圆锥曲线问题通法通解

解圆锥曲线问题常用方法【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法：1、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分 利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构 图，用图形的性质来说明代数性质。如“2x+y”，令2x+y=b，则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x2+y2” ,令山2 + y2 = d，则d表示点P（x，y）到原点的距离；又如“虹；”，令兰=k，则k表示点P（x、y）与点A（-2, 3）这两点连线的斜率x + 2 x + 22、参数法（1） 点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P，常设P （t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P。除设P （xi，yi）外，也可直接设P （2y,-1,yi）（2）斜率为参数当直线过某一定点P（x,y）时，常设此直线为y-y0=k（x-x0），即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。（3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。3、代入法这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件七七求（或求证）目标Q”， 方法1是将条件七代入条件七，方法2可将条件七代入条件七，方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入七七 这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。【典型例题】例1：已知P（a,b）是直线x+2y-1=0上任一点，求S= t。2 + b2 + 4a 6b +13的最小值。分析：由此根式结构联想到距离公式，则S=|PQ|,它的最小值即Q到此直线的距离解：S=Ja + 2)2 + (b 3)2 设 Q(-2,3),.S |2 + 2:3-11 =里 min5点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题（注：可令根式内为t消元后，它是一个一元二次函数）y取得最值，设最值为k，则切线:x(y 13 3(y 11x J4 ,min1x Jmax3 + 34例3：直线l：X 2 y 2ax+y+2=0平分双曲线一： = 1的斜率为1的弦，求a的取值范围.169分析:由题意直线l恒过定点P(0,-2)，平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹，再求轨迹上的点M与点P的连线的斜率即-a的范围。解：设A(x,y),B(x,y)是双曲线上的点，且AB的斜率为1，AB的中点为M(x,y)112200x 2 y 2-% = 1169_ X2 - X2、-得y 21 y 2290,即 - % -1 = 0169即 M(X0,y0)在直线 9x-16y=0 上。由(9x-16y=0得(-宇丁 J,D(16 916.、163、16(7.点M的轨迹方程为9x-16y=0(x 7)99-2 + 二 -2-二 .IB9 -25 .、门9 + 2菖k 二= k =kPD 八 1616，PD 八 160 +0 -v77y例2：已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上一动点，求一的最值。xy解：设O(0，0)，则 表示直线OP的斜率，由图可知，当直线OP与圆相切时xy=kx,即 kx-y=0_13k - 21 1圆(x-3)2+(y-2)2=l,由圆心(3，2)到直线kx-y=0的距离为1得 =1, 业2 +1由图知，当动直线l的斜率kec=、9 + 2716 )时，l过斜率为1的弦AB的中点M,而k=-a.a的取值范围为:1616)_ J_、9 27 - 9 J ,k 1616 J点评：此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的，由图得知，AB；中点轨迹并不是一条直线效-16y=0）,而是这条直线上的两条射线无端点。再利用图形中的特殊点（射线的端点命D）的属性（斜率）说明所求变量的取值范围。例4：过y2=x上一点A （4, 2）作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点。求证：直线BC的斜率是定值。分析：（1）点A为定点，点B、C为动点，因直线AB、AC的倾斜角互补，所以kAB与kAC相反，故可用“k参数”法， 设AB的斜率为k，写出直线AB的方程，将AB的方程与抛物线方程联立，因A为已知交点，则方程有一根已知故用韦达 定理容易解出点B坐标，同理可得点C坐标，再求BC斜率。(2)因点B、C在抛物线上移动，也可用“点参数”法，设B(x,y ),C(x,y),因x =y 2,x =y 2,即可设B(y2,y ),C(y2,y)。112211221122再考虑kAB=-kAC得参数yy2的关系。解法1：设AB的斜率为k，则AC的斜率为-kAB： y-2=k(x-4),与 y2=x 联立得: y-2=k(y2-4),即 ky2-y-4k+2=0 ,/ y=2是此方程的一解，-4k + 22y , yB=k B1 - 2kk1 4k + 4k 2.B11 - 4k + 4k 2 1 - 2k )：kAC=-k,以-k代替k代入B点坐标得C11 + 4k + 4k 2 1 + 2k ) 1 + 2k 1 - 2k=k k1 + 4k + 4k 2_1 4k + 4k 21=-为定值4k2k解法 2：设 B (y12,y1) ,C(y22,y2)，则xB=yB2=.k =土!AB J2 - 4，k = y2 - 2七 + 2 AB y 2 4由题意，kAB=-kAc，1.一y + 2y 2 + 2则：k =为定值。BC 41 m，贝 U” + * = 4点评：解法1运算量较大，但其方法是一种基本方法，因k的变化而造成了一系列的变化，最终求出BC的斜率为定值；解法2利用点B，C在抛物线上设点，形成含两个参数yy2的问题，用整体思想解题，运算量较小。例5：在圆x2+y2=4上，有一定点A (2, 0)和两动点B，C (A，B，C按逆时针排列)，当B，C两点保持ZBAC=:时，求ABC的重心的轨迹。兀2兀分析：圆周角ZBAC=与可转化为圆心角/BOC，选用“角参数”，2兀2兀令 B (2cos0 ， 2sin0 )则 C(2cos(0 +),2sin(0 +)则重心可用。表示出来。兀解：连 OB，OC，VZBAC= 3，设 B (2cos0 ,2sin0 ) (002兀./BOC=34兀2兀2兀 3)，则 C(2cos(0 + 3 ),2sin(0 + )设重心G (x， y)，则：(x= 2 + 2 cos 0 + 2 cos(0 y= 3 0 + 2 sin 0 + 2 sin(0 x= 3i+cos(0 + )j y= 3 sin(0 + y) 5e + e(，) 33 333.(尸1)2 + (? y)2 = 1。即(X 2)2 + y2 = 4(X 即:1，(x0）有公共点时a的取值范围 a 2分析:将直线方程代入椭圆方程消元得一元二次方程应有解，用判别式30可求得a的取值范围。也可考虑另一代入顺序，从椭圆方程出发设公共点P （用参数形式），代入直线方程，转化为三角问题：asinx+bcosx=c何时有解。由直线方程3x-4y+10=0得y = 3 x + -代 入 椭 圆方程42得:X2+（3X + 5）2 = 1 （L+也）x 2 +15 x+21 = 0 a 2 1644 30，得（15）2-4 21449、八28） 0 解得 a2 2 ，又 a0, . a 1632万T解法二：设有公共点为P,因公共点P在椭圆上，利用椭圆方程设P （acos 甲sin平）再代入直线方程得3acos甲-4sin甲 +10=04sin甲-3acos甲=10。43a10-sin 中 一=cos中=i9a 2 +169a 2 +16、-9a 2 +163a令 sina =: v9a 2 +16cosa =.=，v 9a2 +1610则0 sin（中-a ）= ； ，289a2384，a2 3 （a0）3由 |sin（甲一a） 0)和y=-x(x0)上，且POQ的面积为1，(0为原点)，则线段PQ中点M的轨迹为()入、双曲线x2-y2=1B、双曲线 x2-y2= 1的右支2、C、半圆 x2+y2=1(x)25、一个等边三角形有两个顶点在抛物线y2=20x上，第三个顶点在原点，则这个三角形的面积为6、设P(a,b)是圆x2+y2=1上的动点，则动点Q(a2-b2,ab)的轨迹方程 7、实数x、y满足3x2+2y2=6x，则x+y的最大值为 8、已知直线l： 2x+4y+3=0，P是l上的动点，O为坐标原点，点Q分OP为1： 2,则点Q的轨迹方程为一 x2y29、椭圆布+百=1在第一象限上一动雄，若A(4, 0)，B(0，3)，O(0，0)，则S四边eo的最大值为，一、 2510、已知实数 x、y 满足 x+y=4，求证：(x + 2)2 + (y -1)2 11AABC中,A(3,0) |BC| = 2，BC在y轴上，且在-3,3间滑动，求ABWE、的轨迹方程。12、设A、B是抛物线y2=2Px(p0)上的点，且ZAOB=90(O为原点)。求证：直线AB过定点。参考答案11 + 4 01、Bx-2y=b，圆(x-1)2+(y+2)2=5，由(1，2)到 x-2y-b=0 的距离等于十5 得=;5，.，.b=0 或 b=10侦5则b的最大值为10，选B。或用参数法，令x = 1 + 5cos0, y = -2 + 5sin0代入得x 2y = 5 + t5cos0 25 sin0 = 5 + 5(cos0sin0) = 5 + 5sin(以 一0)最大值为 10。选 B2、C作图，知当k g(-厂,0时，直线y=k(x-2)与半圆有两交点 k 3-3、Bj方程即 (x + 3)2 + (y 1)2 =%2 -x y + 3|令 F(-3,1) P(x,y), l: x-y+3=0, PHl 于 H 则PFPH=克，由双曲线第二定义知选B。4、B用“点参数”法，设 P(x1,x1)(x10)，Q(x2,-x2)(x20)则!*xi r2x2 = 1，.x1x2=1设 M(x， y)，则 2x=x1+x2， 2y=x1-x2，. (2x)2-(2y)2=4x1x2则 x2-y2=1(x0)。选 B5、1200 拓。设此三角形为AOAB，设 A(x ,y )，B(x ,y )由 A = 0B 得 x 2 + y 2 = x 2 + y 2，11221122:.X2 + 20x=X2 + 20x(x1-x2)(x1+x2+20)=0，Vx10x20.*.x1=x2则 yi2 =y 2y1=-y2，AAB关于x轴对称，A、B在y= 土 , x上代入 y2=20x 得 A(60,20 (3) , B(60,-20 (3 ) 急-.一边长为403面积为彳(4L3)2 = 12L36、x2+4y2=1令 a=cos0 ， bsin0 ，则 Q(cos20 , sin20 )A设 Q(x，y) 则 x2+4y2=17、v10+123(x-1)2+2y2=3, (x-1)2+ 3 y 2=1令 x-1=cos中，y=.23酉 sin中，贝0 x+y=cos中 +.= sin中 +1, 2最大值为1 + 2 +1+18、 2x+4y+1=0设 Q(x， y)， P(x1，y1)，0 + x2 1A20 + 1 y21j2.xj3x，yj3y ，*.* 2x1+4y1+3=02X3x+4X3y+3=0 即 2x+4y+1=09、6 克设 P(4cos甲,3sin甲)(0甲 H = S，则 PA2当P在H( 1,7 )时取等号25.(x + 2)2 + (y -1)2 11、解：设C在B的上方，设B(0,t),则 C(0,t+2), -3WtW1设外心为M(x,y)AB中点为(；，:)因BC的中垂线为y=t+1由、消去t得广t，t 3 /3、AB 3 ab的中垂线为y 2 = t (x 2)一 4、，-=6(x 3)(-2 y 2)这就是点M的轨迹方程。12、解：设 OA： y=kx2p2p2p 2p代入 y2=2px 得 k2x2=2px 则 x =，y = . A()同理由OB： y=-1 xk2 p+ 2 pkkAB = 2；.r - 2 pk 2k2可得 B(2pk2,-2pk)1 + =工=k11 心 1 - k 2-k 2- kk2k(x 一 2 pk 2)令x=2p得y=0,说明AB恒过定点(2p, 0)