浓度问题.题库教师版

6-2-3溶液浓度问题教学目标1、明确溶液的质量,溶质的质量,溶剂的质量之间的关系2、浓度三角的应用3、会将复杂分数应用题及其他类型题目转化成浓度三角形式来解4、利用方程解复杂浓度问题知识精讲浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密，就知识点而言它包括小学所学2个重点知识：百分数，比例。一、浓度问题中的基本量溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等 溶液：溶质和溶液的混合液体。浓度：溶质质量与溶液质量的比值。二、几个基本量之间的运算关系1、溶液=溶质+溶剂2、三、解浓度问题的一般方法1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)形象表达：注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相同的浓度三角的表示方法如下：3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法例题精讲模块一、利用十字交叉即浓度三角进行解题（一） 两种溶液混合一次【例 1】 某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到，那么这种溶液的食盐浓度为多少？【解析】 两种配置溶液共含食盐4015%+6010%=12克，而溶液质量为40+60-50=50克，所以这种溶液的浓度为1250=24%.【巩固】 一容器内有浓度为25的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15，问这个容器内原来含有糖多少千克？【解析】 容器内原含糖7.5千克。【巩固】 现有浓度为10的盐水8千克，要得到浓度为20的盐水，用什么方法可以得到，具体如何操作？【解析】 需蒸发掉4千克水，溶液的浓度变为20。【例 2】 有浓度为20的盐水300克，要配制成40的盐水，需加入浓度为70的盐水多少克？【解析】 将两种溶液的浓度分别放在左右两侧，重量放在旁边，配制后溶液的浓度放在正下方，用直线相连；（见图1）直线两侧标着两个浓度的差，并化成简单的整数比。所需溶液的重量比就是浓度差的反比；对“比”的理解应上升到“份”，3份对应的为300克，自然知道2份为200克了。需加入浓度为70的盐水200克。【巩固】 现有浓度为10的盐水20千克，在该溶液中再加入多少千克浓度为30的盐水，可以得到浓度为22的盐水？【解析】 10%与30%的盐水重量之比为（30%-22%）：（22%-10%）=2：3，因此需要30%的盐水2023=30克。【巩固】 千克浓度为的溶液和多少千克浓度为的溶液能混合成的溶液？【解析】 由十字交叉法两种溶液的配比为，所以应该用千克的的溶液来混合.【例 3】 甲种酒精溶液中有酒精千克，水千克；乙种酒精溶液中有酒精千克，水千克；要配制成的酒精溶液千克，问两种酒精溶液各需多少千克？【解析】 甲种酒精浓度为，乙种酒精浓度为，根据浓度三角，可知两种酒精的质量之比为：，由于配成的酒精溶液共7千克，因此需要甲种酒精千克，乙种酒精千克.【例 4】 将75的酒精溶液32克稀释成浓度为40的稀酒精，需加入水多少克？【解析】 稀释时加入的水溶液浓度为0（如果需要加入干物质，浓度为100），标注数值的方法与例1相同。（见图2），328728，需加水28克。【巩固】 （难度等级 ）浓度为10，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8的糖水？【解析】 浓度10，含糖 8010 8（克），有水80-872（克）.如果要变成浓度为8，含糖8克，糖和水的总重量是88100（克），其中有水100-892（克）.还要加入水 92- 72 20（克）.【例 5】 （难度等级 ）买来蘑菇10千克，含水量为99，晾晒一会儿后，含水量为98，问蒸发掉多少水份？【解析】 方法一：做蒸发的题目，要改变思考角度，本题就应该考虑成“98的干蘑菇加水后得到99的湿蘑菇”，这样求出加入多少水份即为蒸发掉的水份，就又转变成“混合配比”的问题了。但要注意，10千克的标注应该是含水量为99的重量。将10千克按11分配，102=5，蒸发掉5千克水份。方法二：晾晒只是使蘑菇里面的水量减少了，蘑菇里其它物质的量还是不变的，所以本题可以抓住这个不变量来解原来鲜蘑菇里面其它物质的含量为千克，晾晒后蘑菇里面其它物质的含量还是0.1千克，所以晾晒后的蘑菇有千克【巩固】 （难度等级 ）浓度为20的糖水40克，要把它变成浓度为40的糖水，需加多少克糖？.【解析】 浓度为20，含糖40208（克），有水40- 8 32（克）.如果要变成浓度为40，32克水中，应该含有的糖为：32（140%）32（克），需加糖（克）（二）两种溶液混合多次【例 6】 甲容器有浓度为2的盐水 180克，乙容器中有浓度为 9的盐水若干克，从乙取出 240克盐水倒入甲.再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问：（1）现在甲容器中食盐水浓度是多少？（2）再往乙容器倒入水多少克？【解析】 （1）现在甲容器中盐水含盐量是：1802 2409 25.2（克）.浓度是25.2（180 240） 100= 6.（2）“两个容器中有一样多同样浓度的盐水”，即两个容器中含盐量一样多.在乙中也含有25.2克盐.因为后来倒入的是水，所以盐只在原有的盐水中.在倒出盐水 240克后，乙的浓度仍是 9，要含有 25.2克盐，乙容器还剩下盐水25.29280（克），还要倒入水420-280140（克）.【例 7】 甲、乙两只装有糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率为，乙桶有糖水40千克，含糖率为，两桶互相交换多少千克才能使两桶糖水的含糖率相等？【解析】 由于两桶糖水互换的量是对等的，故在变化过程中，两桶中糖水的量没有改变，而两桶中糖水的含糖率由原来的不等变化为相等，那么变化后的含糖率为：，甲桶中原来的含糖率为，所以互相交换了：(千克)【例 8】 甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。第二次将乙容器中的混合液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精含量为62.5，乙容器中纯酒精的含量为40。那么第二次从乙容器中倒入甲容器的混合液是多少升？【解析】 乙中酒精含量为40，是由若干升纯酒精（100）和15升水混合而成，可以求出倒入乙多少升纯酒精。153210升62.5，是由甲中剩下的纯酒 精（1110）1升，与40的乙混合而成，可以求出第二次乙倒入甲升 【巩固】 甲杯中有纯酒精克，乙杯中有水克，第一次将甲杯中的部分纯酒精倒入乙杯，使酒精与水混合第二次将乙杯中的部分混合溶液倒入甲杯，这样甲杯中纯酒精含量为，乙杯中纯酒精含量为问第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是多少克？【解析】 第一次从甲杯倒入乙杯的纯酒精有：()(克)，则甲杯中剩纯酒精(克)由于第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液的浓度为，根据浓度倒三角，倒入的溶液的量与甲杯中剩余溶液的量的比为，所以第二次从乙杯倒入甲杯的混合溶液是克【巩固】 甲容器中有纯酒精11立方分米，乙容器中有水15立方分米第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器这样甲容器中的纯酒精含量为，乙容器中的纯酒精含量为那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少立方分米？【解析】 由于第二次操作是将乙容器内溶液倒入甲容器中，所以乙溶液在第二次操作的前后浓度不变，所以乙容器内倒入甲容器中的溶液的浓度为，而在此次倒入之前，甲容器中是纯酒精，浓度为，根据浓度倒三角，所以乙容器内倒入甲容器中的溶液的量与甲容器中剩下的量相等而第一次甲容器中倒入乙容器的的酒精有立方分米，所以甲容器中剩下的有立方分米，故第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是6立方分米【巩固】 有甲、乙两个同样的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛满了含酒精的液体先将乙杯的一半倒入甲杯，搅匀后，再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯问这时乙杯中酒精溶液的浓度是多少？【解析】 第一次将乙杯的一半倒入甲杯，倒入的溶液的量与甲杯中原有液体的量相等，浓度为，所以得到的甲杯中的溶液的浓度为；第二次将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯，倒入的溶液的量与乙杯中剩余液体的量相等，而两种溶液的浓度分别为和，所以得到的溶液的浓度为，即这时乙杯中酒精溶液的浓度是【例 9】 (2008年西城实验考题)将含农药的药液，加入一定量的水以后，药液含药，如果再加入同样多的水，药液含药的百分比是_【解析】 开始时药与水的比为，加入一定量的水后，药与水的比为，由于在操作开始前后药的重量不变，所以我们把开始时药与水的比化为，即，原来药占份，水占份；加入一定量的水后，药还是份，水变为份，所以加入了份的水，若再加入份的水，则水变为份，药仍然为份，所以最后得到的药水中药的百分比为：【巩固】 在浓度为40的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30，再加入多少千克酒精，浓度变为50？【解析】 再加入8千克酒精，溶液浓度变为50。【例 10】 有、两瓶不同浓度的盐水，小明从两瓶中各取升混合在一起，得到一瓶浓度为的盐水，他又将这份盐水与升瓶盐水混合在一起，最终浓度为那么瓶盐水的浓度是 【解析】 根据题意，瓶盐水的浓度为，那么瓶盐水的浓度是【例 11】 甲种酒精纯酒精含量为，乙种酒精纯酒精含量为，混合后纯酒精含量为如果每种酒精取的数量比原来都多取升，混合后纯酒精含量为第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升？【解析】 如果甲、乙两种酒精各取升混合，那么混合后的溶液共30升，浓度为，由于第二次混合后的浓度为，则可知第一次混合后的体积与升的比值为：则第一次混合后的体积为升又知，第一次混合时甲、乙两种酒精的体积之比为：则第一次甲酒精取了升，乙酒精取了升【巩固】 （2008年“我爱数学夏令营”数学竞赛）若干升含盐的溶液与若干升含盐的溶液混合后得到含盐的溶液。如果每种溶液各多取升，混合后就得到含盐的溶液，那么第一次混合时含盐的溶液取了 升。【解析】 第一次两种溶液所取的体积比为；由于两种溶液各取15升，将混合成含盐为的溶液30升，拿这30升溶液与开始时混合而成的含盐的溶液混合，将得到含盐的溶液，可知这两种溶液的体积之比为，所以第一次混合而成的溶液体积为升，所以第一次混合时含盐的溶液取了升。【巩固】 纯酒精含量分别为、的甲、乙两种酒精混合后的纯酒精含量为如果每种酒精都多取克，混合后纯酒精的含量变为求甲、乙两种酒精原有多少克？【解析】 原来混合时甲、乙的质量比是：，现在混合时甲、乙的质量比是：由于原来甲、乙的质量差现在甲、乙的质量差，所以原来甲的质量是该质量差的倍，现在甲的质量是该质量差的倍于是多取的克与对应所以，质量差(克)，原来甲的质量是克，原来乙的质量是克【例 12】 甲瓶中酒精的浓度为，乙瓶中酒精的浓度为，两瓶酒精混合后的浓度是如果两瓶酒精各用去升后再混合，则混合后的浓度是问原来甲、乙两瓶酒精分别有多少升？【解析】 根据题意，先从甲、乙两瓶酒精中各取5升混合在一起，得到10升浓度为的酒精溶液；再将两瓶中剩下的溶液混合在一起，得到浓度为的溶液若干升再将这两次混合得到的溶液混合在一起，得到浓度是的溶液根据浓度三角，两次混合得到的溶液的量之比为：，所以后一次混合得到溶液升这40升浓度为的溶液是由浓度为和的溶液混合得到的，这两种溶液的量的比为：，所以其中浓度为的溶液有升，浓度为的溶液有升所以原来甲瓶酒精有升，乙瓶酒精有升【例 13】 甲种酒精4千克，乙种酒精6千克，混合成的酒精含纯酒精如果甲种酒精和乙种酒精一样多，混合成的酒精含纯酒精甲、乙两种酒精中含纯酒精的百分比各是多少？【解析】 (法1)不妨设甲、乙两种酒精各取千克，则混合后的浓度为，含纯酒精千克；又知，千克甲酒精与千克乙酒精，混合后的浓度为，含纯酒精千克相差千克，说明千克乙酒精中含纯酒精千克，则乙酒精中纯酒精的百分比为，那么甲酒精中纯酒精百分比为.(法2)甲、乙两种酒精各取千克，则混合后的浓度为，而这种混合溶液，再混上千克的乙酒精就能获得的混合溶液，由于混合的质量比是，由十字交叉法，乙溶液的浓度为，又因为同样多的甲种酒精溶液和乙种溶液能配成的溶液，所以甲溶液浓度为.【例 14】 (2008年第六届“走美”六年级初赛)、两杯食盐水各有40克，浓度比是在中加入60克水，然后倒入中_克再在、中加入水，使它们均为100克，这时浓度比为【解析】 在中加入60克水后，盐水浓度减少为原来的，但溶质质量不变，此时两杯盐水中的盐的质量比仍然为，中的盐占所有盐的质量的，但最终状态下中的盐占所有盐的质量的，也就是说中的盐减少了，所以从中倒出了的盐水到A，即25克模块二、列方程解浓度问题【例 15】 使用甲种农药每千克要兑水20千克，使用乙种农药每千克要兑水40千克。根据农科院专家的意见，把两种农药混合使用能提高药效。现有两种农药共5千克，要配药水140千克，其中甲种农药需药_千克。【解析】 设甲种农药x千克，则乙种农药（5-x）千克。列方程： 【例 16】 甲、乙两瓶盐水，甲瓶盐水的浓度是乙瓶盐水的倍将克甲瓶盐水与克乙瓶盐水混合后得到浓度为的新盐水，那么甲瓶盐水的浓度是多少？【解析】 设乙瓶盐水的浓度是，甲瓶盐水的浓度是，有，解得，即甲瓶盐水的浓度是【例 17】 甲、乙两只装满硫酸溶液的容器，甲容器中装有浓度为的硫酸溶液600千克，乙容器中装有浓度为的硫酸溶液400千克各取多少千克分别放入对方容器中，才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样？【解析】 由于交换前后两容器中溶液的重量均没有改变，而交换一定量的硫酸溶液其目的是将原来两容器中溶液的浓度由不同变为相同，而且交换前后两容器内溶液的重量之和也没有改变，根据这个条件可以先计算出两容器中的溶液浓度达到相等时的数值，从而再计算出应交换的溶液的量 甲容器中纯硫酸的质量为(千克)；乙容器中纯硫酸的质量为(千克)；两容器中纯硫酸的质量和为千克，硫酸溶液的质量和为千克两容器中溶液互换后浓度为， 所以应交换的硫酸溶液的量为：(千克)另解：假设各取千克放入对方容器中，那么两种混合溶液中两种硫酸溶液的质量比相等，即，解得，即各取240千克【例 18】 甲容器中有浓度为的盐水克，乙容器有浓度为的盐水克分别从甲和乙中取出相同重量的盐水，把从甲中取出的倒入乙中，把从乙中取出的倒入甲中现在甲、乙容器中盐水浓度相同问：从甲(乙)容器取出多少克盐水倒入了另一个容器中？【解析】 由于两种盐水互换后浓度相等，而在互换的过程中盐的总质量是不变的，所以互换后盐水的浓度为，而甲容器中原来浓度为，所以相互倒了(克)另解：由于两种溶液的浓度不同，而混合后得到的溶液的浓度相同，只能是相混合的两种溶液的量的比是相等的这一点与两人各用两种速度走一段路程而平均速度相同中的两种速度的路程比、以及含铜率不同的两种合金熔炼成含铜率相同的合金(见第7讲相关例题)中两种合金的质量比是相似的假设相互倒了克，那么甲容器中是由克的盐水和克的盐水混合，乙容器中是由克的盐水和的盐水混合，得到相同浓度的盐水，所以，解得【例 19】 十字交叉法的证明过程：设甲、乙两瓶溶液的质量分别为和，浓度分别为和（），将两瓶溶液混合后所得的溶液浓度为，求证：【解析】 甲溶液中溶质的质量为，乙溶液中的溶质质量为，则混和溶液中的溶质质量为，所以混合溶液的浓度为，所以，即，可见也可以这样来理解；由于甲溶液浓度比乙溶液浓度高，两瓶溶液混合后，浓度变为相同，相当于甲溶液拿出了的溶质给乙溶液，乙溶液则得到了的溶质，所以，得到【例 20】 在浓度为的盐水中加入一定量的水,则变为浓度的新溶液.在这种新溶液中加入与前次加入的水量相等的盐,溶液浓度变为.求.【解析】 不妨设原来的盐水为100克，加入的水(或)盐重克,可列方程：，可得；，可得；解得，【巩固】 (2007年第五届“希望杯”一试六年级)一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为；第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为 。【解析】 抓住题中不变量-盐的重量假设第一次加入水后盐水的重量为克，盐的重量为 克，第二次加水后的总重量为克，这样就可得出加水量是克，第三次加水后的重量是克，这时的盐水的含盐百分比是【例 21】 瓶中装有浓度为的酒精溶液克，现在又分别倒入克和克的、两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了已知种酒精溶液浓度是种酒精溶液浓度的倍，那么种酒精溶液的浓度是百分之几？【解析】 (法1)方程法新倒入纯酒精：(克) 设种酒精溶液的浓度为，则种为根据新倒入的纯酒精量，可列方程： ，解得，即种酒精溶液的浓度是(法2)浓度三角法设种酒精溶液的浓度为，则种为根据题意，假设先把100克种酒精和400克种酒精混合，得到500克的酒精溶液，再与1000克的酒精溶液混合，所以、两种酒精混合得到的酒精溶液的浓度为根据浓度三角，有，解得故种酒精溶液的浓度是【例 22】 (2008年101中学考题)种酒精浓度为，种酒精浓度为，种酒精浓度为，它们混合在一起得到了11千克浓度为的酒精溶液，其中种酒精比种酒精多3千克，则种酒精有 千克【解析】 设种酒精有千克，种酒精有千克，种酒精有千克，则：解得，故种酒精有7千克【例 23】 一个卖牛奶的人告诉两个小学生：这儿的一个钢桶里盛着水，另一个钢桶里盛着牛奶，由于牛奶乳脂含量过高，必须用水稀释才能饮用现在我把桶里的液体倒入桶，使其中液体的体积翻了一番，然后我又把桶里的液体倒进桶，使桶内的液体体积翻番最后，我又将桶中的液体倒进桶中，使桶中液体的体积翻番此时我发现两个桶里盛有同量的液体，而在桶中，水比牛奶多出升现在要问你们，开始时有多少水和牛奶，而在结束时，每个桶里又有多少水和牛奶？【解析】 假设一开始桶中有液体升，桶中有升第一次将桶的液体倒入桶后，桶有液体升，桶剩升；第二次将桶的液体倒入桶后，桶有液体升，桶剩升；第三次将桶的液体倒入桶后，桶有液体升，桶剩升由此时两桶的液体体积相等，得，现在还不知道桶中装的是牛奶还是水，可以将稀释牛奶的过程列成下表：桶桶原桶液体：原桶液体原桶液体：原桶液体初始状态第一次桶倒入桶第二次桶倒入桶第三次桶倒入桶由上表看出，最后桶中的液体，原桶液体与原桶液体的比是，而题目中说“水比牛奶多 升”，所以原桶中是水，原桶中是牛奶因为在中，“”相当于1升，所以2个单位相当于1升由此得到，开始时，桶中有 升水，桶中有升牛奶；结束时，桶中有3升水和1升牛奶，桶中有升水和升牛奶【巩固】 有，两个桶，分别盛着水和某含量的酒精溶液先把桶液体倒入桶，使桶中的液体翻番；再将桶液体倒入桶，使桶中的液体翻番此时，两桶的液体体积相等，并且桶的酒精含量比桶的酒精含量高问：最后桶中的酒精含量是多少？【解析】 因为最后桶的酒精含量高于桶，所以一开始桶盛的是酒精溶液设一开始桶中有液体，桶中有第一次从桶倒入桶后，桶有，桶剩；第二次从桶倒入桶，桶有，桶剩由，得再设开始桶中有纯酒精，则有水将酒精稀释过程列成表(如图)：由题意知，解得所以最后桶中的酒精含量是桶桶纯酒精：水纯酒精：水初始状态第一次桶倒入桶第二次桶倒入桶【例 24】 、三瓶盐水的浓度分别为、，它们混合后得到克浓度为的盐水如果瓶盐水比瓶盐水多克，那么瓶盐水有多少克？【解析】 设瓶盐水有克，则瓶盐水为克，瓶盐水为()克则，解得所以瓶盐水为：(克)模块三、浓度三角解分数应用题【例 25】 （难度等级 ）某班有学生48人，女生占全班的37.5，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40，问转来几名女生？【解析】 浓度差之比124， 48241=2人,重量之比 241这是一道变换单位“1”的分数应用题需抓住男生人数这个不变量，如果按浓度问题做，就简单多了。转来2名女生。【例 26】 小明到商店买红、黑两种笔共66支红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价付钱，黑笔按定价付钱，如果他付的钱比按定价少付了，那么他买了红笔多少支？【解析】 浓度倒三角的妙用红笔按优惠，黑笔按优惠，结果少付，相当于按优惠，可类似浓度问题进行配比，得到红、黑两种笔的总价之比为，而红、黑两种笔的单价分别为5元和9元，所以这两种笔的数量之比为，所以他买了支红笔通过以上例题，我们可以看出，只要我们在解题时善于抓住事物间的联系，进行适当转化，就能发现其中的规律，找到解决问题的巧妙方法。【例 27】 有两包糖，每包糖内都装有奶糖，水果糖和巧克力糖已知：第一包糖的粒数是第二包的；在第一包糖中，奶糖占，在第二包糖中，水果糖占；巧克力在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的两倍当两包糖合在一起时，巧克力糖占，那么，水果糖所占的百分比等于多少？【解析】 由于第一包糖的粒数是第二包糖的，不妨设设第二包有糖块，则第一包有糖块设巧克力糖在第二包糖中所占的百分比为，则巧克力糖在第一包糖中所占的百分比为，根据题意，有：，解得，所以巧克力糖在第一包中占的百分比为，那么，在第一包糖中，水果糖占当两包糖合在一起时，水果糖所占的百分比是：【巩固】 (人大附中选拔入学考试题)有两包糖，第一包糖由奶糖和水果糖组成，其中为奶糖；第二包糖由酥糖和水果糖组成，其中为酥糖将两包糖混合后，水果糖占，那么奶糖与酥糖的比例是_.【解析】 第一包糖水果糖占，第二包糖水果糖占由浓度三角知：，即第一包糖与第二包糖的数量比为所以，奶糖与酥糖的比为课后练习