中考数学 第一轮 系统复习 夯实基础 第一章 数与式 第3讲 分式及其运算课件.ppt

数学 第 3讲 分式及其运算 主要包括分式的基本性质与分式运算： 1 了解分式和最简分式的概念 2 会利用分式的基本性质进行约分和通分 3 会进行简单的分式加、减、乘、除运算 1 分式的有关概念 ， 主要是分式的判定以及分式有 (无 )意义、值为 0 的条件 2 分式基本性质的应用 ， 如约分、通分、分式符号变化、分式的各项系数化成 整数等 3 分式的运算是分式考查中的重点 ， 分式的化简与求值问题 ， 一是常规的分式 化简求值 ， 二是在已知条件下进行分式的化简求值 ， 包括一些条件开放性求值问 题 4 主要体现的思想方法：类比的思想、转化的思想等 1 ( 2016 衢州 ) 当 x 6 时 ， 分式 5 1 x 的值等于 _ 2. ( 20 16 丽水 ) 1 a 1 b 的运算结果正确的是 ( ) A. 1 a b B. 2 a b C. a b ab D a b 1 C 3 ( 2016 温州 ) 若分式 x 2 x 3 的值为 0 ， 则 x 的值是 ( ) A 3 B 2 C 0 D 2 4 ( 2016 舟山 ) 先化简 ， 再求值： (1 1 x 1 ) x 2 ， 其中 x 2016. D 解：原式 x 1 1 x 1 2 x x x 1 2 x 2 x 1 ， 将 x 2016 代入 ， 则原式 2 2016 1 2 2015 1 ( 2017 预测 ) 若代数式 1 x 3 在实数范围内有意义 ， 则实数 x 的取值范围 是 ( ) A x 3 B x 3 C x 3 D x 3 2 若分式 x 1 x 2 的值为 0 ， 则 ( ) A x 2 B x 0 C x 1 D x 1 或 2 解析：第 1 题要使 1 x 3 在实数范围内有意义 ， 则 x 3 0 ；第 2 题根据分 式的值为 0 的条件列出关于 x 的不等式组 ， 求出 x 的值即可 C C 1 分式：形如 A B ( A ， B 是整式 ， 且 B 中含有字母 ， B 0 ) 的式子叫做分式 2 与分式有关的结论： ( 1 ) 分式 A B 无意义的条件是 B 0 ； ( 2 ) 分式 A B 有意义的条件是 B 0 ； ( 3 ) 分式 A B 值为 0 的 条件是 A 0 且 B 0. 3 若分式 x 2 1 x 1 的值为 0 ， 则 x 的值为 ( ) A 0 B 1 C 1 D 1 【解析】 x 2 1 x 1 （ x 1 ）（ x 1 ） x 1 x 1 0 ， x 1 ， 故选 C. 4 使代数式 x 3 x 4 有意义的 x 的取值范围是 ( ) A x 3 B x 3 C x 4D. x 3 且 x 4 【解析】 x 3 x 4 有意义 ， 则 x 3 0 且 x 4 0 ， 即 x 3 且 x 4 ， 故选 D. C D 分式有无意义的条件 ， 从以下三个方面进行转化： (1)分式无意义 分母为 0； (2)分式有意义 分母不为 0； (3)分式值为 0分子为 0且分母不为 0. 5 下列分式中 ， 最简分式是 ( ) A. x 2 1 x 2 1 B. x 1 x 2 1 C. x 2 2 xy y 2 x 2 xy D. x 2 36 2 x 12 6 ( 2016 台州 ) 化简 x 2 y 2 （ y x ） 2 的结果是 ( ) A 1 B 1 C. x y y x D. x y x y A D 7 下列等式成立的是 ( ) A. 1 a 2 b 3 a b B. 2 2 a b 1 a b C. ab ab b 2 a a b D. a a b a a b 解 析：第 5 题利用最简分式的定义判断即可 ， 最简分式为分式的分子、 分母没有公因式 ， 即不能约分的分式；第 6 题根据平方差公式把分子进行 因式分解 ， 再约分即可；第 7 题利用分式的基本性质 ， 经过通分求解 C 1 分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘以 ( 或除以 ) _ _ _ ， 分式的值不变： A B A m B m ， A B A m B m ( 其中 m 0) 2 约分：根据分式的基本性质将分子、分母中的 _ _ _ 约去 ， 叫做分 式的约分约分的依据是分式的基本性质 3 最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式 答案 ： 1. 同一个不为 0 的数 2. 公因式 8 化简 m 2 m n n 2 n m 的结果是 ( ) A m n B n m C m n D m n 【解析】 首先进行通分运算 ， 进而分解因式化简求出答案 m 2 m n n 2 n m m 2 m n n 2 m n （ m n ）（ m n ） m n m n . 故选 A. A 1 利用分式的基本性质解题必须理解和掌握分式的基本性质和分式的符 号法则 2 分式的分子、分母与分式本身的符号 ， 改变其中任意两个 ， 分式的值不变： a b a b a b a b ， a b a b a b . 3 分式约分的步骤： (1) 找出分式的分子与分母的公因式 ， 当分子、分 母是多项式时 ， 要先分解因式； (2) 约去分子与分母的公因式 9 当 x 6 ， y 3 时 ， 求代数式 ( x x y 2 y x y ) 3 xy x 2 y 的值 【解析】 先对所求 的式子化简 ， 然后将 x 6 ， y 3 代入化简后的式子即 可解答本题 解： ( xx y 2yx y ) 3xyx 2y 3xyx y ， 当 x 6 ， y 3 时 ， 原式 3 6 36 3 6 10 ( 2017 预测 ) 先化简 ， 再求值： 1 x 1 3 x x 2 6x 9 x 2 x x 3 ， 其中 x 3 2 . 【解析】 先算除法 ， 再算加减 ， 最后把 x 的值代入进行计算即可 解：原式 1 x 1 3 x （ x 3 ） 2 x 3 x （ x 1 ） 1 x 1 1 x （ x 1 ） x 1 x （ x 1 ） 1 x ， 当 x 3 2 时 ， 原式 1 3 2 2 3 1 通分：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为 _ _ _ 的分式 ， 这种变形叫做分式的通分通 分的关键是确定几个分式的最简公分母 2 分式的运算法则： (1) 符号法则：分子、分母与分式本身的符号 ， 改变其中任何两个 ， 分式的 值不变 (2) 分式的加减法：同分母加减法： _ _ _ _ _ ； 异分母加减法： _ _ _ _ _ (3) 分 式的乘除法： a b c d _ _ _ ； a b c d _ _ _ (4) 分式的乘方： ( a b ) n _ _ _ 答案 ： 1. 同分母 2. (2) 分母不变 ， 分子相加减；先通分 ， 后加减； (3) acbd ； adbc ； (4) a n b n 11 计算： (1) a 1 a 1 a 1 a 2 1 1 ； (2) x 2 y x 2 2xy y 2 ( 1 x 1 y ) 解： ( 1 ) 原式 a 1 a 1 （ a 1 ）（ a 1 ） a 1 1 a 1 1 a ( 2 ) 原式 x 2 y （ x y ） 2 x y xy x x y 12 先化简 ， 再求值： ( 1 1 x ) x 2 2x 1 x ， 其中 x 2 . 解：原式 x 1 x x x 2 2x 1 x 1 x x （ x 1 ） 2 1 x 1 ， x 2 时 ， 原式 1 2 1 2 1 （ 2 1 ）（ 2 1 ） 2 1 13 ( 原创题 ) 已知 a ， b 互为倒数 ， 求代数式 a 2 2ab b 2 a b ( 1 a 1 b ) 的值 解：原式 （ a b ） 2 a b a b ab ( a b ) ab a b ab . a ， b 互为倒数 ， 原式 ab 1 1 通分的关键是确定最简公分母 方法是： (1)将各分母分解因式； (2)找各分 母系数的最小公倍数； (3)找出各分母中不同的因式 ， 相同因式中取次数最高的 ， 满足 (2)(3)的因式之积即为各分式的最简公分母 2 在分式运算的过程中 ， 要注意对分式的分子 、 分母进行因式分解 ， 然后简 化运算 ， 再运用四则运算法则进行求值计算 3 在分式的加减乘除混合运算中 ， 应先算乘除 ， 进行约分化简后 ， 再进行加 减运算 ， 遇到有括号的 ， 先算括号里面的 运算结果必须是最简分式或整式 14 若实数 x 满足 x 2 2 2 x 1 0 ， 求 x 2 1 x 2 的值 【解析】 根据 x 2 2 2 x 1 0 ， 可以求得 x 1 x 的值 ， 从而可以得到 x 2 1 x 2 的值 ， 本题得以解决 解： x 2 2 2 x 1 0 ， x 2 2 1 x 0 ， x 1 x 2 2 ， ( x 1 x ) 2 8 ， 即 x 2 2 1 x 2 8 ， x 2 1 x 2 10 15. 若 4 x 1 表示一个整数 ， 则整数 x 可取的值的个数是 ( ) A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 D 16 已知 1 x 1 y 3 ， 求代数式 2 x 14 xy 2 y x 2 xy y 的值 解析：第 14 题按照字母满足的条件 ， 逐一分析计算得出答案；第 15 题 首先考虑能够整除 4 的整数有 1 ， 2 ， 4 ；第 16 题把 1 x 1 y 3 变形为 y x 3 xy 代入代数式即可求值 解： 1 x 1 y 3 ， y x 3xy ， 2x 14xy 2y x 2xy y 2 （ x y ） 14xy （ x y ） 2xy 6xy 14xy 3xy 2xy 20 xy 5xy 4 17 若实数 x ， y 满足 xy 0 ， 则 m x |x| |y| y 的最大值是 _ 【解析】 m x |x| |y| y xy |x| y |x| |y| |x| y xy |xy| |x| y . 若 xy 0 时 ， 若 x ， y 均小于 0 ， 则 m 2xy xy 2 ， 若 x ， y 均大于 0 ， 则 m 2xy xy 2. 故最大值为 2. 2 18 已知 a 2 3a 1 0 ( a 0 ) ， 求 a 2 a 4 1 的值 解： a 2 3a 1 0 ， a 0 ， a 1 a 3 ， a 4 1 a 2 a 2 1 a 2 ( a 1 a ) 2 2 3 2 2 7 ， a 2 a 4 1 1 7 分式求值方法灵活多变 ， 根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化 ， 如 运用整体代入法、平方法、倒数法、代入法等