奥数新讲义-一元二次方程-根与系数的关系2(学)

第2讲 一元二次方程2：根与系数的关系根与系数的关系应用很广，很多题目不仅涉及根与系数的关系，还综合了整数的性质（奇偶性、质数等）、因式分解等内容，具有一定的技巧性.一、 基础知识1韦达定理若一元二次方程有两个根，则与方程的系数a、b、c之间有以下关系：；这是法国数学家韦达（15401603年）发现的定理.反之，若；，则以为根的一元二次方程为2根与系数的关系的应用一元二次方程的根与系数的关系应用十分广泛，常见的类型如下:(1) 已知方程的一个根，求方程的另一根及方程中的字母系数；(2) 已知两根之间的关系，求方程中字母的取值和取值范围或字母之间的关系；(3) 判断一元二次方程实根的符号；(4) 不解方程，求一元二次方程两根的有关代数式的值；(5) 已知两根，求作一元二次方程；(6) 非一元二次方程问题中构造一元二次方程解题.二、 例题部分例1已知方程的一个根为2，求另一个根；例2方程的两根的比为3:4，判别式的值等于2，求此方程的二根.例3已知关于x的二次方程的两个实根为，且，那么p的值为多少？例4当时，方程的根的情况是（ ）A两负根B一正根、一负根且负根的绝对值大C一正根、一负根且负根的绝对值小D没有实数根例5已知方程，k为实数，试证明此方程有两实根，并判断两实根与1的大小关系；例6如果二次方程有两个相等的实根，那么_；例7已知关于x的二次方程的两个实数根的平方和为，则a的值为_；例8若m、n是二次方程的两个根，试求的值；例9已知关于x的一元二次方程没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两根为2和4，乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为1和4，那么的值为_；例10已知方程的两根为，求：（1）；（2）；（3）例11已知二次方程的两根为，求：（1）；（2）；（3）；（4）例12 已知二次方程的两根为，求作：（1）以为根，二次项系数为1的二次方程；（2）以为根，二次项系数为1的二次方程；（3）以为根，二次项系数为1的二次方程；例13 已知方程，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方；例14 已知，且，且，则的值为多少？例15 已知a、b、c满足，则c的取值范围是_；例16 已知x、y是实数，且，求代数式的取值范围三、 练习题1若方程的两根之积等于1，则a的值是（ ）ABCD2两个质数a、b是关于x的整系数方程的两个根，则等于（ ）A2213BCD3.设是方程的两个实数根，且，则k的值是（ ）A3或1B3C1D的实数4若关于x的方程有两个不相等的实数根，且两根之差的平方小于1，那么实数m的取值范围是（ ）ABCD5已知二次方程的两根为，求作以为根，二次项系数为1的二次方程_；6设是方程的两个根，则的值是_；7已知关于x的一元二次方程没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两根为12和4，乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为2和6，那么的值为_；8已知及，求的值9已知实数a、b、c满足，则的最小值是多少？10已知x、y、z为实数，且，求z的最大值和最小值；