多采样率数字信号处理

第九章 多采样率数字信号处理 9.2 整数因子抽取 9.3 整数因子的内插 9.4 按有理数因子的采样率转换 9.5 采样率转换滤波器的高效 9.6 采样率转换系统的多级实现 本章内容： 9.1 引言 9.1 引言 前面讨论的信号处理的方法都是把采样率 Fs视为固定 值，即在一个数字系统中只有一种采样频率。但在实 际系统中，要求一个数字系统能工作在“多采样率” 状态。 例如 ,在数字电话系统中 ， 传输的信号既有语音信号， 又有传真信号，可能还有视频信号 ，这些信号的带宽 相差甚远。所以，该系统应具有多种采样率，并根据 所传输的信号自动完成采样率转换。 返回 需要多采样率 的场合： 采样率转换通常分为：抽取和插值 采样率转换类型 （ 1）整数因子抽取 （ 2）整数因子插值 （ 3）有理数因子采样率转换 （ 4）任意因子采样率转换 需求不同 非平稳信号的分 析 冗余数 据的存 在 回到本节 返回 本章主要讨论整数因子抽取、整数因子插值和有理数 因子采样率转换的基本原理及其高效实现方案。 回到本节 返回 n 0 ()vn ()yn n 0 9.2 整数因子抽取 ( ) ( )y m v D m D ()vn ( ) ( )y m v D m 1x x F T 1 xy y FF TD 现在按整数因子 D对抽取。原理方框图为 返回 )(nx n 0 序列 x(n) )(nxp n 已抽样序列 )(nx p 抽取序列 n )(nxd )(nx d )(np 抽样序列 p(n) n 回到本节 返回 D=3 原始信号 v(n) 脉冲串 p(n) 抽取后的序列 y（ n) 时域分析 i iDnnp )()( ( ) ( ) ( ) ( )y m v D m p D m v D m 回到本节 返回 频谱关系 令 /( ) ( ) ( ) ( )m m n D n D mm m n Y Z y m z s D m z s n z ( ) ( ) ( )s n v n p n ( ) ( ) ( ) ( )y m s D m v D m p D m /( ) ( ) ( ) ( )n D n D nn Y Z s n z v n p n z 21 0 1() D j n kD k p n eD 21 / 0 1( ) ( ) D j n k nDD nk Y Z v n e zD 回到本节 返回 21 / 0 1( ) ( ) D j n k nDD nk Y Z v n e zD 21 / 0 1 ()D j n k nDD kn v n e zD 21 1/ 0 1 () nD jk DD kn v n e zD 21 1/ 0 1 ()D jk DD k V e z D ( ) ( )xjv n V e 2211 1/ 00 11( ) ( ) ( )yyy kDD Dj k jjj DD kk Y e V e e V e DD y y x x y x yx T T T D T D 21 () 0 1( ) ( )xy kD jj D k Y e V e D 回到本节 返回 y y x x y x yx T T T D T D 21 () 0 1( ) ( )xy kD jj D k Y e V e D 2 2 xyD 回到本节 返回 频域分析 D=2 0 ()aVj va(t)信号的频谱 h h 1 T 0 v(n)信号的频谱 y(n)信号频谱 Tw hh 2 2 1 DT whw 2 ()jwVe ()jwYe 0 hh Dw hh Dw w 21 () 0 1( ) ( )yy kD jj DD k Y e V e D 回到本节 返回 ywhw hw ()jwVe 原信号的频谱 0 ）jweP( xw xw 0 1()jwVe hw 2 2 hw hw2 2hw 1 D sw 2 sw D 0 sw 2 2sw 1 D sw2sw2 2()jwVe ()jwYe 2 2 xw xw 回到本节 返回 结论： （ 1）时域抽取得愈大，即 D愈大，或抽样率愈 低，则频域周期延拓的间隔愈近，有可能产生频 率响应的混叠失真。 （ 2）对 x(n)不能随意抽取，只有在抽取之后的抽 样率仍满足抽样定理要求时，才不会产生混叠失 真。 回到本节 返回 整数因子抽取特点： (1)已抽样序列 x(n)和抽取序列 y(n)的频谱差别在频 率尺度上不同。 (2)抽取的效果使原序列的频谱带宽扩展。 (3)为避免在抽取过程中发生频率响应的混叠失真， 原序列 x(n)的频谱就不能占满频带 (0- ). (4)如果序列能够抽取而又不产生频率响应的混叠失 真，其原来的连续时间信号是过抽样，使原抽样率 可以减小而不发生混叠。 回到本节 返回 9.3整数因子内插 整数因子 I内插的目的将原信号采样频率提高 I倍 采样频率： 整数因子内插：将 x(n)的抽样频率 增加 I 倍，即为 I倍插值结果 插值的目标 1x x F T ( ) ( )ax t x n xF yxF IF I )(nx ()vm ( ) ( )ayy m x m T ()Ihm ( ) ( ) xa y y Ty m x m T T I 返回 在零值内插之后的滤波器 的作用就是滤除 中的镜像谱，输出所期望的内插结果。称为镜像滤波 器。理想情况下，镜像滤波器的频率响应特性为 式中， C为定标系数 ,此时 ,输出频谱为 定标系数 C的作用是，在 时，确保 输出序列 ,令 m=0 ,可以简单算出 C=I. ()Ihm j(e )yV j , 0 ( e ) 0 , y y I y CI H I j j (e ), 0 ( e ) 0 , y y y y C X I Y I 0 , , 2 , 3 ,m I I I ( ) ( )y m x m I 回到本节 返回 到按整数因子 I内插的序列 , 的采样率和 的采样率相同 .由于 且有 a( ) ( )yy m x m T ( ) , 0 , , 2 , 3 ,() 0 , x m I m I I Ivm 其他 ()vm ()ym ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m I m I m I m m m V z v m z v I m z x m z X z j jj e( e ) ( ) ( e ) yy y I zV V z X 回到本节 返回 表示相应于新采样频率 的数字频率 ,满足关系式 同样 , 表示原采样频率 的 数字频率 ,且 由于 ,所以 及其频谱 和 及其频谱 分别如 图 9.3.2（ a）和（ b）所示 . 可见 是原输入信号频谱 的 I次镜像周期 重复，周期为 。 根据时域采样理论知道， 按整数因子 I内插的输出序列 的频谱 应当以 为周期 . 如下图 9.3.2(c)所示 y y F 22y y yf T f F x xF 2xxfF yxF IF yx I ()xn j(e )xX ()vm j(e )yV j(e )yV j(e )xX 2 I ()ym j(e )yY 2 回到本节 返回 图 9.3.2 按整数因子 I内插过程中的时域和频域示意图（ I=3） 回到本节 返回 9.4 按有理数因子 I/D的采样率转换 在前两节讨论的基础上 ,现在介绍 按有理数因子 I/D 采样率转换一般原理 ,实现方法原理框图如下 : 转换过程 :首先对输入序列 按整数因子 I内插，然 后再对内插器的输出序列按整数因子 D抽取，达到按有 理数因子 I/D的采样率转换。 (先内插后抽取才能最大 限度地保留输入序列的频谱成分 ) 分别用 和 表示输入序列 和输出 图 9.4.1 按有理数因子 I/D的采样率转换方法 ()xn 1/xxFT 1/yyFT ()xn 返回 序列 的采样频率 ,则 .图中镜像滤波 器 和抗混叠滤波器 级联，工作在相同的采 样频率 ,二者可以合成为一个等效滤波器 ,从 而得到按有理数因子 I/D采样率转换的实用原理方框图 , 如下图 9.4.2所示 理想情况下， 和 均为理想低通滤波器，所以 等效滤波器 仍是理想低通滤波器，其等效带宽应 当是 和 中最小的带宽 . ()ym ()yxF I D F ()Ihl ()Dhl xIF ()hl 图 9.4.2 按有理数因子 I/D采样率转换的实用原理方框图 ()Ihl ()Dhl ()hl ()Ihl ()Dhl 回到本节 返回 的频率响应为 现在推导图 9.4.2中输出序列 的时域表达式 .零 值内插器的输出序列为 ()hl j , 0 m in , ( e ) 0 , m in , y y y I ID H ID ()ym ( ) , 0 , , 2 , 3 , () 0 , x l I l I I I vl 其他 回到本节 返回 线性滤波器输出序列为 整数因子 D抽取器最后输出序列时域表达式为 : 如果线性滤波器用 FIR滤波器实现，则可以根据上式直 接计算输出序列 . ( ) ( ) ( ) ( ) k y m w D m h D m k I x k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kk w l h l k v k h l k I x k 回到本节 返回 9.5 采样率转换滤波器的高效实现 采样率转换系统中滤波器的高效实现指的是 运算 量小 ,处理效率高 . 高效实现结构的基本思想是：将 FIR滤波器的乘 法和加法运算移到系统中采样率最低处。 FIR滤波器绝对稳定 ,容易实现线性相位特性 ,特 别是容易实现高效结构 . 下面分别介绍直接型 FIR滤波器的高效实现结构 和多级实现结构。 返回 9.5.1 整数因子 D抽取系统的直接型 FIR结构 9.5.2整数因子 I内插直接型 FIR滤波器结构 本章主要讲述 : D ()xn ( ) ( )y m v D m()vn() Dhn D TT 1 2 9.5.1 整数因子 D抽取系统的直接型 FIR结构 1 z 1 z 1 z 1 z M (0)h ( 2)hM ( 1)hM (1)h (2)h ()xn ()yn ()ym D 整数因子 D抽取系统的直接型 FIR滤波器结构图为 回到本节 返回 中抽取器 在 n=Dm时刻开通 ,选通 FIR滤波器的 一个输出作为抽取系统输出序列的一个样值 : D 1 0 ( ) ( ) ( ) M k y m h k x D m k 该系统结构的问题： （ 1）滤波器工作在高采样频率上； （ 2） D个滤波器输出的样值中，仅一个输出 回到本节 返回 D D D D (0)h ( 2)hM ( 1)hM (1)h ()xn ()ym 1z 1z 1z 1z 为了得到相应的高效直接型 FIR滤波器结构 ,将抽 取操作嵌入 FIR滤波器结构中，如下图示 回到本节 返回 n=Dm，抽取器开通， FIR滤波器的输入为 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M DD k v n x n h n h k v n k 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) M D k y m v D m h k v D m k ()yn)(nx D ()vn )( jweX ()jwVe ()jwYe () () D j D hn He ( ) , ( 1 ) , ( 2 ) , , ( 1 )x D m x D m x D m x D m M 回到本节 返回 可以看出，两种结构的滤波器输出样值相同，功能完全等效 高效直接型 FIR滤波器（右图）运算量为 1/D，滤波在抽取之 前。 D D D D (0)h ( 2)hM ( 1)hM (1)h ()xn ()ym 1z 1z 1z 1z 高效直接型 1 z 1 z 1 z 1 z M (0)h ( 2)hM ( 1)hM (1)h (2)h ()xn ()yn ()ymD 一般直接型 回到本节 返回 如果 FIR滤波器为线性相位滤波器 ,则根据 h(n)的对称 性 ,可以进一步减小计算量 .其高效结构如下图所示 . 采用线性相位 FIR滤波器的高效抽取结构图 回到本节 返回 9.5.2整数因子 I内插直接型 FIR滤波器结构 整数因子 I内插系统的直接型 FIR滤波器结构如图示 1 z 1 z 1 z 1 z M (0)h ( 2)hM ( 1)hM (1)h (2)h ()xn ()ym I I ()xn ()ym()vm () Ihm /yxT T I 回到本节 返回 该系统结构问题： （ 1）滤波器工作在高采样频率上； （ 2）滤波器输入的 I 个样值中，仅一个非零 解决方法：将直接型 FIR滤波器结构部分进行转置 变换 ,得到如图所示的等效结构。然后可以将零值 内插器移到 FIR滤波器结构中的 M个乘法器之后 ,得 到如图所示的结构。 回到本节 返回 1 z 1 z 1 z 1 z M (0)h ( 2)hM ( 1)hM (1)h (2)h ()xn ()ym I FIR滤波器转置 回到本节 返回 1 z 1 z 1 z 1 z M (0)h ( 2)hM ( 1)hM (1)h (2)h ()xn ()ym I M I I I I 可见，加在延迟链上的信号完全一样；乘法运算 在低采样率下实现高效结构 按整数因子 I内插系统的高效 FIR滤波器结构 回到本节 返回 线性相位 FIR： )1()( 2222 TnNhTnh 回到本节 返回 9.6 采样率转换系统的多级实现 在抽取因子和内插因子很大的情况下 ,实现结构中将需 要的多相滤波器很多 ,而且其工作效率很低。 下面分别介绍针对整数因子 D或内插因子 I情况的多级 实现方法 . 对内插因子 I的情况，如果 I可以分解为 L个正整数的乘 积 ,则按整数因子 I的内插系统可用下图所示的 L级整数 因子内插系统级联来实现。 返回 图中， 是第 i级整数因子 Ii内插系统的镜像 滤波器，第 i级输出的采样频率为 : 同样 ,D可以分解为 J个正整数的乘积 按整数因子 I内插系统的多级实现结构图 ()ihn 1 , 1 , 2 , ,i i iF I F i L 1 J i i DD 回到本节 返回 按整数因子 D的抽取系统可用下图所示的 J级整数因子抽 取系统级联来实现 . 第 i级输出序列的采样频率为 式中 是第 i级整数因子 Di抽取系统的抗混叠滤波器，其 阻带截止频率应满足 按整数因子 D的抽取系统的多级实现结构图 1 , 1 , 2 , ,i i iF F D i J 1 0 1 1xF F D F D ()ihn 回到本节 返回 相应的模拟截止频率为 下面通过分析可以证明 ,各级滤波器的过渡带可以更宽 , 从而使滤波器阶数降低 ,并能保证总抽取系统输出的频 谱混叠满足要求。按整数因子 D抽取 ,只能保留输入信 号 中的频谱 成分 . 用多级实现时 ,只要设计每级滤波器，保证该频段上无 频谱混叠就行 . s iiD s1 22i i i if F F D ()xn 0 2 H zxf F D （ 9.6.6） 回到本节 返回 定义无失真通带和过渡带 , 以模拟频率（ Hz） 给出如下 : 通带 过渡带 式中，阻带截止频率 按照下式给出的边界频率设计第 i级滤波器 ,就 能保证在有用频带上无频谱混叠。 通带截止频率 p0 H zff ps H zf f f s 2xf F D pp H z , 1 , 2 , ,if f i J （ 9.6.9） 回到本节 返回 阻带截止频率 : 可用数字频率表示如下 ss ss H z , 1 , 2 , , 1 H z ii J f F f i J ff p p 12 / r a dii fF s s s s 1 1 1 2 2 ( ) 22 r a dii i i i i i f F f f F F D F （ 9.6.10） 回到本节 返回 抽取系统总的频率响应 H(f)特性如图 9.6.3(a)所示 ,由 式（ 9.6.9）和式（ 9.6.10）定义的第 I级滤波器的频 率响应特性如图 9.6.3（ b）所示。图 9.6.2中第 I级抽 取器输出端频谱示意图如图 9.6.3（ c）所示。 图 9.6.3 回到本节 返回 由该图可见，有用部分频带 上无频谱混 叠 . 用式（ 9.6.6）确定的 阻带截止频率时， 过渡带宽度为 用式（ 9.6.10）确定的 阻带截止频率时， 过渡带宽度为 且 s0 ff 1 s p p2 iiB f f F f ()ihn ()ihn 2 s p s p iiB f f F f f 2 1 s/2iB B F f 回到本节 返回 可见过渡带宽度加宽了 ,使第 i级抽取器输 出端存在频谱混叠 .正是利用了过渡带宽度加宽 ,使滤波 器 阶数变小 ,从而使计算效率大大提高。 s2iFf ()ihn 回到本节 返回