二项式定理及性质

-xx学校x月考卷1、在的展开式中，记项的系数为,则()A.5B. C120D.21C本题考察二项式定理以及组合数的运算，中档题由二项式定理知：,因此.2、在的展开式中，含项的系数为( )A. . C D.C本题考察二项式定理及简朴的组合运算,简朴题.含项为.、的展开式中的系数是( ）A、2B、-5 C、 D、20A在的展开式中，第项展开式为，则时, ，故选A.本题考察：本题重要考察二项式定理、若二项式的展开式中的系数是4,则实数(）A2 B. C.1 D. C二项式的展开式中,第项为，令,得,因此,解得。因此选C。本题考察:本题重要考察二项展开式中的系数及其方程的思想。5、在的二项展开式中,的系数为()A.B. 在的展开式中,第项为,当时,为含的项,其系数是,故选择C.6、展开式中不含x项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的各为32，则a,，n的值也许为（ ）A. ， B. ，,C.，, D.,，D注意到，因此依题意得,于是结合各选项逐个检查可知，当时，,，因此选D7、的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ).-4 B.0 C.2 .40D对于,可令得,故.的展开式的通项,要得到展开式的常数项,则的x与展开式的相乘，的与的展开式的x相乘，故令得，令得，从而可得常数项为、若，则的值为( )2 B0 .1 D-2C令可得，因此.再令可得,因而.9、在的二项展开式中，的系数为（）.10B.1C.0 .D由于二项式展开式的第项为,当时,具有x,其系数为.【易错点拨】二项式展开式的第项的二项式系数是,不是.10、的展开式中常数项为( ）A. . C.D.15二项展开式的通项,当时，展开式中的常数项为11、设，且,若能被整除,则（ ）.A.0 .1 C.1 D.2D,被3整除余，结合选项可得时，能被13整除.【易错点拨】导致此题错解的因素是对于较大数据的展开没有想到运用二项式定理,或除13后余误当成余.2、的展开式中的系数是( ）.A.42 B.35 .8 D依题意可知,二项式的展开式中的系数等于，选D13、如果的展开式中各项系数之和为1，则展开式中的系数是（ ）.A.7 .- C.21 D.-2令x=1得(-）n=12,n=7,在的展开式中，令,得r=6,的系数为.故选C。14、在的二项展开式中,含的奇次幂的项之和为,当时,等于（ ）A.2305 B -301 C.2314D. -23008B当时,选B.15、如果的展开式中具有非零常数项，则正整数n的最小值为（).3 B.C.6 D. 0由得。 由2n-5k=0,得25k. 又n*，kN,故n必为的倍数,从而正整数的最小值为5.、在的展开式中,系数最大的项是( ).A第5,项 B.第6项 第5,6项 第6,7项A展开式的通项为其系数为当k=4，6时，其值最大,因此二项式系数最大的项是第5，项。7、二项式的展开式中,二项式系数最大的项是( ）第项B.第项 .第项 D.不能拟定由于n是奇数还是偶数不拟定,因此此二项展开式中二项式系数最大的项不能拟定。18、按的降幂排列系数最大的项是（）.第四项和第五项 .第五项C.第五项和第六项 D第六项n=,第五、六项系数绝对值最大，但第六项系数为负值。19、设，则的值为( ）.A. -2.-1 .1 .2A令x=-,得a0+a+11=(1)（-2+1）9=(1)9=-2.20、展开式中的常数项是（ ).A -6 B.6 C. -4 D.84 C。令得k=3，故、展开式中的系数为（ ）.A.15 B.60 C120 D. 4B由6-k=2得k=4,故.2、代数式可化简为().A. B.C. D.C逆用二项展开式,即由 （x+1)-展开得。23、912被0除所得的余数为（ ）. 1 B.81 C. -8 D.B运用的展开式,或运用的展开式.解法一：. 展开式中前92项均能被100整除,只需求最后一项除以10的余数.由前项均为能被10整除,后两项和为-91,因原式为正，可从前面的数中分离出1 0,成果为1 000 -99 =1,91被10除可得余数为1,故选.解法二：前91项均能被100整除，剩余两项为9290+8 281,显然8281除以00所得余数为81，故选B.【点评】运用二项式定理可以求余数和证明整除性问题,一般需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系,再用二项式定理展开,只考虑背面（或者是前面）一、二项就可以了.24、的开式中的系数为 .(用数字填写答案)0本题考察组合数的计算、二项式定理，中档题.展开式的通项为，,的展开式中的项为，故系数为2.25、的展开式中的系数为.（用数字作答）重要考察二项式定理的运用,二项式展开式的通项为,因此的系数为26、设a0,n是不小于1的自然数,的展开式为若点Ai(,a)(i0，1,2)的位置如图所示,则a=_3本题考察解决二项式的特定项问题,核心是求出展开式的通项，属于一道中档题本题考察解决二项式的特定项问题,核心是求出展开式的通项，属于一道中档题.（1+）n的展开式的通项为,由图知,a，1,a=4，,，,，a3a，解得a=3，故答案为：3.27、的展开式中,的系数为15，则a=_.（用数字填写答案)本题考察二项式定理,简朴题当28、 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_行中从左至右第14与第15个数的比为234 设第行,展开式中的第4、15项分别为、,，解得n3429、设，则_.0的展开式的通项为由题意知，分别是含和项的系数,因此,，因此.30、的展开式中,的系数是_(用数字作答).8原问题等价于求的展开式中的系数，的通项,令得,的系数为,即的展开式中的系数为8431、设二项式的展开式中的系数为A,常数项为B.若B=4A，则a的值是_.对于，,.B=4A,.、若将函数表达为，其中为实数，则_.10不防设，则,因此有，则33、在的二项展开式中,常数项等于_.-160运用展开式的通项公式求解.展开式的第项，令,得常数项为.34、若展开式的常数项为,则常数a的值为_4二项式展开式的通项公式是，当时，为常数项，即常数项是，根据已知得，解得.35、在的展开式中,系数为有理数的项共有_项.6注意到二项式的展开式的通项是.当时，相应的项的系数是有理数.因此的展开式中，系数是有理数的项共有6项、的展开式中的常数项为_.-的展开式的通项.令,得,令,得(舍去)，令,得.因此所求的常数项为：37、在的二项展开式中，常数项是_.6由的二项展开式的通项为，令，解得，因此的二项展开式的常数项为.38、观测下列等式:，,，由以上等式推测到一种一般的结论：对于，_.给出的一系列等式中,右边为两项形式加减轮换的规律，其中第一种的指数由3,7,11，,4n-1构成,第二个的指数由1，3,5,，2-构成故等式的右边为.39、若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_.56由可知，因此的展开式的通项公式，因此，因此的系数为.0、的展开式的常数项是(）.A3 -2 C2 D3D的展开式的通项为,.当因式中提供时,则取；当因式中提供2时,则取，因此的展开式的常数项是-.41、将杨辉三角中的每一种数都换成分数，就得到一种如图-45所示的分数三角形,称为莱布尼茨三角形从莱布尼茨三角形可看出，其中x=_.令,则=_.r+1；从莱布尼茨三角形可以看出，下一行两个分数之和等于肩上的上一行的分数之和,x=r1.又。4、由等式定义映射，则等于_(0,-3,，-)设f(4，,2，1)=(b1，b2，3，),则x4+43+3x2+2x+1(x+1）4+b2(x+)2b3(x+1)b4.解法一:令x1=0,即x=1,得4=-1. 对式两边求导得4x3+2x2x2（x+)3+1(+1)+b1(x+1）+b3,再令-1得3=4.同理可得b1=0，=-3. 解法二：x4x332+2x+1=(x+1)-14+4（+1)-13+3(x+1)-12+2(x+1）-1+1(x+1）4-3(x+)+4(x+1)，比较系数可知1=0，=-3，b34,b=-1.故填(，-3,4，1）.43、已知,则的值为_奇数项的系数a0、a、a、6均为正数，偶数项的系数a1、3、a7均为负数，故即当x=-1时，a-1+236-a721.44、的展开式中常数项是_(用数字作答)，由305k=0，得k6，故.45、展开式中的系数为_(用数字作答）.4。令得=1，故.6、的展开式中的系数是_.变换部分展开拟定系数,或运用双通项来求解.解法一：,的系数为 1( -1)+( -2）(-3） =5.解法二: 的通项:，的通项: ，的通项：（其中,）.令,则有，或,或故的系数为.故填5.【点评】本题解法一仅合用于幂指数较小的二项式乘积的展开式，而解法二的双通项法则是解决此类问题的通法所谓双通项法就是根据多项式与多 项式的乘法法则得到的展开式中的一般项为(注意这里具有的项不一定只有一项)，再根据题目中对字母的指数的特殊规定,拟定r与所满足的条件，进而求出r、k所取的值的状况从而使问题顺利地解决.推广到一般可得三通项法、四通项法.47、如图所示,在一块木板上钉某些正六棱柱形的小木块，在它们中间留下某些通道,从上面的漏斗直通到下部的长方形框子,前面用一块玻璃挡住.把小弹子倒在漏斗里,它一方面会通过中间的一种通道落到第二层(有几种通道就算第几层）的六棱柱上面，后来,再落到第二层中间的一种六棱柱的左边或右边的两个竖直通道里边去.再后来,它又会落到下一层的三个通道之一里边去,以此类推，最后落到下边的长方形框子中假设我们总共在木板上做了层通道,在顶上的漏斗里一共放了颗小弹子,让它们自由落下,落到下边个长方形框子里，那么落在每个长方形的框子里时的弹子的数目(按照也许情形来计算)会是多少？你能用学过的二项式定理与概率的知识来解释这一现象吗？见解析弹子从每一种通道通过时也许状况是:它选择左右两个通道的也许性是相等的,而其她任何一种通道的也许情形等于它左右肩上两个通道的也许情形的和可以设想，第层只有1个通道,通过的概率是1;第2层有2个通道，每个通过的概率依次是；第3层有3个通道,每个通过的概率从左到右依次是;第4层有个通道,每个通过的概率从左到右依次是；照这样计算第层有个通道,弹子通过各通道的概率将是多少呢？我们可以写出如下图所示的“概率三角形”，可得出它与杨辉三角的关系：第行各概率的分子是杨辉三角中的数,分母是.由此可知，落在每个长方形的框子里的弹子的数目（按照也许情形来计算）分别是：1即正好等于二项式系数：.【点评】本题中通过观测特殊图形，发现一般规律:弹子通过每一通道时，它选择左、右两通道的也许性相等,并且通过任一通道 的也许性等于它肩上两个通道的也许情形之和进而不难把它与“杨辉三 角”联系在一起,使问题顺利地解决本题的解决过程进一步体现了“观测分析,实验归纳猜想证明”的基本思想措施.其中观测、分析、实验、归纳、猜想结论是其核心,是我们应当重点掌握的地方4、设成等差数列,求证: 见解析.证明：由题意知:,又. 令,则两式相加得：=.【点评】运用二项式定理可以解决某些数列求和问题,本例中运用倒序相加求和法,并结合组合数性质，把所求的和转化为的问题，为运用二项式定理知识解决问题创设了条件我们应从本题中领悟到如何对问题实行转化,尚有如何为应用二项式定理创设条件的真谛.49、求证:.见解析.观测等式右边的组合数的特性,联想二项式定理可知它是的展开式中的系数,这样问题就转化为等式左边也应当是的展开式中的系数，而等式左边每一项的各因子又都是展开式中 各项的系数,因此想到要将转化为再分别展开.证明：的展开式中的系数为.又，则等式右边整顿后的系数为两种形式下的展开式中的系数应当相等，.0、设为非零实数,（1）写出，,，并判断与否为等比数列若是，给出证明;若不是，阐明理由；(2)设,求数列的前n项和.(）见解析；（2)(1)由已知可得,.当，时，,因此.由此可见,当时,是以d为首项,公比的等比数列；当时,，此时不是等比数列.(2)由(1）可知，,从而,. 当时，.当时，式两边同乘得.，式相减可得.化简即得综上,51、设数列是等比数列，,公比q是的展开式中的第二项（按的降幂排列).（）用、x表达通项以及前n项和;（2)若，用、x表达.(1);(2）(1)由知 (2)当x=1时,n=, 又 故当x1时， 52、设是定义在R上的一种给定的函数,函数.()当时，求;（2)时,求见解析(1)当f(x)=1时, (2)当f（)=x时,、在的展开式中，试求使的系数为最小值时P的值.=4解法一；通项又（1+p)r的通项为, 而m+r=4,且0mr10. x的系数为 仅当p=4时，x4的系数为最小。解法二： 因展开式可知,x4的系数为 仅当4时，4的系数为最小。5、求的展开式中系数最大的项.设第r1项的系数最大,则有 即 即 r=3时,为所求的系数最大的项。55、求的展开式.见解析56、已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大9，求的展开式中：（1)二项式系数最大的项；(2）系数的绝对值最大的项（)；（2）第项.根据二项式系数的性质,列方程求出.系数的绝对值最大的问题需要列不等式组求解.解：由题意知，,即.,解得(1)由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大,即（）设第+1项的系数的绝对值最大.，得即解得.,故系数的绝对值最大的项是第4项,.57、求证:对一切，均有.见解析.证明:=3,当且仅当时，；当时,.【点评】(1）用二项式定理证明组合数不等式时，一般体现为二项式定理的正用或逆用,再结合不等式证明的措施进行论证（2)应用时应注意巧妙地构造二项式.（3）证明不等式时,应注意运用放缩法，即对结论不构成影响的若干项可以去掉,或增长.58、某地既有耕地1000公顷,规划后粮食单产比目前增长2,人均粮食占有量比目前提高10，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷)（，)?4公顷设耕地平均每年至多只能减少公顷，又设该地区既有人口为P人,粮食单产为M/公顷，依题意得不等式:，化简得(公顷）.答：按筹划,耕地平均每年至多只能减少4公顷.【点评】运用二项式定理来进行近似计算,其核心在于构造恰当的二项式，并根据近似规定,对其展开式的项合理取舍（当较大或较小时，舍去展开式中背面某些项,既不影响精确度,又简化了运算过程)，从而拟定其近似值如果近似值是中间运算值,则应多取一两位有效数字.59、已知,求.由于所规定的和式中,的系数分别为“”、“3”、 、“”，联想到导数公式:可知对原二项展开式右端求导，即可产生由新的系数.解:对两边求导得:.令得:.6、设,求下列各式的值.(1);(）；（）；（4)；（5）.（);（2）；（3)；（4)；(5)（1）令,则展开式为（）令可得, .(3)令可得. 与联立相减得()原式=.（5),.