行波和驻波

复习 1：正弦信号、正弦分布和正弦波 三种表达式的物理意义 （ 1） （ 2） （ 3） )sin( tu )sin( xu )s in ( xtu 正弦信号 )s in ( tu t u 说明：此表达式表示的含义不是一个正弦波， 只是说明 u随着时间 t是按正弦变化的。 + - )sin( tu - - - - - - 正弦分布 )s in ( xu x u 说明：此表达式表示的含义不是一个正弦波， 而是说明 u在空间位置上是正弦分布的。 + + + + - + + + 正弦波 )s in ( xtu x u 说明：此表达式表示的含义才是一个正弦波。 0t 1t 2t 3t v 0t 正弦信号、正弦分布和正弦波的关系 y 振源以平衡位置做正弦振动，该振动就是一个 正弦信号 ： tAy sin 该振动会激起水波，水波会向四周传播，则水波就是一个 正弦波 ： )s in ( xtAy x 如果在某个时刻 t0对水波拍一张照片，则这一瞬间水波的形状就是 正弦分布 ： )s in ( 0 xtAy 如果仅盯着波的某个位置（ A点）一直观察，则该点的运行形式也是正弦信号： A )s in ( AxtAy 正弦信号、正弦分布和正弦波的关系 电压源电压随时间按正弦规律变化，该电压就是一个 正弦信号 ： tAu sin 电压源激励产生的电压 正弦波 将会沿着均匀传输线向 +x 方向传播： )s in ( xtAu 如果电压波是可见的，在某个时刻 t0对电压波拍一张照片，则这一瞬间 电压波的形状就是 正弦分布 ： )s in ( 0 xtAu + - tAu sin x 如果仅观察某个位置处（ A点）的电压变化，则该点的电压也是一个 正弦信号 ： )s in ( AxtAu Ax 正弦信号、正弦分布和正弦波的关系 + - tAu sin x x u 0t 1t 2t 3t v 10km 500V -1000V -800V -100V 复习 2：正弦波 行波和驻波 正弦波运动的两种形式 （ 1） （ 2） )s in ( xtu )c o s ()s in ( xtu 行波 运动方向 )s in( xtu )s in( xtu 0t 01 tt 1t u x v 0t 01 tt 1t u x v 0 0 说明：上述结论对于 一样适用。 )c o s ( xt 行波 运动速度和波长 )s in( xtu x v 0 st 0 st 1 0 A B 行波的运动速度为： /v 行波的频率为： 2/f 行波的波长为： /2/ fvvT 行波 波峰和波节 )s in( xtu u x v 0 C D 波峰 波峰 波节 波节 行波在传播的过程中，其波峰和波节的位置是不固定的， 即行波总是要朝着一个方向推移的，这也是“行波”这个词的由来。 E F 驻波 )c o s ()s in ( xtu u x 0t 1t 2t 3t 4t 43210 ttttt 驻波的波峰和波节的位置是固定的，即驻波没有沿 x方向运动， 这也是 “ 驻波 ” 这一词的由来。驻波相当于一个停滞在原地不断 上下振动（脉振）的正弦波，所以驻波也称 脉振波 。 2f 驻波的分解 )c o s ()c o s ( xtu 0 43210 ttttt 可见，一个驻波可以看作是由 和驻波同频率的 ， 幅值为驻波幅值 的 1/2， 运动速度相同、方向相反 的两个行波叠加而成的。 根据积化和差的三角公式，有： )c o s (21)c o s (21)c o s ()c o s ( xtxtxtu u x 2f vv )c o s(21 xt )c o s(21 xt u 说明 1 )s in ( xtu 是行波。如果给其加上一个相位 ，则 )s in ( xtu 依然是行波。 x u )(s in )s in ( txxtu )s in ( xtu 0的情况 说明 2 )s in ( xtu 是一个振幅（幅值）为 1的行波，如果乘以 一个常数，则 x u )s in (2 0 xtUu 仅在振幅上发生了变化。 )s in (2 0 xtUu )s in ( xtu 1 02U 复习 3 衰减的行波的表达式 如果向池塘的正中央扔一块石头，则会激起一个 行波，这个行波会从激励点（石头入水的那个点） 向四周传播。在传播的过程中，水波的能量会逐 渐损耗，所以越是远离激励点，行波的振幅越小。 当传输线中 电流较大 时，传输线的电阻会消耗电 磁波的能量，所以电磁波在传递的过程中，其振 幅 可能 随着传输距离的增大而衰减。 振幅随距离增大而衰减的行波的表达式 )c o s (2 0 xteUu x x u 0 xeU 02 xeU 02 )c o s (2 0 xtUu 紫色的虚线称为包络线，指各个波峰或波谷的值一定在这条虚线上。 衰减因子 无衰减正弦波 衰减行波在不同时刻的波形图 x xeU 02 xeU 02 )c o s (2 0 xteUu x 0t 1t 2t 012 ttt v u 预习 1 行波的相量表示法 )c o s (2),( 0 xteUtxu x)c o s (2 0 tUu 0UU ） xeUxU x ()( 0 )c o s (2c o s)(2 )s in) ( c o s(2R e )(2Re),( 0 xteUtxU tjtxU exUtxu x tj 复习 1 微分方程的正弦稳态形式 时域形式 当电压电流都是正弦量且只求稳态解时，可将上述 方程转换为相量方程求解： dt tdiLtu L L )()( LLL ILjIjLU )( 时域内时间函数求导 对应频域内用相量乘 以 。 j 预习 2 含行波的微分方程的 正弦稳态解法 t u CuG x i t i LiR x u 00 00 u、 i为正弦波 且只求稳态解 )( )( 00 00 UjCUG x I IjLIR x U UYUCjGUCjUG dx Id IZILjRILjIR dx Ud 00000 00000 )( )( 预习 2 含行波的微分方程的 正弦稳态解法 UY dx Id IZ dx Ud 0 0 此微分方程的每个方程 都含有两个未知量，要 通过换元的方法变成两 个一元微分方程求解。 dx Ud Y dx Id dx Id Z dx Ud 02 2 02 2 两边同时 对 x 求导 换元 )( )( 002 2 002 2 IZY dx Id UYZ dx Ud 整理 0 0 002 2 002 2 IZY dx Id UYZ dx Ud 这是两个独立的 一元二阶微分方程。 其解法和动态电路 相同，只是自变量 变成了 x 而已。 复习 2 微分方程的解法 0212 2 yadxdya dx yd （ 1）求方程的特征根，令 ，则微分方程的特征多项式为： p dx d 0212 apap解出 。 21, pp （ 2）方程的通解为： xpxp eAeAy 21 21 （ 3）根据 边界条件 待定 A1和 A2。 预习 2 含行波的微分方程的 正弦稳态解法 00 002 2 002 2 IZY dx IdUYZ dx Ud 0002 YZp特征根： 002001 YZpYZp ， 通解： xpxp eAeAU 21 21 特征根： 002001 YZpYZp ， 通解： xpxp eBeBI 21 21 0002 YZp 边界条件不同，待定出的系数就不同。