计数原理解答题专项训练——2023届高考数学二轮专题复习（含解析）

2023高考数学计数原理解答题专项训练一解答题（共16小题）1解方程（1）；（2）2若（2xa）7a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a7（x+1）7，且a4560（1）求实数a的值；（2）求|a1|+|a2|+|a3|+|a6|+|a7|的值3已知的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992（1）求展开式中的有理项；（2）求展开式中系数最大的项4现将9名志愿者（含甲、乙、丙）派往三个社区做宣传活动（1）若甲、乙、丙同去一个社区，且每个社区都需要3名志愿者，求不同安排方法的总数；（2）若每个社区至少需要2名至多需要5名志愿者，求不同安排方法的总数5求下列问题的排列数：（1）3名男生和3名女生排成一排，男生甲和女生乙不能相邻；（2）3名男生和3名女生排成一排，男生甲不能排排头，女生乙不能排排尾6已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球（1）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？（2）在（1）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？7安排6名教师A，B，C，D，E，F到甲、乙、丙三个场馆做志愿者（1）有14个相同的口罩全部发给这6名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？（2）每名教师只去一个场馆，每个场馆至少要去一名教师，且A，B两人约定去同一个场馆，共有多少种不同的安排方法？8已知f（x）（2x+1）n展开式的二项式系数和为128，且（1+2x）na0+a1（x+1）+a2（x+1）2+an（x+1）n（1）求a2的值；（2）求a1+a2+a3+an的值9已知的展开式中，所有项的系数之和是512（1）求展开式中含x3项的系数；（2）求的展开式中的常数项10已知（1）若f（x）的展开式中，二项式系数之和是128，求f（x）展开式中的第3项；（2）若f（x）的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项，求f（x）g（x）展开式中的常数项11在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为（1）求n的值及展开式中的常数项是第几项；（2）展开式中系数最大的项是第几项？12从6名运动员中选4人参加4100米接力赛，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程，并用数字作答）（1）甲、乙两人必须跑中间两棒；（2）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒13现有7位老师（含甲、乙）排成一排拍照留念（1）求甲、乙不相邻且不在两端的概率；（2）如果甲、乙之间所隔人数为3，那么共有多少种不同的排法？14在二项式的展开式中，（1）若n6，求展开式中的有理项；（2）若第4项的系数与第6项的系数比为5：6，求：二项展开式中的各项的二项式系数之和；二项展开式中的各项的系数之和15（1）计算：A+A；（2）计算：C+C+C+C+C16已知（a2x）7a0+a1（x1）+a2（x1）2+a7（x1）7，其中a0，且x3的系数是22680（1）求a的值；（2）计算：（i）（a0+a2+a4+a6）（a1+a3+a5+a7）；（）|a0|+|a1|+|a2|+|a7|（以上结果可保留幂的形式）2023/3/31 8:37:32参考答案与试题解析一解答题（共16小题）1解方程（1）；（2）【解答】解：（1），则x+24或x+26，解得x2或x4；（2），即（2n+1）（2n）（2n1）（2n2）126n（n1）（n2），化简得到：8n263n+1240，解得n4或（舍去）2若（2xa）7a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a7（x+1）7，且a4560（1）求实数a的值；（2）求|a1|+|a2|+|a3|+|a6|+|a7|的值【解答】解：（1）由题意可得（2xa）7（2（x+1）（a+2）7a，则展开式中含（x+1）4的项为C560（a+2）3（x+1）4，所以560（a+2）3560，解得a1；（2）由（1）可知二项式为2（x+1）17a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a7（x+1）7，令x1时，a01，因为|a0|+|a1|+.+|a6|+|a7|的值为二项式2（x+1）+17的展开式的各项的系数和，所以令x0，则|a0|+|a1|+.+|a6|+|a7|37，所以|a1|+.+|a6|+|a7|37121863已知的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992（1）求展开式中的有理项；（2）求展开式中系数最大的项【解答】解：令x1得展开式各项系数和为（1+3）n4n，又展开式二项式系数和为，由题意有4n2n992，即（2n）22n9920，（2n32）（2n+31）0，n5，（1）n5，的展开式通项公式为Tr+1（r5，rN），当r2时，T3，当r5时，故展开式中的有理项为90x6，243x10；（2）设展开式中第k+1项的系数最大，又（3x2）k，得，解得，又kZ，k4，展开式中第5项系数最大，4现将9名志愿者（含甲、乙、丙）派往三个社区做宣传活动（1）若甲、乙、丙同去一个社区，且每个社区都需要3名志愿者，求不同安排方法的总数；（2）若每个社区至少需要2名至多需要5名志愿者，求不同安排方法的总数【解答】解：（1）依题意可得不同安排方法的总数为（2）根据题意，这9名志愿者人数分配方案共有三类：第一类是3，3，3，第二类是2，2，5，第三类是2，3，4故不同安排方法的总数为5求下列问题的排列数：（1）3名男生和3名女生排成一排，男生甲和女生乙不能相邻；（2）3名男生和3名女生排成一排，男生甲不能排排头，女生乙不能排排尾【解答】解：（1）由题知共6人，除去男生甲和女生乙外，还有4人，将4人全排共种，4人排好后留下5个位置，将这5个位置分给甲乙，有种，所以男生甲和女生乙不能相邻共种（2）由于男生甲不能排排头，女生乙不能排排尾，当乙排排头时，甲没有限制，此时排列数为种，当乙不排排头，因为乙不能排排尾，所以乙只能排中间4个位置中，共种，因为甲不能排排头，除去排头位置和已经排好的乙外，还有4个位置，选一个位置给甲，有种，此时还有另4人，没有限制，全排列有种，故当乙不排派头时有种，所以男生甲不能排排头，女生乙不能排排尾共计：种6已知一个袋内有4只不同的红球，6只不同的白球（1）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？（2）在（1）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？【解答】解：（1）设取x个红球，y个白球，则，解得或或，所以符合题意的取法共有种；（2）当总分为8分时，则取3个红球，2个白球，将抽出的这5个球排成一排，仅有两个红球第一步先取球，有种；第二步再排球，将两个红球绑在一起，并与另外一个红球排列，然后把2个白球插入，有种，则符合题意的排法共有60724320种7安排6名教师A，B，C，D，E，F到甲、乙、丙三个场馆做志愿者（1）有14个相同的口罩全部发给这6名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？（2）每名教师只去一个场馆，每个场馆至少要去一名教师，且A，B两人约定去同一个场馆，共有多少种不同的安排方法？【解答】解：（1）根据题意，一共14个相同的口罩，先每人发放一个，将剩下的8个口罩分为6组，每组至少一个，依次分给6人即可，8个口罩看成8个元素，排成一排，中间有7个空位，在其中任选5个，插入挡板即可，则有C21种发放方法；（2）根据题意，分2步进行分析：将6人分为三组，要求每组至少1人，且AB在同一组，若分为1、2、3的三组，有C+CC16种分组方法，若分为2、2、2的三组，有C3种分组方法，若分为1、1、4的三组，有C6种分组方法，则有16+3+625种分组方法，将分好的3组安排到3个场馆，有A6种情况，则有256150种安排方法8已知f（x）（2x+1）n展开式的二项式系数和为128，且（1+2x）na0+a1（x+1）+a2（x+1）2+an（x+1）n（1）求a2的值；（2）求a1+a2+a3+an的值【解答】解：（1）由f（x）（1+2x）n展开式的二项式系数和为128，可得2n12827，即n7由（1+2x）72（x+1）17C2（x+1）7+C2（x+1）6（1）1+C2（x+1）（1）6+C（1）7，得a2C（1）52284（2）令x+10，得a01，令x+11，得a0+a1+a2+a71，所以a1+a2+a729已知的展开式中，所有项的系数之和是512（1）求展开式中含x3项的系数；（2）求的展开式中的常数项【解答】解：（1）因为的展开式中，所有项的系数之和是512，所以令x1得：2n512，所以n9，通项公式：Tr+1C（3x1）9r（x）rC39r（1）rx，令r93，解得r8，C327，所以x3项的系数27；（2）由（1）知，n9，（1+）（2x1）n（2x1）9+，因为（2x1）n的展开式的通项为Tr+1C（2x）nr（1）r，所以（2x1）9的常数项为T10（1）91，的常数项为C18，所以（1+）（2x1）n的展开式中的常数项为1+181710已知（1）若f（x）的展开式中，二项式系数之和是128，求f（x）展开式中的第3项；（2）若f（x）的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项，求f（x）g（x）展开式中的常数项【解答】解：（1）因为f（x）的展开式中，二项式系数之和是128，所以2n128，得n7，所以f（x），故f（x）展开式中的第3项为T3T2+1214x184（2）因为f（x）的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项，所以n为偶函数，且41，即n6，所以f（x），其展开式的通项公式为Tr+1，而g（x）展开式的通项公式为Tm+1x123m，要求f（x）g（x）展开式中的常数项，则需令（2）+（123m）0，即+3m14，其中r，mN，且r，m0，6，所以只有当r6，m3时，+3m14才成立，故所求的常数项为1004011在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为（1）求n的值及展开式中的常数项是第几项；（2）展开式中系数最大的项是第几项？【解答】解：（1）展开式的通项公式为TC，r0，1，.，n，则第3项和第4项的系数分别为C，所以，解得n20，所以通项公式为T，令20，解得r16，所以常数项为第17项；（2）设第r+1项的系数最大，则，解得6r7，又r0，1，.，20，所以r6或7，即系数最大的项是第7项和第8项12从6名运动员中选4人参加4100米接力赛，在下列条件下，各共有多少种不同的排法？（写出计算过程，并用数字作答）（1）甲、乙两人必须跑中间两棒；（2）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒【解答】解：（1）因为甲、乙两人跑中间两棒，则甲乙两人的排列有种，剩余两棒从余下的4个人中选两人的排列有种，所以甲、乙两人必须跑中间两棒有种不同的排法；（2）已知甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒，则甲乙两人相邻两人的排列有种，则其余4人选两人和甲乙组合成三个元素的排列有种，故甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒有种不同的排法13现有7位老师（含甲、乙）排成一排拍照留念（1）求甲、乙不相邻且不在两端的概率；（2）如果甲、乙之间所隔人数为3，那么共有多少种不同的排法？【解答】解：（1）7位老师（含甲、乙）随意排成一排拍照留念的试验有个基本事件，它们等可能，甲、乙不相邻且不在两端的事件，为事件A含有的基本事件数为，所以甲、乙不相邻的概率P（A）（2）从除甲乙外的5位老师中任取3人排在甲乙之间有种，排在甲乙之间的3位老师与甲乙一起视为一个整体，同余下2位老师作全排列有种，甲乙的排列有种，由分步乘法计数原理得720，所以甲、乙之间所隔人数为3的不同排法的种数为720种14在二项式的展开式中，（1）若n6，求展开式中的有理项；（2）若第4项的系数与第6项的系数比为5：6，求：二项展开式中的各项的二项式系数之和；二项展开式中的各项的系数之和【解答】解：（1）若n6，在二项式的展开式中，通项公式为Tr+1（2）r，令为整数，可得r0，3，6，故展开式中的有理项为T1x2，T4（8）x2160x2，T764x6（2）第4项的系数与第6项的系数比为（2）3：（32）5：6，n6，二项式为，二项展开式中的各项的二项式系数之和为2n2664令x1，可得二项展开式中的各项的系数之和为115（1）计算：A+A；（2）计算：C+C+C+C+C【解答】解：（1）A432+54384；（2）C+C+C+C+CCCCC7016已知（a2x）7a0+a1（x1）+a2（x1）2+a7（x1）7，其中a0，且x3的系数是22680（1）求a的值；（2）计算：（i）（a0+a2+a4+a6）（a1+a3+a5+a7）；（）|a0|+|a1|+|a2|+|a7|（以上结果可保留幂的形式）【解答】解：（1）二项式（a2x）7的展开式中含x3的项为C280a4x3，所以280a422680，则a481，又a0，解得a3；（2）（i）由已知可得（12（x1）7a，令x2，则a0+a1+.+a7（12）71，令x0，则a0a1+a2.a7（1+2）737，所以+可得：a0+a2+a4+a6，可得：a1+a3+a5+a7，所以（a0+a2+a4+a6）（a1+a3+a5+a7）；（ii）由（i）可知a0，a2，a4，a6的符号为正号，a1，a3，a5，a7的符号为负号，所以|a0|+|a1|+.+|a7|a0a1+a2.a737