线性系统的基本性质

线性系统的基本性质和联系1、齐次性1.1定义对于一个系统，当输入为u （t），初始状态为x（t0）时，其响应为y （t）；则当输入为a*u（t），初始状态为a*x（t0）时，其响应为a*y（t）。即：若 u（t），x（t0）一 y（t），则 a*u（t），a*x（t0）一 a*y（t）。则称系统具有齐次性，其中a为任意常数。1.2仿真1.2.1搭建电路图在PSIM软件上搭建一个RLC电路，直流电源电压为输入u（t），电感的初始电流I（0） 和电容两端的初始电压Uc（0）为初始状态，而电容两端的电压Uc（t）为输出。各个元件的参数如下：电阻R=12Q，电感L=1H，电容C=10mF。1.2.2仿真结果（2）当输入u （t） =15V,初始状态I （0） =0.6A、Uc （0） =3V时，其输出波形如下:（3）将两者图形放在一起，可看出由于其输入跟初始状态放大三倍，其输出也放大了三倍， 即可验证系统满足齐次性。2、叠加性2.1定义对于一个系统，当输入为u1（t），初始状态为x1（t0）时，其响应为y1（t）；当输入为 u2（t），初始状态为x2（t0）时，其响应为y2（t）；则当输入为u1（t） +u2（t），初始状 态为 x1（t0）+ x2（t0）时，其响应为 y1 （t） + y2（t）。即：若 u1（t），x1（t0）一 y1（t），u2（t），x2（t0）一 y2（t），则 u1 （t） + u2（t），x1（t0）+ x2（t0）一y1 （t） + y2（t）。则称系统具有叠加性。2.2仿真2.2.1搭建电路图继续采用上面所述的RLC电路，参数不变。2.2.2仿真结果（1）当输入u （t） =5V，初始状态I （0） =0.2A、Uc （0） =1V时，其输出波形如下:（2）当输入u（t）=3V，初始状态I（0）=0.5A、Uc（0）=0.5V时，其输出波形如下:（3）当输入u（t）=8V，初始状态I（0）=0.7A、Uc（0）=1.5V时，其输出波形如下:（4）将三者图形放在一起，可看出由于第三个输入跟初始状态放为前两个的叠加，其输出 也为第一个输出跟第二个输出的叠加，即可验证系统满足叠加性。3、系统齐次性与叠加性的联系（1）齐次性跟叠加性可以组合系统的线性，即：若 a1*u1（t），a1*x1（t0）一 a1*y1（t），a2*u2（t），a2*x2（t0）一 a2*y2（t），则 a1*u1（t）+ a2*u2（t），a1*x1（t0）+ a2*x2（t0）一a1*y1（t）+ a2*y2（t）。例如，当输入 u1（t）=5V，初始状态 I1（0）=0.2A、Uc1（0）=1V，输入 u2（t）=3V， 初始状态 I2（0）=0.5A、Uc2（0）=0.5V，输入 u3（t）=22V，初始状态 I3（0）=2.4A、 Uc3（0）=4V，a1=2，a2=4时，其输出波形如下：（2）当系统前面的系数a1、a2为实数时，只要系统满足叠加性，就一定满足齐次性。理由：将系统放大a倍，若a为整数，可以看成a个系统的叠加，显然成立；若a为为其 他有理数，可看成为整数部分与小数部分的叠加，不难得知满足齐次性。4、零状态响应4.1定义不考虑起始状态系统储能的作用，即初始状态x（t0）为0,只由系统输入信号产生的响应，即：u（t），x（t0）=0一 Yzs（t）4.2仿真4.2.1搭建电路图继续采用上面所述的RLC电路，参数不变。4.2.2仿真结果当输入u（t）=3V，初始状态I（0）=0、Uc（0）=0时，其输出波形如下:VR20J0.40.61Ti me 圈可以看到，系统从零点开始出发，而且最终状态跟输入一致，都为3V。5、零输入响应5.1定义在没有外加激励时，仅有t = 0时刻的非零初始状态引起的响应。取决于初始状态和电路特性，这种响应随时间按指数规律衰减。，即：U（t）=0，x（t0）一 Yzi（t）5.2仿真5.2.1搭建电路图继续采用上面所述的RLC电路，参数不变。5.2.2仿真结果当输入u（t）=0，初始状态I（0）=0.5A、Uc（0）=0.5V时，其输出波形如下:可以看出，系统从初始状态的电压值0.5V出发，最后趋于0.6、零状态响应与零输入响应的联系（1）零状态响应加上零输入响应为系统的全响应，即：Yzi（t）+ Yzs（t）= Y（t）例如，当输入u（t）=0，初始状态I（0）=0.5A、Uc（0）=0.5V时，输出记为VP1；输 入u（t）=3V，初始状态I（0）=0、Uc（0）=0，输出记为VP2；当输入u（t）=3V，初 始状态I（0）=0.5A、Uc（0）=0.5V时，输出记为VP3。其波形如下图所示：由图中，可得知VP3=VP1+VP2，即系统的全响应为系统的零输入响应和零状态响应之和。（2）零输入响应为系统齐次解的一部分，而零状态响应为系统的特解加上齐次解的一部分。 在零输入状态下，微分方程等式的右边为零，所以求出来的是系统的齐次解。而在零状态情 况下，因为有外加激励，所以包含系统的特解，另外，系统还受到初始条件的制约，所以还 包含有齐次解。例如，在上述系统中，当输入u （t）=5V，初始状态I（0）=0.2A、Uc（0）=1V时，用Matlab 分别求出其零状态响应和零输入响应。先求零输入响应方程： y=dsolve（D2y+12*Dy+100*y=0,y（0）=1,Dy（0）=20,x）得到结果 Yzi（x）=cos（8*x）/exp（6*x） + （13*sin（8*x）/（4*exp（6*x）再求零状态响应方程： y=dsolve（D2y+12*Dy+100*y=500,y（0）=0,Dy（0）=0,x）得到结果为 Yzs（x）=5 - （15*sin（8*x）/（4*exp（6*x） - （5*cos（8*x）/exp（6*x）从结果可以看出：零输入响应为系统齐次解的一部分，而零状态响应为系统的特解加上齐次 解的一部分。7、齐次性、叠加性与零状态响应、零输入响应的联系（1）系统的响应满足叠加性，即系统的全响应为零状态响应与零输入响应之和。（2）当输入为零时，系统的零输入响应对应各个初始状态呈线性，即同时满足齐次性与叠 加性。例如，当输入u（t）=0，初始状态I（0）=0.5A、Uc（0）=1V时，输出记为VP1；输入 u（t）=0，初始状态I（0）=1A、Uc（0）=0.5V，输出记为VP2；输入u（t）=0，初始状 态I（0）=1.5A、Uc（0）=1.5V，输出记为VP3。仿真结果为：从图中可以看出，VP3=VP1+VP2，即满足线性。（3）当初始状态为零时，系统的零状态响应对应各个输入呈线性，即同时满足齐次性与叠 加性。例如，当输入u（t）=5V，初始状态I（0）=0、Uc（0）=0时，输出记为VP1；输入u（t） =7V，初始状态I（0）=0、Uc（0）=0，输出记为VP2；输入u（t）=12V，初始状态I（0） =0、Uc（0）=0，输出记为VP3。仿真结果为：从图中可以看出，VP3=VP1+VP2，即满足线性。