江苏省高考数学试卷答案与解析

江苏省高考数学试卷参照答案与试题解析 一、填空题（本大题共14小题,每题5分,合计70分）1(分)（江苏)已知集合A2,1,3，,B=，2,3，则AB=1,3 考点：交集及其运算菁优网版权所有专项:集合.分析:根据集合的基本运算即可得到结论.解答:解：A=2，1，3，4，B1,2，3，AB=,，故答案为:1,点评:本题重要考察集合的基本运算,比较基本2（5分）（江苏)已知复数=(52i）2（为虚数单位）,则z的实部为 2考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有专项：数系的扩大和复数分析：根据复数的有关概念，即可得到结论.解答：解:z=（5+i）2=+20i+4i2=2520i=220i,故z的实部为1,故答案为:21点评：本题重要考察复数的有关概念，运用复数的基本运算是解决本题的核心,比较基本.（5分)（江苏）如图是一种算法流程图,则输出的的值是 考点：程序框图.菁优网版权所有专项:算法和程序框图分析:算法的功能是求满足22的最小的正整数的值，代入正整数验证可得答案解答：解:由程序框图知:算法的功能是求满足n0的最小的正整数n的值，24=160，25=3220,输出n=5故答案为：5点评：本题考察了直到型循环构造的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的核心 (分）(江苏）从1,2,3，6这个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为的概率是 考点：古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有专项：概率与记录分析：一方面列举并求出“从1，2,，6这个数中一次随机抽取2个数”的基本领件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数,运用概率公式计算即可解答:解：从1，3,6这个数中一次随机抽取个数的所有基本领件有(1,2），（1,）,(,6)，（2,)，(2,）,(，6)共个,所取个数的乘积为6的基本领件有(，）,（2，3)共2个，故所求概率P=故答案为:点评:本题重要考察了古典概型的概率公式的应用，核心是一一列举出所有的基本领件.（5分)(江苏）已知函数y=cosx与y=in（2x）(0)，它们的图象有一种横坐标为的交点，则的值是 考点：三角方程;函数的零点菁优网版权所有专项:三角函数的求值;三角函数的图像与性质分析:由于函数y=cosx与y=in（2x+），它们的图象有一种横坐标为的交点,可得.根据的范畴和正弦函数的单调性即可得出.解答：解:函数y=co与=sin（2x+）,它们的图象有一种横坐标为的交点，=0,=，解得故答案为:点评：本题考察了三角函数的图象与性质、三角函数求值,属于基本题 6.(5分)(江苏)为了理解一片经济林的生长状况,随机抽测了其中株树木的底部周长(单位:),所得数据均在区间0,130上,其频率分布直方图如图所示，则在抽测的6株树木中,有 2 株树木的底部周长不不小于10cm.考点：频率分布直方图菁优网版权所有专项:概率与记录.分析:根据频率小矩形的面积=小矩形的高组距底部求出周长不不小于100cm的频率,再根据频数样本容量频率求出底部周长不不小于0cm的频数.解答:解:由频率分布直方图知：底部周长不不小于10cm的频率为(005.025）10=04,底部周长不不小于100m的频数为00.=2(株）故答案为：24.点评：本题考察了频率分布直方图,在频率分布直方图中频率小矩形的面积=小矩形的高组距=.(5分)(江苏）在各项均为正数的等比数列an中，若a2=1，a8=a+24,则a6的值是4.考点：等比数列的通项公式菁优网版权所有专项:等差数列与等比数列.分析：运用等比数列的通项公式即可得出解答:解:设等比数列an的公比为q0，a10a8=a+2a4，,化为4q22=,解得q2=a6=124故答案为：4点评：本题考察了等比数列的通项公式,属于基本题.8(5分）（江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为1，S2,体积分别为，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台).菁优网版权所有专项：立体几何分析：设出两个圆柱的底面半径与高,通过侧面积相等，推出高的比,然后求解体积的比.解答：解:设两个圆柱的底面半径分别为R，；高分别为H，h；=,它们的侧面积相等,，=.故答案为:.点评：本题考察柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基本题目.(5分)(江苏）在平面直角坐标系xO中,直线+2y=0被圆（x2）2(y1)=4截得的弦长为 考点：直线与圆的位置关系.菁优网版权所有专项:直线与圆.分析:求出已知圆的圆心为（2，1)，半径r=2.运用点到直线的距离公式,算出点到直线直线l的距离d，由垂径定理加以计算,可得直线x+230被圆截得的弦长解答:解:圆(2）+(y+1）2的圆心为C(2,1），半径r=2,点C到直线直线x+y30的距离=,根据垂径定理,得直线+23被圆(2)2(+1）2=4截得的弦长为2=故答案为:.点评：本题给出直线与圆的方程,求直线被圆截得的弦长，着重考察点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于基本题 10.(5分)（江苏）已知函数f()=x2+mx,若对于任意x,m+，均有（x）0成立,则实数的取值范畴是(,) .考点：二次函数的性质菁优网版权所有专项:函数的性质及应用.分析：由条件运用二次函数的性质可得，由此求得m的范畴.解答:解：二次函数f()x2+x1的图象开口向上,对于任意xm，m+1，均有f（x)0成立，即 ,解得0,故答案为:(，0).点评:本题重要考察二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想,属于基本题 11（5分)（江苏）在平面直角坐标系xOy中,若曲线=ax2+（a,b为常数)过点(2，5）,且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y3=0平行，则a+b的值是3.考点:运用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专项:导数的概念及应用分析：由曲线yx2+（a，为常数）过点(2，5）,且该曲线在点处的切线与直线7x2y+30平行,可得y|x2=5，且|x=,解方程可得答案解答:解:直线7x+2y+3=的斜率k=,曲线y=x2+（a,b为常数)过点（2，5),且该曲线在点处的切线与直线7x2+=0平行,2a，解得:，故ab=，故答案为:3点评:本题考察的知识点是运用导数研究曲线上某点切线方程,其中根据已知得到x=2，且yx2=,是解答的核心.12（分)(江苏)如图，在平行四边形ABD中，已知B=8,D=5，=，=2，则的值是 22.考点：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算.菁优网版权所有专项：平面向量及应用分析：由=3，可得+，=，进而由A=8，D5，=3，=2,构造方程，进而可得答案解答:解：=3，+,=,又AB=8，A=5,=（+)（）|2|2=2512,故=2，故答案为:22点评:本题考察的知识点是向量在几何中的应用,平面向量数量积的运算,其中根据已知得到=,=，是解答的核心13.(5分）（江苏）已知(x)是定义在上且周期为3的函数,当，3）时，（x）=|22x,若函数=(x)a在区间,4上有0个零点(互不相似)，则实数a的取值范畴是 (0,）.考点:根的存在性及根的个数判断.菁优网版权所有专项:函数的性质及应用.分析:在同一坐标系中画出函数的图象与直线=a的图象,运用数形结合判断a的范畴即可解答:解：f（)是定义在R上且周期为3的函数，当x0,）时，f（x)|x22x+|,若函数=（x)a在区间，4上有10个零点(互不相似），在同一坐标系中画出函数f（x)与y=a的图象如图:由图象可知故答案为:（0，)点评:本题考察函数的图象以函数的零点的求法,数形结合的应用. 1（5分)(江苏)若BC的内角满足nAnB2si,则cosC的最小值是 考点:余弦定理；正弦定理.菁优网版权所有专项:三角函数的图像与性质；解三角形分析：根据正弦定理和余弦定理,运用基本不等式即可得到结论.解答:解:由正弦定理得a+b=2c,得=（ab）,由余弦定理得cosC=,当且仅当时,取等号，故coCb)得()x2=0，解得x=0,或x=，A(,)，且，有关x轴对称,(,)，则=，F1A，（)=,由2=a2c2得,即e.点评:本题重要考察圆锥曲线的综合问题，规定纯熟掌握椭圆方程的求法以及直线垂直和斜率之间的关系，运算量较大18(1分)(江苏）如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥BC,同步设立一种圆形保护区,规划规定:新桥C与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与B相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于m，经测量，点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向17m处（OC为河岸),taBCO(1）求新桥BC的长;（2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？考点:圆的切线方程;直线与圆的位置关系菁优网版权所有专项:直线与圆分析：（)在四边形O中,过作BEOC于E，过A作ABE于F，设出AF,然后通过解直角三角形列式求解BE,进一步得到CE,然后由勾股定理得答案；(2)设BC与切于，延长QM、C交于P,设OM=xm，把P、用品有x的代数式表达,再结合古桥两端和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m列式求得x的范畴，得到x取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大.解答:解:（1）如图,过B作EC于E，过A作AFE于F，ABC=9，C=9，=BCE，设A=4x（）,则BF（m）AOE=AE=OEF=90,E=A=4(m）,=O60（m）,BE=(3x+)m.，CE=(m).(m），解得：=20BE=120m,C=90m，则BC=50;（2）如图，设C与切于Q,延长M、CO交于P，POPQC90，PMO=BCO.设OM=m，则OPm,M=.=m,P.设M半径为R,MQ=A、O到M上任一点距离不少于0，则RA8,RO0,(60x）80，36x8.解得：1x5.当且仅当x=0时R取到最大值.M1m时，保护区面积最大.点评：本题考察圆的切线，考察了直线与圆的位置关系，解答的核心在于对题意的理解,是中档题.9.（16分)（江苏）已知函数（x）x,其中e是自然对数的底数.（)证明：f（x)是R上的偶函数;(）若有关x的不等式mf(x)exm1在(0，+)上恒成立，求实数m的取值范畴；（3)已知正数a满足:存在x01,）,使得f（x0)1),则m在（,+）上恒成立,=，当且仅当=2时等号成立，.（3）令g(x)=ex+exa（x3+），则g（x)=exex+3a（x21)，当x1,g（x)0，即函数g(x)在，+)上单调递增,故此时g(x）的最小值g（1)=e2，由于存在x01，+),使得f(x)a（x03x0）成立,故e+a，即a（e），令h(x)=x(1)l1,则h(x）=1，由h（x）=1,解得=e1，当1时,h（x)0,此时函数单调递增,h（x)在（0,）上的最小值为h（e1)，注意到h（1)=(e）=0,当(1,e1)(，e1）时,h（1）h（）h(1)=0，当x(e1，e）(e，+)时,h（x）h(e）=，（x)0，对任意的x(1，e）成立(),)（,）时，h（)0，即a1e1时，h()h()=,即a1(e1）lna,从而ea1a1.点评:本题重要考察函数奇偶性的鉴定,函数单调性和最值的应用，运用导数是解决本题的核心,综合性较强,运算量较大 0(16分）(江苏）设数列a的前项和为n,若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得n=m,则称n是“数列”.（)若数列an的前项和为n=2(nN*)，证明：a是“H数列”;（2)设a是等差数列,其首项a=1，公差0，若an是“数列”,求d的值；（)证明:对任意的等差数列a,总存在两个“H数列”b和n,使得n=bn+cn（nN*)成立.考点：数列的应用;等差数列的性质菁优网版权所有专项：等差数列与等比数列.分析:(1)运用“当n2时，n=Snn1,当n=1时,=S1”即可得到n,再运用“H”数列的意义即可得出(）运用等差数列的前n项和即可得出，对N*，mN*使=m,取n2和根据d0即可得出;(3）设n的公差为d,构造数列:bn=a(1)1(2n）a1，cn=(n)(a+d），可证明bn和cn是等差数列.再运用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出解答：解:(1）当n2时，a=SnSn1=22n12n1，当n=1时，a1=S1=2.当=时，a1当2时，Sn=an1.数列an是“H”数列.（）Sn=,对n，mN使Snam,即，取2时,得+d（m1)d，解得,d0，0,证明(1+y2）(1x2+y）9xy考点:不等式的证明.菁优网版权所有专项：证明题;不等式的解法及应用分析:由均值不等式可得+x+2,1+x2+y,两式相乘可得结论解答:证明:由均值不等式可得1+x+y23,1+x2+y分别当且仅当xy2=1,x2=y=时等号成立，两式相乘可得（1+y）（1x2+y)9xy.点评：本题考察不等式的证明,对的运用均值不等式是核心.(二）必做题(本部分涉及、26两题，每题10分，合计20分)2.（0分)（江苏)盒中共有9个球,其中有个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相似(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的个球颜色相似的概率P；（2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，2，x3,随机变量X表达,x,x3中的最大数，求X的概率分布和数学盼望E（）.考点:离散型随机变量的盼望与方差;古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有专项：概率与记录分析：（1)先求出取2个球的所有也许,再求出颜色相似的所有也许,最后运用概率公式计算即可;(2)先判断X的所有也许值,在分别求出所有也许值的概率，列出分布列，根据数学盼望公式计算即可.解答：解(1）一次取个球共有=36种也许，2个球颜色相似共有=1种也许状况取出的2个球颜色相似的概率P=.(）X的所有也许值为4,3，2，则P（X=4）=，P(X=3)=于是P（=2)=1P（X）P（X4)=，X的概率分布列为 3 4P故X数学盼望E(X）=.点评：本题考察了排列组合,概率公式以概率的分布列和数学盼望,知识点比较多，属基本题26.(10分）(江苏）已知函数f0（x）=(x0），设fn(x）为fn（x)的导数，nN*（)求2f1（)+f(）的值;(2)证明：对任意nN，等式nf1（）+fn（)|=都成立考点：三角函数中的恒等变换应用；导数的运算菁优网版权所有专项：函数的性质及应用；三角函数的求值分析:(1）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为:xf0（x）=si，然后两边求导后根据条件两边再求导得:f（x)+x2(）sn，把x=代入式子求值；（2)由(1)得,0（）xf1(x）=cosx和2f（）xf(）inx，运用相似的措施再对所得的式子两边再求导，并运用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式,用数学归纳法进行证明等式成立，重要运用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明,最后再把x=代入所给的式子求解验证解答:解：（1)0(x）=,x0（x）=si，则两边求导，f(）（x）,fn（x）为f1（)的导数，*，f0(x)+xf1(x）cx,两边再同步求导得，2()+xf2（)in，将x=代入上式得,2f（)+f2（),(2)由(1)得，f0()+f1（x）=cos=sn(x+）,恒成立两边再同步求导得，2f1（x)+xf2(x）=inx=sin(x+），再对上式两边同步求导得,3f(）+xf3（x)csx=sin（+)，同理可得,两边再同步求导得,4f3（x）+xf4()=inx=sin(x+2）,猜想得，nfn1()+xn（）=in(x+）对任意nN恒成立,下面用数学归纳法进行证明等式成立:当n=1时,成立,则上式成立;假设n=k(k且kN*)时等式成立,即,fk1(x)+k(x)=kfk（x)+fk(x)+xf（x）=（k+1）fk(x）+fk（x)又=,那么=k+1(k1且kN*)时.等式也成立，由得,nn1（x)+xfn(）=sn(x+）对任意n*恒成立，令x=代入上式得，nfn1(）+（）=sin(+)cos,因此，对任意n,等式nf（）+(）=都成立点评:本题考察了三角函数、复合函数的求导数公式和法则、诱导公式,以及数学归纳法证明命题、转化思想等，本题设计巧妙,题型新颖,立意深刻，是一道不可多得的好题,难度很大，考察了学生观测问题、分析问题、解决问题的能力,以及逻辑思维能力.