考前增分策略专题三解答题的解题方法与技巧(共43张PPT).ppt

随堂讲义 第二部分 考前增分策略 专题三 解答题的解题方法与技巧 数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通 常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔 功能目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转变为 知识、方法和能力的综合型从广东省和新课改省区高考 的命题情况来看，近两年数学解答题主要涉及三角函数的 图象性质与三角变换、概率与统计、函数与导数、立体几 何、数列、不等式、解析几何等，总计 80分在高考考场 上，能否做好解答题，是高考成败的关键 因此，在高考备考中，学会怎样解题是一项重要内 容本节以著名数学家波利亚的 怎样解题 为理 论依据，结合具体的题目类型，分析解答数学解答 题的一般思维过程、解题步骤和答题格式 题型 1 三角函数的性质与求值 Z 重 点 方 法 讲 解 例 1 已知函数 f ( x ) c o s 2 x 12 ， g ( x ) 1 1 2 s in 2 x . ( 1) 设 x x 0 是函数 y f ( x ) 图象的一条对称轴 ， 求 g (x 0 ) 的值 ( 2) 求函数 h ( x) f ( x) g( x ) 的单调递增区间 从所求结论涉及不同角三角函数 ， 且次数不 同来看 ， 首先利用倍角公式、两角和与差的三角变换公 式化简为 y Asin(x )或 y Acos(x )的形式 ， 再 根据正弦或余弦函数的性质求解 思路点拨： Z 重 点 方 法 讲 解 解题模板 解析 (1 ) 由题设知 f( x ) 1 2 1 co s 2x 6 . x x 0 是函数 y f (x ) 的图象的一条对称轴 ， 2x 0 6 k (k Z) ， 即 2x 0 k 6 (k Z) ， g (x 0 ) 1 1 2 s i n 2 x 0 1 1 2 s i n k 6 . 当 k 为偶数时 ， g (x 0 ) 1 1 2 sin 6 1 1 4 3 4 ； 当 k 为奇数时 ， g (x 0 ) 1 1 2 sin 6 1 1 4 5 4 . Z 重 点 方 法 讲 解 解析 (2 )h( x ) f( x ) g (x ) 1 2 1 co s 2x 6 1 1 2 s i n 2 x 1 2 co s 2x 6 s i n 2 x 3 2 1 2 3 2 co s 2 x 1 2 s i n 2 x 3 2 1 2 sin 2x 3 3 2 . 当 2k 2 2x 3 2k 2 (k Z) ， 即 k 5 12 x k 12 (k Z) 时 ， 函数 h (x ) 1 2 s i n 2x 3 3 2 是增函数 . 函数 h (x ) 的单调递增区间是 k 5 12 ， k 12 (k Z) Z 重 点 方 法 讲 解 方法归纳 【 解题步骤 】 第一步：将函数 f( x ) 化简为： f (x ) 1 2 1 c o s 2x 6 . 第二步：由条件求 2x 0 的值 ， 进而求 g (x 0 ). 第三步：运用三角变换公式化简 h ( x ) 为正弦型函数 . 第四步：由 s i n x ， c o s x 的单调性 ， 将 “ x ” 看作 一个整体 ， 转化为解不等式问题 . 第五步：明确规范 ， 表达结论 ， 反思回顾 ， 查看关键点、 易错点及解题规范 . Z 重 点 方 法 讲 解 【 名师心语 】 (1)本题在求解中灵活运用二倍角的余弦公式，两 角和的正、余弦公式，还引入辅助角，技巧性强，并考 查正余弦函数的性质，是历年的重点 . (2)本题易错点： 想不到引入辅助角； 忽视在求 g(x0)时，讨论 k的奇偶性 . Z 重 点 方 法 讲 解 题型 2 立体几何中线 、 面平行与垂直 例 2 如图所示，四边形 ABCD为矩形， AD 平面 ABE， AE EB BC，点 F为 CE上的点，且 BF 平面 ACE. (1)求证： AE BE. (2)设点 M在线段 AB上，且满足 AM 2MB.试在线 段 CE上确定一点 N，使得 MN 平面 DAE. Z 重 点 方 法 讲 解 (1)通过线面垂直证明线线垂直 (2)这 是一道探索性问题 ， 先确定点 N的位置 ， 再进行证 明 ， 要注意解题的方向性 ， 通过寻找到的条件 ， 证 明 MN 平面 DAE成立 思路点拨： Z 重 点 方 法 讲 解 解题模板 解析 (1 ) 证明 ： AD 平面 A BE ， AD BC ， BC 平面 A BE ， 则 AE BC . 又 BF 平面 ACE ， AE BF ， 又 BC 、 BF 平面 B C E ， BC BF B ， AE 平面 BC E ， 又 BE 平面 BC E ， AE BE. Z 重 点 方 法 讲 解 ( 2) 在 AB E 中 ， 过点 M 作 MG AE 交 BE 于点 G ， 在 BEC 中 ， 过点 G 作 GN BC 交 EC 于点 N ， 连接 M N. 由比例关系 ， 易得 CN 1 3 CE . MG AE ， MG 平面 ADE ， AE 平面 ADE ， MG 平面 ADE . 同理 ， GN 平面 ADE . 又 GN MG G ， 平面 M G N 平面 ADE . 又 MN 平面 M G N ， MN 平面 ADE . 点 N 为线段 CE 上靠近点 C 的一个三等分点 Z 重 点 方 法 讲 解 方法归纳 【 解题步骤 】 第一步：由线面垂直、线线平行的性质，判定 AE 平面 BCE. 第二步：由线面垂直定义，得 AE BE. 第三步：探求出点的位置 . 第四步：证明符合要求 . 第五步：给出明确答案，反思回顾，查看关键 点、易错点和答题规范 . Z 重 点 方 法 讲 解 【 名师心语 】 (1)在书写格式上容易混乱、没条理，思路不清晰 . (2)本题易错点：对于这类探索性问题找不到切入 口，入手难 . (3)本题要确定点 N，使得 MN 平面 DAE，我们往 往是利用平行确定出点 N，然后再去证明结论成立 . Z 重 点 方 法 讲 解 题型 3 数列中 an与 Sn的关系 例 3 已知数列 a n 的各项均 为正数， S n 为其前 n 项和 ， 对于任意的 n N * ， 满足关系式 2S n 3a n 3. ( 1) 求数列 a n 的通项公式 ( 2) 设数列 b n 的通项公式是 b n 1 lo g 3 a n lo g 3 a n 1 ， 前 n 项和为 T n .求证：对于任意的正整数 n ， 总有 T n 1. 思路点拨： (1)从 an与 Sn的关系入手 ， 考察 an Sn Sn 1(n 2)， 可求数列 an的通项 (2)利用裂项相消 法求和 ， 求 Tn， 达到证明目的 Z 重 点 方 法 讲 解 解析 解题模板 (1) 当 n 1时 ， 由 2Sn 3an 3， 得 2a1 3a1 3， a1 3. 当 n 2时 ， 由 2Sn 3an 3， 得 2Sn 1 3an 1 3. 两式相减 ， 得 2(Sn Sn 1) 3an 3an 1， 即 2an 3an 3an 1. an 3an 1. 又 a1 3 0， an是首项为 3， 公比为 3的等比数列 ， an 3n， an的通项公式为 an 3n. Z 重 点 方 法 讲 解 ( 2) 证明： b n 1 lo g 3 a n lo g 3 a n 1 1 lo g 3 3 n lo g 3 3 n 1 1 （ n 1 ） n 1 n 1 n 1 ， T n b 1 b 2 b n 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n 1 1 1 n 1 1. 故对 n N * ， 总有 T n 1. Z 重 点 方 法 讲 解 方法归纳 【 解题步骤 】 第一步：当 n 2 时 ， a n S n S n 1 ， 求 a n 与 a n 1 的递推关系 ， 转化为特殊数列 . 第二步：求 a 1 ， 检验 ， 求得通项公式 . 第三步：将 b n 1 n （ n 1 ） 1 n 1 n 1 裂项 ， 求出 T n . 第四步：写出明确、规范的答案 ， 反思回顾；查看关 键点、易错点及解题规范 . Z 重 点 方 法 讲 解 【 名师心语 】 (1)数列中 an与 Sn的关系，等比 (差 )数列的通项与 求和是历年高考的考查重点 . (2)本题易错有两点： 忽视对 n 1和 n2分两类 进行讨论；部分学生变形能力差，无法求和，导致 证明 Tn0这一隐含条件，第 (2)题中缺乏分类讨论 的思想意识，忽略直线 AB与 x轴垂直的情况 (3)以向量为载体，创新考查探索性问题，应引起 高度重视 . Z 重 点 方 法 讲 解 题型 6 函数的单调性 、 极值与最值问题 例 6 已知函数 f ( x ) 2ax a 2 1 x 2 1 (x R) ， 其中 a R . ( 1) 当 a 1 时 ， 求曲线 y f ( x ) 在点 (2 ， f ( 2) ) 处的切线 方程 ( 2) 当 a 0 时 ， 求函数 f ( x ) 的单调区间与极值 Z 重 点 方 法 讲 解 ( 1) 已知解析式和切点求切线方程 ， 先求斜率 ， 用点斜式方程求切线方程 ( 2) 根据导数研究函数的单调性解题步骤： 求导 求导函数的零点 确定导函数在区间中 的正负 确定函数在区间中的单调性 思路点拨： Z 重 点 方 法 讲 解 解析 (1 ) 当 a 1 时 ， f ( x ) 2x x 2 1 ， f ( 2 ) 4 5 . 又 f( x ) 2 （ x 2 1 ） 2 x 2 x （ x 2 1 ） 2 2 2x 2 （ x 2 1 ） 2 ， f (2 ) 6 25 ， 曲线 y f( x ) 在点 (2 ， f (2 ) 处的切线方程为 y 4 5 6 25 (x 2) ， 即 6x 25y 32 0. 【 解题模版 】 Z 重 点 方 法 讲 解 (2 )f( x ) 2a （ x 2 1 ） 2x （ 2 a x a 2 1 ） （ x 2 1 ） 2 2 （ x a ）（ ax 1 ） （ x 2 1 ） 2 . 由于 a 0 ， 以下分两种情况讨论： 当 a 0 ， 令 f( x ) 0 ， 得 x 1 1 a ， x 2 a. 当 x 变化时 ， f ( x ) ， f ( x ) 的变化情况见下表： x ， 1 a 1 a 1 a ， a a (a ， ) f(x ) 0 0 f (x ) 极小值 极大值 Z 重 点 方 法 讲 解 f ( x ) 在区间 ， 1 a ， (a ， ) 内为减函数 ， 在区间 1 a ， a 内为增函数 . 函数 f (x ) 在 x 1 1 a 处取得极小值 f 1 a ， 且 f 1 a a 2 . 函数 f (x ) 在 x 2 a 处取得极大值 f( a ) ， 且 f( a ) 1. 当 a 0 时 ，令 f ( x ) 0 ， 得到 x 1 a ， x 2 1 a . 当 x 变化时 ， f ( x ) ， f ( x ) 的变化情况见下表： Z 重 点 方 法 讲 解 x ( ， a ) a a ， 1 a 1 a 1 a ， f ( x ) 0 0 f(x) 极大值 极 小值 f ( x ) 在区间 ( ， a ) ， 1 a ， 内为增函数 ， 在区间 a ， 1 a 内为减函数 . 函数 f (x ) 在 x 1 a 处取得极大值 f( a ) ， 且 f( a ) 1. 函数 f (x ) 在 x 2 1 a 处取得极小值 f 1 a ， 且 f 1 a a 2 . Z 重 点 方 法 讲 解 【 解题步骤 】 第一步：由导数几何意义，求切线方程 . 第二步：求 f(x)的导数 f(x). 第三步：求方程 f(x) 0的根 . 第四步：利用 f(x) 0的根和不可导点的 x的值按 从小到大的顺序将定义域分成若干个小开区间，并列 出表格 . 第五步：由 f(x)在小开区间内的正、负值判断 f(x) 在小开区间内的单调性 . 第六步：明确、规范地表述结论，反思回顾，查 看关键点、易错点及解题规范 . Z 重 点 方 法 讲 解 【名师心语】 (1 ) 本题主要考查导数的几何意义 ， 利用导数研究函数 的单调性与极值 ， 并考查函数与方程、分类讨论等数学思 想 . (2 ) 本题中 f (x) 0 的根为 x 1 1 a ， x 2 a. 要确定 x 1 ， x 2 的大小 ， 就必须对 a 的正、负进行分类讨论 ， 这就是本 题的关键点和易错点 . (3 ) 利用导数研究函数的性质 ， 这是历年高考的重点 ， 求 解时要养成好的解题习惯 ， 规范答题 .