趣味数学：棒球锦标

趣味数学：棒球锦标?在棒球赛季的最后一周，猫咪棒球俱乐部联合会的野猫队、红猫队、美洲狮队和家猫队的得分仍并列第一。于是决定进行一系列的“季后赛”。在季后赛中赢的场数最多的一队将夺得锦标。（ l ）在季后赛中，各队（以各队基地所在城市的名称表示）的得分情况如下：三场比赛中的得分记录塞克斯顿城队l 3 7特里布尔城队l 4 6阿尔斯特城队2 3 6凡尔迪尤城队2 4 5（ 2）各队在季后赛中赢的场数各不相同。（ 3）季后赛中每场比赛的比分各不相同。（ 4）在各场比赛中两队得分差距最大的是3 分。这个差距只出现过一次，在季后赛中输的场数最多的那个队输给对方第 1页3 分。（ 5）在季后赛的第一轮中有两个队的得分相同，在第二轮中有两个队的得分相同。 （各队同时比赛一次称一“轮”。 ）（ 6）在最后一轮中，野猫队的得分为较大的奇数，红猫队的得分为较小的奇数，美洲狮队的得分为较大的偶数，家猫队的得分为较小的偶数。四支棒球队中的哪一支球队-野猫队、红猫队、美洲狮队，还是家猫队夺得了锦标？（提示：总共比赛了多少场？不考虑队名，各队蠃了多少场？对于夺得锦标的队，可能是哪一种三场得分组合？对于输的场数最多的队，可能是哪一种三场得分组合？夺得锦标的队参加的比赛，结果可能是什么样的比分？输的场数最多的队参加的比赛，结果可能是什么样的比分？）答 案根据（ 1），总共比赛了六场。根据 （2）各队在季后赛中赢的场数各不相同。 以及比赛了六场的事实，一个队赢了三场，一个队赢了两场，一个队赢了一场，一个队一场都没赢（因此没有平局）。塞克斯顿城队和特里布尔城队都不可能赢三场，因为它们都有一场比赛只得了 1 分。塞克斯顿城队没有三场全输，因为有一场比赛它得了季后赛中的最高分（ 7 分）。因此，下列四种情况必有一种发生：第 2页凡尔迪尤城队赢了三场，特里布尔城队一场都没赢。凡尔迪尤城队赢了三场，阿尔斯特城队一场都没赢。阿尔斯特城队赢了三场，特里布尔城队一场都没赢。阿尔斯特城队赢了三场，凡尔迪尤城队一场都没赢。除（ l ）之外，下面的推理还用到了（3）和（ 4）。如果发生的是，则特里布尔城队对塞克斯顿城队的比赛结果是 6 比 7，于是特里布尔城队得 4 分的那场比赛的对手不是凡尔迪尤城队就是阿尔斯特城队。如果是凡尔迪尤城队，则对于特里布尔城队余下的那场比赛来说，（4）就得不到满足。因此特里布尔城队得4 分的那场比赛的对手是阿尔斯特城队，而且那场比赛阿尔斯特城队得了6 分。于是特里布尔城队对凡尔迪尤城队的比赛结果是1 比 4，从而凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是2 比 1，凡尔迪尤城队对阿尔斯特城队是 5 比 3，塞克斯顿城队对阿尔斯特城队是3 比 2。这样，三轮比赛的结果可表示如下（S 代表塞克斯顿城队，T 代表特里布尔城队， U 代表阿尔斯特城队，V 代表凡尔迪尤城队） ：STTUTV7:64:61:4第 3页VUVSSU5:32:13:2这种情况与 （ 5）在季后赛的第一轮中有两个队的得分相同，在第二轮中有两个队的得分相同。 （各队同时比赛一次称“轮”。） 矛盾，所以 I 被排除。如果发生的是， 则阿尔斯特城队对塞克斯顿城队是6 比 7。于是，根据 （ 4）在各场比赛中两队得分差距最大的是3 分。这个差距只出现过一次，在季后赛中输的场数最多的那个队输给对方3 分。 ，要么阿尔斯特城队对凡尔迪尤城队是2比 5，要么阿尔斯特城队对特里布尔城队是3 比 6。如果是前者，则阿尔斯特城队对特里布尔城队是3 比 4，从而凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是 4 比 3，凡尔迪尤城队对特里布尔城队是 2 比 1。但是这样一来，将导致塞克斯顿城队对特里布尔城队是 1 比 6，而这与（ 4）矛盾。因此，应该是阿尔斯特城队对特里布尔城队是3 比 6。从而阿尔斯特城队对凡尔迪尤城队是 2 比 4。接下来，要么凡尔迪尤城队对特里布尔城队是 2 比 1，要么凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是2比1。如果是前者，则凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是5 比3。第 4页但是这样一来，将导致塞克斯顿城队对特里布尔城队是2 比4，而这与（ 4）矛盾。因此，应该是凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是2 比 1。从而凡尔迪尤城队对特里布尔城队是5 比4，塞克斯顿城队对特里布尔城队是3 比 1。这样，三轮比赛的结果可表示如下：USUTUV6:73:62:4VTVSST5： 42:13:l这种情况与（ 5）矛盾，所以被排除。如果发生的是， 则特里布尔城队对塞克斯顿城队是6 比 7。于是，特里布尔城队仅得1 分的那场比赛的对手不是阿尔斯特城队就是凡尔迪尤城队。如果是阿尔斯特城队，则对于特里布尔城队余下的那场比赛来说，（4）就得不到满足。因此第 5页特里布尔城队仅得1 分的那场比赛的对手是凡尔迪尤城队，而且那场比赛凡尔迪尤城队得了4 分。于是，特里布尔城队对阿尔斯特城队是4 比 6，阿尔斯特城队对凡尔迪尤城队是3 比 2，阿尔斯特城队对塞克斯顿城队是2 比 1，塞克斯顿城队对凡尔迪尤城队是3 比 5。这样，三轮的比赛结果可表示如下：TSTVTU6:71:44:6UVUSSV3:22:13:5这种情况与（ 5）矛盾，所以被排除。如果发生的是， 则凡尔迪尤城队对塞克斯顿城队是4 比 7。于是，要么凡尔迪尤城队对特里布尔城队是5 比 6，要么是凡尔迪尤城队对阿尔斯特城队是5 比 6。同时，要么阿尔斯第 6页特城队对塞克斯顿城队是2 比 1，要么阿尔斯特城队对特里布尔城队是2 比 1。因此，共有四种可能。我们进行推理如下（其中（ b）中又发生了两种可能） ：(a) 如果VSVTUS则VU则UT则ST4： 75： 62： 12： 36： 43： l(b)如果VS第 7页VTUT则VU则US6： 3则ST1： 44： 75： 62： 12： 3或US6： 1则ST3： 4(c)如果第 8页VSVUUS则VT则UT则ST4： 75： 62： 12： 43： 13： 6(d)如果VSVUUT则VT第 9页则US则ST4： 75： 62： 12： 43： 13： 6根据（ 4），（ b）、（ c）和（ d）被排除。这样，三轮的比赛结果可表示如下：(a)VSVUVT4： 72： 35： 6UTSTUS第 10 页6： 43： 12： 1这是唯一余下的并且能够满足（5）的情况。根据（ 5）和（ 6），是最后一轮。根据 （6）在最后一轮中，野猫队的得分为较大的奇数，红猫队的得分为较小的奇数，美洲狮队的得分为较大的偶数，家猫队的得分为较小的偶数。 ，可以把各支棒球队与它们的基地所在城市对应起来：野猫队：凡尔迪尤城美洲狮队：特里布尔城红猫队：塞克斯顿城家猫队：阿尔斯特城由于实际发生的情况，所以阿尔斯特城队赢了季后赛中所有的比赛。由于阿尔斯特城队就是家猫队，所以夺得锦标的是家猫队。第 11 页