《数学分析原理》设计论文

数学分析原理. Walter.Rudin M.北京：机械工业出版社，2004第五章 微 分 法本章除最后一节外，我们集中注意于定义在闭区间或开区间上的实函数，这并不是为了方便，当我们从实函数转到向量函数的时候，就会看到本质的差别，定义在上的函数的微分法将在第九章予以讨论。实函数的导数5.1 定义 设f是定义在a，b上的实值函数，对于任意的xa，b，做（差）商 （1）然后定义 （2）但是这里要由定义4.1可假设等式右端的极限存在。于是与f相联系得到函数f，它的定义域是a，b中所有使极限（2）存在的x点的集，f叫做f的导函数。如果f在x点有定义，就说f在x点可微。如果f在集Ea，b的每一点有定义，就说f在E上可微。可以在（2）中考虑左极限或右极限，从而就可得到左导数和右导数的定义。特别是在端点a，b上，在存在的前提下导数分别是左导数和右导数。但是我们不对单侧导数做详细讨论。如果f定义在（a，b）上，并有axb，这是和前边一样，f(x)依然是以（1）和（2）来定义的，但此时f(a)和f(b)就没有定义了。5.2 定理 设f定义在a，b上，若f在a，b上任意一点x皆可微，则f在x点连续。证 由定理4.4，当时 定理的逆命题不成立。在某些孤立点不可微的连续函数式不难构造的。在第7章我们甚至还能得到一个在整条直线上都连续但处处不可微的函数。5.3 定理 设f和g定义在a，b上，且都在点xa，b可微，那么f+g，fg，f/g也都在x点可微，且：在c中我们自然要假设g（x） 0证 由定理4.4，（a）显然成立 令h=fg，则再两端同除以t-x，再注意当时（定理5.2）。（b）得证。 再令h=f/g，那么 令，再应用定理4.4及定理5.2，就可以得到（c）。 5.4 例 显然任何常数的异数皆为0.若f定义为f（x）=x，则f=1。反复运用（b）和(c)就可以证明xn是可微的，导函数为nxn-1，这里的n是任意整数，且n0，当d（p，q）且qX时有f（q）f（p）。局部极小值可以类似定义。下面的定理是导数的许多应用的基础。5.8 定理 设f定义在a，b上；xa，b，如果f在x点取得局部极大值而且 f（x）存在，那么f(x)=0。 对于局部极小值的类似的命题，自然也是对的。证 按照定义5.7选取，那么 若是x-tx，就应该 令tx，便知道f(x)0 若是xth（a），设x是使h达到最大值的点（定理4.16），从（12）来看，x（a，b），于是定理5.8说明h（x）=0。如果有某个t（a，b）使得 h（t）h（a），只要把在a，b内的那个x选的使h达到它的最小值，上述论证仍然成立。 这个定理常常叫做一般中值定理；下面的特殊情形就是通常所说的种植定理。 5.10 定理 设f是定义在a，b上的实连续函数，在（a，b）内可微，那么一定有一点x（a，b），使得 证 在定理5.9中取g（x）=x即得。 5.11 定理 设f在（a，b）内可微，（a）如果对于所有的x（a，b），f（x）0，那么f便是单调递增的。（b）如果对于所有的x（a，b），f（x）=0，那么f便是常数。（c）如果对于所有的x（a，b），f（x）0，那么f便是单调递减的。 证 所有结论都可以从下列等式获得： 这等式对于（a，b）中的任意一对点x1，x2，都成立，而x是x1与x2之间的某个点。 导数的连续性 我们已经看到（例5.6（b）一个函数f可以有处处存在、但在某些点间断的导数f（x）。可是，并不是每个函数都一定可以看做是某个函数的导函数。特别的一点事，在一个闭区间上处处存在的导函数与闭区间上的连续函数之间，却有一个重要的共同性质：任何中间值都能取到。确切的表述是： 5.12 定理 设 f是a，b上的实值可微函数，再设f（a）f(b)的情形，当然也有类似的结果。 证 令g（t）=f（t）-t。于是g（a）0，从而有某个t1（a，b）使得g（t1）0，从而有某个t2（a，b）使得g（t2）g(b)。 因此，根据定理4.16，g在（a，b）的某点x上达到它在a，b上的最小值。再根据定理5.8，g（x）=0，因而f（x）=。 推论 如果 f 在a，b上可微，那么f在a，b上便不能有一类间断点。 但是f很可能有第二类间断点。 Lospital 法则 下面的定理在求极限时时常用到。 5.13 定理 假设实函数f和g在（a，b）内可微，而且对于所有x（a， b），g（x）0。这里-ab+,已知 当xa时，A, (13) 如果 当xa时，f（x）0，g（x）0， （14） 或是 当xa时，g（x）+, (15)那么 当xa时，A . (16) 如果是xb,或者(15)中如果是g(x)-,各种类似的叙述自然也都是正确的。注意，我们现在是按照定义4.33推广了的意义来使用极限概念的。 证 先考虑-A+的情形。选择一个实数q使Aq，再选一个r使Arq。由（13）知道有一点c（a，b），使得当axc有 r， （17） 如果axyc，那么定理5.9说明有一点t（x，y）使得 =r. （18） 先看（14）成立的情形.在（18）中令xa，便看到 rq （ayc）. （19） 再看（15）成立的情形。在（18）中让y固定，我们可以选一点c1（a，y），使axg(y)及g（y）0.将（18）两端乘以g(x)-g(y)/g(x),便得到r-r+ (axc1) (20)如果在（20）式中令xa，（15）式说明必有一点c2（a，c1）使 q (axc2). (21) 总之，（19）与（21）式都说明对于任意的q，只要Aq,便有一点c2，使得axc2足以保证f（x）/g（x）q。 同理，若是-A+,选择pA,便可找到一点c3，使得 P (axc3). (22) 结合起这两方面就得到了（16）式。 高阶导数 定义 如果在一个区间上有导函数f，而自身又是可微的，把的导函数记做，就叫做的二阶导数。照这样继续下去就得到，（），（），这许多函数，其中每一个是前一个的导函数。（）叫做f的n阶导函数。 为了要（）（x）在x点存在f（n-1）（x）必须在x点的某个邻域例存在（当x是定义f的区间的端点时，f（n-1）（x）必须在它有意义的那个单侧邻域例存在），而且f（n-1）必须在x点可微。因为在f（n-1）必须在x的邻域例存在，那么，f（n-2）又必须在x的邻域里可微。文献原文附录：Walter.Rudin. principles of mathematical analysisM.北京：机械工业出版社，2004 5 DIFFERNTIATIONIn this chapter we shall(except in the final section)confine our attention to real functions dfine on intervals or segements.This is not just a matter of convenience,since genuine differences appear when we pass from real functions to vector-valued ones.Differentiation of functions defined on Rk will be discussed in Chap 9.THE DERIVATIVE OF A REAL FUNCTION5.1 Definition Let f be defined (and real-valued) on a,b. Fof any xa,b from the quotient (1) and define(2)provided this limit exists in accordance with Definition 4.1 We thius associante with the function f a function f whose domain is the set of points x at which the limit (2) exists; f is called the derivative of f. If f is defined at a point x, we say that f is differentiable at x. If f is defined at every point of a set Ea,b,we say that f is differentiable on E. It is possible to consider right-hand and left-hand derivative,respectively.We shall not,however,discuss one-side derivatives in any detail. If f is defined on a segment(a,b) and if axb,then f(x)is defined by (1) and (2),ad above. But f(a) and f(b) are not defined in this case.5.2 Theorem Let be defined on a,b.If it is differentiable at a point x a,b,then f is continuous at x. Proof As tx,we have,by Theorem 4.4 The converse of this theorem is not true. It is easy to construct continuous functions which fail to be differentiable at isolated points.In Chap 6 we shall even become acquainted with a function which is continuous on the whole line without being differentiable at any point!5.3 Theorem Suppose f and g are defined on a,b and are differentiable at a point xa,b.Then f+g,fg,and f/g are differentiable at x,and(a) (f+g)(x)=f(x)+g(x);(b) (fg)(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x);(c) (f/g)(x)=g(x)f(x)-g(x)f(x)/g2(x)In (c),we assume of course that g(x)0. Proof (a) is clear,by Theorem 4.4.Let h=fg.Then If we divide this by t-x and note that f(t)f(x) as tx(Theorem5.2),(b) follows. Next, let h=f/g. Then Letting tx,and applying Teorems 4.4 and 5.2, we obtain(c).5.4 Examples The derivative of any constant is clearly zero.If f is defined byf(x)=x,then f(x)=1. Repeated application of (b) and (c) then shows that xn is differentiable,and that its derivative is nxn-1,for any integer n (if n0 such that f(q)f(p)for all qX with d(p,q) . Local minima are defined likewise. Our next theorem is the basis of many applications of differentiation.5.8 Theorem Let f be defined on a,b;if f has a local maximum at a point x(a,b),and if f(x) exisets,then f(x)=0. The analogous statement for local minima is of course also ture. Proof choose in accordance with Definition 5.7,so that If x- tx,then Letting tx,we see that f(x)0. If xth(a) for some t(a,b),let x be a point on a,b at which h attains its maximum(Theorem 4.16). By(12),x(a,b),and Theorem 5.8 shows that h(x)=0.If h(t)h(a) for some t(a,b),the same argument applies if we choose for x a point on a,b where h attains its minimum.This theorem is often called a generalized mean value theorem;the Following special case is usually referred to as “the”mean value theorem:5.10 Theorem If f is a real continuous function on a,b which is differetiable in (a,b),then there is a point x(a,b) at which Proof Take g(x)=x in Theorem 5.9.5.11 Theorem Suppose f is differentiable in (a,b). (a) If f(x)0 for all x(a,b),then f is monotonically increasing. (b) If f(x)=0 for all x(a,b),then f is constant. (c) If f(x)0 for all x(a,b),then f is monotonically decreasing. Proof All conclusions can be read off from the equation Which is valid,for each pair of numbers x1,x2in (a,b),for some x between x1 and x2. THE CONTINUITY OF DERIVATIVES We have already seen Example 5.6(b)that a function f my have a derivative fwhich exisets at every point,but is discontinuous at some point.Howere,not every function is a derivative.In particular,derivatives Which exist at every point of an interval have one important property incommon with functions which are continuous on an interval:Intermediate values are assumed(compare Theorem 4.23).The pecise statement follows.5.12 Theorem Suppose f is a real differentiable function on a,b andSuppose f(a)f(b).Proof Put g(t)=f(t)- t.Then g(a)0,so that g(t1)0,so that g(t2)g(b) for some t2(a,b).Hence g attains its minimum on a,b(Theorem 4.16)at some point x such that axb.By Theorem 5.8,g(x)=0.Hence f(x)= . Corollary If f is a differentiable on a,b,then fcannot have any simple discontinuities on a,b. But f my very well have discontinuities of the second kind. LHOSPITALS RULE The following theorem is frequently useful in evaluation of limits. 5.13 Theorem Suppose f and g are real and differentiable in (a,b),and g(x)0 for all x(a,b),where -ab+.Suppose (13) If (14) ), Or if (15) then (16) The analogous statement is of course also true if xb,or if g(x)- in (15). Let us note that we now use the limit concept in the extend sense of Definition 4.33 Proof We first consider the case in which -A+.Choose a real number q such that Aq,and then choose r such that Arq.By(13)there is a point c(a,b) such that axc implies (17) If axyg(y) and g(x)0 if axg(x),we obtain (20) If we let xa in (20),(15)shows that there is a point c2(a,c1) such that (21) Summing up,(19) and (21) show that for any q,subject only to the condition Aq,there is a point c2 such that f(x)/g(x)q if axc2. In the same manner,if -A+,and p is chosen so that pA,we can find a point c3 such that (22) And (16) follows from these two statements. DERIVATIVES OF HIGHER ORDER 5.14 Definition If f has a derivative fon an interval,and iffis itself differentiable,we denote the derivative of fby fand call fthe second derivative of f.Continuing in this manner,we obtain functions Each of which is the derivative of the preceding one,f(n) is called the nth derivative,or the deribative of order n,of f. In order for f(n)(x) to exist at a point x,f(n-1)(t) must exist In a neighborhood of x(or in a one-sided neighborhood,if x is an endpoint of the interval on which f is defined),and f(n-1)must bedifferentiable at x.Since f(n-1) must exist in a neighborhood of x,f(n-2)must be differentiable in that neighborhood.1. 基于C8051F单片机直流电动机反馈控制系统的设计与研究2. 基于单片机的嵌入式Web服务器的研究 3. MOTOROLA单片机MC68HC（8）05PV8/A内嵌EEPROM的工艺和制程方法及对良率的影响研究 4. 基于模糊控制的电阻钎焊单片机温度控制系统的研制 5. 基于MCS-51系列单片机的通用控制模块的研究 6. 基于单片机实现的供暖系统最佳启停自校正（STR）调节器7. 单片机控制的二级倒立摆系统的研究8. 基于增强型51系列单片机的TCP/IP协议栈的实现 9. 基于单片机的蓄电池自动监测系统 10. 基于32位嵌入式单片机系统的图像采集与处理技术的研究11. 基于单片机的作物营养诊断专家系统的研究 12. 基于单片机的交流伺服电机运动控制系统研究与开发 13. 基于单片机的泵管内壁硬度测试仪的研制 14. 基于单片机的自动找平控制系统研究 15. 基于C8051F040单片机的嵌入式系统开发 16. 基于单片机的液压动力系统状态监测仪开发 17. 模糊Smith智能控制方法的研究及其单片机实现 18. 一种基于单片机的轴快流CO,2激光器的手持控制面板的研制 19. 基于双单片机冲床数控系统的研究 20. 基于CYGNAL单片机的在线间歇式浊度仪的研制 21. 基于单片机的喷油泵试验台控制器的研制 22. 基于单片机的软起动器的研究和设计 23. 基于单片机控制的高速快走丝电火花线切割机床短循环走丝方式研究 24. 基于单片机的机电产品控制系统开发 25. 基于PIC单片机的智能手机充电器 26. 基于单片机的实时内核设计及其应用研究 27. 基于单片机的远程抄表系统的设计与研究 28. 基于单片机的烟气二氧化硫浓度检测仪的研制 29. 基于微型光谱仪的单片机系统 30. 单片机系统软件构件开发的技术研究 31. 基于单片机的液体点滴速度自动检测仪的研制32. 基于单片机系统的多功能温度测量仪的研制 33. 基于PIC单片机的电能采集终端的设计和应用 34. 基于单片机的光纤光栅解调仪的研制 35. 气压式线性摩擦焊机单片机控制系统的研制 36. 基于单片机的数字磁通门传感器 37. 基于单片机的旋转变压器-数字转换器的研究 38. 基于单片机的光纤Bragg光栅解调系统的研究 39. 单片机控制的便携式多功能乳腺治疗仪的研制 40. 基于C8051F020单片机的多生理信号检测仪 41. 基于单片机的电机运动控制系统设计 42. Pico专用单片机核的可测性设计研究 43. 基于MCS-51单片机的热量计 44. 基于双单片机的智能遥测微型气象站 45. MCS-51单片机构建机器人的实践研究 46. 基于单片机的轮轨力检测 47. 基于单片机的GPS定位仪的研究与实现 48. 基于单片机的电液伺服控制系统 49. 用于单片机系统的MMC卡文件系统研制 50. 基于单片机的时控和计数系统性能优化的研究 51. 基于单片机和CPLD的粗光栅位移测量系统研究 52. 单片机控制的后备式方波UPS 53. 提升高职学生单片机应用能力的探究 54. 基于单片机控制的自动低频减载装置研究 55. 基于单片机控制的水下焊接电源的研究 56. 基于单片机的多通道数据采集系统 57. 基于uPSD3234单片机的氚表面污染测量仪的研制 58. 基于单片机的红外测油仪的研究 59. 96系列单片机仿真器研究与设计 60. 基于单片机的单晶金刚石刀具刃磨设备的数控改造 61. 基于单片机的温度智能控制系统的设计与实现 62. 基于MSP430单片机的电梯门机控制器的研制 63. 基于单片机的气体测漏仪的研究 64. 基于三菱M16C/6N系列单片机的CAN/USB协议转换器 65. 基于单片机和DSP的变压器油色谱在线监测技术研究 66. 基于单片机的膛壁温度报警系统设计 67. 基于AVR单片机的低压无功补偿控制器的设计 68. 基于单片机船舶电力推进电机监测系统 69. 基于单片机网络的振动信号的采集系统 70. 基于单片机的大容量数据存储技术的应用研究 71. 基于单片机的叠图机研究与教学方法实践 72. 基于单片机嵌入式Web服务器技术的研究及实现 73. 基于AT89S52单片机的通用数据采集系统 74. 基于单片机的多道脉冲幅度分析仪研究 75. 机器人旋转电弧传感角焊缝跟踪单片机控制系统 76. 基于单片机的控制系统在PLC虚拟教学实验中的应用研究77. 基于单片机系统的网络通信研究与应用 78. 基于PIC16F877单片机的莫尔斯码自动译码系统设计与研究79. 基于单片机的模糊控制器在工业电阻炉上的应用研究 80. 基于双单片机冲床数控系统的研究与开发 81. 基于Cygnal单片机的C/OS-的研究82. 基于单片机的一体化智能差示扫描量热仪系统研究 83. 基于TCP/IP协议的单片机与Internet互联的研究与实现 84. 变频调速液压电梯单片机控制器的研究 85. 基于单片机-免疫计数器自动换样功能的研究与实现 86. 基于单片机的倒立摆控制系统设计与实现 87. 单片机嵌入式以太网防盗报警系统 88. 基于51单片机的嵌入式Internet系统的设计与实现 89. 单片机监测系统在挤压机上的应用 90. MSP430单片机在智能水表系统上的研究与应用 91. 基于单片机的嵌入式系统中TCP/IP协议栈的实现与应用92. 单片机在高楼恒压供水系统中的应用 93. 基于ATmega16单片机的流量控制器的开发 94. 基于MSP430单片机的远程抄表系统及智能网络水表的设计95. 基于MSP430单片机具有数据存储与回放功能的嵌入式电子血压计的设计 96. 基于单片机的氨分解率检测系统的研究与开发 97. 锅炉的单片机控制系统 98. 基于单片机控制的电磁振动式播种控制系统的设计 99. 基于单片机技术的WDR-01型聚氨酯导热系数测试仪的研制 100. 一种RISC结构8位单片机的设计与实现 101. 基于单片机的公寓用电智能管理系统设计 102. 基于单片机的温度测控系统在温室大棚中的设计与实现103. 基于MSP430单片机的数字化超声电源的研制 104. 基于ADC841单片机的防爆软起动综合控制器的研究105. 基于单片机控制的井下低爆综合保护系统的设计 106. 基于单片机的空调器故障诊断系统的设计研究 107. 单片机实现的寻呼机编码器 108. 单片机实现的鲁棒MRACS及其在液压系统中的应用研究 109. 自适应控制的单片机实现方法及基上隅角瓦斯积聚处理中的应用研究110. 基于单片机的锅炉智能控制器的设计与研究 111. 超精密机床床身隔振的单片机主动控制 112. PIC单片机在空调中的应用 113. 单片机控制力矩加载控制系统的研究 项目论证，项目可行性研究报告，可行性研究报告，项目推广，项目研究报告，项目设计，项目建议书，项目可研报告，本文档支持完整下载，支持任意编辑！选择我们，选择成功！项目论证，项目可行性研究报告，可行性研究报告，项目推广，项目研究报告，项目设计，项目建议书，项目可研报告，本文档支持完整下载，支持任意编辑！选择我们，选择成功！单片机论文，毕业设计，毕业论文，单片机设计，硕士论文，研究生论文，单片机研究论文，单片机设计论文，优秀毕业论文，毕业论文设计，毕业过关论文，毕业设计，毕业设计说明，毕业论文，单片机论文，基于单片机论文，毕业论文终稿，毕业论文初稿，本文档支持完整下载，支持任意编辑！本文档全网独一无二，放心使用，下载这篇文档，定会成功！