随机变量的数字特征及其应用

青岛大学学士学位论文随机变量的数字特性（盼望、方差、协方差）及其应用学 院： 数学与记录学院 姓 名： 宋飞 专 业: 信息与计算科学 学 号： 41702053 指引教师： 宋丽娜 职 称: 副专家 随机变量的数字特性(盼望、方差、协方差)及其应用摘要：随着着人类思想的进步与发展,实际问题的概率化思想已经深刻的融入在了生活的方方面面。然而，在诸多事件发生的也许性的层面上来说,其成果往往会呈现出不拟定性,在诸多次反复实验中其成果又具有记录规律性的现象,我们将其称为随机现象。把每件事情的发生与否抽象成随机变量，于是在某些实际问题或者理论问题中人们感爱好于某些能描述随机变量某一种特性的常数，这种由随机变量的分布所拟定的,可以描述随机变量某一方面的特性的常数统称为数字特性,它在理论和实际应用中都很重要。本文对随机变量的几种重要的数字特性（涉及数学盼望、方差、协方差）进行了相应的研究。在探究求每个不同的数字特性所各自代表的实际意义时,通过对其定义、产生背景、实际意义等方面进行逐个分析之后,配备了相应例题进行解说分析，达到与生活实际融会贯穿的目的。最后，通过对数字特性的数学分析,可以浅谈它们各自在实际生活中的应用，已达到学以致用的目的。核心词:随机变量;数字特性;盼望;方差；协方差与有关系数Digial Characeisics (Exped,Varane, ovarianc) fRndm Vriable nd hei ApicaosAstrct：Wh th prgsan evlopmet of uma ough,heprobabliticthg of pactca problemsbn ey ntgte to llaspec of fe. owever,at the ee of the likeliood f ocurrenceof man vent,e resls te to shouertanty, and n may imes he esuts ofrepaed tihae staistical reit, whih wecl rnd peomena. Th ocrrene ofc thnis abtracte s a andm ariable，soe ractialpros or trtical prblem in theole nterested i me of te chctisticsofa randovable cn scra constat,wih is detrmine by the istiuton of radom variaes ，Constats hdescrbe the chateristics of a partilraspect o arado variabe are collectvey rferrd to as a dgital fatre, wch is imortnt tin teor ndn racical apctio. In this paper, seveal import dgita feures(incldinhematicl ptatn, varnce, coarance) of radomvarales artudid. n the study fte atual meaning of eacote diffeentdigita feats, thug itsdento,backgrud, practical sgnfiane adoer aspectofthe naysis, wth th correondieaples to explain te anls, to achieethpupose f itgration wtthatual lif.inally, thoug the ahemtical alysis of dgtal feus, yu caal about thir repetie aplican in real life, ha rchedhpurpos oflarn touse.Ke wods:Rand arabls; digita chaacteitis; epecatio; vrian; cvarae n crrelationoeient目 录摘 要核心词I英文摘要II英文核心词II1引 言12数学盼望22.数学盼望的引入及定义22.2研究数学盼望的重要性323数学盼望的应用问题 2.3.1数学盼望在经济学中的应用.4 2.2数学盼望在体育比赛中的应用.53 方差7.1方差的引入与定义.73.2研究方差的重要性. 3 方差的应用问题.94 协方差及有关系数.104.1 协方差102有关系数124. 协方差与有关系数的应用1总结.1参照文献.17道谢.181引 言随着人类社会的进步、科学技术与经济的发展，实际问题的概率研究已经与人们的生活不可分割,已经成为人们生活中不可或缺的一部分。随机变量数字特性是概率论中重要的内容,在概率论与数理记录中有着广泛的应用。“避其锋芒”“投其所好”的思想,无论是在金融理财还是在理论科学研究中都得到了更广泛的应用,从而可以看出,实际问题的概率分析在很长时间此前就得到了人们的关注，只但是在目前的生活中应用得更加的广泛与全面。在数学中，我们习惯将实际问题抽象为我们习惯的数学语言，随机现象的发生需要用随机变量来描述。随机变量的不同取值随实际实验的成果而定,而实验的成果浮既有一定的概率,因而随机变量的取值也就有一定的概率。不仅如此,随机变量在不同条件下由于偶尔因素的影响，其也许取多种不同样的值,其具有不拟定性和随机性。随机变量分类有离散型随机变量和持续型随机变量。用来刻画随机变量在某一方面的特性的常数就统称为数字特性。而在本文当中，通过研究随机变量最重要也是平时用的最多的数字特性（数学盼望、方差、协方差)的性质，总结出每个不同的数字特性所代表着的实际意义,加深理解数字特性对于解决实际问题的重要意义。最后，通过度析不同案例,总结出各个不同的数字特性在实际生活中的应用，达到在解决问题时的“游刃有余”,做到“知己知彼，百战百殆”。2数学盼望2.数学盼望的引入及定义我们一方面来看一种例子中国体彩新推出一种福利彩票,每张彩票都相应一种兑奖号码,每卖出5万张彩票设一种开奖组,一张彩票的获奖金额概率如下 获奖金额的分布金额（元） 0 10 5 500 5 50000 0000P 0. .09 .000009 00009 0.0009 0.00009问：每张彩票售价多少时可以保证体彩中心不会亏损？分析:要保证体彩中心不会亏损的话，每张彩票的价格不能低于每张彩票平均获得的金额,也就是说每张彩票的价格不能低于E（X) 3. 。数学盼望求解最重要的就要是先求出随机变量的分布列,因此此例中规定出购买多少次才初次中奖，则需先求出初次中奖时购买次数的分布列,如下表次数 2 k P 0.1 009 0.08 0.1*k- 于是可以引出这种离散型随机变量的数学特性的概念定义1:设离散随机变量X的分布列为 p（xi)=P(i）, i1,2,，n,.如若 , 则称 为随机变量X的数学盼望，或者可以称之为该分布的数学盼望,简称为盼望或均值.如果级数 不收敛，则称X的数学盼望不存在。在以上的定义中,规定级数绝对收敛的目的是为了使数学盼望唯一。这是由于随机变量的取值可正可负，取值的顺序也可前可后。我们可以从无穷级数的理论懂得,如果此无穷级数绝对收敛,则可保证它的和不受顺序变动的影响。由于有限项的和不受顺序变动的影响，因此取有限个也许值的随机变量的数学盼望总是存在的。以上的定义是针对离散型随机变量的数学盼望，而持续型随机变量的数学盼望的定义完全类似于离散型随机变量场合，只是把分布列p(i）改为密度函数,把求和改为求积就可以了。我们下面给出持续型随机变量的数学盼望的定义定义2：设持续型随机变量X的密度函数为p(x). 假若 ，则称为X的数学盼望,或称为该分布列（x)的数学盼望,简称盼望或均值。若 不收敛,则称X的数学盼望不存在。 2 研究数学盼望的必要性下面我们通过一种非常出名的案例分析一下研究数学盼望的必要性分赌本问题在7世纪中叶，一位赌徒向法国数学家帕斯卡(paal)提出了一种使她想了很长时间的分赌本问题:甲、乙两位赌徒的赌技不分上下,各自赌注了5法郎，每局中没有平局,必有一胜一负。她们事先商定好,谁先赢到三局者赢得所有赌本100法郎。目前当甲赌徒赢了两局,乙赌徒赢了一局时,由于突发事件（国王要召见赌徒)要终结赌局。目前问：100法郎如何分才算公平?这个问题提出来是引起来了诸多数学家的爱好。一方面人们可以想到:要是均分的话肯定是对甲赌徒是不公平的，但如果要所有都分给甲赌徒，又对乙赌徒不太公平。因此人们想到一种比较合理的措施是，按照一定的比例,甲赌徒可以多分某些,乙赌徒可以少分某些。因此问题的核心在于:按照何种比例来分的话才干保证最大限度的公平?考虑到公平性，假若可以继续比下去，最多的话,再有两局必结束。设为甲获得的赌本,背面两局也许浮现的状况也许就是(甲和甲）(甲和乙)（乙和甲）(乙和乙）,则我们可以列出的分布列如下 0 10P .25 0.75根据离散型随机变量的数学盼望的定义,我们可以求出随机变量A的数学盼望(A）=0*.5+100*0.7=75这就是说甲赌徒“盼望”所得为75法郎,乙赌徒“盼望”所得为25法郎。像这种分法,在考虑的过程中既考虑了已经结束了的赌局,又照顾到了也许继续赌局的也许性，体现出来一种“盼望”的数学思想，于是数学盼望这个定义被提了出来。 数学盼望又称盼望或均值,是随机变量按概率的加权平均,体现了其概率分布的中心位置所在。数学盼望是概率论初期发展中就已产生的一种概念。当时研究的概率问题大多与赌博有关。如果某人在一局赌博中面临如下的状况:在总共ab种等也许浮现的成果中,有种成果可赢得,其他b种成果可赢)， 则这就是她在这局赌博中所能“盼望”的收入。数学盼望的这种初始形式早在1657年即由荷兰数学家.惠更斯明确提出。它是简朴算术平均的一种推广。 从上面这个典型的案例我们可以可以感觉到,随着经济不断的发展,人类对于物质财富的分派更加注重，在分派的过程中，我们又可以感觉到,我们似乎可以找寻一种规律，通过研究这种规律，我们能在物质财产分派前做出对于成果更好的预测。盼望这个概念就是在最初的分赌本问题中被提出来，也是随着人类社会的发展,多种问题的进一步复杂化,也就产生了随机变量其他各个数字特性的概念，人们通过研究它们的性质,预测即将要发生的成果，概率学也就会在人类社会中起到十分重要的作用。我们下面研究一下数学盼望这个数字特性在现实生活中的应用。2.3 数学盼望的应用问题. .1 数学盼望在经济学中的应用通过以上我们对数学盼望的概念分析,我们可以感觉到无论是从筹划还是从决策层面上数学盼望都起着非常大的作用，因此在某些最基本的经济学问题上,我们往往会不自觉的运用它。我们来分析几种案例一:决策方案决策方案就是就是将数学盼望最大的方案作为最优的方案来加以决策。数学盼望为经济决策提供了良好的工具。经济决策类型按其影响范畴可大体上分为宏观经济决策和微观经济决策。宏观经济决策重要是指是在宏观层面上例如说国民经济的最高层次的决策。而微观经济决策就是指对局部性的某些具体问题的决策,消费者可以根据自己的有限收入决定其对多种产品的需求量。知识来源与生活,只有能解决实际问题，人类才会能动的运用知识去解决实际问题，对于数学盼望这一数字特性来说，其最大的价值就是通过研究事物发展的规律，进而得出科学,精确的成果，因此说，研究它对于经济生活是具有十分重要的意义的。 风险规避如果有这样一种公司，它预测自己的市场需求将会增长,而就目前来看的话,其公司员工都在每天超负荷的工作。于是公司为了满足市场需求,公司考虑与否让员工每天加班或者是添加设备的方式来提高产量,假设公司预测市场需求量增长的概率为p,同步就会有1的也许市场需求会下降。已知的数据可见下表：市场需求减少(1p)市场需求增长（）维持现状（A）0万 44万员工加班（2） 39万 5万添加设备（A3） 35万 54万有已知条件可以判断,在市场需求增长的状况下,使员工加班或添加设备都是对公司赚钱是有利的，但是现状是不懂得哪种状况会浮现,因此我们可以比较几种方案获利的盼望大小，然后用盼望值判断,于是就有:E(A1)=40（1p)+ 44p.E(2)3(1p)+52pE(A）=5(1）+4p.事实上,如果p=0.7,则(A1)=42.8(万元) E(2)=8.1(万元） （A3）=48.3（万元)从成果我们可以得知，公司要想得到效益最大化，就得添加设备，扩大生产。如果p=0.5则E(A1)=4(万元) (A)=4.5（万元） E(3）44.(万元)此时公司要想达到效益最大化，可决定增长员工的工作时间。由以上成果我们可分析得到,只要市场需求的增长也许性在50%之上，公司就必须采用一定的措施，以达到利润的增长。. 32 数学盼望在体育比赛中的应用我们都懂得，体育比赛的成果往往会被诸多因素决定。除了运动员自身身体素质的缘故，尚有会诸多其她外界因素也许会对比赛成果导致影响。譬如说比赛场地,天气因素，现场观众的干扰等等等等因素。而这些因素统称为外界因素,每场比赛运动员也许都会遇到某些或多或少的外界因素的干扰,这也是不可避免的,这就对运动员的发挥导致某些影响。因此在某些大型体育比赛开赛前,教练员会在真实水平差不多的运动员之间选择发挥更稳定的那个去参与比赛,而这里所说的稳定,就是相对的在求运动员水平的盼望。例:A和B是两名真实水平都差不太多的射击运动员，但要去参与奥运会只有一种名额,教练员为了获得更好的成绩,只能派出那个相对来说实力最强的运动员,于是她安排两位运动员在同样的条件下进行了一组射击,射击的成果如下表所示，问:A和哪位运动员实力更强某些？A运动员的成绩表A 7 8 9P 0.2 0. .6B运动员的成绩表B 7 8 9P 0.1 0.7 0.3我们可以根据上表分别求出A和B两个运动员的射击均值（数学盼望）,来分析她们水平的差别。 解:E(A)7 0.+8 0.2+984(环) (B)= 70.1+8 0.+0.3=9(环)计算成果我们可以看出,E(B）（）因此要单纯从实力强弱的角度上分析运动员水平的话，就可以选B运动员去参与奥运会。B运动员的数学盼望高于A运动员的数学盼望,代表着在相似的比赛条件下(可假设为外界对于运动员影响都同样)运动员实力要强于A运动员，可以派B运动员去参与比赛其把握更大某些。从以上例子我们可以看出在数学盼望对于体育比赛的影响。我们都懂得，概率论与数理记录是从数量上研究随机现象记录规律性的一门学科。且随机变量的分布函数比较能较全面的体现出随机变量的记录规律性。但是在现实诸多的经济现象中,规定随机变量的分布函数并不是一件容易的事情，因此只要能懂得能反映随机变量的某些重要数字特性就可以。并且另一方面来说,有某些常用的分布，譬如正态分布，泊松分布等等，这些分布只依赖几种参数。因此研究随机变量的数字特性在理论上和实际中均有很重要的意义。数学盼望这一数字特性是随机变量的重要的数字特性之一，它也在实际生活中诸多地方都扮演着十分重要的作用,本文也仅仅只是在经济决策和体育比赛中的某些简朴例子来粗浅的阐明某些数学盼望的实际应用，以传达数学盼望在实际生活中的现实意义及其重要性。下面我们来研究随机变量的另一种重要的数字特性方差。3方差通过以上对数学盼望的简要分析，我们可以理解到随机变量X的数学盼望E()是分布的一种位置特性数，它刻画了的取值总是在E(X）周边波动。但这个位置特性数无法反映出随机变量取值的“波动”大小，例如X与Y的分布列分别为 X 1 1P 1/ 1/3 /3Y -1 1P /3 /3 1/3.1方差的引入与定义从以上和Y的分布列我们可以得知,尽管它们的数学盼望都是0,但显然Y取值的波动要比取值的波动要大。能否用一种数值来反映出随机变量的“波动”大小,这里数学盼望显然是不能反映出这种性质的。如何要用一种数字或者一种数学概念来表达出随机变量“波动”的大小,自然而然的就浮现了方差这个非常重要的特性数。定义:假设随机变量的数学盼望为b=E(X),但是X的取值并不一定正好是,会或多或少的有偏差,偏离的量Xb有正有负，为了不让正负偏差彼此抵消,我们考虑(X-）2,不考虑数学上难以解决的绝对值.由于（Xb）仍然是一种随机变量，因此可以取其数学盼望E(b)就可以刻画X的“波动”限度，则这个量被称为X的方差，定义为假若随机变量2的数学盼望存在,则称偏差平方（X-X)2的数学盼望E(XX）2为随机变量（或相应分布)的方差,记做 Va(X)=E（X-（X)2=这是在离散场合时的方差定义，在持续场合方差的定义为Var（X)=E(X-(X)）2= 32研究方差的重要性 我们给出一种简朴的例子来分析一下研究方差的重要性。例如有一批零件,可以得知其使用寿命是E（X）=0（小时)。仅仅有这一种指标我们是不能鉴定这批零件的质量好坏的。事实上，在这批零件中，有也许绝大部分零件的寿命都在5小时之间,也有也许在这批零件中也许有将近一半是高质量的，其使用寿命也许有1000小时，另一半也许是质量很差的，它的寿命也许仅为800小时。目前为了评估这批零件的使用寿命，还需要进一步分析零件寿命与其数学盼望E（)=00（小时)的偏离限度。假若分析成果其偏离限度较小，表达质量比较稳定。从这个层面上考虑的话，我们就觉得这批零件的质量较好。但是，怎么要用一种量去度量这个偏离限度呢？显然，我们前面所分析过的用数学盼望的思想去分析就不是较好用了,因此得用到方差这个数字特性来去衡量这个偏离限度。一般用量表达零件寿命X的方差,这个特性值就可以反映偏离限度。假若此数值越大，则表白偏离限度越大，反之,则阐明偏离限度越小。在讨论数学盼望在体育比赛中的应用问题时,曾经引入过一种挑选运动员去参与奥运会的的实例。当时仅仅是在两个运动员实力差不太多的状况下按照实力单薄差距去挑选实力更强的那个运动员，那我们可以试想一下,如果教练员不去考虑两个运动之间单薄的实力差距，而更加注重的是运动员临场的发挥,对于环境的适应能力，特别是在射击这种对于运动员心里素质规定极高的运动中，更要去考虑运动员发挥的稳定性,这时，数学盼望这个数字特性就体现不出这种“稳定性”，而方差就可以。Var(A)=E(A-E（)）2= = + =(7-8)2 0.2+(-8.)2 0.2+(9-.4）2 0.6=0.92+0.032+021=0.6Va(B)=E(E（)）2=+=（9）2.1+(89）2.7+(9)2 0.3=0.4+0701由计算成果我们看出,Var()0时，这时称正有关,这时两个偏差和有同步增长或同步减少的倾向。由于都是常数，因此也可以等价于X与Y有同步增长和同步减少的倾向,这就是正有关的含义。当0时，称负有关,这个时候有X增长而Y减少的倾向，或者有Y增长而X减少的倾向,这就是负有关的定义。当=时，称与Y不有关。这时也许是有两类状况导致:一种状况是和Y的取值毫无关联，另一种状况是与Y之间存有某种非线性的关系。给出几种在协方差计算中很重要的几种性质：性质1:性质2:若随机变量X和Y互相独立，则，反之否则。性质:对任意的二维随机变量(,),有性质4：协方差的计算与的顺序无关，也就是说=性质：任何随机变量X和常数a的协方差为零，也就是说 性质6：对任何常数a,b,有 性质：假设，,是任意三个随机变量,则从一种简朴的例子来应用一下协方差的性质。例：设二维随机变量（X,)的联合密度函数为试求解:运用协方差的计算公式，我们要先计算的值，它们可直接用导出，但要注意积分限的拟定,具体如下：因此我们可以算得 最后我们得到结论：X与不互相独立。4.2有关系数通过以上分析,我们懂得协方差是有量纲的量,譬如X是作用在物体上的力,单位是牛顿(N),表达物体在这个力作用下移动的距离,单位是米（m),那么带有量纲（）.为了消除量纲的影响，目前对协方差除以相似量纲的量，就得到了一种新的定义有关系数，它的具体定义如下。定义2:设是一种二维随机变量，且则称 为X与Y的(线性）有关系数。 从以上定义可看出:有关系数与协方差是同符号的，即同步为正,或同步为负，或同步为零。这阐明，从有关系数的取值也可以反映出X与Y的正有关，负有关和不有关。 同协方差同样,它也有自己的性质。 性质：。这个性质表白:有关系数介于 性质2：线性关系,也就是说存在与，使得 其中，当时,有当时,有 对于性质2,有下面几点阐明:)：有关系数描述了随机变量X和随机变量Y之间的线性关系的强弱，因此有关系数又有一种名字“线性有关系数”。）：则称随机变量X与随机变量Y之间没有线性关系，但这不一定意味着它们之间没有其他的函数关系，例如说立方关系，指数关系等等。3): 如果这时就说X和Y之间完全正有关;假若这时就说随机变量和随机变量之间完全负有关。4):如果这时就称随机变量X和随机变量Y之间有“一定限度”的线性关系。如果越接近于1,则表白线性有关限度越高;反过来，如果越接近于0,则表白线性有关限度越低。比较协方差的性质，如果协方差很小的话，它的两个原则差和也就随之很小,但它们的比值不一定很小，这一点,可以看出协方差与有关系数之间的不同。 通过以上对于协方差和有关系数的概念分析和性质分析，我们可以懂得，协方差描述的是随机变量X和随机变量Y之间互相关系，而有关系数则进一步的体现了随机变量X和随机变量Y之间的线性有关的关系。这两个数字特性，虽然相似,但也有其性质方面的差别，在实际应用中，我们也要去要分析问题的侧重点，但有一点,协方差与有关系数在实际生活中有着极其广泛的应用，接下来我们简朴的去研究一下它们在实际中的应用。4.3协方差及有关系数的应用我们来看一种例子。在一次化学分析实验中，通过将不同药物(可以看做一种集合)在相似环境中的实验，得到了诸多成果。我们将药物集中的各个自身属性字段看做随机变量，将不同药物之间的类标号属性看做随机变量Y。各药物自身属性的属性值的分布状况即可看做各随机变量的取值分布,则任一随机变量的所有也许取值的状况为。取值的也许性就称作是随机变量的概率分布。这样的话,整个药物集就成为了诸多种随机变量的组合，每个随机变量的取值按照一定的概率分布。于是，可以衡量一下药物的每个自身属性和类标号属性之间的有关限度。可以设分别是随机变量和中的取值个数,然后再分别计算随机变量同随机变量Y的协方差： (一)其中是 的联合分布率,那么随机变量和的方差就为： (二)其中是的分布率。 (三）其中是的分布率。那么随机变量和的有关系数为: (四）如果考虑以随机变量X 的线性函数 来近似表达随机变量Y,以均方差 (五）来衡量以 e的值越小表达 和 的近似限度越好。取a，使得到最小，可以将分别有关a,b求偏导，并令她们为零,可以算得： (六) (七)联立(六)、（七）两式子，可以求得 可将,带入（五）式可算得: （八)最后,我们由(八）式可以懂得,均方误差e是的单调严格递减函数,这样的含义就非常明显了，如果相对e来说比较大时,阐明X,Y联系比较紧密,阐明药物的自身属性和类别属性也许会在某个层面上有很大的关系;特别地，当=1时,X和之间凭借概率1存在着线性关系。 以上这个例子是在科学研究中提取出的一种实例。我们可以感觉到，看似毫不有关的两个因素，通过进行协方差和有关系数的分析,表白在一定条件下,两者之间也许会有十分重要的联系,这对于科学研究来说拓宽了思路,也论证了看似不也许的思想。事实上,协方差与有关系数的分析在实际生活中尚有着更广泛的作用，例如在医学研究和核能研究中档等都体现出了这种极其重要的数学思想。由于时间的因素，我们在这里不去一一研究，但是要清晰的懂得，协方差这个特别重要的数字特性一定是与科学研究机现实生活密不可分的总 结本文在引言中重要简述了随着世界经济的高速发展与科学水平的迅速进步,概率学的思想已经进一步了人类的思想，要想做到对未知事物的摸索，就必须要去研究概率学的知识，而研究随机变量的特性值就变得非常重要了；在第二节中,概述了最基本的一种数字特性数学盼望，从定义分析,结合基本的实例,分析研究数学盼望对于经济问题和体育问题的重要性,然后简要的论述了数学盼望在实际生活中的应用;在文章的第三节中,研究了随机变量的另一重要的数字特性方差措施,也是从定义出发，通过实例分析方差对于“稳定性”的衡量,来凸显出研究方差的重要性。在最后，从案例入手，简要分析什么状况下应用方差去分析随机变量的性质;在文章的最后一节,着重分析了随机变量应用较广的一种数字特性协方差与有关关系。对于二维随机变量(X,Y）,我们不仅要分离讨论X与Y的数学盼望和方差之外,更需要讨论描述X和Y之间互相关系的数字特性，描述这种互相关联限度的一种特性数就是协方差。分析出某些协方差的性质，可以使我们在计算协方差时变得容易。最后也引出了刻画随机变量之间线性关系的另一重要指标有关系数,通过案例分析，体现出协方差与有关系数对于无论是在科学研究还是在实际生活中的数据分析的重要性。参照文献1 浙江大学 盛骤 谢式千 潘承毅概率论与数理记录第四版.高等教育出版社. 概率论与数理记录教程第二版.茆诗松 程依明 濮晓龙：科学出版社，高等教育出版社3 基于案例教学的数学盼望定义的教学研讨.李英华梁鑫 黄远敏：教育观测期刊，. 论数学盼望在经济决策中的应用.白兰 南昌高专学报 第6期.5 浅析数学盼望在经济生活中的应用.段丽凌河北经贸大学数学与记录学院:商场现代化4月(中旬刊）6 方差分析法浅析单因素的方差分析.杨小勇 广东石油化工学院：实验科学与技术.月 赵翔 齐云嵩 刘同明协方差及有关系数在决策树构造中的应用华东船舶工业学院 华东船舶工业学院学报1月致 谢 真心的感谢宋丽娜教师对我全面的认真、精心的指引。在整个过程中，宋教师总是不厌其烦的为我提供建议，使我受益颇深。不仅要感谢教师，还要感谢在我大学期间予以我鼓励与协助的各位教师们。正是由于有了她们的教育和指引,因此在大学期间的各方面为我提供了极大的动力，也造就了我目前在各方面中获得的极大的进步。对我目前以及将来的生活有着颇深的影响,为我在将来工作和学习中提供了迈进的动力，使我在面对困难时可以勇往直前,不断进取,不断进步。因此，我向在大学期间所有予以过我协助与关怀的各位教师们表达最诚挚的谢意与感谢。感谢所有协助、鼓励、支持过我的良师益友。