短时傅立叶变换

第2章短时傅立叶变换2. 1连续信号的短时傅立叶变换我们在1.1节中已指出，由于在实际工作中所遇到的信号往往是时变的，即信号的频率 在随时间变化，而传统的傅立叶变换，由于其基函数是复正弦，缺少时域定位的功能，因此 傅立叶变换不适用于时变信号。信号分析和处理的一个重要任务，一方面是要了解信号所包 含的频谱信息，另一方面还希望知道不同频率所出现的时间。早在 1946 年，Gabor 就提出了短时傅立叶变换(Short Time Fourier TransormTFT ) 的概念，用以测量声音信号的频率定位网给定一信号x (t) L2(R),其STFT定义为STFT x (t, ) x( )g* ( )dx( )g*( t)e j d x( ),g( t)ej式中gt, ( ) g (t)ej(2.1.2及I g( )111,1 gt ( )111并且窗函数g()应取对称函数。STFT的含义可解释如下：在时域用窗函数g()去截x()(注：将x(t), g(t)的时间变量换成),对截下来的局 部信号作傅立叶变换，即得在t时刻得该段信号得傅立叶变换。不断地移动t,也即不断地 移动窗函数g()的中心位置，即可得到不同时刻的傅立叶变换。这些傅立叶变换的集合，即是STFT x (t,),如图2.1.所示。显然，STFTx(t,)是变量(t,)的二维函数。由于g()是窗函数，因此它在时域应是有限支撑的，又由于ej在频域是线谱，所以STFT的基函数&( t)ej在时域和频域都应是有限支撑的。这样，(2.1.1式内积的结果 即可实现对x(t)进行时-频定位的功能。当然，我们自然要关心这一变换时域及频域的分辨率。对(2.1.2式两边作傅立叶变换，有G ( ) g ( t)e j e j de j( )t g (t)e j( )tdtG ( )e j( )t(2.1. 3由于x(t),g()十X ( ),G ()t,2t,+ X2()G*()e j( )td所以STFT 代)e j t +2X ( )G * ()ejtd图2.1.1 STFT示意图(2.1.4)(2.1. 5该式指出，对x()在时域加窗g( t)，引导出在频域对X ()加窗G ()。由(1.3)节及图2.1.1可以看出，基函数gt ()的时间中心0 t (注意，t是移位变量)，其时宽2(t)2 |gt ( ) 2 d2 |g( ) 2 d(2.1.6即gt,()的时间中心由七决定，宽但时宽和t无关。同理Gt ()的频率中心0 ，而带)2 G ( ) 2 dt,22-(也和中心频率无关。这样，STFT的基函数gt ()具有时-频平面上的一个如下的分辨“细胞”：其中心在(2.1.7& )处，其大小为，不管t 取何值(即移到何处)，该“细胞”的面积始终保持不变。该面积的大小即是STFT的时-频分辨率。如图2.1.2所示。图2.1.2 STFT的时频分辨率当我们对信号作时-频分析时，一般，对快变的信号，我们希望它有好的时间分辨率以 观察其快变部分(如尖脉冲等)，即观察的时间宽度t要小，受时宽-带宽积的影响，这样, 对该信号频域的分辨率必定要下降。由于快变信号对应的是高频信号，因此对这一类信号， 我们希望有好的时间分辨率，但同时就要降低高频的分辨率。反之，对慢变信号，由于它对 应的是低频信号，所以我们希望在低频处有好的频率分辨率，但不可避免的要降低时域的分 辨率。因此，我们希望所采取的时-频分析算法能自动适应这一要求。显然，由于STFT的， 不随&变化而变化，因而不具备这一自动调节能力。我们在后面要讨论的小波变换 则具备这一能力。现在，我们举例来讨论STFT的时-频分辨率和窗函数的关系及STFT的应用。例2.1.1令乂()(0),可以求出其S T F Tt, )(0)g( t)e j g( 0 t)e j 0(2.1.)该例说明，STFT的时间分辨率由窗函数g()的宽度而决定。例 2.1.2 若 x( ) ej 0，贝US T F Tt, ) ej 0 g ( t)e j d G (0)e j( )t(2.1.8这样，STFT的频率分辨率由甘()频谱的宽度来决定。这两个例子给出的是极端的情况，即x(t)分别是时域的 函数和频域的 函数x(t)为 其他信号时的情况也是如此。显然，当利用STFT时，若我们希望能得到好的时-频分辨率, 或好的时-频定位，应选取时宽、带宽都比较窄的窗函数g(),遗憾的是，由于受不定原 理的限制，我们无法做到使，同时为最小。为说明这一点，我们再看两个极端的情况:例2.1.3 若g( ) 1, ，则 G ()(),这样，STFT x (t, ) X ()。这时，STFT减为简单的FT,这将给不出任何的时间定位信息。其实，由于g()为无限宽的矩形 窗，故等于没有对信号作截短。图2.1.3给出的是在g ( ) 1,的情况下所求出的一高斯幅度调制的chirp信号的STFT ,上面是时域波形，其中心在t 70处，时宽约为15,左边是其频谱，右下是其STFT , 可见此时的STFT无任何时域定位功能。图2.1.3窗函数无限宽时STFT缺少时域定位功能例 2.1.4 令 g()()，则STFT (t, ) x(t)e j t这时可实现时域的准确定位，即STFT x (t )的时间中心即是x(t)的时间中心，但无法 实现频域的定位功能。如图2.1.4所示，该图的时域信号类似例2.1.3但时域中心移到t 30 处，相应的，由于作为调制信号的chin信号的频率较低，所以x(t)的包络较例2.1.3要慢。图2.1.4窗函数无限窄时STFT缺少频域定位功能例2.1.5设x(t)由两个类似于例2.1.3的信号迭加而成，这两个信号一个时间中心在t1 50处，时宽t1 32,另一个时间中心在t2 90处，时宽也是32,调制信号的归一化 频率都是0.25如图2.1.5的上部。在时-频分布中，类似于例2.1.4及例2.1.5的信号 往往都称为一个“时频原子(atom)”,在该例的x(t)中，包含了两个时频原子信号。选择g()为Hanning窗，取窗的宽度为55，其STFT如图2.1.5所示，这时频率定位是准确的，而在 时间上分不出这两个“原子”信号的时间中心，我们将窗函数的宽度减为13，所得STFT如 图2.1.5所示，这时，在时间上也实现了两个中心的定位。以上几例说明了窗函数宽度的选择对时间-频率分辨率的影响。总之，由于受不定原理 的制约，我们对时间分辨率和频率分辨率只能取一个折中，一个提高了，另一个就必然要降 低，反之亦然。4091 20450020406080100120Time sy&om-HXgnM409120450020406080100120Time sy&om-w! gxm图2.1.5窗函数宽度对时-频分辨率的影响，(a)窗函数宽度为55, (b)窗函数宽度为13对(2.1.1式两边也取幅平方，有|STFTx(t, ) 2 | x( )g(t)e j d 2 S (t,)(2.1.9式中Sx(t,才尔为x(t)的“谱图(spectrogram”。显然，谱图是恒正的，且是实的。由于| g( ) | 1，所以，由(2.1.9式可得(2.1.10S (t, )dtd即谱图是信号能量的分布。我们在例1.1.1中已给出了 STFT的一个典型例子，当然，它也是谱图的一个典型例子。 三个不同频率的正弦信号依次相接，普通的FT只能给出三根谱线，而STFT可给出其频率 随时间的分布，如图i.i.i(oy(c所示。将图(c画成立体图，其高度即是信号能量随时间、 频率的分布。例2.1.6令乂(七)ejt2为chiri信号，g(t)(十)捉 上为一高斯窗，式中，都是常数，可以求出，x(t)的谱图是：S (t, ) |STFT (t, ) 2 ( 4 2 )exp( 2( m)(2.1.11xx1 4 2 41 4 2 4其形状类似于图1.1.2(c)显然，当2 t时，Sx(t,)取最大值。所以，Sx(t,)集中在2 t的斜线上，也即x(t)的能量主要分布在这一斜线上。由于x(t) ej(t),而(t) 松，所以(t) 2 t,这就是x(t)的瞬时频率。也即x(t)的能量主要分布在其瞬 时频率的“轨迹”上。请读者自行证明，STFT和谱图有如下性质8，1。1.若 y(t) x(t)ej ,则STFT y (t, ) STFTx(t,)(2.1.12aS (t, ) S (t,0)(2.1.12b2.若 y(t) x(t t),贝uSTFT (t, ) STFT (t t, )ej 电(2.1.13ayx0S (t, ) S (t t, )(2.1.13byx 0观察(2.1.)和(2.1.)式可以发现，STFT x (t,)是乂(七)的线性函数，而在(2.1.9式的积分号中，信号x(t)将会出现两次(相乘)，因此(2.1.9式称为信号的“双线性”或“二次”时-频分布，它是一种能量分布。我们在后面两章中讨论的时-频分布都是属于这 一类分布，它们又统称为Cohen类。2.2短时傅立叶反变换如同傅立叶变换一样，我们总是希望能由变换域重建出原信号，对STFT亦如此。不过。STFT的反变换有着不同的表示形式，现分别给以介绍。1. 用STFT的一维反变换表示。对(2.1.1式两边求反变换，有+ STFT (t, )e j d + x ( )g ( t)e j( ) d dx( )g ( t) ( )d x( )g( t)令t,则x(t)STFT (t, )ejtd(2.2.12 g(0)x2. 用STFT的二维反变换来表示，即x( ) + STFT (t, )g ( t)ej dtd(2.2.2证明：由(2.1.1式STFT x (t, )x( )g ( t)e j de j t x( )g (t )e j(t ) d式中，g( t)换成g(t)是由于窗函数g(t)为偶函数，于是STFT (t, ) e j tx(t) g(t)ejt两边对t取傅立叶变换，设频域变量为，有STFT (t, )e jtdt X ( )G ( )(2.2.)x(2.2.2式的右边也可表示为：十十 X ( )G ( )e j td g ( t)e j dtd 22十十 X () |G ( ) 2 ej( ) d d22+ X ( )ej( ) d + |G ( ) 2 d 22上述推导过程中再次利用了 g (t) g( t)，并假定两项之积的积分小于无穷，因此可分别积分。由于g(t)的能量归一化为1,即上式=X ()ej( ) d x()2这即是(2.2.2式。3. 用g(t)大对偶函数h(t)来表示：式中x( ) = +2STFT & )h(t)ej dtdg(t)h* (t)dt 1(2.2.4(2.2.5也即g(t)和h(t)是双正交的。STFT反变换的三种表示式是统一的，尽管(2.2.)式是一重积分，但算法中假定 t, 这就包含了时间t的变化过程，(2.2.2式和(2.2.4式由于(2.2.5式的关系而一致。STFT也满足Parsevais定理，即|x( ) 2 d -2| STFT &)2 dtd(2.2.6证明：由(2.2.3式，STFT(t )相对t的傅立叶变换是X ()G ()。应用 Parsevcis定理，有+ | STFT2(t, ) 2 dtd(2| X (2)21g ( ) 2 d d上式右边=2X(I X(t) I 2 I证毕。由上面的讨论可知,STFT将一个一维的函数x(t)映射为二维的函数STFT x(t ),那么, 由(2.2.2式，用二维的函数表示一维的函数必然存在着信息的冗余。我们自然可以想象， 仅用& )平面上的一些离散的点即可表示x(t),也即实现对x(t)的准确重建。例如，令 t na, 2 mb ,U(2.1.)式可变成(2.2.7STFT (m ,n) x ( )g* ( na)e j2 mb d该式是在(t )平面的离散栅格上求出的STFT，注意式中 仍是连续的时间变量。我们 将在下一节对该问题作深入的讨论，见2.4节。2.3离散信号的短时傅立叶变换当我们要在计算机上实现一个信号的短时傅立叶变换时，该信号必须是离散的，且为有 限长。设给定的信号为x(n),n 0,1,. L, 1,对应(2.1.)式，有STFT (m , e j ) x(n)g* (n mN )e j nx(n),g(n mN )ej n(2.3.)式中N是在时间轴上窗函数移动的步长， 是圆周频率， 七，二为由x(t)得到x(n) 的抽样间隔。该式对应傅立叶变换中的DTFT，即时间是离散的，频率是连续的。为了在计 算机上实现，应将频率离散化，令k 2- k(2.3.2则STFT (m,) x(n)g*(n mN )e jMnk(2.3.3xkn上式将频域的一个周期2分成了 M点，显然，上式是一个标准的M点DFT，若窗函数g (n)的宽度正好也是M点，那么上式可写成M 1STFT (m, k) x (n)g* (n mN )W nk k 0,1,.M , 1(2.3.4n 0若g(n)的宽度小于M，那么可将其补零，使之变成M，若g(n)的宽度大于M，则应增大M使之等于窗函数的宽度。总之，(2.3.4式为一标准DFT，时域、频域的长度都是M点。式中N的大小决定了窗函数沿时间轴移动的间距，N越小，上面各式中m的取值越多，得到的时-频曲线越密。若N1，即窗函数在x (n)的时间方向上每隔一个点移动一次 这样按(2.3.4式，共应做f L个M点DFT。当然，这时前和后个DFT所截的数据 不完全，得到的效果不够好。MATLAB 的时频分析Toolbox中给出了实现(2.3.4式的程序7，即tfrstft(2.3.4式的反变换是M1x(n) + STFT (m,k)WMnk(2.3.5m k 0式中m的求和范围取决于数据的长度L及窗函数移动的步长N。2.4信号的Gabor展开及Gabor变换2.4.1 Gabor展开的基本概念早在1946年，Gabor就提出可以用二维的时-频平面上离散栅格处的点来表示一个一维 的信号，即mb1abnat图2.4.1 Gabor展开的抽样栅格x(t)Cn(t)m nC h (t na)ej2mbtmn(2.4.)式中a, b为常数，a代表栅格的时间长度,b代表栅格的频率长度，如图2.4.1所示。(2.4.)式中的Cm n是一维信号x(t)的展开系数，h(t)是一胃函数，展开的基函数 七卜七)是由h(t)作移位和调制生成的，如图2.4.2所示，Gabor最初选择高斯函数作为胃函 数h(t),这是因为高斯函数的傅立叶变换也是高斯的，因此保证了时域和频域的能量都相对 较为集中。由于高斯信号的时宽-带宽积满足不定原理的下限，即t 弓，因而又保证 了使用高斯信号可得到最好的时间、频率分辨率。后来的研究表明，不止是高斯函数，其他的窗函数也都可以用来构成(2.4. 1式中的基 函数。对(2.4.1式，我们自然会提出如下的问题：1. 如何选择a和b ?2. 如何选择胃函数h(t) ?3. 选定Yh(t)及a和bf计算展开系数Cmn?图2.4.2 Gabor展开基函数的形成4. 是否任一能量有限信号(即x(t) L2(R)都可作(2.4.)式的分解？5. 时-频平面离散栅格上的任一个二维函数C m n是否都唯一地对应一个一维的信号 x(t) ?可以证明52，,5如果ab 1,即栅格过稀，我们将缺乏足够的信息来恢复原信号x (t), 当然，如果ab过小，必然会出现信息的冗余，这类似于对一维信号抽样时抽样频率过大的 情况。因此，当ab 1时，称为临界抽样(Critical Sampl)ngab 1时，称为欠抽样(Undersamplin)ab 1时，称为过抽样(Oversampling)由于欠抽样时固有的缺点，因此人们很少研究它。Gabor最早提出的是使用高斯窗，并 令ab 1,即取临界抽样。但是，Gabor展开的这一想法长期没有被重视，甚至当他由于在 全息照相(holography方面的突出贡献于1971年获得诺贝尔奖的时候，他的有关Gabor展 开的想法仍未引起人们的注意。其主要原因是由于展开系数Cmn计算的困难。直到1980年 BastianS提出了用建立七 (t)的辅助函数，或对偶函数gm n (t)来求解Cm 的方法之后B , 对Gabor展开的研究才引起了人们的兴趣。从此之后，已发表了大量的论文，这和几乎是同 时开始的有关Wigner分布的研究构成了信号时-频分析的主要研究内容。近20年来，有关Gabor展开的研究大致可归纳为如下三个方面：1. Gabor系数Cmn的快速计算，这包括连续Gabor展开，离散Gabor展开等；2. Gabor标架理论由于在实际中应用的是ab 1,特别是ab 1的情况。前已述及，这时存在着信息的冗 余，因此，这时展开的基函数七卜七）不可能是正交基，这种情况下，对信号分解的讨论自然 要用到标架理论。3. Gabor展开的应用从理论上讲，Gabor展开的讨论和时-频分布、滤波器组及小波变换等新的信号处理理论 密切相关。因此，这些新的信号处理理论的应用也涉及到Gabor展开的应用。Gabor展开在 信号、图像的表示，语音分析，目标识别，信号的瞬态检测等各方面都取得了很好的应用成 果。Gabor展开的理论内容相当丰富，限于篇幅，本书仅对Gabor系数计算及Gabor标架作一 简单的介绍。2.4.2连续信号Gabor展开系数的计算前已述及，文献25提出了用辅助函数来求解C的方法，即令 m ,ngm n (t) g (tna)e j2 mbt(2.4.2并令Cx(t),g (t)x (t)g* (t na)e j2 mbtdt(2.4.3比较（2.4.3m ,nm ,n和 (2.2.7式，立即发现：CSTFT(m,n)x(2.4.4即Gabor系数是在离散栅格上求出的STFT。通常(2.4.3式称为Gabor变换，而(2.4.1 式称为Gabor展开。将(2.4.3式代入(2.4.1式，有x(t)x(t),g(t) h(t)m n=x(t)g* (t)dth (t)m ,nm ,nm n= x(t)g* (t)h (t)dt(2.4.5m ,n m ,nmn若要该式的右边等于x(t),则必有g (t)h (t) (t t)(2.4.6(2.4.)式称为x(t)的重构公式，(2.4.6式给出了为保证由Cm n恢复x(t),七卜七)和gm n (t)应遵循的条件。满足该条件的七n (t)被称为是完备的。由(2.4.6式还可以引申出胃函数h(t)和其对偶胃函数g(t)之间的关系2园g(t)h (t na)e j2 midt(2.4.7)该式称为g(t)和h(t)之间的双正交关系。显然，若m , n中有一个不为零，上式的积分即为零。若mn 0,则g (t)h (t)dt 1(2.4.8)文献25始出了矩形窗、高斯窗及其对偶函数的例子，此处不再详细讨论。以上给出的关系 是在ab 1,即临界抽样的情况下得到的。由上面的讨论，我们可得到一个求解Gabor系数 的方法：1：选择一个胃函数h(t);2:求其对偶函数g(t),使之满足(2.4.(式及(2.4.7式;3 :按(2.4.式做内积，从而得到匕n。但在一般情况下，对偶函数g(t)的求解并非容易。有关Gabor系数的实际求解方法我们将在2.4.4节讨论。现在我们探讨在ab 1时g(t)和h (t)应满足的关系。设时-频平面离散栅格的边界分别为ab ab 1仿照临界抽样的情况我们将I/乂 U J 刀、I Ltu IT rdA UJ/J I LJ L-IU J I ，/U /JU / .J 1 ,1 ,1 1， l/J 八1|山 妇LUI十LJUIF5U， JAj II Jzl YJx(t)作类似(2.4.式的分解：x(t) c h (t)m nc h (t na1)e j2 mb-f(2.4.9)mnGabor系数匕也可以按类似(2.4的方法求出：c (x(t),g (t)x(t)g (t nae j2 mbdt(2.4.10)注意，这两个式子中的参数分别是a1, b1。现在的问题是，g(t)和h(t)是否有着类似(2.4.6) 和(2.4.的关系？设有两个中间变量和%，并令气1/q，b0 1/气，显然，a0b1 1，气以1， 且1，仿照(2.4.式，有a0b0 g (t)h (t na0)e j2 midt(2.4.11)gm n (t)和hm n (t)的关系仍如(2.4.所示。这一关系是由Welex和Ras于1990年提出的回， 这一推广使得对Gabor系数求解的研究由临界抽样推广倒更一般的情况，即过抽样。当然，当ab 1时，用cm n表示x(t)将会产生冗余。这说明七n (t)不是正交的基函数， 那么，(2.4.式中的cmn将不唯一。为了讨论这一问题，人们将标架理论引入了Gabor展开， 深入地研究了七卜七)构成标架的条件、边界A和B的计算、对偶标架gm n(t)的求解，直至 导出c的有效计算方法。本书下节对此作一简要介绍。 m n2.4.3 Gabor 展开的标架理论简介127 , 22前已指出，若ab 1，则基函数七卜七)将是不完备的，七卜七)构不成一个标架，因此 无法由cm “重建乂;若ab 1，七卜七)是线性独立的，其对偶函数gmn(t)是唯一的，且和七卜七)是双正交 的。由Balian-Law】5定理及实际的例子都说明，尽管h(t)可以有好的时-频定位，但对偶 函数gm n (t)却未必有好的时-频定位。这样，由(2.4.式求出的匕n将无法反映信号x (t)在 时-频平面上能量分布的特征。例如，当h(t)是高斯窗时，其对偶窗甘如图2.4.淅示， 完全失去的能量集中的性能。由1.8节的讨论可知，若存在两个常数A和B，0 A B ，使A|x(t)|2(x (t), g(t)|2B|x(t)|2(2.4.12a)成立，则称gmn(t)构成了一个标架，由(2.4.式，上式即为A|x(t)|2c 2 B|x(t)|2(2.4.12b)m n即Gabor系数Cmn的能量是有界的，因此对x (t)的展开是稳定的。问题是，在什么条件下 (2.4.12才可成立。图2.4.3在ab 1时高斯窗的对偶函数，(a)h(t), (b)g(t)因为gm n是七n的对偶函数，hm n是否构成一个标架取决于h(t)的选择及a和b的取 值。令、是一个算子，并定义Sxx,h h(2.4.13)m n若hmn构成一个标架，则S为一标架算子(见1.8节)。定义Zx为x(t)的Zak变换，7牧为Sx 的Zak变换，由于Zak变换具有内积保持性质见1.10节)，将(2.4.1式两边对x(t)做内积, 我们有x,hm ,n/I2Sxx;Zsx,Zx;(2.4.14)利用（1.9节的Poisson求和公式，即e j2 mbt1mb (t J bmb我们有Sxej2 mbth (tna) x(t)e j2 mbth (t na)dt现考虑a、 bZsx(t,m1bmh (t na)m、.x (t )h (t na) t (t ) dt bx (t m) h (t na)h bn的积为有理数的情况，即令ab1 p 1 q 1Zh (t lp/q, )Zl0由（2.4.1及（2.4.1式，有l11p1q1Zh(t 0 0 i 0 l 0Z x (t,i/p)Z/, m(t nabp/q， p,q(tlp/q,(t,(2.4.15)N，可以证明128lp/q,)Zh (t)dtdi/p)Z (t, l i/p)lp/q,i/p)x,h 21 11/pdt dq 1 p 1Z (t lp/q,n/p)Z (t,n/p)m ,n :phxx0n 0002(2.4.18)Hln(t )Zh(tlp/q,n/p)(2.4.16)(2.4.17)(2.4.19a)Xn（t在（2.4.1式中，若左边=0,必有)Zx(t n/p)(2.4.19b)p 1H ln(t )Xn(t)0,0 l q 1(2.4.20)n0该方程组共有4个方程，P个未知数。若p q,即未知数的个数大于方程的个数，所以总有一个非零的X n(t )满足此方程。 由于Xn(t )是乂(七)的Zak变换，因此 也就总有一个非零的x(t)满足诉,hQ2 o这就是说，在ab 1时，七n是不完备的，因此七n构不成一个标架，即找不到大于零的常 数A满足(2.4.1式。现考虑ab 1的情况，令p 1，q N，由(2.4.1式，有x , hm ,n1 1 q 1 .lZhh0 02(t l/q, | |Z (t )2 dtd(2.4.21)显然，当且仅当2时，hmn是完备的。l/q, )0那么，若h构成一个标架，由(2.4.式，需存在标架界 m ,n一 一 a 12-0 A|Zh (t l/q, ) B(2.4.22)l0对一有限长的光滑窗函数，(2.4.2式是容易满足的。所以，我们说，当ab 1时，hmn可以构成一个标架，因此，(2.4.我对x (t)的展开是稳定的。我们知道，一组不完备的函数或向量)必不构成一个标架。反之，一组完备的函数或向 量)也不一定构成一个标架。也即，构造标架的一组函数或向量)必定是完备的。例如，当 ab 1时，若h(t)是高斯函数，则七卜七)是完备的，但由于其Zak变换在t 1/2，1/2处有一个零点7事从而使(2.4.2式不满足，所以七卜七)不能构成一个标架。前面已指出，ab 1时，hm n的对偶函数不具备好的时-频定位性能。因此，当利用Gabor变换时总是取 ab 1。现在的问题是如何求出在ab 1时，h(t)的对偶函数g(t)。一般，g (t)和h (t)有 m nm n(2.4.23)着类似的形式，即gmn(t)g(t na)ej2mbt。此外，由(2.4.1式关于算子，的定义，显然,gm,nS1hm, n，或 ,n Sgm, n对该式两边取Zak变换，再利用(2.4.1式，有p 1 q 1/Z (thi 0 l 0lp/q)Zh (t lp/q, i/p)Z(t, i/p) pZh (t,)(2.4.24)式中ab p/q，p,q N。若令p 1，上式对邙勺求和不需进行，于是有Z/ )Zh(t )q1|Z (t l/q, |2 hl 0(2.4.25)该式给出了利用Zak变换由h(t)求对偶函数g(t)的方法。观察该式可以发现，对于较大的q，32式的分胃趋近于一个常数，这样勺代)和九&)很相似。因此 漩和卜彳艮 相似。若h(t)有好的时-频定位性能，那么g(t)也将具有这一性能。这就是说，ab越小(q越大)，g(t)和h(t)越相似。此外，当hmn是一标架时，若想令其对偶函数g(t)也构成标m ,n架，就应选择使(2.4.2式分胃趋近常数的h(t)。Ygm ,n(t)求出，我们可由(2.4.式求出Gabor系数、。当然我们也可由(2.4.25)式来直接表示C m ,即128Z ,Z(t)Z (t np /q, )e j2 mtdtd1Zx(t, 0 0Z (t n/q,)hq1|Z (t l/q, )|2 he j2 mtdtd(2.4.26)式中仍然假定p 1。为求Gabor展开系数c ，按上面讨论的思路，应包含如下步骤： m ,n1. 选定一个窗函数h(t)；2. 选定时-频平面上的步长a和b，要求ab 1/q 1,即q取大于1的整数；3. 计算h(t)的Zak变换Zh(t );4. 计算信号x(t)的Zak变换Zx(t );q 125. 计算(2.4.2式的分胃，即Z (t l/q, )| ；1 h1l 06. 由(2.4.2式，求 Zg(t );7. 由(2.4.2式，计算Zx(t )和Zg(t )的内积，从而得到如同求离散信号的STFT 一样，若在计算机上实现一个信号的Gabor分解，x(t)必须离 散化，上述各个步骤的计算也必须离散化。离散信号Gabor展开的理论及实现的讨论颇为繁琐。其中包括离散Gabor变换的标架理 论、周期序列的离散Gabor变换、非周期序列的离散Gabor变换以及各种快速算法等。限于 篇幅，本书不再一一讨论。1.10节已给出了离散Zak变换的计算方法，MATLAB 中的“Time Frequency ToolbdX中给出了 Gabor变换的程序“tfrgabor 7,可供读者调用。有关Gabor 变换度计算可参看文献97,100,9及文献22文献63报告了如何利用Gabor变换来检测信 号中的瞬态分量。图2.4.3给出的一线性调频信号的Gabor变换。图(a是q 1时的图形，图(b是q4时的图形。可以看出，图(a给出了一些模糊的不易解释的内容。有关Gabor变换的理论还可参考文献133这是有关Gabor变换的一本新书。GABOR, Lh=16, Nf=8, N=16, Q=1, lin. scale, imagesc, Thld=5%Linear scale10.50-0.5Signal in time4 3 2 1 _IKfllvcneuaerlLinear scaleGABOR, Lh=16,图2.4.3线性调频信号的Gabor变换，(a)q 1, (b) q 4