信号分析与处理第4章

1 第 4章 离散时间信号的分析 4.1 连续时间信号的时域抽样 4.2 离散时间信号的 z域分析 4.3 离散信号的傅里叶分析 第 4章 离散时间信号的分析 信号分析与处理 2 4.3 离散信号的傅里叶分析 4.3.1 离散信号的 Z变换与傅里叶变换的关系 一、 s平面与 z平面的映射关系 ssTze （即 ( ) ( ) | sT sS zeX s X z 1 ln( ) ( ) | S S sz T X z X s 或 第 4章 离散时间信号的分析 sj ()s s s ss T j T T j T jz e e e e r e sTre ST 2 S ST 其中 ， 。重复频率为 1推导 ） 3 2结论： 由此可得 s z平面有如下的映射关系： 1）、 s平面的整个虚轴（ ） 映射到 z平面的是单位圆； s平面的 右半平面（ ）映射到 z平面是单位圆的圆外； s平面的左半平面 （ ）映射到 z平面是单位圆的圆内。 4.3.1 离散信号的 Z变换与傅里叶变换的关系 4.3 离散信号的傅里叶分析 0 0 0 2） s平面的整个实轴映射到 z平面的是正实轴； s平面平行于实轴 （ =0是常数）的直线映射到 z平面是始于原点的辐射线，当 ),3,1(20 kk S 时，平行于实轴的直线映射到 z平面的是负实轴。 je 3） 2 S ST s平面和 z平面的映射关系不是单值的（多对 1）。 由于 是以 2为周期的周期函数， s平面与 z平面的映射关系相 当于把 s平面分割成无穷多条宽度为 的水平带面，这些 水平带面都互相重叠地映射到整个 z平面上 4 二、 Z变换与傅里叶变换的关系 1）连续信号虚轴上的拉普拉斯变换对应于傅立叶变换，离散时间 信号单位圆上的 z变换对应于离散时间信号的傅里叶变换。 2）因此，若一个离散时间信号的傅里叶变换存在，它在 z平面的收 敛域应包含单位圆。 4.3.1 离散信号的 Z变换与傅里叶变换的关系 4.3 离散信号的傅里叶分析 一、离散时间傅里叶变换的定义 n nnxnxX z)()( z ) dzz( z )j2 1)( 1 n c Xnx 当 z在单位圆上取值 ，即 jez 可得到 离散时间序列 x(n)的傅里叶变换（ DTFT）和傅里叶反变换（ IDTFT）。 n n nxX jj e)()(e 4.3.2 离散时间傅里叶变换 (DTFT) Xnx n de)(e2 1)( j j 1推导 5 1） X(ej)又可以写成 )(|)(|)( jjj eeXeX X(ej)表示序列 x(n)的频域特性，又称为 x(n)的频谱。其中， |X(ej)| 称为幅度频谱， ()称为相位频谱，二者都是 的连续函数。 2） 由于 ej是变量 以 2为周期的周期性函数，因此 X(ej)也是以 2为周期的周期性函数，即 x(n)的频谱都是随 周期变化的。 4.3.2 离散时间傅里叶变换 (DTFT) 4.3 离散信号的傅里叶分析 2特点 一、离散时间傅里叶变换的定义 6 ( ) ( )nx n a n3举例 ：例 4-10 求 的离散时间 傅里叶 变换，其中 |a|1。 解 离散时间单边指数信号的傅里叶变换为 j0 j 0 j e1 1)e(e)( aaaeX n n n nnj 显然，要使上式成立，必须有 |a|1。 图 4-16(a)和 (b)给出了 a=0.8时 X(ej)的幅度频谱和相位频谱。由于频 谱的周期性，一般只需要给出 0 2或 -区间的频谱，如图 4.16(c)和 (d)所示。 例 4-11 求序列 x(n)=(n)的 傅里叶 变换。 解 由定义式得 jj( ) ( ) e ( ) e 1j n n n X e n n 4.3.2 离散时间傅里叶变换 (DTFT) 4.3 离散信号的傅里叶分析 一、离散时间傅里叶变换的定义 7 例 4-13 若 5( ) ( ) ( ) ( 5 )x n R n n n 求其傅里叶变换 X(ej)。 解：由定义式得 4.3.2 离散时间傅里叶变换 (DTFT) 4.3 离散信号的傅里叶分析 5 5 5 54 2 2 2 1 1 1 0 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) 1 5 si n ( ) 2 | ( ) | si n ( ) 2 j j j j j j n j j j j n j j j e e e e X e e e e e e e X e e 其中，幅频特性为 5 sin ( ) 2| ( ) | | | sin ( ) 2 jXe 相频特性为 5 si n( ) 2( ) 2 a r g si n( ) 2 j 8 1. 线性 2. 时移与频移 设 x(n) X(ej) ， 时移性质为 设 x1(n) X1(ej)， x2(n) X2(ej) ax1(n) + bx2(n) aX1(ej)+ bX2(ej) 0j j0( - ) e ( e ) n x n n X 二、离散时间傅里叶变换 DTFT的基本性质 4.3.2 离散时间傅里叶变换 (DTFT) 4.3 离散信号的傅里叶分析 频移性质为 00j j ( )e ( ) e n x n X 9 4. 反转与 DTFT的对称性 3. 时域信号的线性加权 设 x(n) X(ej) ， 那么线性加权性质为 jd( ) j ( e ) d n x n X 则 二、离散时间傅里叶变换 DTFT的基本性质 4.3.2 离散时间傅里叶变换 (DTFT) 4.3 离散信号的傅里叶分析 反转性：设 x(n) X(ej) 则 x (-n) = X(e-j) 对称性：设 Even,Odd分别为 x(n)的偶序列和奇序列，则 j( ) R e ( e )E v e n x n X j( ) I m ( e )O d d x n j X x(n)为实偶对称函数 ，则 X(ej)为实偶对称函数 x(n)为实函数 ， 则 X(ej)的模为偶对称函数，相位为奇对称函数 10 时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(n), 则 Y(ej)=X(ej)H(ej) 5. 卷积定理 设 y(n)=x(n)h(n) 则 d)(e)(e2 1)(e)(e2 1)(e )j(j jjj HXXHY 频域卷积定理 4.3.2 离散时间傅里叶变换 (DTFT) 4.3 离散信号的傅里叶分析 二、离散时间傅里叶变换 DTFT的基本性质 11 6. 帕斯维尔 (Parseval)定理 Xnx n d|)(e|2 1|)(| 2j2 4.3.2 离散时间傅里叶变换 (DTFT) 4.3 离散信号的傅里叶分析 二、离散时间傅里叶变换 DTFT的基本性质 该定理说明，离散时间信号的总能量等于其 傅里叶 变换模平方在一 个周期内积分取平均，即时域总能量等于频域一周期内的总能量。 12 4.3.3 离散周期信号的傅里叶级数 DFS 周期序列 x(n)不满足绝对可和的条件， 其 FT不存在。它的频 域分析可以采用两种方法，一种是采用离散傅立叶级数 DFS(Discrete Fourier Series) ，另一种是引入奇异函数，用奇异函数 表示它的傅立叶变换。 4.3 离散信号的傅里叶分析 knNN n nxnxkX 2j1 0 e)()(D F S )( 一 定义 DFS(离散傅立叶级数 )的正变换 k， knNN k kXNkXnx 2j1 0 e)(1)(I D F S )( 即 DFS的反变换。 n 13 )(2)2 kXNk 次谐波的幅度为 knNN n nxnxkX 2j1 0 e)()(D F S )( kNk k 2)1 次谐波的频率为 3)离散 傅立叶 级数所有谐波成分中只有 N个是独立的（以 N为周 期） ，这是与连续 傅 氏级数的不同之处 二 特点 4.3.3 离散周期信号的傅里叶级数 DFS 4.3 离散信号的傅里叶分析 k， 14 例 4-14 图 4-18（ a）所示序列的周期 N=10 ，求其频谱。 解 根据式（ 4-62），有 2214 j ( ) j ( ) 10 00 2 j ( ) 45 10 j ( ) 10 2 j ( ) 10 ( ) ( ) e e sin( ) 1 ( e ) 2 e sin( )1e 10 N k n k n N nn k k k X k x n k k - 1 0 - 5 0 5 1 0 1 5 0 0 . 5 1 n x ( n ) 0 5 1 0 1 5 0 2 5 5 - 5- 1 0 k | X ( k ) | 4.3.3 离散周期信号的傅里叶级数 DFS 4.3 离散信号的傅里叶分析