大学物理第三讲武汉理工大学

第三讲第三讲 麦克斯伟速度分布麦克斯伟速度分布1气体分子处在永不停息的无规则的运动中，气体分子处在永不停息的无规则的运动中，由于碰撞，每个分子的速度都在不断地改变。由于碰撞，每个分子的速度都在不断地改变。麦克斯伟速率分布律麦克斯伟速率分布律 气体速率分布如何？气体速率分布如何？2分布的概念分布的概念1）学生人数按成绩的分布）学生人数按成绩的分布（学生总人数为（学生总人数为200人，以人，以10分为一个分数区间）分为一个分数区间）分数区间分数区间人数按分人数按分数的分布数的分布人数比率按人数比率按分数的分布分数的分布32）伽）伽尔尔顿板实验：顿板实验：大量大量小球按位置的分布。小球按位置的分布。.43）气体分子按速率的分布）气体分子按速率的分布密勒和库士的实验装置密勒和库士的实验装置5气体分子按速率的分布气体分子按速率的分布（设总分子数为（设总分子数为N，分子速率在，分子速率在0都是可能的，都是可能的，以以为一个分数区间）为一个分数区间）速率区间速率区间分子数按速分子数按速率的分布率的分布分子数比率按分子数比率按速率的分布速率的分布6氧分子在氧分子在273K时的时的速率分布速率分布速率区间速率区间(m/s)百分数百分数实验数据实验数据实验结果：实验结果：在确定实验条件下，分布在任一在确定实验条件下，分布在任一速率区间的分子数与总分子数的比值是确定的。速率区间的分子数与总分子数的比值是确定的。10020020030030040040050050060060070070080080090090010020.6%1.4%8.1%16.5%21.4%15.1%9.2%4.8%2.0%0.9%7分子速率分布图分子速率分布图：分子总数分子总数为速率在为速率在区间的分子数。区间的分子数。表示速率在表示速率在区间的分区间的分子数占总数的百分比。子数占总数的百分比。8总分子数为总分子数为N，概率概率与与v有关，不同有关，不同v 附近概率不同。附近概率不同。有关，速率间隔大概率大。有关，速率间隔大概率大。速率间隔很小，速率间隔很小，该区间内分子数为该区间内分子数为dN，在该速率区间内分子的概率在该速率区间内分子的概率9写成等式写成等式速率分布函数的物理意义：速率分布函数的物理意义：表示在速率表示在速率v 附近，单位附近，单位速率区间内分子出现的概率，或单位速率区间内分子速率区间内分子出现的概率，或单位速率区间内分子数占总分子数的百分比。数占总分子数的百分比。由于全部分子百分之百地分布在由由于全部分子百分之百地分布在由0到到 的整个速率范的整个速率范围内，围内，归一化条件归一化条件速率分布函数速率分布函数表示分布在表示分布在区间区间内的分子数占总分子数的比内的分子数占总分子数的比率（或百分比）率（或百分比）10例例1：试述气体分子试述气体分子速率分布函数速率分布函数的物理的物理意义意义，请在以下四种表述中选出正确表述：，请在以下四种表述中选出正确表述：1）气体分子处于单位速率间隔的分子数与分子总气体分子处于单位速率间隔的分子数与分子总数数N 的比值；的比值；2）气体分子处于速率气体分子处于速率 附近附近速率间隔内的速率间隔内的分子数与总分子数的比值；分子数与总分子数的比值；3）平衡状态下，气体分子处于速率平衡状态下，气体分子处于速率率率间间隔内的概率；隔内的概率；4）平衡状态下，气体分子处于速率平衡状态下，气体分子处于速率附近单位附近单位速率间隔内的分子数与总分子数的百分比速率间隔内的分子数与总分子数的百分比。11窄条：窄条：分子速率在分子速率在 vv+dv 区间内的概率区间内的概率部分：部分：曲线下的面积曲线下的面积讨论：讨论：Ovf(v)v+dvvf(v)vf(v)OOvv1v212总面积：总面积：归一化条件归一化条件Ovf(v)v+dvvf(v)vf(v)OOvv1v2131860年麦克斯韦推导出理想气体的速率分布律。年麦克斯韦推导出理想气体的速率分布律。麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律气体中个气体中个别分子的速度具有怎分子的速度具有怎样的数的数值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整体和方向完全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分子的速度分来看，在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的布也遵从一定的统计规律。律。这个规律也叫这个规律也叫麦麦克斯韦速率分布律克斯韦速率分布律。14麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间分布在任一速率区间 vv+dv 的分子数占总分子数的的分子数占总分子数的比率为：比率为：1.1.麦克斯韦速率分布定律的内容麦克斯韦速率分布定律的内容151.f(v)v曲线曲线讨论：讨论：讨论：讨论：讨论：讨论：2.在在dv 速率区间内分子出现的概率速率区间内分子出现的概率3.在在f(v)v曲线下的面曲线下的面积为该速率区间内分子积为该速率区间内分子出现的概率：出现的概率：164.在在f(v)v整个曲线下的面积为整个曲线下的面积为1 -归一化条件。归一化条件。分子在整个速率区间内出现的概率为分子在整个速率区间内出现的概率为1。5.最概然速率最概然速率vP物理意义物理意义：若把整个若把整个速率范围划分为许多速率范围划分为许多相等的小区间，则分相等的小区间，则分布在布在 v vP P所在区间的分所在区间的分子数比率最大。子数比率最大。17将将f(v)对对v 求导，令一次导数为求导，令一次导数为0，最概然速率：最概然速率：由由和和18讨论：讨论：讨论：讨论：讨论：讨论：1）vP与温度与温度T的关系的关系曲线的峰值右移曲线的峰值右移,由于由于曲线下面积为曲线下面积为1不变，不变，所以峰值降低。所以峰值降低。曲线的峰值左移曲线的峰值左移,由由于曲线下面积为于曲线下面积为1不不变，所以峰值升高。变，所以峰值升高。2）vP与分子质量与分子质量m的关系的关系19讨论讨论麦克斯韦速率分布中最概然速率麦克斯韦速率分布中最概然速率的概念的概念下面哪种表述正确？下面哪种表述正确？（A）是气体分子中大部分分子所具有的速率。是气体分子中大部分分子所具有的速率。（B）是速率最大的速度值。是速率最大的速度值。（C）是麦克斯韦速率分布函数的最大值。是麦克斯韦速率分布函数的最大值。（D）速率大小与最概然速率相近的气体分子的比速率大小与最概然速率相近的气体分子的比率最大。率最大。20例例如图示两条如图示两条曲线分别表示曲线分别表示氢气氢气和和氧气氧气在在同一温度下同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，的麦克斯韦速率分布曲线，从图从图上数据求出氢气和氧气的上数据求出氢气和氧气的最概然速率最概然速率。200021气体分子在各种速率的都有，那么平均速率是多大呢？气体分子在各种速率的都有，那么平均速率是多大呢？假设：速率为假设：速率为v1的分子有的分子有个，个，速率为速率为v2的分子有的分子有个，个，平均速率：平均速率：1.平均速率平均速率利用麦克斯韦速率分布率可计算方均根速率、平均利用麦克斯韦速率分布率可计算方均根速率、平均速率等物理量。速率等物理量。2.2.麦克斯韦速率分布定律的应用麦克斯韦速率分布定律的应用22计算一个与速率有关的物理量计算一个与速率有关的物理量g(v)的统计平均值的公式：的统计平均值的公式：利用此公式还可计算分子的方均根速率、利用此公式还可计算分子的方均根速率、分子的平均分子的平均平动动能等。平动动能等。利用积分公式利用积分公式上下同乘上下同乘N0有：有：平均速率平均速率得：得：23利用方均根速率可计算分子的平均平动动能。利利用方均根速率可计算分子的平均平动动能。利用计算统计平均值公式：用计算统计平均值公式：利用广义积分公式利用广义积分公式2 2.方均根速率方均根速率方均根速率方均根速率方均根速率方均根速率与前面温度公式中所讲的方均根速率相同。与前面温度公式中所讲的方均根速率相同。243 3.三种速率的比较三种速率的比较三种速率的比较三种速率的比较三种速率统计值有不同的应用：三种速率统计值有不同的应用：在讨论速率分布时，要用到最概然速率；在计算分在讨论速率分布时，要用到最概然速率；在计算分子运动的平均距离时，要用到平均速率；在计算分子子运动的平均距离时，要用到平均速率；在计算分子的平均平动动能时，要用到方均根速率。的平均平动动能时，要用到方均根速率。三者关系：三者关系：25哪一种解法对？哪一种解法对？例。求：例。求：速率速率在在v1 v2 之间的分子的平均速率。之间的分子的平均速率。26特征速率例题氧气摩尔质量3.20 10mol温度27 C处于平衡态气体分子的和27 273 300（k）483(m s )394(m s )447(m s )27例：请说明下列各量的物理意义：例：请说明下列各量的物理意义：28分布在速率分布在速率v附近附近vv+d v 速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。单位体积内分子速率分布在速率单位体积内分子速率分布在速率v附近附近vv+d v 速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。分布在速率分布在速率v附近附近vv+dv速率区间内的速率区间内的分子数占总分子数的比率。分子数占总分子数的比率。请说明下列各量的物理意义：请说明下列各量的物理意义：29分布在有限速率区间分布在有限速率区间v1v2内的分子数占总内的分子数占总分子数的比率。分子数的比率。分布在有限速率区分布在有限速率区间间v1v2内的分子数。内的分子数。分布在分布在0速率区间内的分子数速率区间内的分子数占总分子数的比率。占总分子数的比率。（归一化条件）归一化条件）v 2的平均值。的平均值。301）2）例：例：已知分子数已知分子数，分子质量，分子质量，分布函数，分布函数求：求：1）速率在速率在间的分子数；间的分子数；2）速率在速率在间所有分子动能之和。间所有分子动能之和。速率在速率在间的分子数间的分子数31归一化例题 假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数为均为正常数，且 为已知画出该速率分布函数曲线根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数求速率在 区间的粒子数+抛物线方程得Max32续上概率分布函数应满足归一化条件本题要求:得速率在区间的粒子数得33例：例：有有N 个粒个粒子，其速率分子，其速率分布函数为：布函数为：求：求：1）作速率分布曲线并求常数作速率分布曲线并求常数a。2）速率大于速率大于v0和小于和小于v0 的分子数。的分子数。解：解：1)由归一化条件得由归一化条件得O34因为速率分布曲线下的面因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分子积代表一定速率区间内的分子数与总分子数的比率，所以：数与总分子数的比率，所以：因此，因此，v v0的分子数为的分子数为(2N/3)同理，同理，v v0的分子数为的分子数为(N/3)的的分子数与分子数与总分子数的比率总分子数的比率为：为：O2）速率大于速率大于v0和小于和小于v0的分子数。的分子数。35