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第三节圆 的 方 程内容索引内容索引必备知识自主学习核心考点精准研析核心素养微专题核心素养测评【教材【教材知识梳理】知识梳理】1.1.圆的方程圆的方程2.2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系点点M(xM(x0 0，y y0 0)与圆与圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2的位置关系的位置关系(1)(1)点点M(xM(x0 0，y y0 0)在圆外，则在圆外，则(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2_r_r2 2.(2)(2)点点M(xM(x0 0，y y0 0)在圆上，则在圆上，则(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2_r_r2 2.(3)(3)点点M(xM(x0 0，y y0 0)在圆内，则在圆内，则(x(x0 0-a)-a)2 2+(y+(y0 0-b)-b)2 2_r_r2 2.=0.4AF0.2.2.解决与圆上点解决与圆上点(x(x，y)y)有关的最值问题：转化为与圆心有关的最值问题有关的最值问题：转化为与圆心有关的最值问题.3.3.过过x x2 2+y+y2 2=r=r2 2上一点上一点P(xP(x0 0，y y0 0)的切线方程：的切线方程：x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2.【知识点辨析】【知识点辨析】(正确的打正确的打“”,”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)方程方程x x2 2+y+y2 2=a=a2 2表示半径为表示半径为a a的圆的圆.()(2)(2)方程方程x x2 2+y+y2 2+4mx-2y+5m=0+4mx-2y+5m=0表示圆表示圆.()(3)(3)方程方程AxAx2 2+Bxy+Cy+Bxy+Cy2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是表示圆的充要条件是A=C0,B=0,DA=C0,B=0,D2 2+E+E2 2-4AF0.-4AF0.()(4)(4)若点若点M(xM(x0 0,y,y0 0)在圆在圆x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0+Dx+Ey+F=0外外,则则 DxDx0 0+Ey+Ey0 0+F0.+F0.()提示提示:(1).(1).当当a=0a=0时时,x,x2 2+y+y2 2=a=a2 2表示点表示点(0,0);(0,0);当当a0a0,-45m0,即即m m1m1时表示圆时表示圆.(3).(3).(4).(4).【易错点索引】【易错点索引】序号序号易错警示易错警示典题索引典题索引1 1求圆的方程时计算出错求圆的方程时计算出错考点一、考点一、T5T52 2求轨迹方程和求轨迹的区别求轨迹方程和求轨迹的区别考点二、变式考点二、变式【教材【教材基础自测】基础自测】1.(1.(必修必修2P982P98例例1 1改编改编)圆圆x x2 2+y+y2 2-4x+6y=0-4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是的圆心坐标和半径分别是()A.(2,3),3A.(2,3),3B.(-2,3),B.(-2,3),C.(-2,-3),13C.(-2,-3),13D.(2,-3),D.(2,-3),【解析】【解析】选选D.D.由公式可知圆心坐标为由公式可知圆心坐标为 ,半径半径r=,r=,解得圆心坐标为解得圆心坐标为(2,-3),(2,-3),半径半径r=.r=.2.(2.(必修必修2P1132P113巩固与提高巩固与提高T8(3)T8(3)改编改编)过点过点A(1,-1),B(-1,1),A(1,-1),B(-1,1),且圆心在直线且圆心在直线x+y-2=0 x+y-2=0上的圆的方程是上的圆的方程是()A.(x-3)A.(x-3)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4=4B.(x+3)B.(x+3)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4=4C.(x-1)C.(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4=4D.(x+1)D.(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4=4【解析】【解析】选选C.C.将将A(1,-1),B(-1,1)A(1,-1),B(-1,1)代入选项代入选项,求出选项求出选项A,B,C,DA,B,C,D中的圆心并代入中的圆心并代入x+y-2=0 x+y-2=0得得C C合适合适.3.(3.(必修必修2P1042P104习题习题2-3AT32-3AT3改编改编)圆圆C C的圆心在的圆心在x x轴上轴上,并且过点并且过点A(-1,1)A(-1,1)和和B(1,3),B(1,3),则则圆圆C C的方程为的方程为_._.【解析】【解析】设圆心坐标为设圆心坐标为C(a,0),C(a,0),因为点因为点A(-1,1)A(-1,1)和和B(1,3)B(1,3)在圆在圆C C上上,所以所以|CA|=|CB|,|CA|=|CB|,即即 ,解得解得a=2,a=2,所以圆心为所以圆心为C(2,0),C(2,0),半径半径|CA|=,|CA|=,所以圆所以圆C C的方程为的方程为(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=10.=10.答案答案:(x-2)(x-2)2 2+y+y2 2=10=104.(4.(必修必修2P982P98例例2 2改编改编)ABC)ABC的三个顶点分别为的三个顶点分别为A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5),则其外则其外接圆的方程为接圆的方程为_._.【解析】【解析】方法一方法一:设所求圆的方程为设所求圆的方程为x x2 2+y+y2 2+Dx+Ey+F=0,+Dx+Ey+F=0,则由题意有则由题意有 故所求圆的方程为故所求圆的方程为x x2 2+y+y2 2-4x-2y-20=0.-4x-2y-20=0.方法二方法二:由题意可求得线段由题意可求得线段ACAC的中垂线方程为的中垂线方程为x=2,x=2,线段线段BCBC的中垂线方程为的中垂线方程为x+y-3=x+y-3=0,0,所以圆心是两中垂线的交点所以圆心是两中垂线的交点(2,1),(2,1),半径半径r=5.r=5.故所求圆的方程为故所求圆的方程为(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=25.=25.即即x x2 2+y+y2 2-4x-2y-20=0.-4x-2y-20=0.答案答案:x x2 2+y+y2 2-4x-2y-20=0-4x-2y-20=0【解题新思维】【解题新思维】巧用圆的几何性质巧用圆的几何性质【结论】【结论】求圆求圆C C上的动点上的动点P P到定直线到定直线l的最值时的最值时,常用到以下结论常用到以下结论:设圆心到直线设圆心到直线l的距离为的距离为d,d,圆圆C C的半径为的半径为r,r,(1)(1)当直线当直线l与圆与圆C C相交时相交时,点点P P到定直线到定直线l的距离最大值为的距离最大值为d+r,d+r,最小值为最小值为0.0.(2)(2)当直线当直线l与圆与圆C C相切时相切时,点点P P到定直线到定直线l的距离的最大值为的距离的最大值为2r,2r,最小值为最小值为0.0.(3)(3)当直线当直线l与圆与圆C C相离时相离时,点点P P到定直线到定直线l的距离的最大值为的距离的最大值为d+r,d+r,最小值为最小值为d-r.d-r.【典例】【典例】圆圆x x2 2+y+y2 2-2x-2y+1=0-2x-2y+1=0上的点到直线上的点到直线x-y=2x-y=2距离的最大值是距离的最大值是()A.1+A.1+B.2B.2C.1+C.1+D.2+2D.2+2 【解析】【解析】选选A.A.将圆的方程化为将圆的方程化为(x-1)(x-1)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1,=1,圆心坐标为圆心坐标为(1,1),(1,1),半径为半径为1,1,则则圆心到直线圆心到直线x-y=2x-y=2的距离的距离d=,d=,故圆上的点到直线故圆上的点到直线x-y=2x-y=2距离的最大距离的最大值为值为d+1=+1.d+1=+1.【迁移应用】【迁移应用】已知已知A(0,3 ),B ,PA(0,3 ),B ,P为圆为圆C:xC:x2 2+y+y2 2=2x=2x上的任意一点上的任意一点,则则ABPABP面积的最面积的最大值为大值为()【解析】【解析】选选A.A.化圆为标准方程得化圆为标准方程得(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1,=1,因为因为A(0,3 ),B ,A(0,3 ),B ,所以所以|AB|=3,|AB|=3,直线直线ABAB的方程为的方程为 x+y=3 ,x+y=3 ,所以圆心所以圆心到直线到直线ABAB的距离的距离d=.d=.又圆又圆C C的半径为的半径为1,1,所以圆所以圆C C上的点到直线上的点到直线ABAB的最大距离为的最大距离为 +1,+1,故故ABPABP面积的最大值为面积的最大值为S Smaxmax=.=.
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