关于不等式证明方法的探讨毕业论文设计

河北师范大学本科生毕业论文本科生毕业论文（设计）册学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学专业班级：2010级B班学生：指导教师：河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目：关于不等式证明方法的探讨 学院：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 班级：2010级B班 学生姓名： 学号：2010011239 指导教师： 职称：副教授 1、论文（设计）研究目标及主要任务本文对比较法、分析综合法、反证法、放缩法、换元法、数学归纳法、判别式法、函数单调性法、几何证法、面积体积比较法等较常见的不等式证明方法进行总结，意在引发我们对不等式证明方法及其他问题证明方法的注意和思考，以致对整个数学问题的思考，并希望能为读者全面系统的总结不等式证明方法提供帮助和借鉴。学习不等式的对证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，增强对逻辑推理能力、抽象思维和思维能力的培养，并养成善于思考的良好学习习惯，并为以后的教学奠定扎实的理论基础。2、论文（设计）的主要内容对比较法、分析综合法、反证法、放缩法、换元法、数学归纳法、判别式法、函数单调性法、几何证法、面积体积比较法等较常见的不等式证明方法的概念、历史背景、书写步骤、运用情形、和基本分类等进行简单介绍，并对一些情况加以举例说明。3、论文（设计）的基础条件及研究路线在不等式证明方法的研究不断改进和发展的形势下，总结前人的经验和研究成果，对几种常见证明方法进行探讨，同时对其进行改进和创新，发表自己独特的见解，并举例加以解释和说明。4、主要参考文献1匡继昌.常用不等式M.济南：山东科技出版社，2004：23-34.2李长明，周焕山.初等数学研究M.北京：高等教育出版社，1995:252-263.3叶惠萍.反思性教学设计-不等式证明综合法J.数学教学研究，2005,10(3):89-91.4胡炳生，吴俊.现代数学观点下的中学数学M.北京：高等教育出版社，1998:45-50.5GaoMingzhe. OnHeisenbergsInequalityJ. J.Mth.Anal.Appl.,1999,234(2):727-734.5、计划进度阶段起止日期1毕业论文背景调查及资料收集2014/12/20-2014/3/102完成论文开题报告2014/3/11-2014/3/203完成论文初稿并提交2014/3/21-2014/3/314论文初稿修改并提交2014/4/1-2014/4/205毕业论文定稿及答辩准备2014/4/21-2014/5/20指导教师: 年 月 日教研室主任: 年 月 日河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 2014届学生姓名论文（设计）题目关于不等式证明方法的探讨指导教师专业职称副教授所属教研室学科教研室研究方向数学教育与数学建模教育课题论证：见附页1.方案设计：首先，介绍不等式的应用价值以及其证明方法在现实生活和教育教学工作中的重要性，不等式及其证明方法发展的现状和教师与学生们对于它们存在和面临问题，并提出自己的建议和意见。然后，对常用不等式的证明方法做进一步更加细致周密广泛普及的总结，总结了诸如比较法，分析综合法，反证法，放缩法，换元法，数学归纳法，判别式法，函数单调性法，几何证法，面积体积比较法等较常见的证明方法。最后，按照总分总的经典模式，对各方法之间的区别和联系加以较详细的分析和解释说明，强调各方法与方法之间存在的共融性以各方法并不是单纯的孤立存在和盲目使用的；并提出本文的不足之处，让读者更容易进行更加深层次的归纳总结。进度计划：1毕业论文背景调查及资料收集 2014/2/15-2014/3/102完成论文开题报告 2014/3/11-2014/3/203完成论文初稿并提交 2014/3/21-2014/3/314论文初稿修改并提交 2014/4/1-2014/4/205毕业论文定稿及答辩准备 2014/4/21-2014/5/10指导教师意见：指导教师签名： 年 月 日教研室意见：教研室主任签名： 年 月 日附1：课题论证关于不等式证明方法的探讨不等式是高中数学阶段一个极为重要的内容，几乎贯穿与整个高中数学的任何一个章节，是一种应用普遍的技巧性工具。在现实日常生活中，不等式的应用是非常普遍的应用在社会生产和生活的各个方面的应用，例如，经常面临的采购批发方案设计，房屋租赁方案设计，消费娱乐方案设计等。然而，对一些不等式的证明又为我们在生活中利用不等式提供了有力证据。随着上世纪七八十年代大量新型不等式的发现和对已知不等式的改进，以及发现在更多的领域都广泛都涉及到不等式的应用，这让现有的不等式内容及界限难以满足社会时代和经济的发展，促使科学家们不得不开始着眼于研究更多特殊情况下不等式的证明及其方法。因此，上世纪末新世纪初，不等式在形式要求下，得到了突飞猛进的发展和开拓，打破了原有的局限，在更多领域得到了更加广泛更加深层的应用。在此基础上，由特殊到一般，就迫切要求我们进一步更加细致周密广泛普及的总结更多的更广泛统一性证法。另一方面，不等式的证明在中学数学教学中也是一个非常重要的教学内容，他可以多方面训练学生的综合能力，有效的培养学生运用综合法和分析法解决问题的能力。与此同时，不等式的证明的内容灵活多变，可以从多个角度考查学生的数学素养，是数学教学内容中一个多可多得的好素材。但是，我们现在面临的现状是学生无法掌握变化多样的不等式证明方法，遇到问题时，不知如何选用合适的方法，这是很多老师和学生们都遇到的共性问题。然而，万千事物万变不离其宗，遇事抓住其根本，总结前人和自己的生活学习工作经验，举一反三，必定能够在数学研究中有所突破，独树一帜。在这样的形势下，本文更多的是从一般普遍的情况下进行研究，查阅了各方面关于不等式的习题相应的解题方法，并对这些习题和方法进行了细致全面的归纳总结，总结了诸如比较，分析综合，反证，放缩，换元，数学归纳，判别式，函数单调性，几何，面积体积法等较常见的证明方法，希望给读者们进行进一步总结提供一些借鉴和帮助。河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述不等式证明方法研究的文献综述不等式的发展现状和趋势如所熟知，各种不等式实质就是各种形式的数量或变量之间的互相比较或互相制约关系，因此，不等式很自然地成为分析数学和离散数学诸分支中极为重要的工具，而且早已成为国际上一个专门的研究对象。例如，现今国际上已有多种不等式研究性刊物，既可见其受重视之程度。不等式的研究文献中，一个常见的现象是，许多基本重要而又十分重要的不等式，经过多次拓广后其结构形式往往会变得越来越复杂，以致失去了由简单性和对称性来保证的优美性。对此，数学界的普遍观点是，如果拓广后没有增加新的应用面，则这些结果虽然也能够在一些刊物上发表出来，但其真正价值价值并不大。真正很有价值的不等式理应具备三个条件，即普适性、优美性（简单性）、和精确性（不可改进性）。不等式证明方法的发展现状和趋势上世纪初以前，在不等式的证明中，除了如等及其一般的原理外，统一的方法并不多，而对同一个不等式能用几种方法证明的情况较多，直至20世纪70年代以来大量新不等式的涌现和原有不等式的改进，自然伴随着不等式不等式证明方法的增多。以及发现在更多的领域都广泛都涉及到不等式的应用，这让现有的不等式内容及界限难以满足社会时代和经济的发展，促使科学家们不得不开始着眼于研究更多特殊情况下不等式的证明及其方法。因此，上世纪末新世纪初，不等式在形式要求下，得到了突飞猛进的发展和开拓，打破了原有的局限，在更多领域得到了更加广泛更加深层的应用。在此基础上，由特殊到一般，。就迫切要求我们进一步更加细致周密广泛普及的总结更多的更广泛统一性证法。如今，各种不等式的新证明方法层出不穷，在这种形式下，迫切需要对他们的类别和通用过程做出总结归纳，以保证他们的规范性，减轻使用它们的繁琐性。目前，不等式的证明在中学数学教学中也是一个非常重要的教学内容，他可以多方面训练学生的综合能力，有效的培养学生运用综合法和分析法解决问题的能力。与此同时，不等式的证明的内容灵活多变，可以从多个角度考查学生的数学素养，是数学教学内容中一个多可多得的好素材。但是，我们现在面临的现状是学生无法掌握变化多样的不等式证明方法，遇到问题时，不知如何选用合适的方法，这是一个很多老师都遇到的共性问题。所以不等式的教学过程中应正确应用不等式的性质，提高解体和归纳能力，学生需重点掌握的证明方法比如比较法、分析综合法、数学归纳法，它们是不等式证明的最基本、最常用的方法。除此之外，教学过程，也要提供多种其他的难度适中的不等式证明方法。参考文献1匡继昌.常用不等式M.济南：山东科技出版社，2004：23-34.2徐利治.评匡继昌著常用不等式第三版J.数学研究与评论,2004,24(3):569-572.3杨帆.浅谈不等式证明方法的综合运用M.理工科研,2008,08(01):269-272.4Kazarinoff.N.D. Geometric InequalitiesM. JRStatist Soc.(SeriesB),1986,:23-26.5GaoMingzhe. OnHeisenbergsInequalityJ. J.Mth.Anal.Appl.,1999,234(2):727-734.河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章几何不等式及其证明卡扎里诺夫1986.几何不等式M在数学中，算术与几何均值不等式，或者更简单的说是不等式，指出非负实数的范围内，若干个数的算术平均值大于或等于他们自己的几何平均值，更进一步地说就是，这两个平均值相等相等的情况只能是当且仅当他们中的每个数字是相等的。最简单的非平凡的情况下-即具有多个变量-两个非负数，就是声明,等号成立当且仅当时。这种情况下，可以从一个事实，即一个实数的平方总是正的，并从基本情况二项式公式可以看出，同样的，等号成立当且仅当。这种情况下，可以从一个事实，即一个实数的平方总是非负的，并从基本情况二项式公式可以看出,换句话说就是，等号成立的时候也就是的时候，即。现在用一个几何的方法来解释，设一个长和宽分别为的边的矩形，因此，它具有。相似的，一个边长为正方形有着周长=4和与之前的矩形相同面积。在这种最简单的情况下，不等式的就能写成，这就意味着只有在所成区域是正方形的情况下才能使面积不变的矩形的周长最小。一般的，不等式对应于一个事实，即自然对数，用不等式关于不等式所示的一般的证明过程，它转换乘法到加法，是一个严格凹函数。被推广的不等式，可在包括重力学或更广义的层次上运用。算术平均值，或称准确平均数，指的是个实数，记作，并且当且仅当时，等号成立。几何平均数和算术平均数是相似的，不同之处在于它只是定义为在非负实数的范围内，并使用乘法和根号代替了算术平均值之中的加法和除法，记作.如果，那么他就等价于以自然对数为底数,以算术平均值为指数的指数函数的值： .最后重申总结这个使用数学符号的不等式：我们有，对于个非负实数，必，并且当且仅当时等号成立。几何解释：在两维空间里，就是以为长和宽的矩形的周长。相似的，是与此矩形具有相同面积的正方形的周长。因此，不等式在的情况下，就等价于在所有的面积一定的矩形中，当且仅当他正好是正方形的时候，它的周长达到最小值。这个不等式的广义的概念就是这一理念到维空间的延伸运用。假设存在一个维的空间，在其中的任意一个维盒子，那么他就是每个顶点出链接有条边。我们假设一个顶点处的这条边的长度分别为，那么就是链接到这个顶点的个边的总长度。我们知道，一个维盒子有个顶点，所以我们用乘，但是因为每条边两端分别链接两个顶点，也就是说用顶点计算边的时候每条边都被计算了两次。因此，我们把刚才得到的除以2，就得出任意一个维体总共有条边。我们还知道，跟“二维盒子”长方形、三维盒子长方体类似，一个维盒子有种长度不同的边，并且每种长度的边的条数都相等。这样，我们就得出了每种长度的边有条和这个维盒子的边长总和为。另一方面，是与之具有相同体积的正维盒子（维立方体）的边长总和。又由不等式，我们便得到：，并且当且仅当时等号成立。最后，我们总结一下，不等式对于几何上的解释就是，在所有的面积一定维盒子中，当且仅当它是正维盒子（维立方体）的时候，它的边长总和达到最小值。应用举例：；对于所有正实数。假设我们希望找到这个函数的极小值。首先，我们对它进行一些变形：不妨令.则 这样，我们便可以利用不等式，此时，,我们就得到此外，我们还知道等号成立的条件就是当且仅当的时候。即：当且仅当时，且为最小值。所有的满足这些条件的点都分布在一个开始于原点的半行内，并表示如下：在金融数学中的一个重要的实际应用是计算回报率：年化回报率，由几何平均计算得到，会低于平均年度回报率，由算术平均值计算得到（当且仅当所有的回都是相等的时候他们就会就会相等）。这是在分析投资很重要，因为平均收益夸大了累积效应。我们这里有几种方法来证明对不等式，例如，它可以从不等式可以推断，利用凹函数的。它也可以使用在重排不等式证明。考虑长度和所需的先决条件，通过诱导初等证明下面给出的可能是进行首读的最好的建议。前两个证明的想法我们 必须表明，（0）只有当所有的字母都是相等的时候等号成立。当时，然后通过将都换成，这样就会使得左侧的算术平均值不变，而右侧的几何平均值就会增大，因为：.因此，右侧将是最大的 - 这样的想法 - 当所有变量都与算术平均值相等的时候：下面，因为之前计算出右侧的算术平均值是最大的，于是我们就得到：这是当情况下的有效证明，但这种采取迭代平均值的成对的过程在的情况下可能会失败。例如一种较简单的情况；平均两个不同的号码产生两个相等的数字，但第三个是仍然不同。因此，我们从来没有真正得到涉及三个相等的数字几何平均不等式。因此，为了有效证明n3的情况，更多的方法或修改的参数是需要的。数学归纳法证明:对于算术平均值，当 为非负实数时，不等式就等价于 ;并且当且仅当变量 都相等时，等号成立。然而以下的证明我们运用数学归纳法和唯一一个著名的运算规则。奠基归纳：当时,显然这个不等式是成立的；假设归纳：假设不等式对时成立；递推归纳：利用假设归纳的结论推断当时，不等式也成立。利用不等式的自然对数的有限形式，我们可以证明加权算术之间的不平等均值和加权几何平均如上所述。因为一个变量当他的“权”等于零的时候，他就有对不等式不会产生影响，我们可能会在以下假定所有的权重都是正的。如果所有的是相等的，那么等式成立。因此，它仍然证明不全等，如果他们并不都是平等的，我们将承担以下，太。如果至少有一个是零（但不是全部都为零） ，然后加权几何平均值为零，而加权算术平均数是正的，因此不等式成立。因此，我们也可以假设所有的变量是非负的。河北师范大学本科生毕业论文翻译原文Inequality of arithmetic and geometric meansKazarinoff.N.D. 1986. Geometric InequalitiesInmathematics, theinequality of arithmetic and geometric means, or more briefly theAMGM inequality, states that thearithmetic meanof a list of non-negativereal numbersis greater than or equal to thegeometric meanof the same list; and further, that the two means are equalif and only ifevery number in the list is the same.The simplest non-trivial case i.e., with more than one variable for two non-negative numbersxandy, is the statement thatwith equality if and only ifx=y. This case can be seen from the fact that the square of a real number is always non-negative (greater than or equal to zero) and from the elementary case(ab)2=a2 2ab+b2of thebinomial formula:In other words(x+y)2 4xy, with equality precisely when(xy)2= 0, i.e.x=y. For a geometrical interpretation, consider arectanglewith sides of lengthxandy, hence it hasperimeterandareaxy. Similarly, asquarewith all sides of length has the perimeterand the same area as the rectangle. The simplest non-trivial case of the AMGM inequality implies for the perimeters that2x+ 2yand that only the square has the smallest perimeter amongst all rectangles of equal area.The general AMGM inequality corresponds to the fact that thenatural logarithm, which converts multiplication to addition, is astrictly concave function; usingJensens inequalitythegeneral proofof the inequality follows.Extensions of the AMGM inequality are available to includeweightsorgeneralized means.BackgroundThearithmetic mean, or less precisely theaverage, of a list ofnnumbersx1,x2, . . . ,xnis the sum of the numbers divided byn:Thegeometric meanis similar, except that it is only defined for a list ofnonnegativereal numbers, and uses multiplication and arootin place of addition and division:Ifx1,x2, . . . ,xn 0, this is equal to theexponentialof the arithmetic mean of thenatural logarithmsof the numbers:The inequalityRestating the inequality using mathematical notation, we have that for any list ofnnonnegative real numbersx1,x2, . . . ,xn,and that equality holds if and only ifx1=x2= =xn.Geometric interpretationIn two dimensions,2x1+ 2x2is theperimeterof a rectangle with sides of lengthx1andx2. Similarly,4x1x2is the perimeter of a square with the samearea. Thus forn= 2the AMGM inequality states that only the square has the smallest perimeter amongst all rectangles of equal area.The full inequality is an extension of this idea tondimensions. Every vertex of ann-dimensional box is connected tonedges. If these edges lengths arex1,x2, . . . ,xn, thenx1+x2+ +xnis the total length of edges incident to the vertex. There are2nvertices, so we multiply this by2n; since each edge, however, meets two vertices, every edge is counted twice. Therefore we divide by2and conclude that there are2n1nedges. There are equally many edges of each length andnlengths; hence there are2n1edges of each length and the total edge-length is2n1(x1+x2+ +xn). On the other hand,is the total length of edges connected to a vertex on ann-dimensional cube of equal volume. Since the inequality sayswe getwith equality if and only ifx1=x2= =xn.Thus the AMGM inequality states that only then-cubehas the smallest sum of lengths of edges connected to each vertex amongst alln-dimensional boxes with the same volume.1Example applicationConsider the functionfor all positive real numbersx,yandz. Suppose we wish to find the minimal value of this function. First we rewrite it a bit:withApplying the AMGM inequality forn= 6, we getFurther, we know that the two sides are equal exactly when all the terms of the mean are equal:All the points(x,y,z)satisfying these conditions lie on a half-line starting at the origin and are given byPractical applicationsAn important practical application infinancial mathematicsis to computing therate of return: theannualized return, computed via the geometric mean, is less than the average annual return, computed by the arithmetic mean (or equal if all returns are equal). This is important in analyzing investments, as the average return overstates the cumulative effect.Proofs of the AMGM inequalityThere are several ways to prove the AMGM inequality; for example, it can be inferred fromJensens inequality, using the concave function ln(x). It can also be proven using therearrangement inequality. Considering length and required prerequisites, the elementary proof by induction given below is probably the best recommendation for first reading.Idea of the first two proofsWe have to show thatwith equality only when all numbers are equal. Ifxixj, then replacing bothxiandxjby(xi+xj)/2will leave the arithmetic mean on the left-hand side unchanged, but will increase the geometric mean on the right-hand side becauseThus right-hand side will be largest so the idea when allxis are equal to the arithmetic meanthus as this is then the largest value of right-hand side of the expression, we haveThis is a valid proof for the casen= 2, but the procedure of taking iteratively pairwise averages may fail to producenequal numbers in the casen 3. An example of this case isx1=x2x3: Averaging two different numbers produces two equal numbers, but the third one is still different. Therefore, we never actually get an inequality involving the geometric mean of three equal numbers.Hence, an additional trick or a modified argument is necessary to turn the above idea into a valid proof for the casen 3.Proof by inductionWith the arithmetic meanof the non-negative real numbersx1, . . . ,xn, the AMGM statement is equivalent towith equality if and only if=xifor alli 1, . . . ,n.For the following proof we applymathematical inductionand only well-known rules of arithmetic.Induction basis:Forn= 1the statement is true with equality.Induction hypothesis:Suppose that the AMGM statement holds for all choices ofnnon-negative real numbers.Induction step:Considern+1non-negative real numbers. Their arithmetic meansatisfies.本科生毕业论文设计关于不等式证明方法的探讨作者姓名：曾海辉指导教师：张硕所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学专业班级（届）：2014届数学B班二一四年 四月 三十日目录目录1摘要、关键字21 问题提出 31.1 在现实生活中的意义及前景 31.2 在数学教学中的现状和问题 32 常用证明方法 52.1 比较法 52.2 分析综合法 62.3 反证法 72.4 放缩法 82.5 换元法 112.6 数学归纳法 142.7 判别式法 152.8 函数单调性法 162.9 几何证法 172.10 面积体积法 182.11 极值法 193 教学建议与思考203.1 内容综述与建议 193.2 问题总结与思考 22参考文献 23Abstract 24 关于不等式证明方法的探讨学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学专业指导教师： 张 硕作 者： 曾海辉摘要：不等式及其证明的内容极为丰富，在高中数学中占据了相当关键的主体地位，它贯穿于高中数学的几乎每一个章节之中，同时，他又是我们实践生活应用甚为广泛的一种集理论和技巧于一身的格式化计算性工具。不等式及其证明在实际中的普遍应用呈现在广泛的采购批发方法，房屋租赁方法，购物娱乐方法等的设计现象之中。然而，对一些不等式的证明又为我们在生活中利用不等式提供了有力证据。在这里我们就来探讨不等式的一些常用证明方法。在证明不等式过程中，除了等特别常见的原理外，统一的方法没有很多，但是经常会出现同一不等式可有多种证明方法的情形。上年代以来，由于不等式的改进和新型的发现络绎不绝，就促使着科学家们对更多新的证明方法的研究和发现。在教学生活中，不等式及其证明是教师们的重头戏，是学生们的老大难，因此在本文中，、函数单调性法、几何证法、面积体积比较法、极值法等常见证明方法，期望能对读者、。关键词：1 问题提出不等式及其证明非但是各级数学中的重、难、考、热点，教师们的重头戏，学生们的老大难；而且是现实生活中运用最普遍，跨领域性最强的一种集理论、技巧于一身的格式化计算工具，以下就是对他的实际价值、研究现状和发展前景的论述。1.1 在现实生活中的意义及前景在日常实践活动中，不等式及其证明是运用最为广泛，跨领域性最强的一种集理论、技巧于一身的格式化计算工具，而且，使用不等式来实现任务完成的情况呈现于社会生产和实践生活的各方各面，各个层次，例如，经常见到采购批发方案设计，房屋租赁方案设，消费娱乐方案设计等。然而，甚为广范的不等式使用从何而来呢？不等式的证明为我们在生活中利用不等式提供了有力证据。在研究不等式各个内容（如不等式性质、解法和证明方法）的进程中，但在此性质和解法就不做探讨了，而主要探讨了不等式的证明中使用的一些常用方法,如上文中所列。，直接效果是使我们可以掌握数学中一些更细致更准确的理论，从发展数学的角度，使我们能站在一个更高层次的数学角度对不等式进行研究。但是在上世纪以前，证明不等式的方法中，除个别非常一般的原理（如 ）外，统一的证明方法没有很多，然而几种不同的方法或几种方法用于同一证明过程中来证明不等式的情况出现较多。，大量的新型不等式的发现和对已知不等式的改进，以及发现在更多的领域都广泛都涉及到不等式的应用，这让现有的不等式内容及界限难以满足社会时代和经济的发展，促使科学家们不得不开始着眼于研究更多特殊情况下不等式的证明及其方法。因此，上世纪末新世纪初，不等式在形式要求下，得到了突飞猛进的发展和开拓，打破了原有的局限，在更多领域得到了更加广泛更加深层的应用。在此基础上，为了由特殊到一般，就更加迫切要求我们进一步更加细致周密广泛普及的总结更多的更广泛统一性证法。1.2 在数学教学中的现状和问题。例如，刊物， 其受重视程度可见一斑，一个常见的现象是，当今许多研究成果中， 许多基本重 在另一方面，不等式及其证明非但是各级数学中的重、难、考、热点，教师们的重头戏，学生们的老大难，他不仅可以多方面对学生的综合能力的锻炼增强，有效提高学生敏锐的综合分析解决问题或完成任务的水平，与此同时，不等式的证明的内容灵活多变，而且可以从多个角度考查学生的数学素养，是数学教学内容中一个多可多得的好素材。然而，众所周知，我们教育教学现在面临的不等式及其证明的现状是学生无法掌握变化多样的不等式证明方法，遇到问题时，不知如何选用合适的方法，这也是一个很多老师都遇到的一直未成功解决的共性问题。但是，万千事物万变不离其宗，遇事抓住其根本，总结前人和自己的生活学习工作经验，举一反三，必定能够在数学研究中有所突破，独树一帜。因此，在不等式及其证明的教学工作中应让学生熟悉正确掌握不等式的各种性质，并适当不间断加强和巩固学生们对他们在不等式构造、解法和证明上的运用。另外，这里给出一点建议它们是最基础、最根本、最普遍的不等式证明方法，此外，在教学过程，也需要提供更多类别的难易程度合理的不等式证明方法让学生学习钻研。在这样的形势下，本文更多的是从一般普遍的情况下进行研究，查阅了各方面关于不等式的习题相应的解题方法，并对这些习题和方法进行了细致全面的归纳总结，还有诸如反证法、体积法等也很常用的证明方法以供参考，希望给读者们进行进一步总结提供一些借鉴和帮助。2 常用证明方法万千事物万变不离其宗，遇事抓住其根本，总结前人和自己的生活学习工作经验，举一反三，必定能够在数学研究中有所突破，独树一帜。下面我们就一起来讨论总结这些不等式的常用证明方法。2.1 比较法概述：包括作差和作商。采用比较的方法，转折性的一步是要进行适当的变形，如分解，方式，加法和减法，分裂，定理和公式法，和积化差等。一般情况下比较两个实数 的大小时，我们会先将其进行作差，再判断的正负性，该方法被称作作差法。其步骤一般是：作差，形变，判断差值正负，下论断，当观察到 同号时,我们一般会将其进行坐商，再比较 的大小，该方法被称为作商法。：作商，比较法是数学上最普遍，最基础的证明方法。常见类型：（1）单项比较法：也由项目比较法和比较的方法称为项目，是比较不等式的两边的结构特点，每个相同或相似的项目之间的异同点，并根据相似性和差异性，给予相同的两侧，剩余项的大小，不仅减小了不等式的长度，而且使剩余的不等式的变形方向更加明了，它主要在不等式的证明中的两侧结构类似的情况下应用。 （2）类型比较法：也简称类比法，指的是将不等式的结构进行分析，然后把类似的项目两两成对（可进行移项，同类项合并等），然后再判断每对的大小（如正负性）。（3）综合比较法：这是一个更复杂涉及因素更多需多方面考虑的证明方法，经过综合分析不等式，经常会同时用到数种方法进行证明。应用范围：一般的，比较法通常用于双侧为多项式，分式或对数型的证明中，而坐商法一般用于双侧是乘幂或指数形式的不等式证明中。典型例题讨论： 2.2 分析与综合法概述：很多情况下，我们会把一个整体事物或现象划分为更加熟悉简洁的几个部分，分别进行研究探讨，并把各个部分的讨论结果进行综合研究，最终总结出论断，此方法我们把它称为分析与综合法。当分析与综合法应用于不等式证明中时，它是从已知条件出发导出证明不等式分析方法，并同时从待证不等式问题出逐渐发找到该不等式的充分条件合成方法，最后归结为已知条件。，而且，。常见类型：（1）定性分析：一般的，我们会根据不等式双侧的具体结构类型，也可进行一些变形，再比较双侧的正负性，如证明 ，（2）定量分析：有时候，我们可以直接计算出不等式双侧的值或是其具体极限，再用算出的论断做出比较，形如： ， （3）因果分析：顾名思义，从结果的指导，通过相同的结果，是一个已知的条件下，一步一步导向不等式的结果，同时发现证明不等式的充分条件，最后成功证明不等式的方法。注意事项：（1）灵活熟练运用常用不等式，形如，（2）， 巧妙解读并利用条件中的隐含条件，形如的隐含条件为定义域为全体正实数，（3） 不等式的各种变形技术的灵活运用，例如，移项分割，合并等。让我们一起来讨论下面这个典型例题吧： 评：此题为因果分析，利用已知条件，从其两侧共同出发，寻找它们解决问题的吻合点，从而完成其证明，是的一个典型应用，其关键是要据题意分析题中可能涉及到的定理、公式等。2.3 反证法概述:是从待证不等式的否定式入手，经推导获得，若否定成立，则其会与已知条件或某些定理冲突，因此反面证得所求的不等式成立。其事先需要假设待证不等式不成立,并从这起点出发,联系已知条件,定理，推论等,开始准确的推理,获得与已知条件或某些定理冲突的论断,获得论断假设不准确,因此得出待证不等式成立。注意事项:（1）应该准确的对全部能够出现的负面结果一一探讨，明确如惟一、非正、大于等词语的否定式，（2）经常是在直接的结论与允许的条件之间的关系和线索不明显的情况下应用，（3） “否定假设”。一般流程：（1） 假设待证不等式不成立，也就是假设待证不等式的否定式成立，（2）从该否定式出发，经过推理证明获得与已知条件或客观事实相冲突的论断，（3）由冲突获得假设的否定式不成立，从而获得原待证不等式成立。适用情况：（1）情况”惟一”式不等式证明，（2）情况否决性不等式证明，如 一定不等于零，（3）“最“式不等式证明，形如 中最少有一个大于零，(4)“都”或“且”式不等式证明。一起来研究典型例题吧： 例5.已知： ，求证：中至少有一个不小于 。证明：假设 都小于 ，则 （注：由假设验证其与事实冲突之处）由 得 与（2）冲突。 假设不成立，即原不等式成立。（“至多”“至少”型问题）2.4 放缩法概述：在一些不等式证实过程中，使用不等式传递性，我们会使其某些项地值适当的扩大或减缩，有时也会舍掉或增加某些项，然后就可以使不平等相关项目之间的关系的尺寸更清楚一些，进而使得不等式的其他项获得简化并使不等式获得更有益的变形，使证明过程变得更加简单清晰。常见类型：（1）添舍法：可加上或删除待证不等式的一个或几个项，如果待证不等式两侧出现分式，那么可尝试适当将分子或分母进行此操作，若出现开方，则可在被开方数上做文章，最终目的都是为了简化清晰待证不等式，明确证明思路， （2）列项法：经常是经过不等式两侧首尾相减或隔项相减，使不等式一侧变形为一个特殊函数，再利用此函数的单调性或有界性进行证明过程，（3）公式法：， 、注意事项：（1）使用放缩法证明不等式的理论依据是其具有传递性，就像如果,那么 ，（2）放缩法在使用时，关键的是“放”和“缩”不能超出界限，（3）放缩法证明不等式的变形要求很强的技术性，通常是在两侧的值差距离不太小的不等式证明中使用。常用放缩公式：放缩法主要是用来巧妙解决一些两侧关系并不紧密，差别较大的不等式的不等式证明，因此熟记一些常用的放缩公式是非常重要的，经常能够起到减轻过程篇幅，便宜行事的效果，一下仅列举一些常用公式。 现在就让我们一起来讨论下面这几个典型例题吧： 评：此题利用“绝对值不等式公式”以及“添舍法”进行放缩，层层逼近，简单有效，因此，放缩法是一种技巧性很强的证明方法。 注：此题对各分式的分母正确合理地使用了添舍放缩。 即 （原不等式成立）。注：此题根据分式不等式结构对各分式的分母正确合理地使用了分式放缩。2.5 换元法概述：和辅助元素法、变量代换法是同义词，是一种基本的数学思维方法。将换元法运用于不等式的证明中，指的是从待证不等式两侧的结构出发，把待证不等式的局部变量或某些较复杂项用一个字母代替，达到结构化简易于分析识别的效果，从而简化其证明过程，这样的方法叫我们把它称作换元法。换元的目的是把原命题简化、熟化，把复杂、难懂的命题化为简单、熟悉的命题。换元经常能起到变艰巨为简易、除云解雾使不等式的证明更容易的作用，其经常是在证明条件不等式的过程中使用。增强换元的思想，举一反三，有助于学生们更快更准的解决很多实际问题。在很多问题中，被换元的局部或使用的方式是不固定的,所以其在使用时存在较大在灵动性，所以,在应用换元法证明不等式的时候,关键是要确定过程中被换元的部分。常见类型：换元法的种类较为丰富，为了便于参考，我们在这里进行了较为普及的分类，以便以后更熟悉的掌握和利用。（1）几何换元法：在证明一些不等式的过程中，我们会发现它们存在一些特殊的几何背景，这个时候我们经常会分析其几何背景，将其代数关系和相关几何形状的性质组合，找到可换元部分，将问题切入到数形结合的情境中去，会使问题更加显现一些。（2）三角换元法：一些不等式两侧的结构，会使我们联想起三角函数，因此寻找其和已知条件与三角函数的联系，找到可换元的部分，利用正、余玄切等进行等量换元，并将正、余玄切之间的性质运用于证明过程中，经常遇到的是给平方和去根号，或进入特殊三角形模式的边角关系模型，过程是将纯代数不等式的证明转换到三角函数领域之内的证明，那么便可运用正玄余玄公式等较简单熟悉的公式进行证明计算。 （3）对称性换元法：在证明一些特殊不等式时，如果观察到其中的某几个字母或某几个项在待证不等式的结构中具有等价的意义即彼此之间位置可以互相转换，那么此时可考虑是否利用对称性换元会显得更容易一些。 （4）局部换元法：又叫做整体法或直接法，指的是在待证不等式中，一个代数式团体在其中重复出现过数次，那么可以把它看做一整体，为了简便书写，减少工作量，则可将它用一个字母来代替，有的时候这些个代数式团体需通过变形方可以发现。（5）均值换元法：当类似于 的前提式子出现在已知条件中时，那么可以令，再将其带入原式进行证明，数学上把该方法叫做均值换元法。行使均值换元法能够起到减少未知元个数的效果。注意事项：（1）使用换元法的基本原则是简便运算、更加接近标准化，（2）换元后需依据原变量定义域对新变量取值范围进行规定，必须使得新变量取值范围依据替换法则完全对应于原变量的定义域，（3）依据待证不等式两侧的结构特征，选择适当的能够实现变繁为简，以易易难，实现问题转型效果的变换，（4）重视分待证不等式结构特征的观察分析，发掘已知条件中夹带的隐含条件，如定义域、值域范围等，对不等式中的一些特殊结构的开发和利用，适当变形和换元。让我们一起来讨