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2023/4/241 二维随机变量二维随机变量 ,是两个随机变量视为是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的一个整体，来讨论其取值规律的.问题问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？边缘分布问题边缘分布问题 第第6节节 边缘分布边缘分布2023/4/242一、二维离散型一、二维离散型R.v.的边缘分布的边缘分布X的边缘分布的边缘分布Y的边缘分布的边缘分布2023/4/243设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下）的联合概率分布如下例例1X Y0123010/506/504/501/5019/5010/503/50025/502/5000解：解：求随机变量求随机变量X与与Y的边缘概率函数。的边缘概率函数。X Y0123pi.010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p.j24/5018/507/501/5012023/4/244二、二维连续随机变量的边缘分布二、二维连续随机变量的边缘分布的边缘密度函数：的边缘密度函数：求随机变量求随机变量 X()xfX()xXPxFX=由由()-+-=xdxdyyxf，=P(Xx,-Y+)2023/4/245同理，由同理，由()yYPyFY=()-+-=ydvdxvxf，=P(-X0,则则自然地引出如下定理：自然地引出如下定理：(2)若若PX=xi0,则则在在 X=xi 条件下条件下Y 的条件的条件分布律分布律2023/4/2411条件分布律条件分布律具有分布律的以下具有分布律的以下特性特性：10 P X=xi|Y=yj 0；即条件分布律是分布律。即条件分布律是分布律。2023/4/2412设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下）的联合概率分布如下例例1X Y0123pi.010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p.j24/5018/507/501/501解：解：求求(1)随机变量随机变量X在在Y=0条件下的条件分布。条件下的条件分布。2023/4/2413设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布如下）的联合概率分布如下例例1X Y0123pi.010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p.j24/5018/507/501/501求求(2)随机变量随机变量Y在在X=1条件下的条件分布。条件下的条件分布。解：解：Y0123pY|X(y|1)9/2210/223/220则则Y在在X=1条件下的条件分布为条件下的条件分布为2023/4/2414(2)(2)(2)(2)若若若若X X X X的边缘概率密度的边缘概率密度的边缘概率密度的边缘概率密度f fX X X X(x x)0,)0,)0,)0,且在点且在点且在点且在点x x处连续处连续处连续处连续,则则则则Y Y Y Y在在在在X=X=X=X=x x条件下的条件概率密度条件下的条件概率密度条件下的条件概率密度条件下的条件概率密度n定理定理定理定理 设二维连续随机变量（设二维连续随机变量（设二维连续随机变量（设二维连续随机变量（X,YX,YX,YX,Y）的联合概率）的联合概率）的联合概率）的联合概率密度密度密度密度f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)在点（在点（在点（在点（x,y)x,y)x,y)x,y)处连续。处连续。处连续。处连续。(1)(1)(1)(1)若若若若Y Y Y Y的边缘概率密度的边缘概率密度的边缘概率密度的边缘概率密度f fY Y Y Y(y y)0,)0,)0,)0,且在点且在点且在点且在点y y y y处连续处连续处连续处连续,则则则则X X X X在在在在Y=yY=yY=yY=y条件下的条件概率密度条件下的条件概率密度条件下的条件概率密度条件下的条件概率密度二、连续随机变量的二、连续随机变量的条件分布条件分布2023/4/2418由由 所围成的区域上服从所围成的区域上服从 设设G是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其其面积为面积为A,若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有如下概率密度具有如下概率密度,则称则称(X,Y)在在G上服从均匀分布上服从均匀分布.现设现设(X,Y)在在例例2解：解：均匀分布均匀分布.求条件概率密度求条件概率密度 yoy=x21G 3 2023/4/2419n 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于分别等价于 第第8节节 相互独立的随机变量相互独立的随机变量 定义定义定义定义 设设设设X,YX,Y是两个随机变量，若对于任意实数是两个随机变量，若对于任意实数是两个随机变量，若对于任意实数是两个随机变量，若对于任意实数x,yx,y有有有有P P(X X x x,Y Y y)=P P(X X x x)P()P(Y Y y)即即即即 F F(x,yx,y)=F=FX X(x x)F FY Y(y y)，则称则称则称则称X X，Y Y相互独立。相互独立。相互独立。相互独立。2023/4/2420 在实际问题或应用中，当在实际问题或应用中，当X X的取值与的取值与Y Y的取值互的取值互不影响时，不影响时，我们就认为我们就认为X X与与Y Y是是相互独立的，进而相互独立的，进而把上述定义式当公式运用把上述定义式当公式运用.在在X X与与Y Y是是相互独立的前提下相互独立的前提下，边缘分布可确定联合分布！边缘分布可确定联合分布！边缘分布可确定联合分布！边缘分布可确定联合分布！n实际意义实际意义实际意义实际意义n补充说明补充说明补充说明补充说明2023/4/2421例例1 1X Y123p.j11/61/91/181/321/31/3+pi.1/21/9+1/18+2/3+解：由联合概率分布的性质知0,0,且2/3+=1,即即+=1/3,由X,Y相互独立,有2023/4/2422 例例2 已知二维随机变量已知二维随机变量(X,Y)服从区域服从区域D上的均匀上的均匀分布，分布，D为为x轴轴,y轴及直线轴及直线y=2x+1所围成的三角形所围成的三角形区域。判断区域。判断X，Y是否独立。是否独立。解解:（X,Y）的密度函数为）的密度函数为 2023/4/2423 例例3 某种保险丝的寿命某种保险丝的寿命(以以100小时计小时计)X服从参数为服从参数为3的指的指数分布。数分布。（1）有两根此种保险丝，其寿命分别为）有两根此种保险丝，其寿命分别为X1,X2设设X1,X2相相互独立，求互独立，求X1,X2的联合概率密度；的联合概率密度；（2）在）在(1)中一根保险丝是原装的，另一根是备用的，备用中一根保险丝是原装的，另一根是备用的，备用保险丝只在原装保险丝熔断时自动投入工作，于是两根保保险丝只在原装保险丝熔断时自动投入工作，于是两根保险丝总的寿命为险丝总的寿命为X1+X2，求概率，求概率P(X1+X21).解解:X1,X2相互独立相互独立,故故X1,X2的联合概率密度的联合概率密度:x2oDx12023/4/2424习题二(P72)：17,19(1),20,21,22,23作业作业
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