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第 8 讲二项分布与正态分布A 级基础演练 ( 时间： 30 分钟满分： 55 分 )一、选择题 ( 每小题 5 分，共 20 分 )1(2011 湖北 ) 如图，用K、A1、 A2 三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A1、A2 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、 A1、 A2 正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为() A 0.960B 0.864C 0.720D 0.576解析P0.9 1 (1 0.8) 2 0.864.答案B2 (201 1广东 ) 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为() 3231A. 4B. 3C. 5D. 21解析问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1 ；第二类，需比赛2 局，第21113一局甲负，第二局甲赢，其概率P2 2 2 4. 故甲队获得冠军的概率为P1 P24.答案A3在 4 次独立重复试验中， 随机事件 A 恰好发生1 次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件 A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是() A 0.4,1B (0,0.4C (0,0.6D 0.6,1解析设事件A发生的概率为p1(1 3222p0.4 ，故选 A.，则 C4)C (1 ) ，解得pp4pp答案A4设随机变量 X 服从正态分布 N(2,9)，若 P( Xc 1) P( Xc 1) ，则 c 等于 () A 1B 2C 3D 4解析 2，由正态分布的定义， 知其函数图象关于x 2 对称，于是c 1 c1 2，2 c 2.答案B1二、填空题 ( 每小题 5 分，共 10 分 )5(2013 台州二模 ) 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8 ，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4 个问题就晋级下一轮的概率等于 _解析由已知条件第2 个问题答错， 第 3、4 个问题答对， 记“问题回答正确”事件为A，则 P( A) 0.8 ，P PA AAAA (1 P( A) P( A) P( A) 0.128.答案0.1286设随机变量 X 服从正态分布N(0,1) ，如果 P( X1) 0.8413 ，则 P( 1X1) 1 P( X1) 1 0.841 3 0.158 7. X N(0,1) ， 0. P( X1) 0.158 7 ， P( 1X1) 1 P( X1) 0.682 6. P( 1X0) 1P( 1X1) 0.341 3.2答案0.341 3三、解答题 ( 共 25 分)7 (12 分 ) 设在一次数学考试中，某班学生的分数X N(110,20 2) ，且知试卷满分150 分，这个班的学生共54 人，求这个班在这次数学考试中及格( 即 90 分以上 ) 的人数和 130 分以上的人数解由题意得 110， 20， P( X90) P( X110 20) P( X ) ， P( X ) 2P( X ) 0.682 6 1， P( X ) 0.158 7 ， P( X90) 1P( X ) 0.682 6 2P( X ) 1， P( X ) 0.158 7. 540.158 7 9( 人 ) ，即 130 分以上的人数约为9 人8 (13 分)(2012 重庆 ) 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获23 次时投篮结束 设甲每次投篮投中的概率为1胜，一直到有人获胜或每人都已投球3，乙1每次投篮投中的概率为2，且各次投篮互不影响(1) 求甲获胜的概率；(2) 求投篮结束时甲的投球次数 的分布列与期望解设 Ak ， Bk 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则11P( A ) 3， P( B ) 2( k 1,2,3)kk(1) 记“甲获胜”为事件 C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P( C) P( A ) P(A B A ) P( AB A B A ) P( A ) P(A ) P( B ) P( A ) 1112112231112() (B) (A) (B)()P APPPP A11223121122121 3 3 2 3 3 2 311113 3 9 27 27.(2) 的所有可能值为1,2,3由独立性，知1212P( 1) P( A1) P( A1B1) 33 2 3，P( 2) P( A1B1 A2) P( A1 B1 A2 B2)2112 21 22 3 2 3 3 2 9，P( 3) P( AB A B ) 2 21 21329.1122综上知， 的分布列为123P22139922113从而 E( ) 1 32 93 9 9 ( 次 ) B 级能力突破 ( 时间： 30 分钟满分： 45 分 )一、选择题 ( 每小题 5 分，共 10 分 )31(2013 金华模拟) 已知三个正态分布密度函数i ( x) 1x2i的图象如图所e2( x R， i 1,2,3)2 i2i示，则() A 1 2 3， 1 2 3B 1 2 3， 1 2 3C 1 2 3， 1 2 3D 1 2 3， 1 2 3解析正态分布密度函数2( x) 和 3( x) 的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故 2 3，又 2( x) 的对称轴的横坐标值比 1( x) 的对称轴的横坐标值大，故有 1 . 又 越大，曲线越“矮胖”， 越小，曲线越“瘦高”，由图象可23知，正态分布密度函数 ( x) 和 ( x) 的图象一样“瘦高”，( x) 明显“矮胖”，从123而可知 1 2 3.答案D2位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向1上或向右，并且向上、向右移动的概率都是2. 质点 P移动五次后位于点(2,3) 的概率是() 1 521 5A.2B C5 231 3231 5C C2D C C2555解析由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点 (2,3)，所以质点 P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为31 31 231 521 5，故选 B.C2 2 C2 C2555答案B二、填空题 ( 每小题 5分，共10 分 )13(2013 湘潭二模 ) 如果 XB(20 ， p) ，当 p 2且 P( X k) 取得最大值时， k_.解析当1k 1 k120 kk1 20，显然当k 10时， ( ) 取得 时， () C20 C20p2P Xk222P X k最大值答案104(2013 九江一模 ) 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的4入口处，小 1 球将自由下落小球在下落的过程中，将3 次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或 B 袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入 A 袋中的概率为 _解析记“小球落入A 袋中”为事件 A，“小球落入 B 袋中”为事件 B，则事件 A 的对立事件为，若小球落入B袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故( ) 1BP B231 31132 4，从而 P( A) 1 P( B) 1 44.答案34三、解答题 ( 共 25 分)5(12 分)(2012 湖南 ) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100 位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1 至 4 件 5 至 8 件9 至 1213 至 1617 件及件件以上顾客数 ( 人 )x3025y10结算时间 ( 分钟 / 人)11.522.53已知这 100 位顾客中一次购物量超过8 件的顾客占 55 %.(1) 确定 x， y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2) 若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算， 且各顾客的结算相互独立， 求该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率 ( 注：将频率视为概率 )解 (1) 由已知得 25 y10 55，x 30 45，所以 x15，y 20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100 的简单随机样本，将频率视为概率得153303251201P( X 1) 10020，P( X 1.5) 10010，P( X 2) 100 4，P( X 2.5) 100 5，P( X10 1 3) 100 10.X 的分布列为X11.522.53P3311120104510X 的数学期望为33111E( X) 1 201.5 102 42.5 53 10 1.9.5(2) 记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5 分钟”， Xi ( i 1,2) 为该顾客前面第 i 位顾客的结算时间，则P( A) P( X1 1 且 X2 1) P( X1 1 且 X2 1.5) P( X1 1.5 且 X21) 由于各顾客的结算相互独立，且X1， X2 的分布列都与X的分布列相同，所以P( A) P( X11) P( X2 1) P( X11) P( X2 1.5) P( X11.5) P( X2 1) 3 3 3 3 3 3 9 . 20 20 20 10 10 20 809故该顾客结算前的等候时间不超过2.5 分钟的概率为80.6 (13 分)(2012 山东 ) 现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为3，命42中得 1 分，没有命中得 0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为3，每命中一次得 2分，没有命中得 0 分该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击(1) 求该射手恰好命中一次的概率；(2) 求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 E( X) 解(1) 记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D.32由题意，知P( B) 4， P( C) P( D) 3， 由于 A B C D B CD B CD，根据事件的独立性和互斥性，得( ) ( )P A P BCDB CDBCD P( P( BC D)B CD) P(B CD) P( B) P(P( D)C)P( D) P( B) P( C) P( D) P(B) P( C)322322322 4 1 3 1 3 14 3 13 1 4 13 37 36.(2) 根据题意，知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性，得 P( X 0) P( BCD) 1 ( )1 ( )1 ()P BP CP D3221 1 4 1 3 1 3 36；6 P( X 1) P( B CD) P( B) P( C) P( D)3221 4 1 3 1 3 12； P( X 2) P( B CD B C D) P( B CD) P( B CD)3223221 1 1 1 1 ；4334339P( X 3) P( BCD B CD) P( BCD) P( B CD)3223221 4 3 1 3 4 1 3 3 3；32 2 1P( X 4) P( B CD)1 4 3 3 9，( 5) () 3 22 1.P XP BCD4333故 X 的分布列为X012345P1111113612939311111141所以 E( X) 0 361 122 93 34 95 312.特别提醒： 教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.7
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