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声明 第一条 佐正：第 1 章第 5 题“原子数、面密度”改为“原 子数面密度”；第 7 章第 7 题“原于量”改为“原子 量”。 第二条 本习题解答基于版本：固体物理基础 -西安电子 科技大学出版社 (曹全喜 雷天明 黄云霞 李桂芳 著 ) ，且仅限于习题解答，而不包含思考题部分； 第三条 此版本只含有习题参考答案（部分题目提供了多 种解法），而不含有思维分析，若要交流，请百度嗨 小生； 第四条 由于本学期只教习了前 5 章，因此本解答仅包含 前 5 章内容，完整版将于寒假后奉上； 第五条 本习题解答由 “ 苏大师 ” 整理 /解答 /编排而成； 第六条 纰漏难免，欢迎指正； 第七条 不加水印 方便打印 版权所有 网传必究 ！ 第 1章 晶体结构 习题 1画出下列晶体的 惯用原胞 和布拉菲格子， 指明各晶体的结构 以及惯用原胞、初基原 胞中的原 子个数和 配位数。 (1) 氯化钾 ； （2 ）氯化钛 ； （3 ）硅 ； （4 ）砷化镓 ； （5 ）碳化硅（ 6）钽酸锂 ； （ 7）铍 ； （8 ）钼 ； （9 ）铂 。 解： 名称 分子式 结构 惯用元胞 布拉菲 格子 初基元胞 中原子数 惯用元胞 中原子数 配位数 氯化钾 KCl NaCl结构 fcc 2 8 6 氯化钛 TiCl CsCl结构 sc 2 2 8 硅 Si 金刚石 fcc 2 8 4 砷化镓 GaAs 闪锌矿 fcc 2 8 4 碳化硅 SiC 闪锌矿 fcc 2 8 4 钽酸锂 LiTaO3 钙钛矿 sc 5 5 2、 6、 12 O、 Ta、 Li 铍 Be hcp 简单 六角 2 6 12 钼 Mo bcc bcc 1 2 8 铂 Pt fcc fcc 1 4 12 2 、 试证明：理想六角密堆积结构的 128 1.633 3ca 。如果实际的 ca 值比这个数值大得多，可以把晶体 视为由原子密排平面所组成，这些面是疏松堆垛的。 证明 ： 如 右 图所示，六角层内最近邻原子间距为 a，而相邻两层的最近邻原子间距为 ： 2122 43 cad 。 当 d=a 时构成理想密堆积结构，此时有： 2122 43 caa ， 由此解出： 633.1 38 21 ac 。 若 633.1ac 时，则表示原子平面的层间距较理想结构的层间距大， 因此层间堆积不够紧密。 3、画出立方晶系中的下列晶向和晶面： 1 01、 11 0、 112、 121 、（ 1 10）、（ 211）、（ 111 ）、（ 1 2）。 解： 4 考虑指数为（ 100）和（001 ）的面，其晶格属于面心立方，且指数指的是立方惯用原胞。若采用初基 原胞基矢坐标系为轴，这些面的指数是多少？ 解： 如右 图所示：在立 方惯用原胞中的（ 100）晶面，在初基原胞基矢坐标 系中，在 1a 、 2a 、 3a 三个基矢坐标上的截距为 2,2 ，则晶面 指数为（ 101）。同理，（ 001）晶面在初基原胞基矢坐标系 1a 、 2a 、 3a 上的截距为 ,2,2 ，则 晶面指数为（ 110）。 5试求面心立方结构（ 100）、（ 110）、（ 1 1）晶面族的原子数面密度和面间距，并比较大小；说明垂直于 上述各晶面的轴线是什么对称轴？ 解： 晶面指数 面间距 对称轴 （ 100） 22a C4 （ 110） a 22 C2 （ 111） a 33 C3 6对于二维 六角密积结构， 初基原胞基矢为： 1 32aa i j ， 2 32aa i j ， kcc 。 求 其倒格子基矢，并判断倒格子也是六 方结构。 解： 由倒格基失的定义，可计算得： 32 1 2 aab = a2 ) 31( ji ， 2a 2a a a33 jiaaab )31(22 132 ， kcaab 22 21 3 （未在图中画出） 正空间二维初基原胞如图（ A）所示，倒空间初基原胞如图（ B）所示 （ 1）由 21 bb、 组成的倒初基原胞构成倒空间点阵，具有 C6操作对称性，而 C6对称性是六角晶系的特 征。 （ 2）由 21 aa、 构成的二维正初基原胞，与由 21 bb、 构成的倒初基原胞为相似平行四边形，故正空间 为六角结构，倒空间也必为六角结构。 （ 3）倒 空间初基原胞基矢与正格子初基原胞基矢形式相同，所以也为六方结构。 7 、 用倒格矢的性质证明，立方晶 系 的 hkl晶向与 （ hkl） 晶面垂直。 证 明 ： 由倒格矢的性质，倒格矢 321 blbkbhG h kl 垂直于晶面（ hkl）。由晶向指数（ hkl）， 晶向可用 矢量 A 表示，则： 321 alakahA 。 倒格 子 基矢的定义： )(2 32 1 aab ； )(2 13 2 aab ； )(2 21 3 aab 在立方晶系中，可取 321 aaa 、 相互垂直且 321 aaa ，则可得知 332211 bababa ， ， 且 321 bbb 。设 m a b i i （为常值，且有量纲，即不为纯数）， 则 ，即 与 A 平行。 8 考虑晶格中的一个晶面（ hkl），证明： (a) 倒格矢 1 2 3hG hb k b lb 垂直于这个晶面； (b) 晶格中相 hklGhklG A 邻两个平行晶面的间距为 2 hkl hd G ； (c) 对于简单立方晶格有 22 2 2 2 ad h k l 。 证明： （ a）晶面 （ hkl） 在 基 矢 321 aaa 、 上的截距为 lakaha 321 、 。作矢量： kaham 211 ， lakam 322 ， halam 133 显然这三个矢量互不平行，均落在 （ hkl） 晶面上（如右图），且 0222 321 21 321 13 321 3221 321 21 1 aaa aal aaa aak aaa aah k a h a blbkbh k a h aGm h 同理，有 02 hGm ， 03 hGm 所以，倒格矢 hklGh 晶面。 （ b） 晶面族（h kl） 的面间距为： hhh hh k l GG blbkbhha G Ghad 232111 （ c）对于简单立方晶格： 212222 lkh aG h 222 22 lkh ad 9 用 X光衍射对 Al作结构分析时，测得从 (111)面反射的波长为 1.54， 反射角为 =19.20， 求面间距 d111。 解： 由布拉格反射模型，认为入射角反 射角，由布拉格公式：2dsin =，可得 sin2nd （对主极大 取 n=1） )(34.22.19sin2 54.1 0 Ad 10 试证明：劳厄方程与布拉格公式是等效的。 证明： 由 劳厄方程 ： 2)( 0 kkR l 与正倒格矢关系 ： 2 hl GR 比较可知： 若 0kkGh 成立 ， 即入射波矢 0k ，衍射波矢 k 之差为任意倒格矢 hG ，则 k 方向产生衍射光， 0kkGh 式称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。 现由倒空间劳厄方程出发，推导 Blagg公式。 对 弹性散射 ： 0kk 。 由倒格子性质，倒格矢 hG 垂直于该 晶面族。所以， hG 的垂直平分面必与该晶面族平行。 由 右图可 知： sin4sin2 kG h (A) 又若 hG 为该方向的最短倒格矢，由倒格矢性质有： dG h 2 ； 若 hG 不是该方向最短倒格失， 由倒格子周期性 ： ndGnG hh 2 （ B） 比较（ A）、（ B）二式可得 ： 2dSin n 即为 布拉格公式。 11 、 求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。 解： 每个惯用元胞中有八个同类原子 ，其坐标为 ： 434341434143414343414141212102102102121000 ， 结构因子 ： m ij lwkvhuijh k l jjjefS 2 lkhilkhilkhilkhilhilkikhi eeeeeeef 33233233221 前四项为 fcc 的结构因子，用 Ff表示从后四项提出因子 )(2 lkhie lkhiflkhifflkilhikhilkhifh k l eFeFFeeeefFS 22)()()()( 112 因为 衍射强度 2hklSI ， lkhilkhi flkhilkhifh k l eeFeeFS 222)()(22 211 22 用尤拉公式 整理后： )(2cos12 22 lkhFS fh k l 讨论： 1、 当 h、 k、 l 为奇异性数（奇偶混杂）时 ， 0fF ， 所以 02 hklS ； 2、 当 h、 k、 l 为全奇数时 ， 2222 32)4(22 ffFS flkh ； 3、 当 h、 k、 l 全为偶数，且 nlkh 4 （ n 为任意整数 ）时， 2222 . 64164)11(2 ffFS flkh 当 h、 k、 l 全为偶数，但 nlkh 4 ， 则 122 nlkh 时， 0)11(2 22 . FS lkh 12 、 证明第一布里渊区的体积为 nullnull cV 32nullnull ，其中 Vc是正格子初基原胞的体积。 证明： 根据正、倒格子之间的关系： )(2 32 1 aab ， )(2 13 2 aab ； )(2 21 3 aab Vc是正格子初基原胞的体积，第一布里渊区的体积为就为倒格子原胞的体积，即 cc c c VaaaaaaV aaaaaaVaaaV 3 123123 3 211332 3 321 22 )()(2 第 2章 晶体的结合 习 题 1、已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成： nm rbrarU )( ，求： 晶体平衡时两原子间的距离； 平衡时的二 原子间的互作用能； 若取 m=2， n=10，两原子间的平衡距离为 3，仅考虑二原子间互作用则离解能为 4eV，计算 a 及 b 的值； 若把互作用势中排斥项 nbr 改用玻恩梅叶表达式 exp r p ，并认为在平衡时对互作用势能具 有相同的贡献，求 n 和 p 间的关系。 解： (1) 由 nm rbrarU )( ， 平衡时： 0)( 1 010 0 nmr bnra m rr rU ， 得： ambnr mn 0 ， 化简后得： mnambnr 1)(0 。 (2) 平衡时把 r0表示式代入 U(r)中： mn mn mn mn nm mn b am na bn m am bn b am bn arU mn n mn m )()( )( 0 。 （ 3）由 r0表示式得： 81)5(103 10 ab 若理解为互作用势能为二原子平衡时系统所具有的能量，由能量最小原理，平衡时系统能量具有 极小值，且为负值；离解能和结合能为要把二原子拉开，外力所作的功，为正值，所以，离解能结 合能 互作用势能，由 U(r)式的负值，得 ： 101021019 )103()103(106.14 ba 化简为 ： 80 10 1039104.6 ba 略去第二项 计算可得： 2115238 1045.9102.7 mJbmJa ， (4) 由题意得 ： * 00 lnlnln rnbpr ， bprrn lnln 00 ， 则： 0 0 ln ln r b p r n 0 0 rp n be r 又解：* 式两边对 r0求导，得： 10 npr bnre p ， 与 *式比较得： prn 10 可解得： npr 0 2、 N对离子组成的 Nacl晶体相互作用势能为： ReRBNRU n 0 2 4)( 。 证明平衡原子间距为： ne BR n 2010 4 ； 证明平衡时的互作用势能为： )11( 4)( 00 2 0 nRNeRU ； 若试验试验测得 Nacl晶体的结合能为 765kJ/mol，晶格常数为 5.6310-10m，计算 Nacl晶体的排斥 能的幂指数 n，已知 Nacl晶体的马德隆常数是 1.75。 证明： （ 1）由： ReRBNRU n 0 2 4)( 得： 120 22 0 21 4)1(4)()( nn R BnReNReRnBNdR RdU 令 ： 0)( 0 RRR RdU ，即 04 1 0200 2 nRBnReN 得 ： 2010 4 e BnR n 。 （ 2）把以上结果代入 U(R)式，并把 R 取为 R0，则： nR eNeBNRU nn e Bne Bne Bn 11 4)(4)()( 00 2 40 2 440 11 201 1 2020 若认为结合能与互作用能符号相反，则上式乘“” 。 （ 3）由（2 ）之结论整理可得 ： )(4 0002 2 RUReN eNn 式中 ： 23100.6 N N， 19106.1 e 库仑 ， 120 1085.8 法 /米 若题中 R0为异种原子的间矩， 则： mR 100 1063.55.0 ； m o lJRU /1065.7)( 50 U（平衡时互作用势能取极小值，且为负，而结合能为正值） 马德隆常数 ： 75.1 ，将这些一致数据代入 n 的表达式中，则： 8.8 1056.275.1100.6 1065.71082.21085.814.341 1)(4 1 1 3823 51012 2 000 eN RURn 3、 如果把晶体的体积写成： V NR3，式中 N 是晶体中的粒子数； R 是最近邻粒子间距； 是结构因子， 试求下列结构的 值： fcc； bcc； NaCl； 金刚石。 解： 取一个惯用元胞来考虑： 结构 V0 N0 R0 fcc a3 4 a22 22 bcc a3 2 a23 2334 NaCl a3 8 2a 1 金刚石 a3 8 a43 2338 4、 证明：由两种离子组成的 间 距 为 R0的一维晶格的马德隆常数 2ln2 。 已知 1 1 1ln2 1 n n n 证明： 由马德隆常数的定义： j ja 1 ，其中同号离子取“”，异号离子取“”。 若以一正离子为参考点，则： .21.6141212.12 1.513112 nn (A) 又由已知 1 1 1ln2 1 n n n ，代入（ A）式，则： 2ln2 5、假定由 2N 个交替带电荷为 q 的离子排布成一条线，其最近邻之间的排斥势为 nbr ，试证明在平衡间距 下有： 2 0 002 ln 2 114NqUR Rn 。 证明： 由 RqRBNRU n 0 2 4)( ，得： 120 22021 4)1(4)()( nn R BnRqNRqRnBNdR RdU 令： 0)( 0 RRR RdU ，即 04 1 0200 2 nRBnRqN 得： 2010 4 q BnR n 。把该式代入 U(R)式，并把 R 取为 R0，则： nR qNqBNRU nn q Bn q Bn q Bn 11 4)(4)()( 00 2 4 0 2 440 11 201 1 2020 (A) 由马德隆常数的定义： j ja 1 ，其中同号离子取“”，异号离子取“”。 若以一正离子为参考点，则： .21.6141212.12 1.513112 nn (B) 又由已知 1 1 1ln2 1 n n n ，代入（ B）式，则： 2ln2 。将 代入 (A) 式，得： 2 0 002 ln 2 114NqUR Rn 。 6、试说明为什么当正、负离子半径比 37.1/ rr 时不能形成氯化铯结构；当 41.2/ rr 时不能形成 氯化钠结构。当 41.2/ rr 时将形成什么结构？已知 RbCl、 AgBr及 BeS中正、负离子半径分别为 ： 晶 体 r+/nm r-/nm RbCl AgBr BeS 0.149 0.113 0.034 0.181 0.196 0.174 若把它们看成是典型的离子晶体，试问它们具有什么晶体结构？若近似地把正、负离子都看成是硬小 球，请计算这些晶体的晶格常数。 解： 通常 rr ，当组成晶体时，可以认为正、负离子球相互密接。 对氯化铯结构，如图（ a）所示， 8个正离子组成立方体，负离子处在立方体的中心，所以立方体 的对角线 rrd 22 ，立方体的边长为： rrda 323 为了能构成氯化铯结构晶体，负离子的直径 r2 必须小于立方体的边长 a，即 rrar 322 ，由此可得： 37.1 131/ rr 。 即为了能构成 氯化铯结构晶体， rr/ 必须小于 1.37。 （ a） （ b） （ c） 对于氯化钠结构，如图（ b）所示 为氯化钠结构的一个惯用原胞（ 100）面的离子分布情况 ， 这 里设正离子处在顶角，由图可见， rrdr 22 ，则 41.2121/ rr 。 所以，构成 氯化钠结构 rr/ 必须小于 2.41。 对于闪锌矿结构，如图 （ c）所示 为闪锌矿结构的一个惯用原胞（ 110）面的离子分布 ， 这里设负离 子处在面心 立方 位置，由图可见， arr 43 ， ar 24 ， ra 22 rarr 224343 ， 则： 41.245.4/ rr 所以，构成 氯化钠结构 rr/ 必须大于 2.41。 晶 体 r+/nm r-/nm rr/ 晶体结构 晶格常数 a/nm RbCl AgBr BeS 0.149 0.113 0.034 0.181 0.196 0.174 1.214 1.734 5.118 氯化铯 氯化钠 闪锌矿 0.381 0.618 0.492 第3章 晶格振动 习题 1.设有一双子链最近邻原子间的力常数为和10，两种原子质量相等，且最近邻距离为a/2， 求在q=0,q= a 处的(q).并定性画出色散曲线。 m m 10 m m _ 22 aa 解：已知 21)cos2(1 212221212 qamA m (1) 21)cos2(1 212221212 a0 mm (2) 由题意 2 101 10 代入（1）式 得 21)cos20100(111 222 qamA m = 21)cos20101(11 qamm = 21)cos20101(11 qam 当q=0时 0)1111(02 q mA 当q= a 时 mq a mA 2)9112 ( 把 2=101=10代入（2）式 得 21)cos20101(2 11 qa0 m 当q=0时 q m 2202 0 时aq q a m 202 0 2. 设三维晶格的光学格波在 q=0 的长波极限附近有 i (q)=0 Aq2 A0）（ ，求证光学波频 率分布函数(格波密度函数)为：g()= )1(3 1 s i 24 V 23 21)( 0 i A i 0 g()=0 i 0 证：由格波密度函数的定义已知，对一支格波在d i 区间格波数为 g ( i )d i = q d d iV i i 3)2 ( 在长波极限下等频率面为球面 则 g( i )d i = dqqV 243)2( 当 i 0 时 因为 q 2 A q)i(0 A q)iq (0 dq= 2121 )(2 )( q0A qd i i 所以 g( i )= 2121 )(2 14 )2( 0 0 3 i i AA V = - 23 21 2 0 4 )( A V i 由模式密度的物理意义，取其绝对值 而当 i 0 时 因为 i 0 Aq2 所以Aq2= 0 i 又因为 A 0 20 因为q本身为实数) 所以 上式右边必满足 0 i 即不存在 i 0 的格波则 则 g( i )=0 又因为 三维晶体中共要有3（S1）支光学格波 所以 光学波频率分布函数为： i 0 0 0 3 求一维单原子链的格波密度函数。若用德拜模型，计算系统的零点能。 解： (1)设一维单原子链长LNa，a为原子间距，N为原子数，在 a q a 区域 内 q只 能取N个值， dq间距内的格波数为 f(q)dq= dqLdqNadq a N 222 色散关系为 2sin4 qam (1) )cos1(22 qam = 2 2 m (1-cosqa) (2) 其中 =m 21)4( m q ( = - 由于对应于q, 取相同的值，（色散关系的对称性，则d区间的格波数为 g( )d2 dq Nad ddq Na 2 (3) 由色散关系（2）可得： 2 d= 2a m 2 sinqa dq qaaqaadqd mm 2 22 cos14sin4 = 222 a m 代入(3)可得： g( )= 2 2 2 N m (4) (2) 在德拜模型下，色散关系为线性 pq pdqd 代入(3)式 得； g()= p L p Na (5) 则零点能为： E 零 dLd D g p D 22 1)( 0 0 = p L D 2 4 (6) 又因为 NLdLdg p D D p D 0 ) 0 ( 得： N LDp (7) 代入（6）式 得： E =零 aNQKNN DBd 444 4. 试用平均声子数n（ 1)KTe 1 证明：对单式格子，波长足够长的格波平均能量为 kT； 当TQ 时，大约有多少模式被激发？并证明此时晶体比热正比于 (d 3)Q D T 。 解：单式格子仅有声学格波，而对声学波波长入足够长，则很低对满足 Tk B 1的格波 把 TBKwe 泰勒展开，只取到一次项 TBKwe （1 Tkw ） B Tk w ， B 1 1 = 平均声子数 n 1)KT(e 1 ，所以 w TkBn 而属于该格波的声子能量为 当T 时，可使用德拜模型，格波密度函数为教材（D 372） g(w)= 23223 V 只有 TkB 的格波才能激发，已激发的格波数可表示为： dg T A BK ) ( 0 33 )2 ( T2 kV B 由上已知，此时格波平均能量为K T则晶格热容可表示为 B TkTkV TC B B ) V (32 2 3332 42 TvkB 把（375）式 31)6 2( VND 及 DBQD K 代入整理为： C v 12NKB 3)(Q D T 所以晶格比热正比于（ 3)Q D T 得证 5. 对于金刚石、Zns、单晶硅、金属Cu、一维三原子晶格，分别写出 (1) 初基元胞内原子数； (2). 初基元胞内自由度数 (3).格波支数; (4). 声学波支数 (5).光学波支数 解： 金刚石 Zns Si Cu 一维三原子晶格 初基元胞内原子数 2 2 2 1 3 初基元胞内自由度数 6 6 6 3 3 格波支数 6 6 6 3 3 声学波支数 3 3 3 3 1 光学波支数 3 3 3 0 2 6. 证明在极低温度下，一维单式晶格的热容正比于T . 证：在极低温度下，可用德拜模型，q点密度为 2L g d区间格波数为 g( )d2 dLddqL wq 1 dw2 所以格波密度函数g() L 只有 Tk B 的格波才能被激发，已激发的格波数为； A TkLd Bg TKB )( 0 由第4 题已证，在极低温度下，一维单式格子主要是长声波激发对满足kT 1的格 波能量为K T。则晶格热容为B TLKTKTLKT BC BBV 22 即热容正比于T。 7. NaCl 和KCl具有相同的晶体结构。其德拜温度分别为320K和230K。KCl在5K时的 定容热容量为3.810-2 .Jmol-1.K-1，试计算NaCl在5K和KCl在2K时的定容热容量。 解： 设NaCl和KCl晶体所包含的初基元胞数相等，均为N，T D ，可用德拜模型（德 拜温度分别为NaCl320K，KCl230K）利用 CV=qNk( 2 4 0 3 )1() x x eD dxex Q TT D Q TQD 1. 积分上限近似可取为、则有 154)1 2 ( 2 4 0 x x e dxex 3 4 )(512 D Bv Q TNKC 对KCl： T5K时 C v 3.8X10-2 当 2K时 2331 1024.012588.32 5 vCvC (J.mol-1.K-1) 对NaCl：T=5K时 3 310 311 3 11 )320( )230(8.3 )( ) 2( X D Dv v Q QCC 1.41X10-2(J.mol-1.K-1) T 8、在一维无限长的简单晶格中，若考虑原子间的长程作用力，第 n个与第 n+m 或 n-m个原子间的恢复力系数为 m，试求格波的色散关系。 解： 设原子的质量为 M，第 n个原子对平衡位置的位移为 n,第 n+m和 n-m个原子 对平衡位置的位移分别为 n+m和 n-m（ m = 1， 2， 3 ），则第 n+m和 n-m 个原子对第 n个原子的作用力为： .2, nmnmnmnmnmnmnmmn uuuuuuuf 第 n个原子受力的总和为 .211 , nmnmnm mm mnn uuufF 因此第 n个原子的运动方程为 .212 2 nmnmnm mn uuudt udM 将格波的试探解 tqnain Aeu 代入运动方程，得 212 iq m aiq m a m m eeM 1c o s21 qm am m .2s in4 21 qm a m m 由此得格波的色散关系为 .2s in4 212 q m aM m m 9、 求半无限单原子链晶格振动的色散曲线。 解： 原子之间的耦合系数以 n 表示。正方向由表面指向体内。 m 为原子质量。 1、 对于 n=0的表面原子，只受到 n=1的原子作用 , 耦合系为 0。其运动方程为： 0 0 1 2mx xx（ - ） （ 1） 2、 对于 n=1 的表层原子，受到 0 号、 1 号原子作用 , 耦合系为 0， 1。其运 动方程为： 1 1 2 1 0 1 0m x x xxx （ - ） （ - ） （ 2） 其中 10 3、 对于 n=2 的表面第三层原子，受到 1 号及 3 号原子的作用。假定第三层原 子代表体内原子。 12 体内原子振动方程为 2 2 3 2 1 2 1 3 1 2 m x x xxxx ( - ) ( - ) ( + -2 ) 一般表达式为 11m x x xn n n n nx ( + -2 ) （ 3） 联立三个运动方程 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 0 11 m x x m x x x m x x xn n n n n x xx x ( - ) ( 1 ) ( - ) ( - ) ( 2 ) ( + - 2 ) ( 3 ) 以上三个振动方程的解 有 20 0 1 1 2 2,i t i t i tx A e x A e x A e 一般情况下，振幅 A0=A1=A2= 振动方程通解为： i t nnx Ae （ 4） 其中 ： n=0， 1， 2 ； n=0 代表表面原子。 体内 表面 形式衰减系数 将此解，代入 n 2 振动方程，得到振动频率表达式 2 2 (1 ch )m 2 ( 2 / )(1 c h )m （ 5） 注意： chx=(ex+e-x)/2,x=0,chx=1 由于 (4)式概括了表面原子与体内原子的情况，所以（ 5） 式概括了表面原子与 体内原子的情况，其区别取决于 “” 表面模振动频率 必须是正实数或包含有正实部的复数，只有这样（ 5）才能给出 的衰减解 . 代入 s i 到（ 5）式 得到 2 ( 2 / m )(1 c h )ss 由上式知 2 ms 体内原子链是无限原子链，链上每个原子情况均相同，无衰减现象。数学上的表 征要求 为虚数。引入 =ib，代入（ 5）式中： 2b 2 1 ch (i )bm 24 sin 2bm b 为相邻两原子的位相差 且有： b=qa 式中： q 为波矢， a 为晶常数 表面模与体模频率 第4章 固态电子论基础 习题 1.试推导出一维和二维自由电子气的密度。 拓展：三维自由电子气系统的能态密度表达式 3 2 2 2 2( ) ( ) 2 V mN E E h 解 （1）一维情况 自由电子的色散关系为 m k E 2 22 = . 由此得 dkE m dk m k dE 21 21 22 2 = , 即 dEE m dk 21 21 2 2 = . 对应同一个 dE ，在 k 方向各有一个 dk ，因此空间中 dEEE +与 之间的区间为 dEE m dkd 21 21 2 2 2 = , 在该范围内的状态数为 dEE mL d L dZ 21 21 2 2 = , 其中 L 是晶格长度. 于是，态密度 ( ) 21 21 2 2 = E mL dE dZ EN . （2）二维情况 参照教程，二维情况下态密度的一般表示式为 ( ) = L k E dLS EN 2 2 . 其中 S 是晶格的面积，积分沿能量为 E 的等能线进行. 由 ( ) 22 2 2 yx kk m E += 得 ( ) m k kk m E yxk 2 21 22 2 =+= . 于是有 ( ) 2 1 2 22 2 22 mS k m kS E dLS EN L k = = = . 2. )(2)( 2 2 yx KKmE 试求：（1）能量从E到EdE 之间的状态数 （2）T0时费米能量的表示式 解：（1）解1：在二维情况下，每个 K 点在倒二维空间占的面积为（2/L 2） , K 点面密 度为 考虑电子自旋，在K 单位面积内电子态总数为(电子态密度) 对题示的电子，等能面为圆，k 空间半径为 2 2| mEk 的圆内电子态数目为 态密度 dE间隔的电子状态数dZgdE 解2： 2 2 )2( L 2 2 2 2 242 LL 2 2 2 2 2 2 2 mEL LmEZ 2 2mL dE dzD dEmL2 2 KdKLdZ 222 2 KdKmdE 2 2 2 设N个自由电子被限制在边长为L的正方形势阱中运动，电子能量为 k (2) T=0 时 0电子把E 0 V 0 这样两块金属中的电子分别具有附加的静电势能为 -eV 0 它们发射的电子数分别变成 平衡时 由此得 eV eV 所以接触电势差 V V （1/e）（ ）(注意V0) TBK II eTKm B 2 2)( 4 TKeVB BeTKm /)( 3 2) 1 1( 4 TKeVB BeTKm /)( 3 2) 1 ( 4 11 = 1、在近邻近似下，按紧束缚近似，针对简立方晶体 S 能带 : （ 1） 计算 s k关系； （ 2） 求能带宽度； （ 3） 讨论在第一3G$:j 心附近等能面的形状。 注： CosX=1 X2/(2！ ) + X4/(4！) 解：（ 1） 对简立方，最近邻原子处于 Rn =ai , aj ,ak Es=sat A B e e e e e eik a ik a ik a ik a ik a ik ax x y y z z =sat A 2B （ Coskxa+Coskya+Coskza） （ 2） 当 Kx= Ky=Kz=0 时 Esmin=E sat A 6B 当 Kx=Ky=Kz= a 时 Esmax=Esat A +6B 能带宽度 EmaxE min 12B （ 3）当 Kx, Ky, Kz 均趋于零时 Es（ k ） Esat A 2B（1 K a K a K ax y z2 2 2 2 22 1 2 1 2 ） = E sat A 2B 3 22 2 2 2 a K K Kx y z 球形 2 X近邻近似下，用紧束缚近似导出体心立方晶体 S 能带的 Es( )，试 画出沿 Kx 方向（ Ky=Kz=0）的散射关系曲线，并计算能带宽度。 解：选体心原子为参考点，最近邻原子的 2 位置 Rn =a2 i a2 j a2 k k (共八个 ) 则 Es(k )=Esat A B e i a k k k i a k k kx y z x y ze2 2( ) ( ) + )(2)(2 zyxzyx kkkaikkkai ee +e i a k k k ia k k k ia k k k ia k k kx y z x y z x y z x y ze e e2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) =E sat A 2 B e a kzi a k kx y2 2( ) cos + )(2 yx kkaie cosakz2 +eia k kx y2( ) cosakz2 + e a kzi a k kx y2 2( ) cos = E sat A 2B 2e a ky e a kyi a k i a kx x2 22 2c o s c o s cos a2 kz =E sat A 4B 2(coskax2 cos k a k ay z2 2cos ) =E sat A 8Bcos kax2 cos k a k ay z2 2cos 当 Ky=Kz=0 时 Es(kx)=Esat A8Bcos kax2 同时 Kx=0 时 Esmin=Esat A 8B 当 Kx=Ky=Kz=2 a 或 kx=2 /a;ky=kz=0 时 Esmax=Esat A +8B 能带宽度 EmaxE min 16B 3一个晶格常数为 a 的二维正方晶格， （ 1）用紧束缚近似求 S 能带表示式，能带 顶 和能带底的位置以及能带 宽度； （ 2）求能 带底电子和能带顶空穴的有效质量； （ 3） 写出s能带电子的速度 表示式。 解：（ 1）选某一原子为坐标原点，最近邻的原子有四个，位 置为 Rn =a2 i ， a2 j 由 Es=sat A B aikaikaikaik yyxx eeee =sat A2B （Cosk xa+Coskya） 在第一 B.Z 区 带底位置： Kx =Ky =0, 带顶位置： Kx = a Ky = a 带宽： 8B （2 ）m xx* = 2 2 2 Kx E .= 2 /(2a 2BcosK xa) myy* = 2 2 2 Ky E .= 2 /(2a 2BcosK ya) mxy * = m yx * =0 把带底位置 Kx =Ky =0 代入 得：m xx* = myy* = m*= 2 /(2a2B) 把带顶位置： Kx = a ，K y = a 代入 得： mxx* = myy* = m*= 2 /(2a2B) 带顶空穴有效质量 mh* = m*= 2 /(2a2B) （3 ） 1v kEs(k )= 1 *2aB(sinKxai +sinKyaj ) 利用一维 Bloch 电子模型证明：在布里渊区边界上，电子的能量 取极值。 解：由教材:,?9 E Th+ |Vh| + Th(2Th/|Vh| +1) E_ Th|V h|T h(2Th/|Vh| 1) nullnullnullE 2T h(2Th/|Vh| +1) 0 处 0 E Th+ |Vh| nullnullnullE 2T h(2Th/|Vh|1) 0 处 0 E_ Th|V h| 5、利用布洛赫定理， K(x+na)=K(x)eikna 的 形式，针对一维周期势场 中的电子波函数。 (1) K(x)=sina x (2) K(x)icos 8a x (3) K(x)= l f(xla) (f 为某一确定函数 ) 求电子在这些状态的波矢 K(a 为晶格常数 ) 解： (1) K(x)=sina x K(x+na)=sina (x+na)=sin(a x+n) =(-1)nsin(a x )=(-1)nK(x) eikna=(-1)n=ei(n+2m) (m 也为整数 ) kna=(n+2m) 所以 K a （1 2mn ） (2) K(x)=icos8a x K(x+na)=icos8a (x+na) =icos(8a x+8n)=K(x) e ikna=1 kna=2m k=2mna (3) K(x)=l f(xla) K(x+na)=l f(x+nala)= l fx(l n)a 设 l-n=m K(x+na)=m f(x-ma)=K(x) 所以 eikna=1 kna=2N N 也为整数和 零 K 2Nna 6、已知一维晶体的电子能带可写成 E(k )= 22ma (78 coska+ 18 cos2ka) 其中 a 为晶格常数，求（ 1）能带宽度； （ 2）电子在波矢 k 状态的速度； （ 3）带顶和带底的电子有效质量。 解：（ 1） E(k)= 22ma (78 coska+ 18 cos2ka) = 22ma 78 coska+ 18 (2cos2ka 1) 224ma (coska 2)2 1 当 ka(2n+1) 时， n=0.1.2 E(k)max= 222ma 当 ka=2n 时 E(k)min=0 所以能带宽度 EmaxE min= 222ma （2 ） (K )=1 E (K )= KE =( ma )sinka(1/4) sin2ka (3) = m (coska1/2 cos2ka) 1 当 k=0 时 为带底， m* 2m; 当 k= /a 时 为带顶， m* 2m/3 7、证明面心立方晶体 S 电子能带 E（ K）函数沿着布里渊区几个 主要 对称方向上可化为： (1) 沿 X（ Ky=Kz=0, Kx=2a ， 1 ） E=Esa A4B （ 1 2cos） (2) 沿 L（K x=Ky=Kz= 2a ， 1/2） E=Esa A12Bcos 2 (3) 沿 K（ Kz=0, Kx= Ky=2a ， 3/4） E=Esa A4B （ cos22cos ） (4) 沿 W（ Kz=0, Kx=2 a，K y=a ， 1） E=Esa A 4B（ cos cos/2cos cos/2） 解：面心立方最近邻的原子数为 12，根据禁束缚近似 S 带计算公 2 2 2* KE m 式 有 Es（K ） =EsaA 4B（cos 2a Kx cos2a Ky+ cos2a Ky cos2a Kz+ cos2a Kz cos 2a Kx） 把各方向的 Kx、 Ky、 Kz 值代入上式即可得到相应的5 A明单位长度的一维晶体中电子态密度为 D(E)=2 dkdE 证：一维 K 空间， K 点密度为 L2 因为 E(K)是偶函数， dE 间隔对应正、负二个 dk, 所以在 dk 对应 的能量间隔 dE 间，第 n 个能带对应的电子状态数 dz4 L2 dk=2L dk 又有 dz=D(E)dE D(E)=2L dkdE 当 L1 (单位长度 )时 . D(E)=2 dkdE 9索未菲自由电子模型，证明在 k 空间费米球半径为： Kf=(32n)1/3 其中 n 为电子浓度 证： 对自由电子 E mk222 在 k 空间等能面为球面，二等能面间 体积 v=4k2dk dk= 2m 12 E12 dE 考虑到自旋， v 内的状态数 d Z= 22 3Vc( ) 4k2dk D= 213 23)2(4 Eh mVdEdz c 对索未菲自由电子 Ef= mkf222 T0 时 电子均有费米球内 f = 11/)( KTEE fe =1 常温时 .费米能级略有下降，电子仍基本均在费米球内 电子数 N= 0 fD dE= 0 Ef DdE = 0 Ef 213 23)2(4 Eh mVc dE = 2332)2(4 233 fc EmhV = 3 3 )(324 fc khV =VKc f3 23 又 价电子浓度 n= cV N 所以 Kf=(32 31) cV N = (32n)1/3 10、据上题，当电子浓度 n 增大时，费米球膨胀。证明当电子浓 度 n 与原子浓度 na 之比 n na =1.36 时，费米球与 fcc 第一布里渊区的边界接 触。 解：由教材 p图 ， f.c.c 的第03G$:j 14 面体， 14 面体表 面离中心 T点最近的点为 L 点。坐标为 2a (1/2.1/2.1/2) TL 距离为 2a 34 =a 3 5.4/a 由上题费米球半径为 Kf=(32n)1/3 f. c.c 原子密度为 34ana 当 n=1.36na136 4 3. a 时 Kf=(32 136 4 3. a )1/35.4/a 所以费米球与 f.c.c 的第一 b.z 相切。 0 230 d)(1)d()( EEECf NN EENEEf E 当T0时,每个电子的平均能量： 11、绝对温度T0时，求含N个价电子的自由电子费米气系统 的动能。（N=nV） )(6 )()()d()( F 2 B F Eg TkEgE E fEgI EEfENCEEfNC )d(52)(52 0 25 0 25 25 5 2)( E N CEg 21 2 25 2 3 65 2 F B F )( E N CTkE N CE 2 0 F B 2 250 F 12 51)( 5 2 E TkE N C 21 F 2 B25 F 2 3 6 )( 5 2 E N CTkE N CE 2 F B25 F 8 51 5 2 E TkE N C 2 0 F B 252 0 F B 2 250 F 8 51 12 1)( 5 2 E Tk E TkE N C 2 0 F B 2 0 F B 2 250 F 8 51 24 51)( 5 2 E Tk E TkE N C 2 0 F B 2 250 F 12 51)( 5 2 E TkE N C 2 0 F B 2 250 F 12 51)( 5 2 E TkE N CE 230 F3 2 ECN 2 0 F B 2 0 F 12 51 5 3 E TkE 0 F 2 B 2 0 F )( 4 5 3 E TkE =0 由 2123 2 3)(,)( E N CEgE N CEg 得 13、若一维晶体的电子势能 如图所示，用近自由电子模型，求第一个带隙的宽度 0 0 ( 1 )22 () 22 ddn a x n a Vx dd V n a x n a 解：对金属处于费米面上的电子，其能量 mKEf 2 22 其速度 mEmKV fff 2 又因为 fff mEmVK 2 由第 9 题 又有 Kf（ 3 2ne） 1/3 比较以上二式可得价电子密度 32 32 3 f e Vmn 由 式 )(1 2 fe ken m 所以 32 32 2 3)( fe f mVeen mk 在 Ef 附近，由于电子受核作用（晶格场作用）较弱，可设 mm e 则 代入数据 ，可得 Vf1.57 106 米 /秒 f 2.68 10-14 秒 fVf 4.21 10 8米 12、Cu的 费米能 Ef=7.0ev，试求电子的费米速度 Vf。在 273K 时， Cu 的电 阻率为 1.56 10 -8 m,试求 电的平均自由时间 和平均自 由程 。 解： 根据公式可知，禁带宽度的表达式： Eg=2|Vn|， 其中 Vn是周期势场 V(x)傅里叶级数的系数， 该系数可由相应的公式求得 第一禁带宽度为 22/ 2 i / 2 i 10- / 2 - / 2222 | | ( ) e d e d a x d xaa adV V x x V xaa /2/2 0 0 0 - / 2 /2 22e x p d e x p s indd d d V V V di x x i xa a a a 2i 0 1 ( )e da nxanV V x xa 112| |gEV
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