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总练习1、设为实数,证明:（1）(2） 证 由于 因此、设和都是上的初等函数,定义,，.试问和与否为初等函数？解：由于因此是由初等函数和经四则运算和有限次复合而成的函数,故是初等函数.又由于因此也是由初等函数和经四则运算和有限次复合而成的函数,从而是初等函数.3、 设函数,求:4、 已知,求.解: .5、 运用函数求解:a) 某系各班级推选学生代表,每5人推选一名代表，余额满3人可增选1名,写出可推选代表人数与班级学生数之间的函数关系(假设每班学生数为人)；b) 正数经四舍五入后得正数,写出与之间的函数关系.解: (1） 因余额满3人可增选1名,也就是说可在本来基本上增长2人后取整,于是（2)由定义知.6、 已知函数的图形,试作出下列各函数的图形:(1);(2) ;（3) ;() ；(5) ;(6) ;（）解:(1) 和的图形有关轴对称(2)和的图形有关轴对称（3)和的图形有关原点对称(4） () =(6) （)它们的图象如图1-4-图1-67、 已知函数f和g的图象,试作出下列函数的图形:(1)（2)解 (),()的图形如图117和图-188、 设f、g和h为递增函数,证明:若，则.证 由题设条件，有,因而.设f、g为区间上递增函数,证明和都是上的递增函数.证 对任意的，由f、g在上递增知,，因之,从而,即在上是递增函数同理可证在上是递增函数.10设为上的奇(偶)函数,证明:若在上递增，则在上递增（减）证: 当为奇函数时,对任意的,有，且.而,从而有，即,因此在上是递增的当为偶函数时,类似地可以证明结论成立.11.证明:(） 奇函数与奇函数之和仍为奇函数;(2）偶函数与偶函数之和仍为偶函数;(3)奇函数与偶函数的乘积是奇函数;(4) 奇函数与奇函数的乘积是偶函数;(5) 偶函数与偶函数的乘积是偶函数证:只证(1)、(3),其他可以类似地证明.设,为上的奇函数, ,为上的偶函数.(1) 令,则对任意的,因此是上的奇函数.（3） 令，则对任意的,因此是上的奇函数.2.设,为上有界函数,证明:.证： 对任意,由于,因此,故 （1)由不等式(1)又有因此同理有对任意,由于，,因此故 （2)由不等式(2）知因此即同理有1 设,为上有界函数,且证明: 证:(1) 只证第一种和第三个不等式.由且,因此故同理可以证明(2) 第二个不等式显然成立14.延拓定义在上的函数到整个实数轴上，使所得的函数为(）奇函数()偶函数.设(1）（)解: ()令则是奇函数, 是偶函数， 且都是延拓.（2)令则是奇函数, 是偶函数，且都是延拓.注:一般地令，则是上的奇函数, 是上的偶函数， 且都是的延拓15.设为定义在上觉得周期的函数.证明:若在上有界，则在上有界.证：由于在上有界,从而存在,对任意的,有对任意的,一定存在整数及使于是因此在上有界1.设在区间上有界,记,证明:.证:由于有,从而因此另一方面,使得及从而由的任意性知因此
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