广东六校高三第三次联考试题(数学理)

广东六校 2019 年高三第三次联考试题（数学理）高三数学理科试题2018. 2.8本试卷共 4 页， 21 小题，总分值 150 分、考试用时120 分钟、参考公式：锥体体积公式，其中 S 为锥体的底面积，h为锥体的高、V1 Sh3第卷一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、1、 A, B 是非空集合，命题甲：ABB ，命题乙： A B ，那么A. 甲是乙的充分不必要条件B. 甲是乙的必要不充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件2.复数 2ii1A. 1i B.1i C. 1i D.1i3.点 N (x, y) 在由不等式组xy0确定的平面区域内，那么N ( x, y) 所在平面区域的面xy0x2积是A、 1B、 2C、 4D、 84.等差数列 n 中，那么n为aa35a2a512 an29A.13B.14C.15D.165.函数1x 的图像ylog 2 1xA、关于原点对称B. 关于主线 yx 对称C.关于 y 轴对称 D. 关于直线 yx 对称6. 假设某空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是A. 42B.2 2C. 42D. 2 2337. 平面,，直线 m, l ，点 A，有下面四个命题：A. 假 l， mA那么 l 与 m 必 异面直 ；B. 假 l, l m 那么 m；C.假 l,m,l, m那么；D.假 ,m,l , lm ，那么 l.其中正确的命 是8. 某种游 中，黑、黄两个“ 子狗”从棱和 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 点 A 身沿棱向前爬行，每爬完一条棱称 “爬完一段”，黑“ 子狗”爬行的路 是1 1 1，AA A D黄“ 子狗”爬行的路 是AB BB1，它 都遵循如下 那么：所爬行的第i +2 段与第 i 段所在直 必 异面直 ( 其中 i是正整数 ). 黑“ 子狗” 爬完 2018段、黄“ 子狗”爬完2017 段后各自停止在正方体的某个 点 ， 黑、黄“ 子狗” 的距离是A.0B.1C.2D.3第卷【二】填空 ：本大 共7 小 ，考生作答 6 小 ，每 5 分， 分 30 分、一必做 ：第9、 10、 11、 12、 13 是必做 ，每道 考生都必 做答、9. 0.1x2 dx110. 函数 f ( x) sin 2 x cos2x , x R的最小正周期 11.在直角 ABC 中，C90 ，A30 ， BC1，D 斜 AB 的中点，那么AB CD =.12.假 双曲 x2y21(a 0) 的一条 近 方程 3x 2 y 0 ，那么以双曲 的 点a29和焦点分 焦点和 点的 的离心率 _.13. 将“ 三角”中的数从左到右、从上到下排成一数列：1， 1，1， 1，2， 1， 1，3， 3，1 ， 1， 4， 6， 4， 1，右 所示程序框 用来 出此数列的前假 干 并求其和，假 入 m=4那么相 最后的 出 S 的 是 _.二 做 ：第14、 15 是 做 ，考生只能从中 做一 、14、坐 系与参数方程 做 曲 C1、 C 2的极坐 方程分 ，2cos()2，那么曲 C1上的点与曲 C2上的点的最 距离 2 cos() 1 04_.NO15、几何 明 做 AMB如图，点M为O 的弦AB 上的一点，连接MO .MNOM，MN 交圆于N ，假设MA2，MB4 ，那么MN.【三】解答题：本大题共 6 小题，总分值 80 分、解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤、16、本小题总分值12 分在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a, b,c ， S 是该三角形的面积，1假设B，B，a / /b ，求角 Ba(2sin cos B,sin Bcos B) b(sin B cosB,2sin)22的度数；2假设 a8，2， S 83 ，求 b 的值 .B317本小题总分值12 分甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是2 和 3 假设两人射击是否击中目标，相互34之间没有妨碍；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有妨碍求甲射击3 次，至少1 次未击中 目标的概率；假设某人连续2 次未击中 目标，那么停止射击，问：乙恰好射击4 次后，被中止射击的概率是多少？设甲连续射击3 次，用表示甲击中目标时射击的次数，求的数学期望 E .结果能够用分数表示18. 本小题总分值 14 分DCA如图，四边形ABCD 中图 1， E 是 BC 的中点， DB2 ，5 ， AB2. 将图 1沿直DCDC 1, BCADEAE线 BD 折起，使二面角ABDC 为 600 如图 2 1求证： AE平面 BDC ；BB 2求异面直线AB 与 CD 所成角的余弦值；图2图 1 3求点 B 到平面 ACD 的距离 .19本小题总分值14 分函数2.f xx(1 2a )x4a 1 ln(2 x 1)221 a 1 ，求函数fx极大 和极小 ;2 a R 函数fx的 区 .20.本小 分 l4 分如 ， P 是抛物 C ：12上横坐 大于零的一点，直yx2线 l 点 P 并与抛物 C 在点 P 的切 垂直，直 l与抛物 C 相交于另一点 Q .1当点 P 的横坐 2 ，求直 l的方程；2假 OPOQ0 ，求 点 P , Q , O的 的方程 .21. 本小 分 l4分数列an的前 n 和 Sn ，正数数列bn中 b2 e,(e 为 自 然 对 数 的 底2.718 )且nN * 总 有 2n 1是 Sn与 an的 等 差 中 项 ，bn 1 是bn与bn1 的等比中 .(1)求 :nN * 有 anan12n ；(2)求 ：nN * 有 31)ln b1ln b2ln bn3an.(an122018 届第三次六校联考高三数学理科试题答案2018.2.8一、 ：1、 B； 2、 A； 3、 C； 4、 C； 5、A； 6、 B； 7、D； 8、 D【二】填空 ：9. ； 10. ； 11.-1 ； 12. 2 13 ； 13.15 ；413 做 ： 14.2115. 2 2【三】解答 ：16. 解： 1a / /b4cos B sin2Bcos2B024cos B1 cos B2cos 2 B 10 cos B122B(0,180 0 )B60 6 分 2S 831 7 分83ac sin B2得 c4 8 分b2a2 c2 2ac cos B 82 42 2 8 4cos120 0 10 分b 4 7 12 分17. 解： 1 “甲 射 3 次，至少 1 次未 中目 ” 事件A ，由 意，射 3 次，1相当于3 次独立重复 ，故 P A1 =1-P A1 =1- 2)3= 19(273答：甲射 3 次，至少 1 次未 中目 的概率 19；4 分27(2) “乙恰好射 4 次后，被中止射 ” 事件A ，由于各事件相互独立，2故 PA2 = 1 1 3 1 + 1 1 3 3 = 3 ，4444444464答：乙恰好射 4 次后，被中止射 的概率是3 8 分643依照 意服从二 分布，2 12 分E3233方法二：p(0) C30 (1) 31p(1) C31 ( 2) ( 1) 263273327p(2) C2( 2 )2(1)112p(1) C3(2 )3 ( 1)0833327333270123E0161238p1612812722 12 分27272727272727 明：1， 2两 没有文字 明分 扣1 分，没有答，分 扣1 分。第 3 方法 ，算 数的扣2 分18. 解：（1）如 取 BD中点 M， 接 AM，ME。因 ABAD2. AM BD 1 分因 DB 2 ， DC 1, BC5 足： DB 2DC 2BC 2 ,因此BCD 是 BC 斜 的直角三角形，BDDC ,因 E 是 BC 的中点 , 因此 ME为 BCD 的中位 1，ME /CDBD ,1 2 分2MEME2AME = 600 3 分AME 是二面角 ABD C 的平面角AMBD , MEBD 且 AM、 ME是平面AME内两相交于 M的直 BD平面 AEMAE平面 AEMBDAE 4 分因 ABAD2. ,DB2ABD 等腰直角三角形1，AMBD12AE2AM 2ME 22AMMEcos AME 112 1 1cos603AE34242AE2ME 21AM 2AEME 6 分平面 BDC 7 分BDME , BD 面 BDC , ME面 BDCAE2如 ，以 M 原点 MB为 x ， ME为 y ，建立空 直角坐 系，.8分那么由 1及条件可知B(1,0,0),，E(0, 1 ,0)3 ,D ( 1,0,0) ,C (21,1,1,0)A( 0,)22 9 分1 ,3 ), CDAB (1,(0, 1,0),22, 异面直 AB 与 CD 所成角 那么 10 分cosABCDABCD1 11 分2 22 12由13可知 n( 3,0,2) 足，AD( 1,), CD (0, 1,0),220, n 是平面 ACD的一个法向量 , 12 分n AD0, nCD 点 B 到平面 ACD 的距离 d，那么 AB 在法向量n 方向上的投影 d那么 13 分因此 d 14 分dAB n3032 21n2273022， (3) 解法二：取 AD中点 N， 接 MN,那么 MN是 ABD 的中位 ,MN/AB, 又 ME/CD因此直 AB 与 CD 所成角 等于 MN与 ME所成的角，即 EMN 或其 角中 小之一8 分DE ，N 在 Rt AED 斜 中点AE 面 BCD , DE面 BCDAE因此有 NE=,MN=1 AB,ME= 1 ,1 AD2222222coscosEMNMN 2ME 2NE 2 .9 分2MN ME= 212 10 分4442221422(3) 点 B 到平面 ACD 的距离 d，那么三棱 B-ACD 的体 1, 11VBACDdS ACD3分又由 1知 AE是 A-BCD的高、 BD CDVB ACDVA BCD1 .12 分AES BCD31311332262E 为 BC中点， AE BC ACAB2 又 , DC1, AD2 ,ACD 为等腰S ACD1CDAD 221 122 13 分1 CD17222224B 到平面 ACD 的距离3 14 分3VB ACD32 21d6S ACD77解法三： (1)4BC 2 ,因 DB2 ， DC1, BC5 足： DB 2DC 2BD如 ，以 D 原点 DB为 x ， DC为 y ，建立空 直角坐 系，.2分那 么 条 件 可 知D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,1,0)，E(1,1 ,0),A(a,b,c)(a0,b0,c0) .32分,DC ,1 分由 图 知得 ABAD2. a2b2c2( a2) 2b2c222a1,b2c21 .4分平面 BCD的法向量可取 ur,uuuruuurn1(0,0,1)ur(2,0,0)，因此平面 ABD的一个法向量 (0, c,b)5 分DA(1, b, c), DBn1那么 二面角ABDC 的余弦 ur uururuur .6cosn1n2bcos60n1, n2uruurb2c2n1n2分从而有b1, c3,A(1,1 ,uur(0,0,uuur7 分3 ), EA3 ), DC(0,1,0)uur uuur2uur2222uuur0EA DC , EA DB 因此 AE平面 BDC 9 分EA DC0, EA DB(2)由1A(1, 1 ,，D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,1,0)，3 )2213AB(1,), CD(0, 1,0), 异面直 AB 与 CD 所成角 , 那么 10 分cosABCDABCD12 11 分2(3) 由214AD( 1,13(0,可知n( 3,0,2) 足，,), CD1,0),22nAD0, nCD0, n 是平面 ACD的一个法向量 , 12 分 点 B 到平面 ACD 的距离 d，那么 AB 在法向量n 方向上的投影 d那么 13 分因此 d 14 分dABn303221n22730219. 1a 1,x25ln(2 x 1), x1f ( x)3x222f(x) = x35= (2 x 1)( x3)5 = 2x1x2， 12x12x12x1分令 f(x) =0，那么 x = 1 或 x =22 分2x1 ，1 1 ，2 2 ，2+221 22f( x)+00+f (x)极极大小4 分fx极大=f ( 1)5 ln 211 ，fx 极小 =f (2)5 ln5422825 分2 f ( x) = x 1+2 a + 4a1 = (2 x 1)( x1-2)4a1 =2x1x2a2x12x 12x1令 f( x) =0，那么 x = 1或 x =2 a 6 分2i 、当 2 a 1 , 即 a 1 ，24x1 ，11 ，2 2 a ，2a+221 2 a 2f ( x)+00+f (x)因此 f ( x) 的增区 1 ， 1和 2 a ， +，减区 1 ， 2 a 8 分222ii、当 2 a = 1 , 即 a = 1 ， f (x) = 2x10 在1 ， +上恒成立，2242 x12因此 f ( x) 的增区 1 ， +10 分2iii、当1 2 a 1 , 即1 a 1 ，2244x1 ，a2 2 a ，11 ，1 2222 a 2+00+f ( x) f (x)因此 f (x) 的增区 1 ， 2 a 和1 ， +，减区 2 a ， 1 12222分iv 、当 2 a1 , 即 a1 ，24x1，1221 2 1 ，2+ f ( x)f (x)因此 f ( x) 的增区 120+，+，减区 1 ， 1 14 分22 上述： a1 ， f ( x) 的增区 1 ，+，减区 1 ， 142221 a 1 ， f (x)4的增区 1 ， +2的增区 1 ， 1和 2 a ， +，减区 1 ， 2 a 222 明：假如前面 程完整，最后没有 上述，可不扣分20 解：把 x 2 代入，得 y2，y1 x22点坐 P 2， 2 . 1 分由 y1 x2，得 yx，2 点 P 的切 的斜率 k切2，2 分直 l的斜率 k111 3 分,k切2直 l 的方程 y21，即 x 2 y6 0 4 分(x2)2 P( x0 , y0 ), 那么12y02x0 . 点 P 的切 斜率 k切x0，因 x00.直 l的斜率 k111，k切x0直 l 的方程 y1 x021 ( x x0 ).5 分2x0设 Q (x1, y1) ，且 M( x , y ) 为 PQ 的中点，因 OPOQ0 ，因此 点 P , Q , O的 的 心 M( x , y )半径 PM，6 分r且x 0 x1y 0 y 1x 0 x 11 x 0 2 x1 20，8 分4因此 x 0 x10 舍去或x 0 x14 9 分 立消去y ，得由 意知 方程的两根，x22 x xo2 2 0x 0, x1x0因此 x 0 x1x 0224 ，又因 x 00 ，因此 x02， y 01 ；因此 x122 ， y 14 11 分 M 是 PQ 的中点，x2 , 12 分2y5 .2r 2( x x )2( y y) 227 13 分004因此 点 P, Q, O 的 的方程的方程 (x2)2( y5227 14 分2)4221 解： (1) 2n 1 是 Sn 与 an 的等差中 Sn2nana1S12 a1a11分1Sn2nanSn 12n 1an 1an 1Sn 1Sn2n 1an 1( 2nan ) 2 nanan 12an 12nan分2法一 : 2n 1 an 14n2n an2 n 1 an 12 n an4n(2n 1 an 12 n an ) (2n an2n 1 an 1 )(22 a22a1 )3分4n4 n 144 ( 4n1)2 n 1 an 124 (4n1)332n111n21分an 1323 2 n ,an323 2n4an 12n11n0,anan12n110,3(n2 )133n22anan12n分5 2由 1得an12 n21332n3 (an1) 2n 1132 n 11, 3an1 2n21 2n16 分22n22n只需证：2n 11ln b1ln b2ln bn2n1bn 1 是bn与 bn1 的等比中项bn1bn2bnb2e, bn0时2b1b2e b1114e分n 1， b1274e8b1191,b11ee2b1ln b1ln 10(21 11), ln b1ln( b11)1211所证不等式成立8分时n 2bn 1bn2bnbn2ln bn 12 ln bnln bn2ln bn.2n2ln b22n 2分19ln b1ln b2ln bn0122n2( 2n 11)3(an1)分210222又ln( bn 11)bn1)bn1bn )ln(bn1)2 ln(bn 1)分ln( bnln(bn11ln(bn1)2 ln(