方阵的特征值、特征向量与相似化简.ppt

线性代数 第五章 第五章 方阵的特征值、特征向量与相似化简 本章教学内容 1 数域 多项式的根 2 方阵的特征值与特征向量 3 方阵相似于对角矩阵的条件 4 正交矩阵 5 实对称矩阵的相似对角化 * 6Jordan标准形简介 1 数域 多项式的根 本节教学内容 1.数域的概念 2.多项式的根与标准分解式 1 数域 多项式的根 1.数域的概念 定义 1.1 设 F 是一个数集， F 中至少包含两个不 同的数，如果 F 中任意两个数的和、差、积、商 (当除数不为零时 )仍是 F 中的数，则称 F 是一个 数 域 。 注 数域对数的四则运算 (除数不为零 )封闭。 数域 F 必包含 0和 1两个数。 证 依定义有 ,0, aFba ，且 .1 ,0 FaaFaa 所以 1 数域 多项式的根 有理数集 Q是一个数域，称 有理数域 ； 实数集 R是一个数域，称 实数域 ； 复数集 C是一个数域，称 复数域 。 若 F 是数域，则 F Q，即 有理数域是最小的 数域 。 证 ，F1 ,Fn 若正整数 ,1 Fn 则 由数学归纳 ;Fn 法知一切正整数 为和任一正有理数 pq q pa , ,正整数 ,Fa 即 ,)21( Faa 任一负有理数 ,0 F 。可见 FQ 1 数域 多项式的根 例 3 答 是。 证 是不是一个数域？Q,3 babaF ,3 ,3 2211 FbaFba 设 则 , 3)()()3()3( 21212211 Fbbaababa ,3)()3()3()3( 122121212211 bababbaababa , )3()3( 2211 Fbaba 0,322 ba若 . )3()3(1 )3( )3( 22212 2 2 222 11 Fbaba baba ba 1 数域 多项式的根 2.多项式的根与标准分解式 定义 1.2 对于非负整数 n及数域 F 上的数 ai, (i=0,1, 2, ,n)，未定元 x的形式表达式 称为数域 F上的一个一元 多项式 .当 an0时，称 (x) 为 一个一元 n次多项式 .非零数 an称为 (x)的 首项系 数 ， a0称为 常数项 . 系数全为零的多项式称为 零多 项式 ，通常 零多 项式不定义次数，如果为了方便， 也可认为它的次数为 -. 0111)( axaxaxaxf nnnn 1 数域 多项式的根 定义 1.3 对于正整数 n， 一元 n次多项式 (x)对应 的方程 (x)=0称为 代数方程 ，方程 (x)=0的根称为 (x)的 根 或 零点 .方程 (x)=0重复出现的根称为方程 (或多项式 (x)的 重根 ，其重复出现的 次数称为该 重根的 重数 ，重数为 1的根称为 单根 . 例 1 例 2 , 0)( 是零多项式xf , 2)( 是零次多项式xf ,4223)( 4 次多项式是 xxxf 0,21213)1( 4 f 0,223 1 4 xxx 满足方程即 ,223)(1 4 的根是 xxxfx . )( 的零点亦称 xf 1 数域 多项式的根 关于 代数方程及多项式，有下列结论 定理 1.1 复数域上， n次 代数方程恰有 n个根 (k重 根算 k个， n1). 推论 n次 (n1)多项式在复数域上恰有 n个根 (k重 根算 k个 ). 定理 1.2 若 n次 多项式 (x) 全部互异的根为 x1, x2, , xt，它们的重数分别为 n1, n2, , nt，则有 (an0, n1+n2+ +nt=n) 上式右端称为 (x)在复数域 上的 标准分解式 。 tntnnn xxxxxxaxf )()()()( 21 21 1 数域 多项式的根 例 3 下列哪些是复数域上的 标准分解 (1) (2) (3) (4) )2()1()( 2 xxxf 32 )3)(1()( xxxf )5()1(2)( 2 xxxxf )21)(12()( f 是 是 不是 不是 1 数域 多项式的根 例 4 复数域上，将 多项式 标准分解。 解 根据根与系数的关系， (x)的有理根必是 2的 约数，即可能是 1,-1,2,-2, 22)( 23 xxxxf ,02121)1( f ,02121)1( f ,02288)2( f ,)(2,1,1 的三个根是三次多项式即 xf )2)(1)(1()( xxxxf所以 1 数域 多项式的根 本节学习要求 1.理解 数域的概念， 2. 理解 多项式、多项式的根与多项式的标准分 解式的概念。 作业 ：习题 5.1(A) 第 3题 2 方阵的特征值与特征向量 本节教学内容 1.方阵的特征值 2.方阵的特征向量 3.方阵的特征值与特征向量的问题 2 方阵的特征值与特征向量 1.方阵的特征值 定义 2.2 对于 n阶方阵 A=(aij) ，把含有字母 的 矩阵 称为 A的 特征矩阵 ， 多项式 ()=E-A 称为 A的 特征多项式 , ()的根 称为 A的 特征根 或 特征值 . ()的 单 (重 )根 称为 A的 单 (重 )特征值 . nnnn n n aaa aaa aaa AE 21 22221 11211 2 方阵的特征值与特征向量 方阵的特征值具有下列性质 定理 2.1 n阶方阵 A=(aij)的特征多项式 记 0111)( cccAE nnn )( 22111 nnn aaac ,tr 2211 nnaaaA 称为 A的 迹 (定义 2.1) A-tr .)1(0 Ac n 2 方阵的特征值与特征向量 证 ()的 n次项及 n-1次项必来自均部项 故 ()的 n次项系数为 1, ()的 n-1次项系数为 ()的常数项为 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 )( )()( 2211 nnaaa )( 22111 nnn aaac .)1()0(0 Ac n 2 方阵的特征值与特征向量 定理 2.2 设 n阶方阵 A的特征值为 则 证 由定理 2.1知 A的特征多项式 推论 方阵 A可逆 A的特征值都不为零。 , 21 n ., 21 nA 0111)( ccc nnn .)1( 0 Ac n有 ,)1()0( 210 nnc 的特征值可知是又 An , 21 )()()( 21 n .21 nA 2 方阵的特征值与特征向量 2.方阵的特征向量 定义 2.3 设 0是 n阶方阵 A的一个特征值，若 n维 非零 (列 )向量 满足 A= 0 ，则称 为 A的对应于 0的一个 特征向量 。 定理 2.3 设 A为 n阶方阵 , 若数 0与 n维非零 (列 )向 量 满足 A= 0， 则 0为 A的特征值， 为 A的对 应于 0的特征向量。 证 ,0 A ,0)( 0 E- A则 ,0)( 0 有非零解可知 xE - A ,00 E - A ,0 的特征值是 A .0 的特征向量是对应于 # 2 方阵的特征值与特征向量 3.方阵的特征值与特征向量的问题 的非零解是 0)( 0 xE - A 的根是 E - A )(0的特征值是 A0 的特征向量的对应于是 0 A ,0)(, 0s21 一个基础解系是若 xE - A 的全部特征向量为则对应于 0 ),( 21s2211 不全为零ss kkkkkk 0 A使存在非零向量 0 A 2 方阵的特征值与特征向量 例 2.2 在实数域上求矩阵 的 特征值与特征向量。 解 163 222 123 A 163 222 123 AE 0)2(2)2( 02)2(2 123 2 12)2( 2 )4()2( 2 .4,2 321 的特征值得 A 2 方阵的特征值与特征向量 对于 1,2=2，解方程组 (2E-A)X=0得基础解系 对于 3=-4，解方程组 (-4E-A)X=0得基础解系 ,)0,1,2(1 T ,)1,0,1(2 T 的全部特征向量为对应于于是 2 , 2,1 A ).,( 212211 不全为零kkkk ,)3,2,1(3 T 的全部特征向量为对应于于是 4, 3 A ).0( 333 kk 2 方阵的特征值与特征向量 例 2.3 在实数域上求矩阵 的 特征值与特征向量。 解 201 034 011 B 201 034 011 BE 2)1)(2( .1,2 321 的特征值得 B 2 方阵的特征值与特征向量 对于 1=2，解方程组 (2E-B)X=0得基础解系 对于 2,3=1，解方程组 (E-B)X=0得基础解系 ,)1,0,0(1 T 的全部特征向量为对应于于是 2 , 1 B ).0( 111 kk ,)1,2,1(2 T 的全部特征向量为对应于于是 1, 3,2 A ).0( 222 kk 2 方阵的特征值与特征向量 例 2.4 设矩阵 A满足 A2=A(这样的矩阵叫做 幂等 矩阵 )，证明 A 的特征值只能是 0或者 1. 证 有由 AA 2 )( AA 使则有非零向量 ,的特征值为矩阵设 A )(A 2AA )( A )( 2 , 2 所以 0,)-( 2 即 ,00 2 ，知由 .01 或 , A 2 方阵的特征值与特征向量 例 2.5 设矩阵 A可逆， 0为 A 的特征值， 为 A的 对应于 0的特征向量，证明 : 证 ,1 1 0 的特征值为 A .1 0 1 的特征向量的对应于为 A ，且依题设有 0,0 A ，可逆知由 00 A ，于是有 0 1- 1 A ,1 1 0 的特征值为故 A .1 0 1 的特征向量的对应于为 A 2 方阵的特征值与特征向量 本节学习要求 理解 方阵的特征值、特征多项式及特征向量的概 念，熟悉特征值的性质，会求方阵的特征值与特 征向量，会论证特征值与特征向量有关的问题。 作业 ：习题 5.2(A) 第 1(1)(3),3,8题 3 方阵相似于对角矩阵的条件 本节教学内容 1.相似矩阵及其性质 2.方阵的相似对角化 3 方阵相似于对角矩阵的条件 1.相似矩阵及其性质 定义 3.1 设 A,B是 n阶方阵，若存在 n阶可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，则称 A与 B相似 (或 A相似于 B)。 记作 A B 运算 P-1AP称为对 A作 相似变换 ， P称为 相似因子 或 相似变换矩阵 . 注 矩阵的相似关系是同阶方阵间的一种关系 . .BA P或 3 方阵相似于对角矩阵的条件 相似矩阵具有 基本性质 证 ; )1( AA E , )2( BA P若 ; 1 AB P 则 , , )3( 21 CBBA PP若 ,21 CA P则 (反身性 ) (对称性 ) (传递性 ) BAPP 1BA P )2( ABPP 111 )( ;1 AB P CBBA PP 21 , )3( CBPPBAPP 212111 , CPAPPP 211112 CPPAPP )()( 21121 ,21 CA PP AAE E 1 )1( ;AA E 3 方阵相似于对角矩阵的条件 性质 1 若 A B，则 R(A)=R(B). 证 若 A B，则存在可逆矩阵 P，使 根据第三章推论 3.2知 R(A)=R(P-1AP)=R(B). 性质 2 若 A B，则 A=B. 证 若 A B，则存在可逆矩阵 P，使 性质 3 若 A B，则 AT BT. 证 若 A B，则存在可逆矩阵 P，使 APPB 1 PAP 1 APAP 1 T1T )( APPB ,)()( T11T1 PAP .TT BA ,1 BAPP ,1 BAPP ,1 BAPP 3 方阵相似于对角矩阵的条件 性质 4 若 A B且 A可逆，则 B可逆且 A-1 B-1. 证 若 A B且 A可逆，则由性质 2知 B=A 0， 所有 B可逆； A B，则存在可逆矩阵 P，使 # 111 )( APPB .11 BA ,11 PAP ,1 BAPP 3 方阵相似于对角矩阵的条件 性质 5 若 A B,则对任意多项式 (x)有 (A) (B) 证 若 A B，则存在可逆矩阵 P，使 ,)( 0 n k k k xaxf设 )()( 1 APPfBf 则 km k k APPa )( 1 0 )( 1 0 PAPa k m k k PAap k m k k )( 0 1 ,)( 1 PAfp ).()( BfAf APA P PA P PA P PPAPP A P Pk k )()()(: )(1 11111 1 个 注意 PAP k 1 ,1 BAPP 3 方阵相似于对角矩阵的条件 性质 6 若 A B，则 A与 B有相同的特征多项式， 从而有相同的特征值， trA=trB. 证 从而 A与 B有相同的特征值， trA=trB. # 注： 性质 6的逆不成立。 ,)( xxf 设 有依性质 5 ,)()( BEBfAfAE ,2 BEAE 有依性质 3 方阵相似于对角矩阵的条件 2.方阵的相似对角化 所谓 方阵的 相似对角化 ，指 求一个相似变换矩阵 P，使 P -1AP =对角阵 . 能与对角矩阵相似的方阵称为 可对角化 。 问题 ： 方阵的对角化有何意义？ 方阵 A在何条件下可对角化？ 如何将方阵的对角化？ 首先，若 P -1AP=(对角阵 )，则 An=PnP -1, 易求得 An。 下面讨论后两个问题。 3 方阵相似于对角矩阵的条件 定理 3.1 n阶矩阵 A能与对角矩阵相似的充分必 要条件是 A有 n个线性无关的特征向量。 证 (必要性 ) 设 n阶矩阵 A能与对角矩阵相似，则 存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=，即 AP=P， n 2 1 其中 ),( 21 nP 设 ),( 21 nAAAAP ),( 2211 nnP ),2,1(, nkA kkk . , 21 的线性无关的特征向量是 An ., 21 线性无关则 n 3 方阵相似于对角矩阵的条件 (充分性 ) 注 ：上述证明过程可见将方阵 A对角化的方法 . n 2 1 其中 ,),( 21 可逆则 nP ),( 21 nAAAAP ),( 2211 nn ),2,1(, nkA kkk ., 21 的线性无关的特征向量是设 An ),( 21 n ,P , 1 APP .A 3 方阵相似于对角矩阵的条件 将方阵 A对角化的 方法 求 A的特征值： 1, 2, ,n, 求 A的对应于 1, 2, ,n的 线性无关的特征向 量 1, 2, ,n, 设 P=(1, 2, ,n)，则 n APP 2 1 1 3 方阵相似于对角矩阵的条件 例 3.1 已知 解 ,31 22 A .100A求 ),4)(1(31 22 AE ,4,11 的特征值得 A 1- 20)(,1 11 得特征向量解方程组对 xAE 1 10)4(,4 22 得特征向量解方程组对 xAE 3 方阵相似于对角矩阵的条件 令 问题 任意求得的特征向量都线性无关吗？ 任意 n阶方阵都有 n个线性无关的特征向量吗？ ,11 12 P ,4 11 APP则 1100100 PPA )21 1131(40 0111 12 100 1 0 01 0 0 1 0 01 0 0 42141 42242 3 1 3 方阵相似于对角矩阵的条件 定理 3.2 设 i是 A的 ni重特征根，那么 A对应于 i 的特征向量中，线性无关的特征向量最多有 ni个 . (证 :略 ) 定理 3.3 设 1,2, ,s是 n阶方阵 A的互异特征值， (证 :略 ) 的线性无关特征对应是 ),2,1(, 21 siA iipii i 那么向量组 ,111211 p, ,222221 p, , 21 sspss , .是线性无关的 ,向量组 3 方阵相似于对角矩阵的条件 注 : 设 1,2, ,s是 n阶方阵 A的全部互异特征值， i是 A的 ns重特征根 (ni称为 的 代数重数 )(i=,2, ,s), n1+n2+ +ns=n， A的对应于 i的特征向量的极大线 性无关组 (即方程组 (iE-A)x=0的基础解系 )为 则 是 A的全部 特征向量的一个极大无关组，称为 A的 一个 特征向量系 ，其向量个数 p= p1+p2+ +ps n, 当 p=n时， A的特征向量系是 完全 的，否则是不 完全 的。 A可相似对角化 p=n.即 ),2,1( , 21 siiipii ,111211 p, ,222221 p, sspss , 21, (pi称为 i的 几何重数 ) 3 方阵相似于对角矩阵的条件 定理 4 数域 P上 n阶方阵 A可与对角阵相似 A在 P上有 n个特征值（重根按重数计算）； A在 P上的每一个特征值 的 几何重数 等于 的 代数重数 。 推论 1 若 n级方阵 A有 n个互异的特征值，则 A可 与对角阵相似 . (其逆不成立 ) (定理 3.4) 推论 2 若 n级方阵 A的特征多项式在复数域 C上 无重根，则 A在 C上可与对角阵相似 .(其逆不成立 ) 3 方阵相似于对角矩阵的条件 本节学习要求 理解相似矩阵的 概念，熟悉 相似矩阵 的性质， 熟悉方阵的相似对角化的条件，会将方阵相似对 角化。 会用 相似矩阵 的性质解决有关的问题。 作业 ：习题 5.3(A) 第 2,4,6题 4 正交矩阵 本节教学内容 1.实向量的内积与长度 2.正交向量组 3.正交矩阵与正交变换 4.共轭矩阵 *5.H-矩阵与酉矩阵 4 正交矩阵 1.实向量的内积与长度 定义 4.1设 =(a1,a2, ,an)T, =(b1,b2, ,bn)TRn, ,的 内积 ： (,)= T =a1b1+a2b2+ +anbn 若 ,为 n维行向量，则 (,)= T 性质 设 , Rn， kR ，则 (,)=(,) (k,)=k(,) (+,) =(,)+(,), (,)0, (,)=0 =0 4 正交矩阵 定义 4.2 =(a1,a2, ,an)T(Rn) 的 长度 (范数 )： 性质 设 , Rn， kR ，则 0, =0 =0 k=k + + (三角不等式 ) 定义 若 =1, 称 为 单位向量 。 性质 若 0，则记 由 (0)得到 e，称将 单位化 . 22221),( naaa e 是与 同向 的单位向量 4 正交矩阵 例 1 设 =(1,1,1,-1)T, =(1,-1,1,1)T，则 (,)=- =- e=- T)1,1,1,1( 2 1 1)1(11)1(111 2222 )1(111 0 2 4 正交矩阵 2.正交向量组 定义 4.3 若 (,)=0, 则称 与 正交 (或 垂直 ). 注 ：任意实向量都与零向量正交 . 定义 4.4 如果一组 非零 向量两两正交，则称这组 向量为 正交向量组 ，简称 正交组 . 例 2 问 1=(1,0,1)T,2=(1,0,-1)T,3=(0,1,0)T是不是 正交组？ 答 ：是 . ,0)1(10011),( 21 ,0011001),( 31 ,00)1(1001),( 32 4 正交矩阵 定理 4.5 正交向量组必是线性无关组 . 证 注 ： 定理的逆不成立。 02211 nnkkk ,),0(),( 2211 jjnnkkk 则 ,0),( jjjk 使常数 nkkk , 21 , 21 为正交向量组设 n ,0),( 1 n i jiik 有 ),21( ,0 ,n,jk j ., 21 线性无关故 n ,0),( jj 又 4 正交矩阵 定义 4.5 由单位向量构成的正交向量组称 单位正 交向量组 ，简称 单位正交组 (或 标准正交组 ， 规范 正交组 ). 特征 ： 特例 ： 问题 ： 为单位正交组n , 21 ,1 ,0),( ji ji ijji 当 当 .,2,1, nji .,维 基本向量 组 21 为单位正交组neeen , 21 n 给出线性无关向量组 求作 ., 2121 nn 等价的正交组与 ., 2121 nn 等价的单位正交组或与 4 正交矩阵 Schmide单位正交化方法 正交化 ： 单位化 ： ,11 令 ., 21 线性无关设向量组 n ., 2121 等价的正交组是与则 nn ,),( ),( 1 11 12 22 ,2,1 , i ni i i 令 ,),( ),(),( ),(),( ),( 1 11 1 2 22 2 1 11 1 k kk kkkk kk ., 2121 等价的单位正交组是与则 nn , ,3,2 nk 4 正交矩阵 例 4.3 将下列向量组单位正交化 解 正交化 ,11 令 .)1,0,0,1(,)0,1,0,1(,)0,0,1,1( T3T2T1 1 11 12 22 ),( ),( 0 0 1 1 2 1 0 1 0 1 0 2 1 1 2 1 2 22 23 1 11 13 33 ),( ),( ),( ),( 0 2 1 1 6 1 0 0 1 1 2 1 1 0 0 1 3 1 1 1 3 1 4 正交矩阵 单位化 , 0 0 1 1 1 , 0 2 1 1 2 1 2 , 3 1 1 1 3 1 3 , 0 0 1 1 2 1 1 1 1 , 0 2 1 1 6 1 2 2 2 , 3 1 1 1 32 1 3 3 3 等价的正交组即得与 221 , ., 321321 等价的单位正交组是与则 4 正交矩阵 3.正交矩阵与正交变换 定义 4.6如果 n阶实方阵 A的列向量组是单位正交 向量组，则称 A为 正交矩阵 . 定理 4.2 n阶实矩阵 A为正交矩阵 ATA=E. 证 ),( 21 nA 设 则 ),( 21 T T 2 T 1 T n n AA nnnn n n T 2 T 1 T T 22 T 21 T 2 T 12 T 11 T 1 为正交矩阵A .T EAA 4 正交矩阵 推论 4.1 n阶实矩阵 A为正交矩阵 A-1=AT. 性质 1 A为正交矩阵 -A为正交矩阵 性质 2 A为正交矩阵 AT(=A-1)为正交矩阵 性质 3 A,B为同阶正交矩阵 AB为正交矩阵 性质 4 A为正交矩阵 A=1或 A=-1(逆不成立 ) 注 ：上述性质根据定理 4.2易证成立。 定义 4.7 对 n阶实矩阵 A作相似变换 Q-1AQ，若 Q 为正交矩阵，则变换 Q-1AQ称为对 A的 正交变换 . 注 ：正交变换 Q-1AQ可表示为 QTAQ. 4 正交矩阵 4.共轭矩阵 定义 4.8 称为 A的 共轭矩阵 ， 性质 1 性质 3 性质 4 性质 6 性质 7 注 性质 1-6依共轭复数性质可证 ,性质 4推出 性质 7. 的共轭复数，为设 ijijnmij aaaA ,)( nmija )(则 .A记作 ;)( AA ;BABA );( 为复数kAkkA ; BAAB ;TT AA 性质 2 性质 5 ; , AAA 为方阵时 ; )( 1-1 AAAA 可逆且可逆，则若 4 正交矩阵 本节学习要求 1.理解实向量的内积与长度、 正交向量组、 正交 矩阵与正交变换和共轭矩阵等 概念； 2. 熟悉 向量的内积与长度、正交矩阵和共轭矩阵 的性质，掌握其证明方法； 3. 掌握 Schmide单位正交化方法。 作业 ：习题 5.4(A) 第 5,8,9题 5 实对称矩阵的相似对角化 本节教学内容 1.实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 2.用 正交变换实现对实对称矩阵的相似对角化 5 实对称矩阵的相似对角化 1.实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 定理 5.1 实对称矩阵的所有特征值都是实数 . 证 设 是 实对称矩阵 A的特征值， 是 A的对应于 的特征向量，即 A= ,注意到 AAA T TT A T T)( AAT TT A )( TT AA 又 )(T T , TT ,0)( T 即 ,0 0 T 知由 ,0 , 即 .是实数 5 实对称矩阵的相似对角化 推论 实对称矩阵 A的特征向量是实向量。 证 因实对称矩阵 A的对应于特征值 的特征向量 是实齐次线性方程组的解向量，在实数范围内求 解，其解是实向量。 5 实对称矩阵的相似对角化 定理 5.2 实对称矩阵对应于不同的特征值的特征 向量正交 . 证 设 1,2是 实对称矩阵 A的不同特征值， i是 A的对应于 i的特征向量，即 A i =i， i =1,2， 则 2T11 )( 2T11 2T12T1 )( AA )( 2T12T1 AA 又 )( 22T1 2T12 ,2T122T11 ,0)( 2T121 即 ,0 , 2T121 ., 21 正交即 5 实对称矩阵的相似对角化 2.用 正交变换实现对实对称矩阵的相似对角化 定理 3 对于 n阶实对称矩阵 A,必有正交矩阵 Q，使 注 ：定理的证明课外阅读 . n AQQ 2 1 1 ., 21 的全部特征值恰好是其中 An 5 实对称矩阵的相似对角化 用 正交变换对实对称矩阵 A相似对角化的 方法 求 A的特征值： 1, 2, ,n, 求 A的对应于 1, 2, ,n的 线性无关的特征 向量 1, 2, ,n, 正交单位化 1, 2, ,n, 得单位正交向量组 1, 2, ,n, 设 Q=(1, 2, ,n)， 则 Q是正交矩阵， n AQQ 2 1 1 且 5 实对称矩阵的相似对角化 例 5.1设 实对称矩阵 求正交矩阵 Q，使 Q-1AQ为对角矩阵 . 解 0111 1011 1101 1110 A )3()1( 3 AE - 3 ,1, 21 的特征值为A 得基础解系解方程组对 ,0)(1,1 xAE ,)0,0,1,1( T1 ,)0,1,0,1( T2 ,)1,0,0,1( T3 4 . 3 )(, 上节例单位化得正交化 5 实对称矩阵的相似对角化 则 ,)0,0,2 2,2 2( T1 ,)0,3 6,6 6,6 6( T2 ,)2 3,6 3,6 3,6 3( T3 得基础解系解方程组对 ,0)3(3,1 xAE ,)1,1,1,1( T4 ,) 2 1, 2 1, 2 1, 2 1( T 4 4 4 ,),( 4321 为正交矩阵Q 5 实对称矩阵的相似对角化 有 2 1 2 3 00 2 1 6 3 3 6 0 2 1 6 3 6 6 2 2 2 1 6 3 6 6 2 2 Q 3 1 1 1 1 AQQ 5 实对称矩阵的相似对角化 例 5.2设 实对称矩阵 求正交矩阵 Q，使 Q-1AQ为对角矩阵 . 解 422 242 224 A )8()2( 2 AE 8,2, 21 的特征值为A 得基础解系解方程组对 ,0)2(2,1 xAE ,)0,1,1( T1 ,)1,0,1( T2 正交化得 ,)0,1,1( T1 ,)1,1,1( 2 1 T 2 ,)0,1,1( T1 ,)1,1,1( 2 1 T 2 5 实对称矩阵的相似对角化 单位化得 ,)0, 2 2, 2 2( T 1 ,)3 6, 6 6, 6 6( T 2 得基础解系解方程组对 ,0)(8,1 xAE ,)1,1,1( T3 ,) 3 3, 3 3, 3 3( T 3 3 3 ),( 321 Q 3 3 3 6 0 3 3 6 6 2 2 3 3 6 6 2 2 5 实对称矩阵的相似对角化 Q是正交矩阵 ,且 有 8 2 2 1 AQQ 5 实对称矩阵的相似对角化 注 :若取 Q也 是正交矩阵 ,且 有 2 2 8 1 AQQ ),( 123 Q 0 3 6 3 3 2 2 6 6 3 3 2 2 6 6 3 3 5 实对称矩阵的相似对角化 本节学习要求 1. 熟悉实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 . 2. 掌握 用 正交变换对实对称矩阵的相似对角化的 方法 . 作业 ：习题 5.5(A) 第 1(1),2题