阶连续的导数，且 0)()( 22 tt ， 则有转换公式， dtttttfdsyxf L )()()(),(),( 22 将曲线积分转换为定积 分。 注意1、用积分路径的参数方程去代换被积函数的自变量； 2、用 dttt )()( 22 替换ds 3、“换元的同时要换限”-将积分路径的两端点所对应的参数值分 别作为右边定积分的积分限（其中较小的作为积分下限）。 三、无穷级数： 常见函数的收敛性： .111)1( 1 i i ：发散 . 3 1 2 1 1 11 1 i i ： 发散 1 1 i p i （P0） ：收敛 ：发散 ：发散 1 1 1 P P P 比较判别法： 1n n U 1n n V 1 1 1 1 n n nnnn n n nnnn VVUU VVUU 收敛收敛： 发散发散： 高数BII复习题 高数BII复习题 第3页 共20页 3 n U 0 n V0如果 n n n V U lim 其中， 0 则 1n n U 与 1n n V 具有相同的敛散 性。 比值判别法： 1n n U n n n U U 1 lim 不确定 收敛 发散 :1 :1 :1 例： 1 1 )1( n n n ：发散 1 1 cos n n ：发散 1 1 n n ：发散 1 1 sin)1( n n n ：收敛 1 1 sin n n ：发散 1 )1( )1( n n nn ：绝对收敛 莱布尼茨判别法： 1 )1( n n n U 其中 n U 0 如果 n U 1 n U 0lim n n U 则 1 )1( n n n U 收敛 幂级数： 定义： 0 0 )( n n n xxa ，特殊形式，当 0 0 x 时， 0n n n xa 阿贝尔定理： 0n n n xa ：如果 1 xx 时， 0n n n xa 收敛 则当 1 xx 时， 0n n n xa 绝对收敛，其中 0 1 x ：如果 2 xx 时， 0n n n xa 发散， 则当 2 xx 时， 0n n n xa 发散 复习例题如下 高数BII复习题 高数BII复习题 第4页 共20页 4 一、单项选择题 1、由两条抛物线 xy 2 和 2 xy 所围成的图形的面积为（ A ） A、 1 2 0 ( )x x dx B、 1 2 0 ( )x xdx C、 1 2 -1 ( )x xdx D、 1 2 -1 ( )x x dx 2、由相交于点( 11 ,yx )及 ),( 22 yx (其中 21 xx )的两曲线 0)( xfy ， 0)( xgy 所 围图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积V是（ B ） A、 2 1 2 ( ) ( ) x x f x g x dx ； B、 dxxgxf x x 2 1 )()( 22 C、 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) x x x x f x dx g x dx ； D、 2 1 ( ) ( ) x x f x g x dx . 高数BII复习题 高数BII复习题 第5页 共20页 5 3、直线 37 4 2 3 zyx 与平面 3224 zyx 的关系是( A ) A、平行，但直线不在平面上； B、直线在平面上； C、垂直相交； D、相交但不垂直. 解： 2 1 )2,2,4( )3,7,2( n n 平面法向量： 直线方向向量： 又 0)2(3)7()2(42 21 nn 直线上一点（-2，-7,3）带入平面中不成立，故其关系为平行。 4、设 ),( 00 yxf x 存在，则 x yxxfyxxf x ) , () , ( lim 0000 0 =（ C ）. A、 ),( 00 yxf x ; B、 ),2( 00 yxf x ; C、2 ),( 00 yxf x ; D、 ),( 2 1 00 yxf x 解： ),(2 ),() , (),() , ( lim ) , (),(),() , ( lim 00 00000000 0 00000000 0 yxf x yxfyxxf x yxfyxxf x yxxfyxfyxfyxxf x x x 5、函数 ),( yxfz 在点 ),( yx 可微，是函数 ),( yxfz 在点 ),( yx 各偏导数存在的 （ A ） A、充分但不必要条件; B、充分必要条件； C、必要但不充分条件； D、既非充分也非必要条件. 解：可微偏导数存在， 但是偏导数存在，不一定可微 6、函数 xy yxu ，则 x u （ A ） A、 1 ln yx yxyy ； B、 yyxx lnln ； C、 xy yx ； D、 11 xy xyyx . 解： yyyx x u xy ln 1 7、 yy dxyxdydxyxdyI 3 0 3 1 2 0 1 0 ),(),( 交换次序后得（ C ） A、 y y dyyxdx 3 2 2 0 ),( ; B、 x x dyyxdx 3 2 1 0 ),( ; 高数BII复习题 高数BII复习题 第6页 共20页 6 C、 2 0 3 2 ),( x x dyyxdx ; D、 2 0 2 3 ),( x x dyyxdx . 解：积分区域前半部分由y=1和x=2y围成，后半部分有1y3 和x=3-y围 成，总的区域面积 如图三角形部分，故其积分为 2 0 3 2 ),( x x dyyxdx 8、设l取圆周 9 22 yx 的正向，则曲线积分 l dyxxdxyxy 2 )4()22( （ C ） A、 2 ； B、 9 ； C、 18 ； D、 36 解： yxyp yx 22 ),( xxQ yx 4 2 ),( ),( yx P 对y求偏导数得 22 x y P ),( yx Q 对x求偏导数得 42 x x Q ， 则 D DD yx L yx dxdydxdydxdy y P x Q dyQdxP 12)2()( ),(),( 原式 又圆的半径R=3，圆面积D= 2 R =9，故 91 D dxdy 1892 9、设L为左半圆周 )0( 222 xRyx , 将曲线积分 2 2 (3 4 ) L x y ds 化为定积分的正 确结果是( D ) A、 0 3 2 2 (3cos 4sin )R t t dt ； B、 0 3 2 2 (3cos 4sin )R t t dt ； C、 3 2 2 0 (3cos 4sin )R t t dt ； D、 3 3 2 2 2 2 (3cos 4sin )R t t dt . 解：圆的参数方程 tRy tRx sin cos 高数BII复习题 高数BII复习题 第7页 共20页 7 则 dtttR RdtttR dttRtRttR dtyxtRtR dsyx L 2 3 2 223 2 3 2 222 2222 2 3 2 222 22 2 3 2 2222 22 )sin4cos3( )sin4cos3( cossin)sin4cos3( )sin4cos3( )43( 10、闭区域D是由简单闭曲线L(正向)所围，下列积分不等于D面积的积分是 （ C ） A、 L ydxxdy 2 1 B、 L xdy C、 L ydx D、 L ydx 11、已知幂级数 0 )1( n n n xa 在 5x 处发散，则下列结论正确的是( A ) A、在 4x 处级数发散； B、在 3x 处级数绝对收敛； C、在 4x 处级数条件收敛； D、在 4x 处级数绝对收敛. 解：把x-1看成一整体， x=5发散 可以得出 x-1=4 发散 从而 3541 xxx 或 故得 A正确 12、微分方程 y dx dy 2 的通解为( C ) A、 Cey x 2 ； B、 2 x Cey ； C、 x Cey 2 ； D、 Cey x 2 . 解： xcx eCeyCxydxdy y dxdy y y dx dy 22 2ln2 1 2 1 2 13、下列级数绝对收敛的是（ B ） A、 1 1 )1( n n n ； B、 1 )1( )1( n n nn ； C、 1 1 cos)1( n n n ； D、 1 1 )1( n n n 高数BII复习题 高数BII复习题 第8页 共20页 8 解： 1 2 3 11 11 )1( 1 nnn n nnnn 1 1 i p i (p0) 收敛 发散 发散 :1 :1 :1 p p p 14、 xcy sin (其中c是任意常数)是 x dx yd sin 2 2 的（ B ） A、通解 B、是解，但非通解也非特解 C、特解 D、不是解 解：由 x dx yd sin 2 2 求原函数 得 Cx dx dy cos CCxxxf sin)( 故原函数的通解为 CCxxxf sin)( 由 xcy sin 求两次导得 xy sin 故 xcy sin 是 x dx yd sin 2 2 的解，但非通解也非特解 二、填空题 1、设区域D是由 2 1 |, 2 1 | yx 围成的图形，则二重积分 D dxdy 1 . 解： 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 xdxdydxdxdy D 2、 duxu ,siny 则设 ydyxydx cossin . 解： ),( yxfu ydyxydxdy y u dx x u du cossin 3、曲面 032 xye z 在点 ），（ 0 1 1 处的切平面方程为 0422 zyx 解：令 32),( xyezyxF z ，分别对x，y，z求偏导数得 z e z F Fx y F Fy x F F 321 ,2,2 (1,1,0)处的法向量为(2,2,1) (1,1,0)处的切平面方程为 0422 zyx 高数BII复习题 高数BII复习题 第9页 共20页 9 4、设平面曲线 L 为下半圆周 2 4 xy ，则曲线积分 L dsyx 22 ln = 2ln2 . 解： 2 4 xy 44 2222 xyxy 故 2ln212ln2lnln 22 LLL dsdsdsyx 5、设 ( , )f x y 在 2 2 1 4 x y 具有二阶连续的偏导数，L是 2 2 1 4 x y 顺时针方向，则 3 ( , ) ( , ) x y L y f x y dx f x y dy 的值等于 6 解： xyxf x 2 1 ),( yyxf y 2),( ydydxxy L 2) 2 1 3( 原式 又 yxyxP 3 2 1 ),( yyxQ 2),( 3 y P 0 x Q D D dxdydxdy 6133 6、若级数 1 1 1 n p n 收敛 , 则p应满足 p0 解： p n p p n p p n n n n n n n 1 1 1 1 1 ) 1 (lim )1( lim 1 )1( 1 lim 若级数 1 1 1 n p n 收敛，则 1) 1 ( 1 p n n 故得 0 0 01 p p p 7、设幂级数 n n x n xxx 1 2 10 2 5 2 2 2 2 3 3 2 2 ，其收敛半径R= 2 1 解：原式= n n n x n 1 2 1 2 则 2 1 )1(2 1)1( lim 1)1( 2 1 2 lim 2 2 2 1 2 n n n n n n n n 高数BII复习题 高数BII复习题 第10页 共20页 10 8、若均匀薄片所占区域为 1: 2 2 2 2 b y a x D ,其密度 1 ， 则其质量 m ba 三、计算题 1、求曲线 x y 4 与直线 5yx 所围成的平面图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积 解： x y yx 4 5 先求交点 得 （1 ，4）、（4，1） 4 1 22 ) 4 ()5( dx x xV 4 1 2 2 ) 16 1025( dx x xx 9 2、已知两点 )12,7( A 和 )10,4,3(B ，求一平面，使其通过点B，且垂直AB. 解：取 )11,2,10(ABn ，所求平面为 0)10(11)4(2)3(10 zyx ， 整理有 014811210 zyx . 3、过点 )3,2,1( M 作平面，使它与两已知平面 03: 1 zyx 和 012: 2 zyx 都垂 直. 解：法一：取 kji kji n 32 112 111 ，由点法式有 0)3()2(3)1(2 zyx ， 整理得 0532 zyx . 法二：设所求平面为 0)3()2()1( zcyBxA ，则有 02 0 CBA CBA 解得 ACAB 2 1 2 3 ， 代入方程有 0)3()2(3)1(2 zyx ，即 0532 zyx . 4、求过直线 3 2 1 0 2 3 2 2 0 x y z x y z 且垂直于已知平面 2 3 5 0 x y z 的平面方程. 解：作过已知直线的平面束方程 0)2232()123( zyxzyx ，因所求平面与与 0532 zyx 垂直，故有 0)21(3)32(2)23(1 ，解得 2 ，代入平面束方 程得所求平面 0558 zyx 高数BII复习题 高数BII复习题 第11页 共20页 11 5、计算二重积分 D dxdy x xcos1 ，D为由 xxyx , , 1 轴围成的闭区域. 解： D dxdy x xcos1 = dx x x dy y 11 0 cos1 = dy x x dx x 1 0 0 cos1 1 0 cos1 xdx x x = 1sin1 6.设 ),32( yxyxfz ，其中 ),( vuf 具有二阶连续偏导数，求 yx z y z x z 2 , , 解： yxu 32 yxv 21 2 ff x v v f x u u f x z 21 3 ff y v v f y u u f y z 2122121122211211 22211211 2 326)3()3(2 )()(2 ffffffff y v f y u f y v f y u f yx z 7、计算曲线积分 L dyxydxyx )53()43( ,其中L是从点 )0,0(O 沿上半圆周 2 2 xxy 到点 )0,2(A 的曲线段. 解： 43),( yxyxP 53),( xyyxQ 3 y P 1 x Q D D OAL dxdy dxdy y P x Q dyxydxyx 24 )( )53()43( 2 0 10)4( )4( )53()43( dxx dxx dyxydxyx OA AO 210 OAOALL 8、求微分方程 x x x y y cos 满足条件 1 x y 的特解 高数BII复习题 高数BII复习题 第12页 共20页 12 解：设 x P x 1 )( x x Q x cos )( 则 ) cos ( 11 cdxe x x ey dx x dx x = ) cos ( 1 ) cos ( lnln cxdx x x x cdxe x x e xx = )(sin 1 )cos( 1 cx x cxdx x 1)(sin 1 cx x y x 得 ).(sin 1 , x x yc 则 9、求幂级数 1 4 )1( n n n x 的收敛域及其和函数 解： x x x x S x 5 1 4 1 1 4 1 )( ，其中 1 4 1 x 得 53 x 故其和函数 x x S x 5 1 )( ，收敛域为 53 x 10、已知曲线 )0(ay 2 ax 与 3 xy 所围图形面积为8，则a= 62 4 解：由 23 axx 得 0 23 axx 解得 0 1 x ax 2 又 8 12 1 4 1 3 1 4 1 3 1 )(0 444 0 43 0 33 aaaxaxdxxaxs a a 得 6296 44 a 11、由曲线 3 xy ， 2y 和x轴所围平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积为（ 7 128 ），绕y轴旋转所得旋转体的体积为（ 5 64 ）. 高数BII复习题 高数BII复习题 第13页 共20页 13 解： 7 128 7 1 )( 2 0 7 2 0 6 2 0 23 xdxxdxxV x 5 64 2 5 3 32 5 3 32)(84 58 0 3 5 2 8 0 3 ydyyV y 12、求由曲线 x y 3 和直线x+y=4所围平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积。 （ 3 8 ） 解： 4 3 yx x y 得 dx x xxdx x xV 3 1 2 2 3 1 22 ) 9 816() 3 ()4( 3 8 9 3 1 416 3 1 32 x xxx 13、直线 37 4 2 3 zyx 与平面 322x4 zy 的关系是（ A ） A、平行，但直线不在平面上； B、直线在平面上； C、垂直相交； D、相交但不垂直； 高数BII复习题 高数BII复习题 第14页 共20页 14 解：详见第一页第四题 14、设 ),(),(z vuf x y yxf 具有二阶连续偏导数，求 yx z 2 ， 解： yxU x y V )()(1 2 21 2 x y ff x y v f u f x v v f x u u f x z ) 1 ()( 2 2 2 22211211 2 x f x y y v f y u f y v f y u f yx z = ) 1 ()( 1 ( 1 2 2 2 22211211 x f x y x ff x ff = 2 2 3 22 2 211211 11 x f x y f x y f x ff 15、设函数 ,06 333 xyzzyx 则 )1,2,1( z x =（ C ） A、 5 1 B、5 C、- 5 1 D、-5 解：设 6 333 ),( xyzzyxF zyx 则 yzxF x 2 3 xyzF z 2 3 又 5 1 213 )1(23 3 3 2 2 xyz yzx F F x z z x 16、设函数 2234 2),( yxyxyxyxf ，则该函数在驻点(1,1)处，有极 小 值, 其值为 -2 解： yxxyxf 224),( 3 0224)1,1( f 驻点： 0)( 0 xf 0212),( 2 xyxf ：0)( 0 xf 极小值 :0)( 0 xf 极大值 17、在“充分”“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内 1）、函数 ),( yxf 在（x,y）连续是 ),( yxf 在该店可微分的既不充分也不必要条件， 2）、 ),( yxfz 在点（x,y）的偏导数存在是 ),( yxf 在该店可微分的必要不充分条 高数BII复习题 高数BII复习题 第15页 共20页 15 件 3）、 ),( yxfz 在点（x,y）的偏导数存在且连续是 ),( yxf 在该店可微分的充分不 必要条件 4)、 ),( yxfz 的两个混合偏导数 yx z 2 ， yx z 2 在区域D内连续是这两个混合偏导 数在D内相等的充要条件。 5）、函数 ),( yxf 在（x,y）可微分是该函数在点（x,y）沿任何方向等方向导数 存在的充分条件。 18、设 ),( yxf 在点（a,b）处的偏导数存在，则 x bxafbxaf x ),(),( lim 0 = ),(2 baf 解： ),(2 ),(),(),(),( lim ),(),(),(),( lim 0 0 baf x bafbxaf x bafbxaf x bxafbafbafbxaf x x 19、设D由y=x及 xy 4 2 围成，则积分 D dryxfI ),( 化为先y后x的二次积分是 解： xy xy 4 2 得 )0,0( 1 x )4,4( 2 x 故有 4 40 2 y x yx y 故得 dxyxfdyI y y 4 4 0 2 ),( 高数BII复习题 高数BII复习题 第16页 共20页 16 20、 dyyxfdxI xx x 2 2 2 2 1 ),( ，则交换积分次序后，得 B A、 1 0 11 2 2 ;),( y y dxyxfdy B、 1 0 11 2 2 ),( y y dxyxfdy C、 1 0 11 2 2 ),( y y dxyxfdy D、 1 0 11 2 2 ),( y dxyxfdy y 解：有I得 xy xxy x 2 2 21 2 画图得 故答案为 1 0 11 2 2 ),( y y dxyxfdy 21、计算 dxyx D )( 22 ，D为由y=2,y=x及y=2x围成的闭区域。 dxdyd 6 13 1 6 19 8 1 ) 4 1 24 19 ( ) 8 3 24 19 ( 2 1 3 1 2 0 34 2 0 23 2 2 0 223 2 22 2 0 yy dyyy dyxxyx dxxyxdy y y y y 原式 22、计算积分 dx x x dy y 1 0 1 2 sin 解： 1 0 0 1 0 2 1 0 0 2 1cos1sin sin sin 2 2 xdxdx x x dy x x dx x x 原式 高数BII复习题 高数BII复习题 第17页 共20页 17 23、设平面曲线L为下半圆周， 2 1 xy 曲线积分 dsyx L )( 22 = 解： 111 22222 yxxyxy 故圆的周长为 22 rL 又 2 2 1 1)( 22 LL dsdsyx 24、设L为下半圆周 )0( 222 yRyx ，将曲线积分 dsyxI L )2( 化为定积分的正 确结果是 D A、 dtttR )sin2(cos 0 2 B、 dtttR )sin2(cos 0 2 C、 dtttR )cos2(sin 0 2 D、 dtttR )cos2(sin 2 3 2 2 解：设圆的参数方程为 tdtRdytRy tdtRdxtRx cos,sin sincos ， 有： Rdt dttRtR dydxds 2222 22 cossin )()( 下半圆因为y 0 2 3 2 : t dtttR RdttRtRdsyxI L 2 3 2 2 2 3 2 )sin2(cos )sin2cos()2( 25、 dsyx L )( 22 ，其中L为曲线 )sin(cos tttax ， )cos(sin tttay ( 20 t ) 解： )cossin( tttax )sin(cos tttay 2 0 22222222 )()()cos(sin)sin(cos)( dtyxtttattadsyx L dttta )1()1( 2 2 0 23 26、求 dyxdxy L 22 ，其中L是 tby tax sin cos 的上半部沿顺时针方向 解：因为L为 tby tax sin cos 上半部得 0:t 高数BII复习题 高数BII复习题 第18页 共20页 18 dttbatab dttbtatatbdyxdxy L 0 3232 222 0 222 )cossin( )cos(cos)sin(sin 27、计算 dyxyedxyye x L x )cos()3sin( ，其中L是由点(0,0)到点（0,2） yyx 2 22 的右半圆周。 解： yyeyxP x 3sin),( xyeyxQ x cos),( 3cos ye y P x 1cos ye x Q x D xx D dxdyyeye dxdy y P x Q )3cos1cos( )(原式 2 0 2sin2cos cos0)3(sin 214 ydy ydydyyL dxdy L OA D OAL 28、 1 !2 n n n n n 判别级数敛散性 解： en n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n 2 ) 1 (2lim )1( 2 lim )1( )1(2 lim !2 )1( )!1(2 lim 1 1 1 又 1 2 e 故级数 1 !2 n n n n n 收敛 （注： n n n u u 1 lim 不确定 收敛 发散 :1 :1 :1 ） 29、已知幂级数 0n n n xa 在x=3处收敛，则下列结论正确的是 （ A ） A、在x=-2处级数绝对收敛 B、在x=2处级数发散； C、在x=-3处级数绝对收敛 D、在x=-3处级数条件收敛， 解： 333 xx 30、微分方程 0)(, 23 yyyxF 的通解含有任意常数的个数 （ ） A、1个 B、2个 C、4个 D、5个 高数BII复习题 高数BII复习题 第19页 共20页 19 31、微分方程 yx dx dy 4 5 的通解为 ( B ) A、 cey x 5 B、 5 x cey C、 x cey 5 D、 cey x 5 解： yx dx dy 4 5 得 55 5 44 ln 5 1 5 1 xcx eceycxy ydxxdy y yxdy y 32、求微分方程 x x x y y sin 满足 1 x y 的特解 解： x xP 1 )( x x xQ sin )( )cos( 1 sin1 ) sin ( ) sin ( lnln 11 cx x cxdx x x x cdxe x x e cdxe x x ey xx dx x dx x 又 1 1)cos( 1 c cy x 故得 )1cos( 1 x x y 33、已知 )ln(xyxZ ，求 2 2 x z ， yx z 2 解： 1)ln()ln( 2 xy xy y xxy x z xxy y x z 1 2 2 yxy x yx z 1 2 34、L是沿圆周 222 tyx 逆时针方向，证明 )()()( 1 lim 2 0 bmdynymxdxbyax t Lt （a,b,m,n均为常数）。 证： byaxyxP ),( nymxyxQ ),( 高数BII复习题 高数BII复习题 第20页 共20页 20 则 b y P m x Q 则，原式= dxdybm t Lt )( 1 lim 2 0 )( )( 1 1)( 1 2 2 2 bm tbm t dxdybm t L 35、设L为xoy平面内直线y=4上一段，则 dyyxQ L ),( 0 解： 04 04),(),( d dyxQdyyxQ LL 36、设区域D是由x=0,y=0,x+y=a(a0)围成的图形，则二重积分 D dxdy 2，则 a= 2 解： 2 2 1 2 1 2 1 )( 2 22 0 2 000 a aaxax dxxadydxdxdy a axaa D 故得a=2 37、 02)( 3333 xyzzyx 确定函数 ),( yxzz ，则 )1,0,1( x z 1 解： 2)(),( 3333 xyzzyxzyxF )1(3)(33 33232 zyxxyzxF x )1(3)(33 33322 xyzxyzzF z 1 )1(3 )1(3 332 332 yxz zyx F F x z z x