高中数学必修一《集合与函数》

集合的概念与集合的表达 集合概 念把研究对象的总体称为集合，把研究对象统称为元素。元素的性质(）拟定性；（)互异性；（3)无序性表示方法列举法元素不反复元素无顺序元素间用“，”隔开描述法写清晰集合中元素的代号,如xRx0,不能写成2;阐明该集合中元素的性质；所有描述的内容都写在大括号内。元素与集合的关系一般地，用大写拉丁字母如、B、表达集合,用小写拉丁字母a、表达集合中的元素，如果a是集合A中的元素就说a属于集合A,记作;如果a不是集合A的元素,就说a不属于A，记作。常用数集及其记法N为零和正整数构成的集合,即自然数集，N或N+为正整数构成的集合;Z为整数构成的集合;Q为有理数构成的集合，R为实数构成的集合。例题 判断下列命题与否对的,并阐明理由。()R=R；(2)方程组的解集为x1，=2；（3）x|y2-1y=x21=（x，y)|y=21;（4）平面内线段MN的垂直平分线可表达为P|PMPN。答案：(1)RR是不对的的，R一般为=|x为实数,即R自身可表达为全体实数的集合,而则表达具有一种字母的集合,它不能为实数的集合。（）方程组的解集为=1,y=2是不对的，由于解集的元素是有序实数对(x，y），对的答案应为（x，y）|=(1,2）。(3)y=x21=y|y=2-=（x,y）|y2-1是不对的的。 x|y=x2表达的是函数自变量的集合,它可觉得x|yx2-1=x|xR=R。 y|yx2-1表达的是函数因变量的集合,它可觉得y|y-=y|y。 （x，)y=x1表达点的集合,这些点在二次函数yx2的图象上。()平面上线段MN的垂直平分线可表达为PPM，该命题是对的的。知识点拨：对的理解集合的表达措施对后来的学习有极大协助。特殊数集用特定字母表达有特别规定,不能乱用;二元一次方程组的解集必须为(,y）|的形式;对描述法表达的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁,竖杠后其特性又是什么。例题2 已知a1,1,a2,则a的值为_。答案:a1，1，a2, a可以等于1,-1,2。 (1）当a=时,集合则为1，-,1,不符合集合元素的互异性。故。 （2)同上，=1时也不成立。 （3）a=a2时,得a=0或1，a不满足,舍去,a=0时集合为1，1,0。 综上,a=0。知识点拨：集合元素的互异性指集合中的元素必须互不相似，无序性指集合中的元素与顺序无关。因此在解决元素为字母的集合问题时，既要注意对字母进行讨论,又要自觉注意集合元素的互异性、拟定性。随堂练习：下列各组对象中不能构成集合的是( ）A.高一()班全体女生 B. 高一()班全体学生的家长. 高一（）班开设的所有课程 D. 高一（）班身高较高的男同窗知识点拨:根据集合的概念进行判断。由于A、B、C中所给对象都是拟定的，从而可以构成集合;而D中所给对象不拟定,因素是找不到衡量学生身高较高的原则，故不能构成集合。若将D中“身高较高的男同窗”改为“身高17cm以上的男同窗”，则能构成集合。答案： 判断某组对象与否为集合必须同步满足三个特性:（1）拟定性，(2）互异性，(3)无序性，特别是拟定性比较难理解，是指元素和集合的关系是非常明确的,要么该元素属于集合，要么该元素不属于集合,而不是模棱两可。例题判断如下对象能否构成集合。（）高一（1)班的身高不小于.75 m的学生；（2)高一（1)班的高个子学生。答案：(1)高一(1)班中身高不小于175m的学生是拟定的,因此身高不小于175 的学生可以构成集合。 (2）高一(1）班中的高个子学生没有具体身高原则，因此高个子学生不能构成集合。（答题时间:15分钟)1. 下列集合表达法对的的是（ ). 1,2，3，. 全体有理数C0=D.不等式x-32的解集是x|x 下列语句集合x|01可以用列举法表达；集合1，1具有三个元素；正整数集可以表达为1，,3，4，;由,2,3构成的集合可表达为，3或3,，1。对的的是( ）A. 只有和 B.只有和C.只有 .只有和. 集合1,3,5,7，用描述法表达应是( )A. x|x是不不小于的非负奇数B. x|x9，xNC x|1x9,xN. x|,xZ. 下列集合中,不同于此外三个集合的是（ ）A. x|=1 B. y(-1）20C. x D. 15. 集合M（x，y)|xy0，xR,y是指（ ）A. 第一象限内的点集B第三象限内的点集C. 第一、三象限内的点集D 第二、四象限内的点集6. （x，y)|x+y6，x，N用列举法表达为_。1. D2. D 解析：表达无限集,不能一一列举,故不对的;具有相似的元素，不对的;、对的。3.A4. 解析：A、B、D三项表达的集合都是,而C选项表达具有一种方程的集合。5 解析：xy0且y0。因此集合M表达第二、四象限内的点集。6. (0,6)，（1，5）,(2,4），（3,3），（4，2)，（5，），(6，）集合的运算子集真 子 集定 义对于两个集合A、,如果集合中的任意一种元素都是集合B中的元素,称集合A为集合的子集若集合B，但存在元素xB,且A，称集合是集合B的真子集符号语言若任意A，有xB,则A。若集合AB，但存在元素xB,且xA,则AB表达措施为集合B的子集,记作AB或B。不是B的子集时，记作AB或BA。若集合A是集合的真子集,记作AB或BA。性 质A AA，BCACAB,且BCAC子集个数含个元素的集合A的子集个数为含n个元素的集合A的真子集个数为空 集不含任何元素的集合,记为。空集是任何集合的子集,用符号语言表达为A；若非空(即A），则有A。集合的运算:1. 并集的概念(1）自然语言表达:由所有属于集合A或属于集合的元素所构成的集合，称为集合与B的并集。(2)符号语言表达:A=|A,或xB。（3)图形语言(Ven图)表达:。2. 交集的概念(1）自然语言表达：由属于集合A且属于集合的所有元素所构成的集合，称为集合A与的交集。(2）符号语言表达:=xA,且B。（3)图形语言表达（Ven图)：。3. 补集的概念(1)自然语言表达:对于集合，由全集U中不属于集合的所有元素所构成的集合，称为集合相对于全集U的补集，简称为集合的补集。(2）符号语言表达：A=|x,且xA。(）图形语言表达(Venn图):，阴影部分表达A。例题1 判断下列说法与否对的,如果不对的,请加以改正。(1）表达空集;（2)空集是任何集合的真子集;（3）,3不是3,2，1;（)0,1的所有子集是,1，0，；(5）如果且AB,那么B必是A的真子集;()与BA不能同步成立。思路导航:对每个说法按照有关的定义进行分析，认真地与定义中的要素进行对比，即答案：（1）不对的。应当改为：，表达这个集合的元素是。（2)不对的。空集是任何非空集合的真子集,也就是说空集不能是它自身的真子集。这是由于空集与空集相等,而两个相等的集合不能说其中一种是另一种的真子集。由此也发现了,如果一种集合是另一种集合的真子集，那么这两个集合必不相等。（3)不对的。1，2，3与,，表达同一集合。(）不对的。0，1的所有子集是，1,0，1,。（5)对的。（6)不对的。AB时,A与BA能同步成立知识点拨：结合本题，要注意如下几点：（1)不表达空集，它表达以空集为元素的集合，因此(1）不对的。空集有专用的符号“”，不能写成，也不能写成 。（2)分析空集、子集、真子集的区别与联系。(3）不对的。两个集合是不是相似,要看其中一种集合的每个元素在另一种集合中是不是均有相似的元素与之相应，而不必考虑各元素的顺序。（4)不对的。注意到是每个集合的子集。因此这个说法不对的。（5)对的。AB涉及两种情形：AB和=。(6)不对的。=时，B与BA能同步成立。例题2 已知集合A=|x23x20,aR，若A中元素至多只有一种,求a的取值范畴。知识点拨：对于方程ax2-3x+=0，aR的解，要看这个方程左边的二次项的系数，a=0或a0时，方程的根的状况是不同样的。则集合A的元素也不相似,因此一方面要分类讨论。答案：（1）a0时，原方程为3=x=，符合题意;()时，方程ax2-3x+2=为一元二次方程，=8a0a。当a时，方程ax23x2=0无实根或有两个相等实数根，这都符合题意。综合（1）()，知a0或a。例题 设集合=|x-a|1,xR,Bx|15，xR。若A=,则实数a的取值范畴是（ ）A a|0a6 B.a|a2或a4C.a或a .|2a4知识点拨：本题重要考察绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算,属于中档题。由x-a1得x-a，即a1xa+。B=可以分两种状况来讨论,一种是A集合在集合的左边,一种是A集合在B集合的右边。如图，由图可知a11或15,因此a0或a。答案：随堂练习:满足1，3A1，3,5的所有集合A的个数是（ ) A. B. C3 D. 4知识点拨:根据的定义可知，集合1，3,5应当是集合1,3和A的元素并在一起构成的集合，因此A中必有元素5，且其她元素只能从1，3中选出一种或两个或不选,因此A有四种也许:5，5，3,5,1,3，5。答案:D（答题时间：15分钟）1 集合，3，5，当时，若-1A，x+A，则称x为的一种“孤立元”,则A中孤立元的个数为_个。2.设5x|2-ax5=,则集合x|x2-a中所有元素之和为_。 用另一种措施表达下列集合。(）绝对值不不小于2的整数;(2）能被3整除，且不不小于10的正数;（3）|=x|,x0，若N=，那么实数a的取值范畴是（ )A 1 B.a-1 C D. a6 设满足y|x-的点(x，y)的集合为A，满足y|x|+2的点（x,y)的集合为B，则AB所示图形的面积是_。.设A=x|x2+4x=0，Bxx（a+)xa2-1=0,若A=B,求的值。1 解析:由BBC,知AB，ABC,AB。故选A。2. C 解析:由AB=1,4,B=x2,1,得x24,得=2,又由于集合元素互异,2。3 解析:由题意,知|x1,ST=,0，1，(S)=2。.D 解析:由(M）P，知P，于是PM=。故选D。5. D 解析：Mx|-1x2,Nx|x-a或xa。若N=，则-a且2,即且a2，综上a2。. 解析:画出yx|及y|x|+2的图象,则表达的图形为矩形；由交点坐标及图象与坐标轴的交点坐标简朴计算即得。7.a-1或a=1。解:=x|x24x0=0，4。()由B=,得BA。B或B=0或B=-4或B=0，4。若,则4(a)2(a21）,则，AE0,D，即解不等式组,得函数y的定义域为x|0。答案:函数关系式为=,y的定义域为x|0f(x2）,那么就说函数f（x)在区间D上是减函数。单调性与单调区间如果一种函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间。例题 运用单调性定义证明：函数f(x）=在其定义域内是增函数。思路导航:本题是运用单调性定义证明函数单调性的一种典型例子,由于函数的定义域没有给出，证明前要先求出定义域，然后证明。答案：证明：证法一：函数f()=的定义域是1，+），任取x1、21，+）且x10。f（x1）f（x2)，即函数f（x）=在其定义域上是增函数。证法二:函数f（)的定义域是x1，任取x1、21,+)且x1x2，则,x1、x21,），且x1,0x11x21。0,f（x1）f(x2）。函数f（x）=在其定义域，)上是增函数。点评：函数的单调性是在某指定区间上而言的,自变量x的取值必须是持续的。用定义证明函数的单调性的基本环节是“取值作差（或作商）变形定号判断”。当函数在给定区间上恒正或恒负时，也常用“作商判1”的措施来解决，特别是函数中具有指数式时常用此法。解决带根号的问题,常用的措施就是将分子、分母有理化。从形式上看是由“-”变成“+”。例题 f(x）是定义在（ 0,+）上的增函数,且f（）= (x）-f（） （）求f()的值。 （）若f()= ,解不等式 f（ x3 ）（)。思路导航：（1）运用赋值法,在等式中令y=，则f（1）=0。（2）在等式中令x=3，y=6,则。故原不等式为:即f（x+3)(2a） B. f(a2)()C. （a2+a）f（a） D. f(a2+1）0, a2+1a。 f(x)在(-，)上为减函数, f（a2+1)f(a）,选D。.解析：运用函数的单调性定义判断。. -,8解析:由条件知：-=-1，m。 f(x）=2+2,ymn=，ymaf（2)8。6（，1)和（，+）解析：解=-1+，可得单调递减区间是(，-1)和(-1，+)。7.证明：设x， y(x）-f（x1）（-x3+1）(x13+1) =13x23=（x1-2)(1+x1+x22) =（x1-x2)（1+)2+x2。 x-x=x0， y0，即函数f(x)=x+1在(，+）上是递减函数。.解法一：令t（0），则x,y-1=-t+=-（t+1)2+6。 t0,y-（t+1）26在0，上为减函数， 当=时,有最大值。解法二：函数的定义域为（，)。 2x1在(-,)上递增，在（-,）上递减, y2-在（-，)上为增函数。当x=时,y有最大值。函数的奇偶性性 质定 义偶函数图象有关y轴对称;定义域有关原点对称。如果对于函数f（x)的定义域内任意一种x，均有f()=f（x)，那么函数f(x)就叫偶函数奇函数图象有关原点对称;定义域有关原点对称;定义域中有零，则其图象必过原点,即（）=0。如果对于函数f（x）的定义域内任意一种x，均有f(-x）=-f(x),那么函数f（x）就叫奇函数注意：在公共定义域内，（1）奇函数与奇函数之积是偶函数;(2）奇函数与偶函数之积是奇函数；（3）偶函数与偶函数之积是偶函数;(4)奇函数与奇函数的和(差)是奇函数;（）偶函数与偶函数的和(差）是偶函数。例题1 已知(）是偶函数，且在(0,+）上是减函数，判断f（x）在(-,0）上是增函数还是减函数,并加以证明。思路导航：运用函数奇偶性及图象特性比较容易对函数单调性进行判断,但是证明单调性必须用定义证明。答案：f()在(-，0）上是增函数。证明如下：设x1x20,x1-2，()0时,(x）=-(）=（-x)1（x）=x(1+x)； 当x=0时，f(）-(0），即(0）=。当x0时,f(x)=x(1+x)。答案:当x0时，f（x）=（1+x)点评：判断分段函数的奇偶性时,应对在各个区间上分别讨论,由x的取值范畴拟定相应的函数体现式,最后要综合得出在定义域内总有(-x）=f（x）或f（-x）=f(x）,从而鉴定其奇偶性。例题3设(x）在R上是偶函数,在区间(-,0)上递增,且有f(22a1）f(3aa+1)，求a的取值范畴。思路导航:规定的取值范畴,就要列有关a的不等式（组），因而运用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数式”是核心。答案:由（x)在R上是偶函数，在区间(,0）上递增知f（)在(0,）上递减。2+1=2(+)2+0,3a2a1=3（a-）2+0, 且f(2a-a+1）f(32-a1），a+a+13a2-2a+, 即aa0。 解得03。点评:该例题在求解过程中，要注意运用偶函数的对称性,一侧递增，一侧递减。复合函数的性质与构成它的函数的性质密切有关,其规律可列表如下：()若函数f（)、g(x）、fg（x)的定义域都是有关原点对称的,那么由=g(x）,y=f(u）的奇偶性得到=fg(x）的奇偶性的规律如下:函数奇偶性u=g(x）奇函数奇函数偶函数偶函数y=f（u）奇函数偶函数奇函数偶函数y=（x）奇函数偶函数偶函数偶函数即当且仅当u()和y=f（u)都是奇函数时,复合函数=g(x）是奇函数。（2)若函数u=（x)在区间a，b上是单调函数,函数f（u)在g(a）,g()或g（），g（)上也是单调函数，那么复合函数yg（x)在区间,b上是单调函数，其单调性规律如下：函数单调性ug（）增函数增函数减函数减函数y=f(u）增函数减函数增函数减函数y=fg()增函数减函数减函数增函数即当=g(x)，y=f（u)增减性相似时,y=f（)为增函数;增减性相反时，y=fg（）为减函数。（答题时间：15分钟)1. 下列命题中错误的是（ ）图象有关原点成中心对称的函数一定为奇函数奇函数的图象一定过原点偶函数的图象与y轴一定相交图象有关y轴对称的函数一定为偶函数A. B. C D. 2.已知f（x)=x7+ax5bx-5,且f()，则（3)=（ )-15 B 15C.10 D.103. 已知偶函数f（x)在区间0,+)单调递增，则满足f(2x1)f的x取值范畴是（)A B C. D. 若（）x2bx+(a）为偶函数,则g（）=abx2cx的奇偶性为_。5已知（）是偶函数，g（x）是奇函数,且f()g(x）=x2+x2，求（）,g()的体现式。6函数(x)是定义在（1，1）上的奇函数,且f，求函数（）的解析式。7 定义在(1,1)上的奇函数（x）是减函数，且f（1-)（-a2）0,求实数a的取值范畴。1. 解析：f(x)为奇函数,其图象但是原点，故错;y为偶函数,其图象与y轴不相交,故错。2. A解析:解法1:f（）(3)7+a（3）5(-3）5-（3a35+3b-）-0=f（3)1=5,f（3)15.解法2:设g(x)xx5b，则g（x)为奇函数，（-3)=g(-)5-(3）55,（3)10,f(3）g（）-5=1.3 A解析:由题意得|2x1|，-2x12，,选A.4. 奇函数解析：由f（x)=ax2bx（a0）为偶函数得=,因此()a3+cx,g(x）=g(x)，(）是奇函数。5. f（x）x22，g(x）=.解析：（x)+g(x）x2-x2，由（x）是偶函数，g（x）是奇函数得，f(）-g（x）=xx2又（)+(x）=x2+x2，两式联立得：f(）x22，g（）=x。 f(x）。解析：由于f（x）是奇函数且定义域为（1，1），因此f（)0，即=0.又f，因此，因此a1，因此f(x)。7 a|a解析:由f(1-a）+（1-a2）0及f(x)为奇函数得，(a)f（a），f(x)在(-1,1)上单调减,解得1故a的取值范畴是a01。