2020-51MCM-Problem C

2020年第十七届五一数学建模竞赛题目C题 饲料混合加工问题饲料加工厂需要加工一批动物能量饲料。饲料加工需要原料，如加工猪饲料需要玉米、荞麦、稻谷等。加工厂从不同的产区收购了原料，原料在收购的过程中由于运输、保鲜以及产品本身属性等原因，存在着效能率的问题（如1吨玉米可加工成0.7吨左右的玉米面）。这个数据在原料进厂之后可以通过随机抽样进行检测得到。某饲料加工厂有9个加工窖，现有一批加工任务，要将16个加工原料（见表1）按照某种混合方案一次性放入加工窖中进行加工。一个加工窖的混合产品称为一个加工包。如果某加工原料重量不少于500千克，则可以单独成为一个加工包。因产品属性原因，要求品种代码10的加工原料不能单独成为一个加工包。每一个加工窖能够加工的重量有限定范围（见表2）。加工窖加工成本由点火成本（也称固定成本）与加工量成本（也称可变成本）构成，其他成本暂不考虑。表1提供了各加工原料的品种代码、总重量和效能率。表2提供了每一个加工窖能够加工的重量范围以及点火成本、加工量单位成本数据。由于加工窖数量低于饲料加工原料的品种数，所以在加工前需要将若干个加工原料进行混合。为了保证加工后饲料的质量，要求混合的任何两个加工原料之间必须具有亲缘关系。工厂技术人员对每种加工原料进行了基因检测，得到了10个关键位点的基因序列（见表1），并规定，两个加工原料如果有N个相同位点的基因序列标记相同，就认为这两个加工原料的亲缘值为N（如果N大于0，则说明这两种加工原料之间具有亲缘关系），一个加工包中所有原料两两之间亲缘值的平均值称为亲缘度。例如品种代码1、2、5的加工原料混合成为一个加工包，假设品种代码1和品种代码2的亲缘值为5，品种代码1和品种代码5的亲缘值为3，品种代码2和品种代码5的亲缘值为5，那么它们的亲缘度就是(5+3+5)/3。如果一个加工包中只含有一种加工原料，则该加工包的亲缘度为10。本题仅从亲缘度角度考虑混合加工饲料的质量，亲缘度越高，饲料质量就越高。请考虑下列问题：1. 请研究16个加工原料两两之间的亲缘值，并进行统计性分析。2. 将16个加工原料进行混合全部放入9个加工窖中。请建立数学模型，求出饲料质量最高的混合方案并给出每个加工包的亲缘度。3. 将16个加工原料进行混合全部放入9个加工窖中。请建立数学模型，求出平均能耗率超过80%的加工包数量最多的混合方案并给出每个加工包的能耗率，并将结果填入表3。 4. 如果饲料加工厂允许部分加工窖不生产，请建立数学模型，给出混合加工方案，用尽量低的加工成本完成整个加工任务，同时要求平均能耗率超过80%的加工包尽量的多。5. 如果饲料加工厂允许部分加工窖不生产，但必须完成整个加工任务。请建立数学模型，给出混合加工方案使得（1）饲料质量尽量高，（2）加工成本尽量低，（3）平均能耗率超过80%的加工包尽量多。表1 各加工原料的品种代码、总重量、效能率和基因序列标记品种代码总重量千克效能率位点基因序列（用字母简化表达）1234567891013000.88abcdefghij25000.60abcdeopklm32000.93fghajopklm45000.90fghijlpfop53000.90fbhdeopaoz64000.78rmtuqfgafz73000.70rstukfghfc83000.83rstuabhijc94000.95csafvwaijc106000.87bmniazhfoz111000.65mameazabab126000.75mcmexhabna135000.8banycgmbmb144000.68mcmyxgmbnb153000.87bxniclbcmp163000.83ccafxhbcmj表2 加工窖加工的重量范围、点火成本、加工量单位成本加工窖编号123456789加工重量下限（千克）300300300600600600900900900加工重量上限（千克）600600600900900900120012001200点火成本 （元）400400400500500500600600600加工量单位成本 （元/千克）2221.81.81.81.61.61.6表3 问题3的结果（每个加工窖所含每种加工原料的重量，千克）加工窖加工原料12345678912345678910111213141516能耗率