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浙江大学博士学位 论文答辩 答辩人 ： 徐茂林 导师 ：汪元美 教授 浙江大学生物医学工程与仪器科学学院 2004.3.11 下午 2： 00 论文题目 透射及散射断层成像中若干反演 算法的研究 A New Approach to Reconstruction Algorithms for Transmission and Scattering Tomography 说明 ： 本课题承蒙国家自然科学基金（ No. 69972047） 资助。 文中所用的实测数据由中国计量科学研究 院提供。 下图是中国计量科学研究院研制的工业 CT 机。 工业 CT机 本文立足于二维由投影重建图像理论， 着重讨论了三大块内容：透射断层成像中 变换法和级数展开法这两大基本算法的改 进和创新，包括滤波反投影算法 (FBP)的 关键 新滤波函数的设计；图像局部重 建的新方法以及 FBP算法的误差估计等； 对级数展开法中迭代算法做出改进，提出 新的对称块迭代算法。在散射断层成像中， 讨论了类似于 CT中的滤波反投影算法，对 S.Norton提出的背散射成像的解析重建 论文主要内容 公式，基于散射的物理过程重新作了推导， 使探测器响应函数有了明确的物理意义；针 对散射问题由于射线 “ 衰减 ” 所导致的问题 的 “ 非线性性 ” 及 “ 不适定性 ” ，给出基于 散射能量谱的行扫描 Compton背散射成像模 型 一个大型非线性方程组；用基于多目 标优化的神经网络算法求得重建问题的解。 此外，用滤波反投影方法给出了 Laplace 方程一般边值问题解的解析表达式，提供了 势函数的一种快速求解算法。 论文主要内容框架图： 时频特性分析 误差估计 算法关键之一： 新滤波函数的设计 旁瓣迅速衰减性 二次误差估计 局部重建 背散射解析重建公式 Laplace方 程边值问题 的滤波反投影解 变换法 （连续系统模型） 对称块迭代算法 （A R T 、S B I R T 、S I R T ） 单目标优化算法 神经网络算法 （行扫描背散射成像） 多目标优化算法 级数展开法 （离散系统模型） 透射及散射断层成像主要改进算法 CT的数学基础： 记被测物体对 X射线的线性衰减系数为： 根据 Beer定理有： CT图像重建就是根据以上各个方向的线积分值 （即射线投影）来确定物体内部的组织结构；即 反演分布 。 （ A） 反演算法 变换法 用给定的一系列解析式（算子或函数变换） 反演公式 (A)来重建图像 。常用 Randon求逆公 式的“离散化”形式。 级数展开法 直接对公式 (A) “离散化”，得到一大型 稀疏线性方程组： 其中： 为投影数据； 为待求图像向量。 级数展开法就是由给定的投影数据 Y， 估计 出图像向量 X； 要求所估 X与一组个基图象 b1,b2,bJ 的组合能足够逼近所希望重建的 图象 。 射线投影可由 Radon变换 : 来描述 ;其中 （各参数如下图所示） Radon运用平均值的思想，建立 Abel积分方程获得 求逆公式： Radon变换示意图： Radon逆变换公式中的广义积分是发散的， 不能直接用来进行图象重建，需要正则化处理 。 由 Fourier中心切片定理， Radon逆变换公式 亦可写为： 对滤波器 作正则化处理 ， 可获得 CT图像 重建的变换法： 1.滤波反投影算法（ filter backprojection简写成 FBP） ： 其 中： 称为滤波函数， W(R)称 为窗函数。 2.卷积反投影 算法 （ convolutionbackprojection 简写成 CBP） 滤波反投影算法： 采用先修正，后反投影的方法。对每个投 影函数作滤波处理，得到修正的投影函数，然后 在对修正的投影函数作反投影运算。关键问题是 投影函数的修正即：乘以权重因子 |R|W(R)。 卷积反投影算法： 用卷积方法修正投影函数，然后再作直接 反投影重建图像的方法。 优点： 能快速实现，精度高。 一般要求： 完全投影数据，均匀采样。 一 .滤波反投影算法的改进 及其它应用 新滤波函数及其时频特性分析 1 新滤波函数的表达式及时频特性曲线图 新滤波函数的频域曲线图： -1 -0.5 0.5 1 0.05 0.1 0.15 0.2 与几个常用滤波函数的频域曲线比较 -A/4,A/4 -A/2,A/2 黑色曲线：矩形窗 红色曲线：新滤波函数 蓝色曲线： S_L滤波函数 绿色曲线： Hamming滤波函数 时域特性曲线图： 新滤波函数 矩形滤波函数 S_L滤波函数 Hamming滤波函数 时域特性曲线比较： 2.时域特性曲线图的数值分析： 以下将精细地讨论新滤波函数的特性，给出其主瓣、 旁瓣的幅值和宽度 ,并与常用滤波函数作比较。 求解上式，可依次得出主、旁瓣的宽度和 幅值，列表如下： 各滤波函数主瓣、旁瓣的幅值和宽度 幅值和 幅宽 滤波函数 m0 m2 m4 主瓣幅值 主瓣宽 第一旁瓣 幅值 第一旁瓣 宽 新滤波函数 0.14908 0.0120434 0.0013627 5 0.14908 1.99762 - 0.0151701 0.300684 R L滤波函 数 0.25 0.03125 0.0052083 3 0.25 1.55939 - 0.0823362 0.322961 Hamming 滤波函数 0.08839 23 0.0064806 2 0.0007958 93 0.088392 3 2.0577 - 0.0271568 0.75845 S-L滤波函数 0.20264 2 0.0234391 0.0037529 6 0.202642 1.65596 - 0.0585209 0.273321 注： mk为滤波函数的 k阶矩，定义为： 讨论： 滤波函数对重建误差的影响主要有以下三 个因素：主瓣，临近旁瓣及远处旁瓣。主 瓣越高越窄，空间分辨率越好；旁瓣越小， 数值精度越高，通常密度分辨率就越好。 从时域特性图中及上表中可以看出，新滤 波函数的主瓣高而窄，尤其是远处旁瓣几 乎为零，能够在保证空间分辨率的同时， 相对地提高密度分辨率。 3.数字实验结果： 模拟数据 评价函数 滤波函数 归一化均方根 距离测量值 归一化平均绝对 距离测量值 最坏情况 距离测量值 新滤波函数 0.081426 0.013711 0.120148 R_L滤波函数 0.079058 0.015580 0.129834 S_L滤波函数 0.078781 0.013841 0.131357 Hamming 滤 波 函 数 0.089563 0.013706 0.150031 模拟数据重建图像评价测量值比较 实测数据： 图 3.1.9： 采用 R_L滤波函数 图 3.1.10： 采用 S_L滤波函数 图 3.1.11： 采用 Hamming滤波函数 图 3.1.12： 采用新滤波函数 局部重建 1.新滤波函数用于局部重建的特性 由于滤波函数是一偶函数，作分部积分后，有： 根据 Fourier分析中 Riemann定理，有： 其中： 因此，当 S较大时，成立如下的渐近近似式： 对新滤波函数以及其对应的窗函数有以下结论： 并且： （ *） （ *） 于是得时域中新滤波函数的渐进展开为： 根据（ *）式，对于任何滤波函数均有： 再由（ *）式 不难看出，其他常用滤波函数的衰减 都不会超过 2阶。综上，在 s较大时，新滤波函数是 2阶 衰减的，而其他滤波函数由于 H(A)不为零则是 1阶衰减 的，因此，新滤波函数远处旁瓣的衰减最快。 时域曲线局部区域放大比较图： 新滤波函数的时域特性曲线图局部放大 Hamming滤波函数的时域特性曲线图局部放大 2.局部重建原理 选择适当的滤波函数，使得滤波函数的旁瓣迅速衰减， 譬如在某一有限区间外很小，以至于几乎为零，则可 以通过如下的公式作重建： 是示性函数。与滤波反投影公式作比较： 得出结论：采用满足如上条件的滤波函数，重建区域 内任意一点的图像函数值，只需用到该点某一领域内 的 Radon投影数据，而不必用到全部投影数据。 局部重建采用数据范围示意图 ： 本文给出的新滤波函数即具有上述旁瓣迅速衰减 的特性，可以根据上图所示的投影数据采集方式作 局部重建。 3.局部重建实验结果 模拟数据 Shepp_Logan仿真图像 保持原图图像分辨率 放大 256*256图象分辨率 注： 数据量为 301*200， 局部重建区域半径为全 局区域半径的 0.5倍。 实测数据 全局重建图像 保持原图图像分辨率 放大 256*256图象分辨率 注： 这是用陶磁叶片的实测数据进行的图象重建实验。 数据量为 241*576，重建区域半径为全局区域半径的 0.36倍， 时间约为 2 3s。 误差估计 1.对相当广泛的目标函数，算法有如下误差估计 ： 分析上式可以得出，并计算得： 因此，采用新滤波函数重建时，算法本身产生的误 差是高阶小量： 2.局部重建的二次误差估计 引进径向对称函数： 故采用上述方法作局部重建产生的二次误差为： 结论： CBP算法是 CT中标准的方法 ， 关于它的 理论和算法已有很多研究 。 同时 ， 人们认 为 CBP没有局部性 ， 似乎不可能直接用来作 局部重建 。 本文证明 ， 无论从理论或数据 实验来看 ， 直接用 CBP实现图像局部重建是 可能的 。 所谓直接用 CBP是指 ， 就用 CBP的 计算公式 、 算法 ， 以至于计算程序 。 但是 ， 要恰当选取其中的滤波函数 。 本文选取一 种新的滤波函数 ， 它的旁瓣衰减很快 ， 经 证明在可能选取的滤波函数中 ， 它的衰减 是最快的 。 用新滤波函数，我们忽略远离计算点 的数据，而实现图像局部重建，并给出了 误差估计。本文建议的图像局部重建方法 简单、快速，与全部数据用 CBP重建的图像 比较仍有较高的空间和密度分辨率。当 ROI 取的足够大时，重建的正是整个 上的图 像。 滤波反投影算法的其它应用 考虑 Laplace方程的边值问题： 其中 D是 R2中有界单连通区域， 边界 适当光滑： 由于势函数 u生成的梯度场是一势场，其积分与路 径无关，因此，由边界条件则可以利用 Radon求逆公式 得 到其共轭函数 ： 利用 Cauchy-Riemann条件 ， 选择适当的积分路线 ， 得到势函数： M0为 D中任一固定点， M为 D中的流动点。 作数字模拟实验，取如下模拟函数： 对应的共轭函数的精确解为 ： 在给定这些模拟函数满足的 Laplace方程边值条件后， 利用滤波反投影方法求得其共轭函数，记解为 V： 共轭函数精确解 v 滤波反投影算法解 v v， v误差灰度图 利用 Cauchy-Riemann 条件求得相应的势函数 u， 用三维立体图分别描述出势函数及其共轭函数解： 20 40 60 20 40 60 -500 -250 0 250 500 20 40 60 20 40 60 -2000 -1000 0 1000 2000 共轭函数解 v空间坐标图 势函数解 u空间坐标图 注： 用滤波反投影法求得共轭函数的解较为精确 ,误 差 r为 0.001829，计算所用时间也较短，求得空间分辨率 为 256*256的解的 BMP图大约需 1秒。 二 .级数展开法的若干研究 经典 ART和 SIRT方法的迭代格式 数字化图像的 Radon变换可表示为： 则图像重建问题描述成向量的形式： 为投影数据； 为待求图像向量。 目的： 寻找最优的图象向量 优点： 适用于更普通的数据采集方法 ,如：沿曲线或沿区域 （带状区域）的积分 ;容易利用先验条件；适于处理不完 全 数据问题。 缺点： 数据存储量大、重建速度慢、精度不高。 （ *） （ 1） 加法 ART算法迭代格式： （ 2） SIRT法采用逐点校正，其迭代格式为： 对称块迭代算法 1. 原理简介：利用几何对称性简化运算并改变迭代 方式，这种对称性描述为： 即在平面 XOY上任给一条投影射线，总可以找到另 外七条投影线而形成一几何对称图形；这 一对称射线组 所穿过的八个对称象素所形成的图形成八卦状 (见上图 )， 结构十分简单。这一对称性可以用下面的群来描述。 记 分别是的关于 轴和 轴的翻转变 换， 分别是关于直线 和 的 翻转变换； 是恒等变换。 构造如下集合 : 将 中的乘法定义为变换的合成运算， 那么由翻转变换的性质可知， 是一个 Abel群， 而且是对称射线组 的变换群。 变换群 不仅是保距的 ， 而且是保像素格不 变的 (不计像素值 )， 或者说像素格在变换群 下仍然是像素格 ， 只是位置不同 。 一般的变换群 例如旋转变换群是保距的 ， 但并不保持像素格不 变 。 若将在变换群 下的不变性看作 平面 上射线之间的一种关系 ， 那么它是一等价关系 ， 它将平面上所有的射线分成了等价类 ， 每一类 就是一对称射线组 。 于是 ， 在 平面上 ， 每 一射线都属于某一对称射线组 ， 即所有对称射 线组覆盖了 全平面的射线 。 而且两个对称 射线组 (除对称轴外 )不含同一射线 ， 否则这两 个对称射线组就是同一对称射线组 。 这样 ， 就 赋与了平面上的所有射线以简明的结构 ， 便与 计算及分析 。 这七条射线构造如下： 若射线 L1穿过的像素点为 j1， 坐标位置为： N是图象向量 X的行 (列 )象素个数，则其余对称象素 的位置分别为： 利用这一对称性，同时可以得到八个 Radon数据及 伪投影数据，则迭代式中所需的计算元素均已知，而计 算量和时间均节省了约七倍，大大加快了代数重建的速 度。在这一基础上，提出对称块迭代算法： 2. 对称块迭代算法的迭代格式： （ 3）对称 ART算法 (SART）： )8,2,1(),( ),()( 2 )( )()1( KKii i j iiii j jj IiiaT a XaTyT XX K K KK ； 1)m o d()( 0 MjjKK方程的循环方式变为： 即迭代是按对称射线组的顺序进行的。 其中： ， 是第 k个对称射线组的指标集， 是 对称射线组的个数， M是总射线数。 8 1 iiTT kI 80 MM （ 4）对称块 ART算法 (SBIRT）： 8 1 2 )( )()()1( )(),()( i ii i j iiiij ij jj K K KK aT a XaTyT wXX 这里 ， ， 而 是 关于对称块指标集 的控制序列 ， 即控 制对称块的迭代顺序 ； 表示 第 次迭代的权系数 。 1)m o d()( 0 MjjKK )( jtK Ii )( jt ,2,1 0M ),( )(8)(2)(1)( jjjj wwww j 3. 数字实验 Shepp-Logan 仿真头像模型 对称块迭代算法重建结果 经典 ART算法 重建结果 SIRT算法重建结果 SART算法 重建结果 重建误差及时间比较： 重建算法 迭代次数 d r e 时间 (秒 ) SART 6 o.114897 0.073197 19.448929 25 对称块迭代 (SBIRT) 6 0.075781 0.064390 8.362778 41 经典 ART 6 0.116890 0.078356 23.102844 128 SIRT 6 0.287115 0.243375 41.630286 253 注： 重建图像大小为 256*256，投影数据量为 301*200，即在 200个角度下取 301条投影。 4.实测数据 (a) SBIRT (b) SART (c) ART 这是用陶磁叶片的实测数据进行的图象重建实验 。 所给的平 行投影数据量是 576 281。 图 (a)、 (b)、 (c)是分别由算法 SBIRT、 SART及 ART重建的 256 256T图象；迭代次数均为 6次 ， 迭代时间分别为 95、 57及 301秒 。 实验环境与模拟数据重建 实验相同 。 结果同样表明 ， 对称迭代算法重建速度快 ， 而且 重建图象具有较高的分辨率 。 结论： 基于平面上射线和象素的几何对称性，提出了对称 ART算 法及对称块迭代算法（ SBIRT）。 模拟和实测数据实验表明， 基于这种对称性结构的迭代算法（ SART及 SBIRT），使重建 图象的各项性能指标都优于经典迭代算法，特别是速度快。 值得注意的是 这一对称性只是平面上射线和象素的几何性质， 与重建图象函数的分布无关。因此，基于这一对称性的重建 算法，对于所有重建问题都适用。 传 统 ART 算 法 迭 代 过 程 给图像赋初值 j 1 计算第 j 条直线与第 i 个小正方形的交线长度 r ij 计算第 j 条直线的 投影 误差 j 将 j 按 r ij 分配给各象素 j j + 1 j J 判断图像是否 符合精度 结束 否 否 是 是 对 称 SART 算 法 迭 代 过 程 给图像赋初值 j 1 计算第 j 条直线与第 i 个小正方形的交线长度 r ij 计算第 j 条直线的投影误差 j 将 j 按 r ij 分配给各象素 j j + 1 j J / 8 判断图像是否 符合精度 结束 否 否 是 是 计算与之对称的另七条直线的投影误差 j 将 j 按 r ij 分配给各象素 对 称 块 SBIRT 算 法 迭 代 过 程 给图像赋初值 j 1 计算第 j 条直线与第 i 个小正方形的交线长度 r ij 计算第 j 条直线的投影误差 j j j + 1 j J / 8 判断图像是否 符合精度 结束 否 否 是 是 计算与之对称的另七条直线的投影误差 j 将各 j 按 r ij 加权平均后分配给各象素 三 .背散射成像的多准则神经网络 优化重建 Compton散射成像原理 Compton散射成像原理示意图 上图是 Compton散射成像示意图 。 设有一单能 光辐射源 ， 其 辐射强度为 ， 发射的光子能量为 E0， 由该高能源辐射的光 子经准直器后成为一束细光束照射到一样品上 。 F 光子与样品物质核外电子发生康普顿散射相互作用 ， 散 射后的光子经准直器 ， 由探测器进行计数 。 探测器的光子计 数率为： ds dz dddEfEFfdN eee ),(),()( 201 这里 是入射光线方向上的小线元， dS是入射光束的横截面 积， d 为探测器对散射点所张开的立体角， 是 Klein- Nishina微分散射截面， 为测量点的电子密度，其中 的大 小由放射源准直器的孔径决定， 及 的大小由探测器准 直器决定。 dz dd e ds d dz ， 称为衰减因子： )( ,01 eEf )( ,02 eEf ),(e x p ),( 001 Ls ee dlEEf ),(e x p ),(2 Ld ee dlEEf Ls和 Ld分别为入射光线及散射光线的路径 。 此时 ， 探测器的响应 （ 即光子计数率 ） 不仅与散射点的电子 密度有关 ， 而且还与入射光线和散射光线经过各点的电子密 度有关 。 这样就使 Compton散射成像问题成为一个 “ 非线性 问题 ” 。 基于能量谱的行扫描背散射成像模型 行扫描示意图 设光源为单色高能 光 ,并选择广角理想点探测器，光源 从左到右扫描 。 若不考虑多重散射效应及背景辐射，则入射 光子经第 i行物质电子散射后的能谱可写成如下形式： N j jijikki aEN 1 ,)( 其中： jijikjikjik dVEd dEfEfGFa ),()()( 0201, nji ,2,1, iKk ,2,1 是第 i扫描行第 k个能级的光子计数率 ， 是探测 器第 k个能级的能量 。 表示第 (i， j)个象素的电子密度 。 N是 被测截面图象在一维方向的象素个数 (设分成 N N的网格 )； 是探测器在第 i扫描行所能分辩的能级数 。 G是一个常数 ， 它是 由系统的几何形状和探测器的效率决定的 。 是 Kronecker符号 ， 表示第 (i， j)个象素对第 k个能级有贡献时为 1， 否则为 0。 是第 (i， j)个象素的有效散射体积 。 是探 测器对第 (i， j)个象素所张的立体角；若 以表示探测器表 面在散射方向的投影值 ， 表示探测器到第 (i， j)个象素的 距离 ， 则 / 。 )( ki EN kE ij iK jik, jiV jid jiS jiR jid jiS 2jiR 现将第 i扫描行的电子密度及能谱分别记为向量 及 ， 则可写为如下矩阵形式： i iN iii AN )( ni ,2,1 若记 ， ， 即 是由 ( )构成的准对角矩阵；则成像的数 学模型可表为： 记 J N N是重建图象的象素总数 ， 是能谱的能级总 数 ， 可见 是 J维向量 ， 是 维向量；而 是 K J维矩阵 ， 其元素记为 。 这是一个大型非线性方程组 ， 重建问题即是要从所测能谱数据 由上式反演出电子密度 来来 。 TNNNNN ),( 21 )(,),(),()( 21 NAAAd ia gA )(A )(iA Ni ,2,1 )(AN Ni iKK 1 N )(AK )(, lka N 多准则神经网络优化重建 如果考虑到多重散射效应及背景辐射等多种随机误差 ， 成像模型应修正为： 这里 表示随机误差向量 。 eAN )( e 由于指数衰减因子的存在 ， 上面方程式投影矩阵的条件数一 般很大 ， 因此是不适定的 ， 任何测量误差或模型误差在重建 过程中将会被放大 。 为了获得稳定的解 ， 必须用一些适当的 先验条件对解空间加以限制；也就是说 ， 我们只能求出该方 程在某些准则下的优化解来 。 上述图像重建问题的正则化求解可表为在如下定 义的可行域中 求使得下式 ： 成立的图像向量 。 于是图像重建问题转化为一个多目标优化问题。 该多目标优化问题可用线性加权法转化为如下单目标 优化问题，即 ： 由 Kuhn-Tucker条件可知：此单目标优化问题 的最优解 是上述 多目标优化问题的非劣解。 L i iiX fwfV 1 )()(min 对图像重建问题来说，可选用以下三个目标函数： 3.能量函数，它可使重建图象具有极小峰值。 2. 测量数据与再投影数据的加权平方误差函数： 1. 图像的负熵函数： 这里 是正则化常数。使 最小等价于使 (- )最大， 它可保持重建图像的全局平滑性。 是正则化常数 是正则化常数， 是数据中噪声的方差 下面用人工神经网络（ Artificial Neural Networks 简 记为 ANN） 方法求解这一优化问题。 人工神经网络是对人类大脑系统一阶特性的一种描 述。它由大量的处理单元即人工神经元，通过适当的方式 互连构成，是一个大规模的非线性自适应系统。简单地讲， 它是一个数学模型，可以用电子线路来实现，也可以用计 算机程序来模拟，是人工智能研究的一种方法。从数学的 角度来看，这对应于一个微分动力学系统，即对应于一个 常微分方程组。如果神经网络系统的能量函数还满足 Lyapunov函数条件，则该微分动力系统的平衡稳定点即 为能量函数的极小值点。 现在将优化问题映射到一神经网络 ， 相应的归一化图象变 元 映射为神经元输出变元 。 这一神经网络的能量函数由下式给出： 3 1 1 0 1 1 1 , )( 1)()()( i J l v l K k J l kllkii l dvvg R NvvavfwvE 这里 J是神经元的总数； 是增益函数。 第一项是神经元之间的交互能量；第二项与约束惩罚有关 ， 神经元受抑制的非线性输入输出关系可用 n元函数 表示 ， 而 。 这里 ， 时 ， ；否则 ， 是 一个较大的惩罚参数 ， 而 ， 。 第三项是调节项 。 )(z dzzd )( 0z zz )( 0)( z ),( 2,1 Jzzzz Jl kllkk Nvvaz 1 , )( )(z 网络演化的动力学特性由非线性常微分方程组 来描述，可以论证该网络系统是渐近稳定的，即 是上 述动力学方程组的 Liapunov函数，亦即： jjj vvEdtduC )()( )(vE 且当且仅当 时 0dtdE 0dtdv j 0dtdE 于是该网络系统是渐近稳定的 ， 即网络最终收敛到它的稳定 态 ， 它对应于 的全局最小值 。 这里 与前述单目标 优化问题的罚函数具有相同的形式 (忽略调节项 )， 因此当 参数 较大时 ， 网络的稳态解即是优化问题的非劣解 。 )(vE )(vE 实验结果： 注： 假设该头像模型所代表的截面大小为 50mm 50mm， 重建中被划分成 64 64的网格。 (b)是多准则神经网络算法两次迭代的重建图像；而 (c)是 最小二乘算法迭代三次的重建图像。 。 (a) (b) (c) Shepp-Logan头像模型 (a)及多准则神经 网络重建图像 (b)与最小二乘重建图像 (c) 算法误差分析 nrmse rmsNS )( 算法 Algorithm 多准则神经网络 Multicriteria neural network 0.315226 1.316479 最小二乘法 Least-squares 0.647853 1.101259 归一化均方根误差 均方根信噪比 nrmse rmsNS )( 行扫描背散射成像方法，具有扫描速度快， 几何位置灵活的特点。在噪声下的重建结果表明， 所构造的神经网络对多准则背散射成像是可行的， 适于处理不适定重建问题；性能指标明显优于最 小二乘法重建 。 结论： 由投影重建图像是 CT成像技术的理论基础， 本文立足于二维由投影重建图像理论， 对透射及 散射断层成像问题，从成像系统模型的角度，抽 象出其数学的共同点，作了统一的研究和分类。 主要是： 1 提出了一种新的滤波函数 ， 其主要部分是泛 函分析中的磨光算子 ， 它有许多优异的性质 ， 特 别是利用旁瓣的迅速衰减性 ， 用滤波反投影算法 简便快速地进行了图像局部重建 ， 重建图像空间 分辨率高 ， 且能较好地克服 Gibbs效应 。 四 .总结与展望 2 利用投影矩阵的几何对称性 ， 提出了新的对称 块迭代算法 ， 对经典 ART及 SIRT算法作了较大改进 ， 使得重建图像的精度高速度快 。 由于这一几何对称 性与重建图像函数的分布无关 ， 因此适用于所有的 重建问题 。 3 针对 Compton背散射成像问题的 “ 非线形性 ” 及 “ 不适定性 ” ， 提出了多准则神经网络优化算法 ， 在权平均意义下 ， 克服了单准则优化算法偏重单个 指标的不足 ， 适于处理这类 “ 不适定性 ” 问题 。 展望 对称块迭代 局部重建 由 Radon变换似 可进一步揭示一般区域上的 Green函数的形式和性质 Compton背散射成像 三维 CT技术： 螺旋 CT、 核磁共振（ MRT）、 三维正电子成像 （ 3D PET） 、三维单电子反射成像（ SPECT） 等。 本文所提出的算法思想推广至三维成像，是否有 相应的理论和结果，同时是否会产生新的理论或 实验结果，这些都有待于展开进一步的研究工作。 Thanks