《概率论与数理统计》第二章基础知识小结

第二章、基础知识小结一、 离散型分布变量分布函数及其分布律1. 定义： 2.分布律的性质：（1）（2）3.离散型随机变量的分布函数：4.分布函数F(X)的性质：（1）（2）是不减函数，（3），即（4）右连续，即（5）5.三种常见的离散型随机变量的概率分布（1）0-1分布（）0 1 （2）二项分布（）（3）泊松分布（）二、连续型随机变量分布函数及其概率密度1.连续型随机变量的分布函数即概率密度定义：其中，为X的分布函数，为X的概率密度。2.概率密度的性质（1）（2）（3）（4）3.三种常见的连续型随机变量（1）均匀分布（）（2）指数分布（）（3）正态分布（）（4）标准正态分布（）及其性质性质：A.B.（5）非标准正态分布标准化设，则z=x-N(0,1)三、随机变量函数的概率分布1.离散型随机变量函数的概率分布设离散型随机变量X的分布律为： 则X的函数的分布律为： 2.连续型随机变量函数的分布设X的连续型随机变量，其概率密度为。设是一严格单调的可导函数，其值域为，且。记为的反函数，则的概率密度为特别地，当时，本章历届试题1.(2013.10.2).设随机变量，为标准正态分布函数，则=A.(x)B.1-(x)C.D.1-PXx=1-PXx=1-x-2.(2013.10.13).设随机变量X服从参数为1的指数分布，则=.解：因为，随机变量X服从参数为1的指数分布所以，X的概率密度为3.(2013.10.14).设随机变量,则Y的概率密度=.4.(2013.10.29).设随机变量X的概率密度为求：（1）常数c; (2)X的分布函数；（3）.解：（1）由得：fx=x8,0x40, 其他（2）由得：当x0时，当时，；当x4时，Fx=-xf(t)dt=-00dt+04t8dt+4x0dt=1即X的分布函数为Fx=0, x0x216,0x3=0解：p=PX3=3+f(x)dx=3+1x2dx=-1x3+=13p=PX3=1-PX3=1-3f(x)dx=1-131x2dx=131x2dx=x-2dx=-x-1+C=-1x+C由于，Y表示“对X的3次独立重复观察中事件出现”的次数，所以YB3,13,(Y=0,1,2,3)PY3=0PY3=1-PY3=1-PY=0-PY=1-PY=2-PY=3=1-C30130233-C31131232-C32132231-C33133230=1-827-49-29-127=07.(2014.4. 2)设随机变量x的分布律为 X -1 0 2P 0.1 0.3 0.6 F(x)为X的分布函数，则F(0)=A.0.1B.0.3C.0.4D.0.6F(0)=Px=-1+ Px=0=0.1+0.3=0.48.(2014.4.14)设随机变量X服从区间1，5上的均匀分布，F(x)为X的分布函数，当1x5时,F(x)=_ x-14_.fx=14,1x50, 其他当1112=1212xdx=x2121=1-14=3410.(2014.4.16)已知随机变量XN(4，9)，则常数c=_.PXc=1-PXc=PXc,所以PXc=12=0由于XN4，9，所以z=x-43N(0,1)PXc=PX-43c-43=PZc-43=c-43=0c-43=0, c=411. (2014.4.29)设随机变量XN(0，1)，记Y=2X，求：(1)PX-1；(2)P|X|1; (3)Y的概率密度.()解：1由于XN0,1,所以PX-1=-1=1-1=1-0.8413=0.15872由于XN0,1,所以PX1=21-1=20.8413-1=0.68263由于XN0,1,Y=2X,所以YN0,4,那么Y的概率密度函数为fy=12e-(y-)222=122e-y288.(2013.1.3)以下函数中能成为某随机变量分布函数的是（ ）A BC D解：（A），淘汰（B），淘汰（C），时，单调增加，答案C（D），时，有增有减，淘汰。9.(2013.1.4)设，的分布函数为，则的值为（ ）ABCD10.(2013.1.14)设X的分布律为（），则_6_解：11.(2013.1.15)，其中，若，则_解： 12.(2013.1.16)设X的分布律为010.30.20.40.1则 0.6 解：13.(2013.28)设连续型随机变量的分布函数为，试求：（1）系数；（2）的概率密度；（3）解：由于连续型随机变量的分布函数为所以随机变量X的概率密度函数为（1）由得：故（2）的概率密度为（3）