高中数学极值点偏移问题

极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组：赵拥权一:极值点偏移(俗称峰谷偏)问题的定义对于可导函数y=f(x)在区间(，）上只有一种极大(小)值点x0,方程fx=0(x)=m)的解分别为x1,x2且ax1x0x2x0,则称函数f（x)在区间（a，)上极值点x0左偏移；（2） x1+x22x0,则称函数(x)在区间（,）上极值点x0右偏移；二：极值点偏移的鉴定定理对于可导函数y=f(x)在区间（a，b)上只有一种极大（小）值点x0,方程fx=0（fx=m)的解分别为x1,x2且ax1x2（1） 若fx1f(2x0-x2)则x1+x22x0即函数(x)在区间（a,b)上极大值点x0右偏;(即峰偏右)（2） 若fx1x0即函数(x)在区间上（,b）极小值点x0左偏；（即谷偏左）（3） 若fx1f(2x0-x2)则x1+x22x0即函数f(x)在区间上（a，b)极大值点x0左偏;（即峰偏左）（4） 若fx1f(2x0-x2)则x1+x22x0即函数f(x）在区间上(a,b)极小值点x0右偏;（即谷偏右) xx1+x22 x=x1+x22mxy=(x)x=x0 x=x0拓展:1） 若,则的图象有关直线对称；特别地,若（或f(x)=（-)），则的图象有关直线对称2） 若函数f(x)满足x(0,a)有下列之一成立：f(x)在(0,a)递增,在(a,2a)递减，且f（-x)（）f（a+x)（f(x)）(a-x)f(x）在（0，)递减,在(,2a)递增，且(a-x）()f（+a)(f(x)()f(2a-)则函数f(x)在(,a)的图象有关直线x=偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数）其中 极大值左偏（或右偏)也称峰偏左（或右）极小值偏左（或偏右)也称谷偏左(或右);性质：1）的图象有关直线对称若x1,x2(0,2a)x1x2则 x1+x2=2afx1=f(x2),(fx1+f(x2)0,fx1+x22=0）;2）已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若x1,x2(0,2a)x1x2则fx1=f(x2)则x1+x22a,及fx1+x220极值点偏移解题环节：求函数f(x）的极值点x0；构造函数F()=(x+x0)f（x0-x)（F()=f(x0-x)-(x0+x), F（x）f(x+2x0）-f（-x) , F(x)=f()f(2x0-x)）拟定F(x)单调性结合F()=(F(-x0)=0,（x0)=0)判断F（x)符号从而拟定f(x+x0),f(x0-x)（ f(x+2x0)与f(-x); f(x)与(2x0-x)）的大小关系;答题模式:已知函数=(x)满足fx1=f(x2),x0为函数yf(x)的极值点，求证：x1+x2F(0)=0,从而得到x时f（+x0)(x0-x).(全国I高考）已知函数有两个零点设x，x2是的两个零点，证明：+x21时,f（x）（) ()如果且证明证明:由题意可知g(x)f(2-x),得g(x）=(2-)令F(x)=(x)g(x）,即于是当x1时,2x-20,从而(）0,从而函数F（x）在1,）是增函数。又F（1）=（x)F(1）0,即f()g(x).）证明：(）若（2)若根据(1)(2）得由（）可知，,则，因此,从而.由于，因此,又由（)可知函数f(x)在区间（-，1）内事增函数,因此,即.3. 已知函数.(I)讨论的单调性；（II)设,证明:当时,；（II)若函数的图像与x轴交于A,两点,线段B中点的横坐标为x0,证明：(x)0解：(I) (）若单调增长. (ii)若且当因此单调增长,在单调减少.（）设函数则当故当， 分（III)由（I)可得，当的图像与x轴至多有一种交点，故,从而的最大值为不妨设由(II)得从而由（)知， 4.已知函数fx=xlnx-12mx2-x （mR)若f（x）有两个极值点x1,x2且x1e25 已知函数fx=ex-ax(R)若f(）有两个不同零点x1,x2且x12x1+x22xx1x21（已知函数fx =ex-ax+a (R) ，其图象与轴交于A(x1,0)B（x2,0)两点且x1x2，求证:f(x1x2)1)若f（x)有两个不同零点x1,x2且x1x2求证:x1+x207. 已知函数fx =a-1x-lnx（aR)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1x2求证：2x1+x23ea-118. 已知函数fx=xlnxf(x1)=fx2且0x1x21求证:2ex1+x211x1+x22e已知函数fxlnx-ax(aR)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1e210. 已知函数fx=x-eax (a0) f(x1)=fx2=0且x1x2求证:x1x2ae11. 已知函数fx =lnx-ax-b（a,bR)若f(x)有两个不同零点x1,x2且x1x2求证：x1x201. 已知函数fx =alnx-x2(R)令gx=fx+ax,g(x)在(,3)单调递增求a范畴；当a=2时,函数h()=(x）-m的图象与轴交于（x1,0)B（x2,0)且0x10,0且满足+=1证明:h(x1+x2)1时讨论f(x)的单调性，并拟定其极值；若对xe,e2均有f()4lnx,求k范畴;若x1x2且 f(x1)=fx2证明：x1x20)讨论fx的单调性;f()的极值点为x若存在x1,x2(0,+)且x1x2求证: x1+x22x；16. 已知函数fx=x2-1+aln1-x, (aR);讨论fx的单调性; 若f(x） 存在两个极值点x1,x2,x1f(x2)x1 ；1. 已知函数fx=x+alnx与g（)=3-bx在(1,1)处有相似切线；若y=2（x+n) 与yf(x）图象有两个交点，求范畴；若Fx=3x-m2+m2gx-2fx有两个极值点x1,x2,x1x2证明：Fx2x2-1;18. 已知函数gx=-ax2+(2-a)x+lnx, （R)讨论fx的单调性;若f(x)=g()+(a1) x2-2x有两个不同零点x1,x2， 证明：f(x1+x22)0;19. 已知函数gx=xe2-ax , (aR);讨论gx的单调性;若f(x)l(x)-ax2 与=m,(mR)图象有两个交点A、B,线段A、B中点为x，证明：f(x)0；20. 已知函数fx=ax32-lnx-23图象的一条切线为x轴；求a值；令g(x）fx+f(x)若存在不同x1,x2满足 gx1=g(x2),证明: x1x2121. 已知函数F（)与f()l有关直线=x对称;若f(x)ax-1对x(0,+)恒成立,求a最大值;设(x)Fx=1在（1,+)的实根为x ，mx=xfx (1 x) 若在区间(,+)上存在mx1=m(x2),求证：x1+x22x22.已知函数fx=ex-12x2-ax， (aR);若函数f(x)的图象在=0处的切线方程为=2+b,求a,b的值若函数(x)在R上单调递增，求实数a的取值范畴；如果函数g(x)f(x)-（a12)x2恰有两个不同的极值点x1,x2,证明: x1+x22ln2a；已知函数fx=x2-(a2)x-an (aR)；讨论fx的单调性; 设函数gx=-x3-ax2+a-a24若,(0,a】使得f-f()04. 已知函数fx=mx+1+nlnx m,n为常数，在x=1处的切线方程为x+y-2=0若x1e,1使得对t12,2上(x)t3-t2-2at+2恒成立求实数a的取值范畴；若（x)f(x)ax2x+1 (aR) 有两个不同零点x1,x2,求证：x1x2e2;25已知函数fx=-x2-ax+2lnx;当a3时讨论f(x)在12,+)上的单调性;f(x)有两个不同零点x1,x2,且x1x2求证：f(x1+2x23)0