二重积分的概念及质

第六节 二重积分的概念及性质 一、引例 二、二重积分的定义 三、二重积分的性质 一、引例 解 分三步解决这个问题 . 引例 1 质量问题 . 已知平面薄板 D的面密度 (即单位面积的质量 ) 是点 (x,y)的连续函数 ,求 D的质量 . ),( yx (1)分割 将 D用两组曲 线任意分割成 n个小块 : , 21 n 其中任意两小块 和 除边界外无公共 点 .与一元函数的情况类似，我们用符号 既表 示第 i个小块，也表示第 i个小块的面 .(i=1,2, n). )( jiji i 故所要求的质量 m的近似值为 .),( 1 i n i iim (2)近似、求和 若记 为 的直径 (即 表示 中任 意两点间距离的最大值 )，将任意一点 处的密度 近似看作为整个小块 的面密 度 .得 i ii iii ),( i),( ii .),( iiiim i (3)取极限 记 ，则定义 ,m a x 1 n ( 1) ),(lim 10 n i iii 为所求薄板 D的质量 m. 引例 2 曲顶柱体的体积 . 若有一个柱体，它的底是 Oxy平面上的闭区域 D， 它的侧面是以 D的边界曲线为准线，且母线平行于 z轴 的柱面，它的顶是曲面 z=f(x,y)，设 f(x,y)0为 D上的连 续函数 .我们称这个柱体为曲顶柱体 .现在来求这个曲 顶柱体的体积 . 解 也分三步解决这个问题 . (1)分割 区域 D用两组曲线任意分割成 n个小块 : , 21 n 其中任意两小块 和 除边界外无公共点 . 其中 既表示第 i个小块，也表示第 i个小块的面积 . )( jiji i (2)近似、求和 记 为 的直径 (即 表示 中任 意两点间距离的最大值 )，在 中任取一点 , 以 为高而底为 的平顶柱体体积为 ii i ii ),( ii ),( iif i .),( iiif 此为小曲顶柱体体积的近似值，故曲顶柱体的近 似值可以取为 .),( 1 n i iiif (3)取极限 若记 ，则定义 ,m a x 21 n n i iiif 10 ),(lim 为所讨论的曲顶柱体的体积 . 二、二重积分的定义 定义 设 f(x,y)在闭区域 D上有定义且有界 . (1)分割 用任意两组曲线分割 D成 n个小块 其中任意两小块 和 除边界外无公共点， 既表示第 i小 块，也表示第 i小块的面积 . i i ，n , 21 (2)近似、求和 对任意点 ，作和式 iii ),( .),( 1 n i iiif )( jij (3)取极限 若 为 的直径， 记 ,若极限 ,m a x 21 n n i iiif 10 ),(lim i i 存在，且它不依赖于区域 D的分法，也不依赖于点 的取法，称此极限为 f(x,y)在 D上的 二重积分 . 记为 ),( ii .),(limd),( 10 n i ii D ii ff (2) 称 f(x,y)为 被积函数 ， D为 积分区域 ， x， y为 积分变 元 ， 为 面积微元 (或 面积元素 ). d 由这个定义可知，质量非均匀分布的薄板 D的质 量等于其面密度 在 D上的二重积分 .因此二重积 分 的物理意义可以解释为：二重积分的值 等于面密度为 f(x,y)的平面薄板 D的质量 . ),( yx D yxf d),( 二重积分 的几何意义： D yxf d),( (1) 若在 D上 f(x,y)0，则 表示以区域 D为底， 以 f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积 . D yxf d),( (2) 若在 D上 f(x,y)0，则上述曲顶柱体在 Oxy面的下 方，二重积分 的值是负的，其绝对值 为该曲顶柱体的体积 . D yxf d),( (3)若 f(x,y)在 D的某些子区域上为正的，在 D的另一些 子区域上为负的，则 表示在这些子区域 上曲顶柱体体积的代数和 (即在 Oxy平面之上的曲顶 柱体体积减去 Oxy平面之下的曲顶柱体的体积 ). D yxf d),( 二重积分的存在定理 若 f(x,y)在有界闭区域 D上连 续，则 f(x,y)在 D上的二重积分必存在 (即 f(x,y)在 D上必 可积 ). 三、二重积分的性质 二重积分有与定积分类似的性质 .假设下面各性 质中所涉及的函数 f(x,y)， g(x,y)在区域 D上都是可积的 . 性质 1 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代 数和的积分等于各函数积分的代数和，即 .d),(d),(d),(),( DDD yxgyxfyxgyxf 性质 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即 ).( d),(d),( 为常数kyxfkyxkf DD .d),(d),(d),( 21 DDD yxfyxfyxf 性质 3 若 D可以分为两个区域 D1， D2，它们除边界外无 公共点，则 ).(d DS D 性质 4 若在积分区域 D上有 f(x,y)=1，且用 S(D)表示区 域 D的面积，则 性质 5 若在 D上处处有 f(x,y)g(x,y)，则有 .d),(d),( DD yxgyxf 推论 .d),(d),( DD yxfyxf 性质 6(估值定理 ) 若在 D上处处有 mf(x,y)M，且 S(D) 为区域 D的面积，则 ).(d),()( DMSyxfDmS D (3) 性质 7(二重积分中值定理 ) 设 f(x,y)在有界闭区域 D上 连续，则在 D上存在一点 ，使 ),( ).(),(d),( DSfyxf D (4) 证 由 f(x,y)在 D上连续知， f(x,y)在 D上能达到其最小 值 m和最大值 M，因而估值式 (3)成立 .即有 MyxfDSm D d),()(1 成立 .再由有界闭区域上连续函数的介值定理知， 存在 ，使 D),( .d),()(1),( D yxfDSf (5) ),( f (5)式的等号右边的式子称为函数 f(x,y)在 D上平均 值 .因而，积分中值定理又可以这样说：“对有界闭区 域 D上连续函数 f(x,y)，必在 D上存在一个点 使 取 f(x,y)在 D上的平均值” .故积分中值定理也是连 续函数的 平均值定理 . ),( 例 设 D是圆环域： ，试估计 22( ) d D xy 41 22 yx 解 在 D上， 而 D的面积 S(D)=4=3. 41 22 yx 223 e d 1 2 .xy D 由估值公式 (3)得